TEMA 7 CORRIENTE ALTERNA

Transcripción

1 TEMA 7 OENTE ATENA. Generadores de corriente alterna Al estudiar los circuitos de corriente continua considerábaos fuentes de fuerza electrootriz que producían una tensión en bornes constante. oo consecuencia, tras cierto periodo de tiepo llaado transitorio, se establecían corrientes estacionarias constantes en las distintas raas del circuito. Entonces, los únicos eleentos de circuito a tener en cuenta eran las resistencias a que los condensadores, una ez cargados, no periten el paso de la corriente continua. En cuanto a las bobinas, si no ha cabios en la corriente, se coportan coo conductores con resistencia despreciable. uando las tensiones que se aplican arían con el tiepo el coportaiento de los circuitos es u distinto. os condensadores actúan coo depósitos que alacenan o ceden carga al circuito; en las bobinas aparecen fe autoinducidas que se añaden a las producidas por los generadores. En lo sucesio considerareos generadores de corriente alterna (A), que producen un oltaje sinusoidal del tipo: t) cos ( () Esta tensión se dice que es alterna porque oscila periódicaente entre un alor áio (tabién llaado aplitud) el iso alor negatio. El otro paráetro es la frecuencia angular: π π f T () T es el periodo, o tiepo que tarda la tensión en recorrer un ciclo copleto de alores; f, la frecuencia, es el núero de oscilaciones que se producen en un segundo. a corriente eléctrica coercial es de 50 Hz en Europa de 60 Hz en USA. a iportancia de este tipo de tensión reside en ser la que producen la aoría de los generadores, cuo principio de funcionaiento se io en el tea anterior. Por otra parte, según el teorea de Fourier, una tensión periódica de fora arbitraria es igual a la sua de una serie de tensiones sinusoidales de frecuencias últiplo de la fundaental. Por tanto su estudio siepre se puede reducir al caso de la corriente alterna. (t ), i (t ) φ i Figura Un generador de A conectado a un circuito forado por resistencias, condensadores bobinas produce una corriente igualente alterna, de la isa frecuencia que la tensión. Pero en general la tensión la corriente no alcanzan sus alores áios en el iso instante sino que están desfasadas en una cierta fracción de ciclo. a ecuación de la intensidad se puede escribir: i( t) cos( (3) a aplitud de la intensidad o alor áio es ; la constante de fase φ representa el retardo de la intensidad respecto del oltaje en unidades angulares. Un desfase negatio indicaría que la intensidad adelanta a la tensión. (t) φ i(t) Figura Tea 7 orriente alterna

2 Podeos representar los alores (t) e i(t) ediante el concepto de fasor. Supongaos un ector de ódulo que gira en sentido antihorario con elocidad angular (fasor). Su proección sobre el eje es el iso alor instantáneo (t) de la ecuación (). Del iso odo, un fasor de aplitud que gira con la isa elocidad angular pero retardado un ángulo φ (figura ) representa la intensidad: su proección sobre el eje nos da justaente la ecuación (3). Ejeplo : Deostrar que el alor edio de cos o de cos ( φ) para uno o arios ciclos es ½. En prier lugar ha que tener en cuenta que cos cos ( φ) toan eactaente los isos alores en un ciclo copleto, por lo que su alor edio debe ser idéntico. Por otra parte, coo sen es igual a cos( π/) tabién se erifica que: sen cos ( cos (6). alores eficaces En alterna el alor edio de la tensión de la corriente a lo largo de un ciclo es cero a que toan sucesiaente alores de igual agnitud pero de signo contrario. Esto no significa que su efecto sea el iso que tendría una tensión o una corriente nula. Por ejeplo, la disipación de energía en una resistencia por efecto Joule es independiente del sentido en que circula la intensidad. Para tener en cuenta este hecho se proedia a enudo el cuadrado de los alores instantáneos se toa la raíz cuadrada. El resultado es el alor eficaz de la agnitud correspondiente (o alor rs en inglés). Este es el alor que dan los oltíetros aperíetros de A ientras que en un osciloscopio leeos noralente el alor áio de la tensión. ógicaente, los alores eficaces son enores que las aplitudes o alores áios respectios. Puesto que aría coo cos, cua edia en un ciclo ale ½, se deduce que el alor eficaz de la tensión es: alculando el proedio de la identidad trigonoétrica sen cos resulta: sen cos sen cos cos cos ½ (7) Por tanto, el alor eficaz de la tensión o la corriente será igual al correspondiente alor áio diidido por la raíz de. 3. oportaiento de una resistencia en corriente alterna El circuito ás siple en A está forado por un generador una resistencia. cos ef (4) Del iso odo, teniendo en cuenta que la constante de fase no influe en el alor edio de cos ( φ), el alor eficaz de la intensidad será: ef i (5) Figura 3 Aplicando a esta alla la segunda regla de Kirchhoff se tiene 0, donde es la caída de tensión instantánea en la resistencia el potencial en bornes del generador; o sea: Tea 7 orriente alterna

3 cos (8) Según la le de Oh, la corriente que circula en cada instante por la resistencia es: i cos cos (9) Es decir, la corriente áia está relacionada con la tensión áia por la isa le de Oh que los alores instantáneos: (0) Por su parte, los alores instantáneos arían abos según la función cos, por lo que e i alcanzan sus alores áios al iso tiepo: están en fase. En un diagraa de fasores las flechas que los representan serían colineales. oo i es función del tiepo la potencia que se disipa en la resistencia tabién lo es: P t) i cos ( () Proediando los alores de P durante un ciclo copleto teniendo en cuenta las ecuaciones 7 5 resulta: P cos ef () Dicho de otro odo, una corriente alterna de aplitud produce en la resistencia el iso calentaiento que produciría una corriente continua de intensidad ef. 4. ondensadores en circuitos de A El segundo eleento de circuito a tener en cuenta en corriente alterna es el condensador. Para coprender sus propiedades considereos el circuito de la figura 4, forado por el generador, que proporciona una tensión en sus bornes cos, un condensador de capacidad una resistencia que supondreos de 0 Ω por el oento. Figura 4 Al aplicar la segunda regla de Kirchhoff al circuito resulta 0, donde es la caída de potencial instantánea en el condensador; es decir: cos (3) De la definición de capacidad, Q/ se deduce la carga del condensador en un instante cualquiera: Q cos (4) Deriando esta ecuación se obtiene la corriente, a que i dq/dt : i sen sen (5) Así eos la relación que eiste entre intensidad oltaje áios: (6) a agnitud se denoina reactancia capacitia o sipleente capacitancia. Tiene unidades de resistencia juega un papel siilar a ésta en la le de Oh (cociente entre tensión e intensidad, oposición al paso de la corriente). Pero, a diferencia de la resistencia, no es una constante sino que depende de la frecuencia alterna. Para un oltaje deterinado, al auentar la frecuencia la intensidad tabién lo hace, a que disinue la capacitancia. nersaente cuando 0, la corriente deja de circular, lo cual es lógico a que nos acercaos a la condición de corriente continua, donde los condensadores son aislantes en régien estacionario. Tea 7 orriente alterna 3

4 a ecuación 6 es foralente idéntica a la le de Oh, pero debe tenerse en cuenta que no se cuple para los alores instantáneos del oltaje la tensión sino para sus aplitudes; las ecuaciones 3 5 uestran que e no se alcanzan en el iso oento sino que están desfasados. Por ejeplo, para t 0 la tensión es áia la intensidad ale cero. Teniendo en cuenta que cos( π/) es igual a sen la ecuación 5 se puede escribir: i sen cos( π ) (7) Es decir, la intensidad adelanta en un cuarto de ciclo a la tensión en un condensador. a constante de fase ale φ π/ (figura 5). di i sen t dt (9) as ecuaciones de este tipo tienen una solución i(t) i tr (t) i A (t) copuesta de un térino transitorio otro estacionario. El transitorio es siilar al que se estudió en el tea 3 para la carga descarga del condensador; tiende a cero eponencialente con una constante de tiepo τ. Nosotros sólo estaos interesados en el térino estacionario, que es la respuesta oscilante del circuito a la tensión sinusoidal aplicada. Tiene la fora general de la ecuación 3, i cos( φ). Sustituendo i su deriada en (9) resulta: sen( cos( sen (0) as funciones trigonoétricas se desarrollan recordando que: cos( π/) π/ cos sen( sen cosφ cos senφ cos( cos cosφ sen sen φ Sustituendo agrupando los térinos en sen cos resulta: (t ), i (t ) i ( cosφ sen φ )sen ( sen φ cosφ)cos 0 () π/ Figura 5 Si adeás del condensador ha una resistencia conectada en serie al generador la ecuación de la alla es 0. Sustituendo la caída de potencial en cada eleento por su alor esto da lugar a: Q i cos (8) as ariables Q e i están relacionadas a que i dq/dt. Así, deriando la ecuación 8 quedará sólo en función de la intensidad: a única anera de que esta igualdad se cupla para todo t es que los dos coeficientes sean cero. El del térino en cos da: sen φ cosφ 0 tgφ () Es decir, el desfase es negatio la intensidad sigue adelantando a la tensión pero en enos de ¼ de ciclo. Tiende a este alor cuando 0 o a frecuencias u bajas; por el contrario, φ tiende a cero ( el condensador no produce ningún efecto) si es ucho aor que o si. Tea 7 orriente alterna 4

5 El coeficiente del térino en sen de la ecuación, igualado a cero conduce a: cosφ sen φ tgφ cosφ (3) Sustituendo tgφ por su alor según la ecuación teniendo en cuenta la identidad trigonoétrica /cos φ tg φ : (4) Finalente, el cociente entre los alores áios del oltaje la intensidad resulta: (5) Este cociente se denoina ipedancia tiene unidades de resistencia. Pero la ecuación 5 indica que no es la sua directa de resistencia capacitancia; recuerda ás bien la coposición de dos ectores perpendiculares según el teorea de Pitágoras. Tabién la ecuación puede interpretarse ectorialente: el ángulo de fase sería el que fora la resultante con. El esquea es el de la figura 6, donde se representa la resistencia en el eje la reactancia en el sentido negatio del eje. tg φ Ejeplo : Un filtro es un circuito cua función es atenuar o eliinar deterinadas frecuencias de una señal copleja, que puede considerarse sua de una tensión de continua tensiones alternas de uchas frecuencias distintas. El filtro ás sencillo es un circuito alientado con la señal de entrada in en el que se toa coo salida la tensión en la resistencia (filtro pasa-alta) o en el condensador (pasa-baja). alcular la función de transferencia o cociente entre la tensión de salida, out, la de entrada para un frecuencia. a ipedancia del circuito la intensidad iene dada por la ecuación (5): in /. Para el filtro pasa-alta, la salida es la tensión en la resistencia, out in in Diidiendo por in sustituendo por su alor teneos: F( ) out in Esta función nos uestra que cuando, F (el circuito deja pasar las frecuencias altas). Sin ebargo F tiende a cero ( por tanto out tabién) a frecuencias bajas: éstas son filtradas. En un filtro pasa-baja se toa la salida en el condensador. Es decir, out in in Diidiendo por in teneos la función de transferencia: Figura 6 F( ) out in / Tea 7 orriente alterna 5

6 Ahora son las frecuencias altas las que resultan filtradas ientras que F cuando 0 (las bajas pasan ). os alores de deterinan el alor de a partir del cual la señal se atenúa en el factor deseado. Tabién pueden diseñarse filtros ás coplejos para eliinar una banda de frecuencias ás o enos estrecha según la aplicación a que se destinen. Así coprobaos que la intensidad se retrasa un cuarto de ciclo respecto a la tensión en la autoinducción, coo se uestra en la figura 7. π/ 5. nductores en circuitos de A Analizareos ahora el coportaiento de un inductor conectado a una tensión alterna cos. a fuerza electrootriz autoinducida en la bobina es di/dt la segunda regla de Kirchhoff establece para este circuito siple: (t ), i (t ) cos cos( π/) i di dt di dt cos 0 (6) π/ Despejando di e integrando se obtiene la intensidad en función del tiepo: i dt sen sen cos (7) Figura 7 Supongaos ahora que se conecta una resistencia en serie con la autoinducción. as aplitudes de la tensión la corriente están relacionadas por: (8) es la reactancia inductia, tabién llaada inductancia; coo la resistencia, tiene unidades de ohios representa la oposición que ejerce la fe autoinducida en la bobina al paso de la corriente alterna. Al contrario que la capacitancia, auenta con la frecuencia se hace cero en corriente continua ( 0), donde las bobinas se coportan coo conductores. De nueo encontraos una ecuación que es sólo foralente igual a la le de Oh, a que es el cociente entre los alores áios del oltaje la corriente, no entre sus alores instantáneos, que an desfasados. a ecuación 7 se puede transforar a la función coseno: i sen cos( π ) (9) Figura 8 a ecuación de la alla, 0, queda coo sigue al hacer eplícitos los alores de, : di i cos (30) dt a solución estacionaria de esta ecuación, que es en todo siilar a la del circuito, es tabién de la fora i cos( φ). Tea 7 orriente alterna 6

7 Sustituendo i su deriada en (30) podríaos hacer un desarrollo trigonoétrico coo el de la sección anterior. Pero es ás directo utilizar el concepto de fasor. onsidereos en prier lugar la tensión en la resistencia en la autoinducción: De este triángulo (figura 9) se deduce la constante de fase: φ tg (34) i cos( di sen( dt cos( φ ) π (3) Y el teorea de Pitágoras nos da la ipedancia del circuito : (35) Por tanto la tensión en la resistencia se puede representar por un fasor de aplitud la tensión en la autoinducción por otro, de aplitud, adelantado 90º respecto al priero. En cuanto al oltaje del generador le asociaos un fasor de aplitud, donde es la ipedancia del conjunto, cuo alor quereos deterinar. Su proección sobre el eje es el alor instantáneo de, que oscila con un adelanto φ respecto de ( de la intensidad): ; cos (3) φ Figura 9 Ejeplo 3: Se desea deterinar la autoinducción de una bobina, para lo cual se conecta en serie a una resistencia de 00 Ω el conjunto se alienta con un generador de alterna de frecuencia f 00 Hz. Después se ide con un osciloscopio la tensión total, 4,8 la caída de potencial en la resistencia, 9,6. uánto ale? alculaos priero la ipedancia del conjunto, /. a intensidad se deduce de la tensión en la resistencia: 54, Ω Teniendo en cuenta la ecuación (35), la reactancia de la bobina es: 7, 3 Ω Por últio, coo, la autoinducción será: πf 0,0934 H 93,4 H os alores instantáneos de las tensiones están relacionados por la ecuación: (33) oo estos alores son las coponentes de los fasores respectios, éstos últios deben cuplir la isa relación; es decir, es la sua ectorial de. os tres ectores giran en bloque con elocidad angular definen siepre el iso triángulo rectángulo, que adeás es seejante al forado por los lados,. 6. ircuitos en serie Un circuito general en corriente alterna está forado por generadores, resistencias, condensadores autoinducciones conectados entre sí forando una o arias allas. Tea 7 orriente alterna 7

8 Eiste una teoría, foralente idéntica a la desarrollada para corriente continua, que utiliza ariables coplejas para describir los oltajes, intensidades e ipedancias. Una ez copletados los cálculos de acuerdo a las reglas de los núeros coplejos, cada agnitud física se obtiene de la parte real de la ariable copleja correspondiente. adelantando a en 90º cuando > o bien retrasándose 90º cuando el térino capacitio es aor que el inductio (figura ). φ Figura 0 Aquí sólo aos a considerar los circuitos forados por una resistencia, un condensador una autoinducción conectados en serie a un generador, epleando el concepto de fasor para su análisis. a ecuación de la alla establece que en cada instante la tensión total es la sua las caídas de potencial en los tres eleentos: (36) Ya heos isto en la sección anterior cuál es la aplitud fase de,, así coo su representación por fasores. En cuanto a la tensión en el condensador, sabeos que Q/ que dq i dt, por lo que idt sen( cos( dt cos( φ π ) (37) Por tanto podeos representar por un fasor de aplitud retrasado 90º respecto de ( de la intensidad). Así pues, lo representaos en dirección opuesta a. a sua ectorial tendrá aplitud, Figura a tensión total es la proección del fasor, sua ectorial de los fasores,. Su aplitud es fora un ángulo φ con. El triángulo rectángulo de catetos e hipotenusa es seejante al triángulo de ipedancias, de catetos e hipotenusa, que es la ipedancia total del circuito. Esto es así porque todas las aplitudes son el producto de la intensidad áia por la correspondiente resistencia. ale: φ Figura De aquí deducios que el ángulo de fase tg φ (38) Tabién eos que las reactancias se restan el resultado se sua cuadráticaente con la resistencia: ( ) ( ) (39) Tea 7 orriente alterna 8

9 Ejeplo 4: Un circuito con 50 Ω, 0 H µf está conectado en serie a un generador de tensión 0 frecuencia angular 500 s. alcular su ipedancia, la constante de fase la intensidad. Escribir tabién la caída de potencial instantánea en cada eleento. alculaos priero las reactancias inductia capacitia: Ω 00Ω a ipedancia del circuito será: 50 (50 00), Ω a constante de fase se obtiene sin ás que sustituir alores en (38): / : tg φ 50 φ 45º a intensidad áia es el cociente de 0, 0,047 A 47, A Teniendo en cuenta que el circuito es capacitio (φ < 0), la intensidad la tensión en la resistencia irán adelantados 45º respecto al oltaje. Por lo tanto, suponiendo que la tensión total sigue la ecuación (t) cos, cos( π t 4 ) ; 7,07 a tensión en la bobina adelanta en 90º a la intensidad (en 35º 3π/4 a la total). En el condensador la caída de potencial se retrasa 90º respecto a la intensidad; es decir, π/4 con respecto a. En resuen: cos( cos( 3π 4 π 4 ) ) ; ;,36 9,43 Adiértase que. Sin ebargo los alores instantáneos cuplen esta condición para cualquier t. esonancia a corriente que circula por un circuito en serie depende de la frecuencia de la tensión alterna aplicada por el generador. a intensidad áia o la eficaz está relacionada con el correspondiente oltaje con la ipedancia del circuito por ef ; ef (40) Pero la ipedancia es función de la frecuencia. Si ésta es baja doina el térino capacitio si es alta, el inductio. Si las dos reactancias son iguales, se cancelan la ipedancia es ínia: (4) a condición anterior hace que la corriente sea áia e igual a /. Se erifica a la frecuencia de resonancia, 0 : 0 0 (4) 0 De la ecuación 38 se deduce que a la frecuencia de resonancia la constante de fase ale cero por tanto la intensidad está en fase con el oltaje aplicado. Adeás,. 7. Potencia en corriente alterna Al estudiar los circuitos de corriente continua ios que la potencia entregada por una batería es el producto de la intensidad por el oltaje en sus terinales. En un circuito de A, la potencia instantánea tabién debe ser el producto (t) i(t), P( t) ( t) i( t) cos cos( φ) (43) Tea 7 orriente alterna 9

10 Pero lo que interesa conocer generalente es la potencia edia sobre uno o arios ciclos. Para calcularla sustituios cos( φ) por (cos cosφ sen senφ): P( t) (cos cosφ sen cos senφ) (44) Sabeos que sen cos ½ sen que el alor edio de esta función es cero, a que oscila dos eces en cada ciclo de la corriente. Y recordando que, según la ecuación (7), el alor edio de cos es ½ podeos concluir que la potencia edia entregada al circuito es: ef P cosφ ef ef cosφ cosφ (45) El térino cosφ se denoina factor de potencia. Su presencia en la ecuación anterior indica que la potencia disipada en dos circuitos puede ser distinta aunque tengan la isa ipedancia, a que tabién influe qué parte de ella es resistia cuál reactia. Para una isa la potencia es áia si 0 (condición de resonancia) nula si no ha resistencia (cosφ 0). Es decir, no se pierde energía en un condensador o un inductor ideal. Podeos coprobar que toda la energía se pierde por efecto Joule en la resistencia; de la figura se desprende que cosφ /. Sustituendo en la ecuación (45): ef ef P cos φ ef (46) Ejeplo 5: a potencia suinistrada a un circuito depende de la frecuencia es áia en la resonancia. Epresar la potencia edia P coo función de 0. Según la ecuación (46) P depende de la frecuencia a traés del factor, que se puede escribir: ( ( ) ) ( ) ( Se ha tenido en cuenta que / es el cuadrado de la frecuencia de resonancia 0. Sustituendo esta epresión en la ecuación de la potencia resulta: P ef [ ( ) ] 0 0 ) Tea 7 orriente alterna 0