MATEMATICAS. Financieras. Julio A. Sarmiento S.

Transcripción

1 MATEMATICAS Financieras Julio A. Sarmiento S. Profesor - investigador Departamento de Administración Pontificia Universidad Javeriana Julio Alejandro Sarmiento Sabogal

2 Objetivos Conceptuales Entender el concepto de equivalencia. Diferenciar entre tasas nominales, efectivas y periodicas y saber para qué sirve cada una de ellas. Instrumentales Manejar los factores de conversión. Construir tablas de amortización. Manipular las tasas de.

3 INVERSION Cualquier sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro.

4 El Concepto de inversión sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. Tendencia al consumo inmediato Si se quiere que alguien no consuma algo, hay que recompensarla. Ejemplo: Si Usted tiene el dinero para comprar un carro hoy, guardaría ese dinero debajo del colchón para adquirirlo dentro de un año?

5 El Concepto de inversión sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. No solamente se evalúan los recursos monetarios, también se deben tener en cuenta los demás recursos DESEABLES y ESCASOS. Un problema: La valoración de los activos.

6 El Concepto de inversión sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. El tiempo es el elemento principal de la matemática : El valor del dinero como recurso tiene sentido UNICAMENTE cuando este se usa por un periodo de tiempo.

7 El Concepto de inversión sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro En cualquier inversión, existe el riesgo de no recibir parte o toda la inversión y los beneficios esperados.

8 El Concepto de inversión sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro Implica que además de recibir la inversión, debe recibir algún recurso adicional. Beneficio = Recuperación de la inversión + Ingreso Intereses adicional

9 Estudiando los Beneficios... La tasa de Interés: La tasa de es la utilidad (rentabilidad) medida en términos porcentuales del rendimiento de un capital determinado

10 Estudiando los Beneficios... De cuánto deben ser estos beneficios o intereses? Cuánto es lo mínimo que debo cobrar para no perder? Los beneficios deberán cubrir: 1. La pérdida del poder adquisitivo. (Inflación) 2. El riesgo de perder una parte o todo el dinero. 3. El sacrificio de no consumir ahora (componente real)

11 Estudiando los Beneficios... Análisis de los componentes de la tasa de. La inflación: Medida del aumento del nivel general de precios a través de la canasta familiar. En Colombia se utiliza el IPC para cálculo la inflación. Esta medida se basa en la medición de la canasta familiar en diferentes ciudades. Esta canasta familiar esta compuesta por diferentes grupos de gasto y para cada uno de los estratos socio-económicos

12 Estudiando los Beneficios... Análisis de los componentes de la tasa de. La inflación: Componentes de la canasta familiar en Colombia Grupos de gasto: Alimentos Cultura y Diversión Educación Gastos varios Transporte Salud Vestuario Vivienda Ciudades: Santafé de Bogotá Neiva Medellín Cali Pasto Cartagena Barranquilla Bucaramanga Cúcuta Manizales Montería Pereira Villavicencio Cobertura Socio-económica Alta Media Baja

13 Estudiando los Beneficios... El UPAC y la UVR En la práctica, la utilización de este componente es mucho más popular de lo que se podría pensar. De hecho, el desaparecido UPAC y la reciente UVR nacen del problema de la gran variabilidad de la inflación, la cual no permitía hacer préstamos de largo plazo. Por lo tanto, en 1972 se creó la corrección monetaria, que debería ser igual al componente inflacionario.

14 Estudiando los Beneficios... El componente real Aunque se ha generalizado la suposición de que este componente oscila entre el 3% y el 4% a nivel mundial, este depende de varios factores: Las situaciones de liquidez o iliquidez del mercado. El tamaño de la economía del país. La capacidad de ahorro La variabilidad de la inflación.

15 Estudiando los Beneficios... La tasa real en Colombia Fuente:

16 Estudiando los Beneficios... Riesgo pais = Spread. Diferencia entre la tasa que paga un bono de la FED (USA) y un bono del gobierno colombiano (Bono Yankie) en la bolsa de Nueva York. Riesgo sector = Indicador sectorial. Calculado por la ANIF, para cada año según el comportamiento del mismo.

17 Estudiando los Beneficios... Únicamente cuando la tasa de pagada cubre estos tres componentes, el inversionista acepta el proyecto. Esta tasa a la cual el proyecto es aceptado, se le conoce cómo: Tasa de descuento (TD) Tasa de rentabilidad mínima aceptable (TREMA) Tasa de de oportunidad (TIO)

18 Estudiando los Beneficios... EN CONCLUSION 1 peso de hoy es equivalente (no igual) a 1+x pesos dentro de un período de tiempo. Esto se conoce como el concepto de equivalencia. La tasa de, sintetiza este concepto en un porcentaje que mínimo al cual se decide invertir. Ic = (1+i f ) x (1+i r ) x (1+i θ ) - 1 Donde: Ic: tasa de i f : componente de inflación i θ : Componente de riesgo i r : representa el componente real.

19 Estudiando los Beneficios... Las tasas de Descuento en Colombia (2003)

20 Un ejemplo... Le han solicitado un préstamo por $ para pagarlo en un mes. Qué tasa de cobraría Ud. por este préstamo? La T.D. es diferente para cada uno de los inversionistas y depende de muchos factores

21 Un ejemplo... $ Beneficios Recuperación de la inversión

22 Un ejemplo... $ $ Inflación $ Real $ Riesgo Beneficios Recuperación de la inversión

23 Un ejemplo... Cuál es la rentabilidad? rentabilidad Tasa = Ingresos = Inversión Intereses Inversión = = 2% 2%

24 Los términos Nombre común Matemática Ingresos Valor futuro Inversión Suma presente Utilidad ($) Intereses (I) Rentabilidad (%) Tasa de interes (i)

25 Las ecuaciones básicas Valor Futuro = Valor Actual * (1+Tasa de Interés) Tasa de Interés (i) = Intereses( I) Valor _ Actual( VA)

26 El diagrama de flujo de caja n ( )

27 Interés simple e La historia de un amigo i%=10% Diario Mi teoría i%=10% Diario La de mi amigo

28 Interés simple e La historia de un amigo... Los intereses de los 100 que NO pagó

29 Interés simple e Interés simple: Se cobran intereses únicamente sobre la suma inicial Mi teoría La de mi amigo i%=10% Diario Interés : Se cobran intereses sobre la suma inicial y sobre los intereses no pagados. i%=10% Diario

30 Los términos (2) Nombre común Matemática Ingresos Valor futuro Inversión Suma presente Utilidad ($) Intereses (I) Rentabilidad (%) Tasa de (i) Número de períodos Nper (n) Cuotas o pagos Cuotas o pagos

31 Los términos (2) LA CUOTA O PAGO Se tiene una cuota o pago cuando en lugar de pagar la totalidad de la inversión al finalizar el plazo, se entregan VARIAS sumas de dinero en diferentes periodos de tiempo. En EXCEL pago se entiende como una suma uniforme que se entrega en todos y cada uno de los periodos en los que esta compuesta la inversión.

32 Las ecuaciones básicas Valor Futuro = Valor Actual * (1+Tasa de Interés) n Tasa de Interés (i) = Intereses( I) Valor _ Actual( VA)

33 LA CAPITALIZACION DE INTERESES... El caso del UPAC Saldo en sistema UPAC según % aumento en cuota Mes Tomado de Ignacio Vélez.

34 LA CAPITALIZACION DE INTERESES... El caso del UPAC Salario vs. Cuota en UPACs Salario vs. cuota en UPAC 25,000,000 20,000, ,000, ,000,000 5,000,000 - May-90 Ene-93 Oct-95 Jul-98 Abr -01 Ene-04 Oct-06 Jul-09

35 Factores de conversión Suma presente -> Suma Futura Suma Futura -> Suma Presente Suma presente -> Serie de cuotas uniformes Serie de cuotas uniformes -> Suma presente Suma Futura -> Serie de cuotas uniformes Serie de cuotas uniforme -> Suma Futura Cálculo de la tasa de Cálculo del número de Períodos Para insertar funciones en Excel...

36 Factores de conversión Factor Valor actual Valor Futuro Pagos Tasa Principales fórmulas de Excel VA : Períodos iguales y pagos uniformes. VNA : Períodos iguales y pagos no uniformes. VNA.NO.PER : Períodos de diferente longitud y pagos no uniformes. Tasa constante para todos los periodos, en todas las fórmulas VF : Períodos iguales y pagos uniformes. VF.PLAN : Períodos iguales, pagos no uniformes y tasas diferentes para cada periodo. PAGO : Calcula una serie de cuotas uniformes. PAGOPRIN : Calcula la parte correspondiente al abono a capital de una cuota uniforme, en un periodo dado. PAGOINT : Calcula la parte correspondiente a el pago de intereses de una cuota uniforme, en un periodo dado. TASA : Períodos iguales y pagos uniformes. TIR : Períodos iguales y pagos no uniformes.

37 Factores de conversión Explicación de las funciones en Excel... Fórmula que se desea aplicar Área de variables necesarias para el cálculo de la función. Area de explicación de la variable en uso Resultado obtenido Área de explicación de la Función

38 Tablas de Amortización Describen el plan de pagos (comportamiento mensual de un crédito, en términos del valor adeudado, la cuota cancelada, y su distribución entre abonos a capital e intereses. DOS FORMAS DE DEFINIR EL PAGO DE CREDITOS Se decide el monto de la CUOTA o PAGO Se decide el monto del Abono a Capital

39 Tablas de Amortización Cuando se decide el monto de la CUOTA o PAGO PERIODO SALDO INICIAL 0 1 Es igual al saldo final del periodo anterior INTERESE S Es igual al Saldo Inicial por la tasa de periódica ABONO A CAPITAL Es igual a la Cuota menos los Intereses CUOTA SALDO FINAL Es el cálculo de una cuota uniforme al monto prestado Es igual al Saldo Inicial menos el Abono a Capital 0.03 PERIODO SALDO INTERESE ABONO A CUOTA SALDO FINAL INICIAL S CAPITAL 0 10,000, ,000, , ,621 1,004,621 9,295, ,295, , ,759 1,004,621 8,569, ,569, , ,532 1,004,621 7,822, ,822, , ,958 1,004,621 7,052, ,052, , ,057 1,004,621 6,259, ,259, , ,849 1,004,621 5,442, ,442, , ,354 1,004,621 4,600, ,600, , ,595 1,004,621 3,734, ,734, , ,593 1,004,621 2,841, ,841,682 85, ,370 1,004,621 1,922, ,922,312 57, ,952 1,004, , ,360 29, ,360 1,004,621 (0)

40 Tablas de Amortización Se decide el monto del Abono a Capital SALDO INICIAL 0 1 Es igual al saldo final del periodo anterior PERIODO INTERESE S Es igual al Saldo Inicial por la tasa de periódica ABONO A CAPITAL Es igual al monto del préstamo dividido por el número de periodos CUOTA SALDO FINAL Es la suma de los Intereses mas el Abono a Capital Es igual al Saldo Inicial menos el Abono a Capital 0.03 PERIODO SALDO INTERESE ABONO A CUOTA SALDO FINAL INICIAL S CAPITAL 0 10,000, ,000, , ,333 1,133,333 9,166, ,166, , ,333 1,108,333 8,333, ,333, , ,333 1,083,333 7,500, ,500, , ,333 1,058,333 6,666, ,666, , ,333 1,033,333 5,833, ,833, , ,333 1,008,333 5,000, ,000, , , ,333 4,166, ,166, , , ,333 3,333, ,333, , , ,333 2,500, ,500,000 75, , ,333 1,666, ,666,667 50, , , , ,333 25, , ,333 0

41 Tasas equivalentes Se puede observar cómo las tasas de se estipulan para un periodo de tiempo como por ejemplo meses, trimestres semestres o años, adicionalmente se determina el momento en el que se pagan los intereses dentro del periodo, es decir, los intereses se pueden pagar de forma anticipada o vencida. Siguiendo la idea del concepto de equivalencia, se puede determinar relaciones entre las tasas para: Convertir tasas anticipadas a tasas vencidas. Convertir tasas de un tipo de periodo a otro, por ejemplo de meses a semestres. Comparar tasas anticipadas con tasas vencidas Comparar tasas de diferentes períodos.

42 VA Matemática Interés anticipado e vencido Los intereses se pueden pagar al comienzo o al final del periodo, aunque internacionalmente no es muy comun que se paguen de la primera forma, en Colombia, se usan continuamente los dos formatos. El anticipado se ocasiona cuando los intereses se pagan al comienzo del periodo. I VA VA El vencido se ocasiona con el pago de intereses al final del periodo. I VA

43 Interés anticipado e vencido Un ejemplo... A alguna empresa le acaban de pagar una factura por $ con un cheque postfechado a un mes, como la empresa necesita urgentemente el dinero, decide recurrir a los servicios de un prestamista que entre sus actividades tiene el cambio de cheques postfechados. El prestamista, gustosamente cambia el cheque y le entrega a Agricol $ , pues cobró los intereses (5%) por adelantado.

44 Interés anticipado e vencido El diagrama de flujo de caja del prestamista... 0 $ $

45 Interés anticipado e vencido Calculando la tasa de... i% = I VA = =5.26% Observe que el cobro anticipado de intereses ocasiona un aumento de 0.26% en la tasa. En conclusión una tasa de 5% anticipado es equivalente a un 5.26% vencido.

46 Interés anticipado e vencido iv ia = 1 ia En este caso iv = iv = 5.26% ia iv = 1+ iv

47 INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: La diferencia entre las tasas efectivas y nominales, surge cuando se pacta una tasa de para un periodo de tiempo determinado (Ej. Años) pero los intereses se liquidan en lapsos de tiempo mas cortos (ej. Meses). La tasa de nominal se ocasiona cuando los periodos de pago de intereses son fracciones del periodo para el cual se ha pactado la tasa. Las tasas de efectivas son el reconocimiento a la capitalización de intereses que ocasiona una tasa de nominal. Ud. quiere invertir $ , por lo cual llama a un asesor de su entidad, para que le proponga opciones para colocar su dinero en esta entidad, quien le ofrece dos opciones:

48 INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: Un ejemplo... Ud. quiere invertir $ , por lo cual llama a un asesor de su entidad, para que le proponga opciones para colocar su dinero en esta entidad, quien le ofrece dos opciones: OPCION 1: Invertir los $ en un CDT a un año, con una tasa del 24.63% anual, en el cual que le paga intereses cada trimestre vencido OPCION 2: Invertir los $ en un CDT a un año con una tasa del 24.14% anual, que le paga el intereses cada mes vencido.

49 INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: OPCION 1: Invertir los $ en un CDT a un año, con una tasa del 24.63% anual, en el cual que le paga intereses cada trimestre vencido 24.63% 4 = 6.16%* = i = 24.63% anual (Tasa de vencida)

50 INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: OPCION 2: Invertir los $ en un CDT a un año con una tasa del 24.14% anual, que le paga el intereses cada mes vencido ** 24,14% 24%

51 INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: OPCION 1: DESARROLLO VF = *( ) VF = *( ) VF = *( )

52 INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: Cálculo de la tasa de... OPCION 1: DESARROLLO i i = ef I VA i = i 1 + nom 1 n = n ,00 i=27% 24.63% = 4 = n 27% OPCION 2: = % = 27%

53 INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: En resumen.. Tres tipos de tasas: Nominal: Es una tasa pactada para un período, pero los rendimientos (intereses) se pagan en períodos menores al pactado en la tasa %N.A.T.V. Efectiva: Es una tasa a la cual se llega capitalizando los intereses pagados antes de que se culmine el período pactado para la tasa nominal. 27% E.A. Periódica: Es la tasa pactada para un periodo. Con ella se calculan los flujos de caja. 6.1% Trimestral vencido.

54 INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: OPCION 1: DESARROLLO 24.63% NOMINAL ANUAL TRIMESTRE VENCIDO Advierte que los periodos de pago de intereses son menores que el período en el que se pactó la tasa de Indica el periodo al cual fue pactada la tasa de Se refiere a los períodos de pago de intereses Muestra si la forma de pago es anticipada o vencida

55 INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: En resumen... Efectiva Tasa.nominal n* 1 ( 1+ ) n 1 i ef n i 1 + nom 1 n Int.efectivo Nominal vencida i nom n [ i per * n] Periódica iv ia = 1+ i ) i V ( v ia = ( 1 ia ) Anticipada Vencida NUNCA divida una tasa Efectiva NUNCA Multiplique una tasa de nominal SIEMPRE que multiplique una tasa, el resultado será una nominal SIEMPRE que divida una tasa nominal el resultado será una tasa periódica NUNCA divida una tasa periódica. Si requiere hacerlo, suponga que esta es una efectiva.

56 INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: La utilidad de los efectivos... Períodica TV Efectiva La tasa efectiva es un puente que permite cambiar tasas de un período a otro MV SV AA TA

57 INTERÉS NOMINAL, INTERÉS EFECTIVO: La utilidad de los efectivos... n=4 24,63% NATV 27,00% E. A. n = 12 n = 2 n = 6 n = 1 24,14% NAMV 25,39% NASV 24,38% NABV 27,00% NAAV

58 Menú Principal: Manejo de Calculadora Hewlet Packard Calcula factores de conversión a partir de otros. Basado en flujos uniformes FIN COM SUMA CALEN RESOL TEXTO Menú para Finanzas N %IA VA PAGO VF OTRO VDT CONVI FCAJ BONO DEPRC Convierte Tasas equivalentes de efectivas a nominales y viceversa P/AÑO INIC FINAL AMRT EFECT CONT Siempre debe estar en: 1 PGOS/AÑO: MODO FINAL Sirve para introducir flujos de caja no uniformes y hallar TIR, VPN o VFN %NOM %EFE P Debe cargarse: No. de periodos

59 Manejo de Calculadora Hewlet Packard Flujo de caja inicial Flujo de caja Input Input con el número de veces que se repite Tenga en cuenta que unos son positivos y otros negativos. Para ello utilice la tecla +/- luego de ingresar el número. Luego de cargar los datos revise lo que escribió con las teclas Para hallar TIR, VPN, VFN y otro tipo de cálculos se usa la opción CALC. CALC TOTAL %TIR %I VAN SNU VFN Es la tasa de descuento Es el VPN Es el Valor Futuro Neto Input! Recuerde: periodos La tecla Exit lo devuelve al menú anterior y, la tecla color rosa llamada Clear Data + Input borra los anteriores resultados y los flujos de caja (para éstos se pide autorización especial de borrar listas, Sí o No.)

60 Bibliografía Recomendada VELEZ, Ignacio. Decisiones de Inversión, enfocado a la valoración de empresas. 2da Edición, CEJA GARCIA, Jaime. Matemáticas Financieras, con ecuaciones de diferencia finita. Pearson SERRANO, Javier. Matemáticas Financieras y evaluación de proyectos. Alfaomega HERNANDEZ, Abraham. Matemáticas Financieras, teoria y practica. 2da Edición, Ecafsa White et all. Ingeniería económica. 2da Edición. LIMUSA WILEY