Cuadernos de Administración ISSN: Pontificia Universidad Javeriana Colombia

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1 Cuaderos de Admiistració ISSN: Potificia Uiversidad Javeriaa Colombia Varela, Rodrigo La decisió de iversió y sus complejidades. Ua crítica al artículo ``Metodología para el cálculo de la tasa itera de retoro o poderada de alterativas co flujos o covecioales Cuaderos de Admiistració, vol. 16, úm. 26, julio-diciembre, 2003, pp Potificia Uiversidad Javeriaa Bogóta, Colombia Dispoible e: Cómo citar el artículo Número completo Más iformació del artículo Págia de la revista e redalyc.org Sistema de Iformació Cietífica Red de Revistas Cietíficas de América Latia, el Caribe, España y Portugal Proyecto académico si fies de lucro, desarrollado bajo la iiciativa de acceso abierto

2 LA DECISIÓN DE INVERSIÓN Y SUS COMPLEJIDADES LA DECISIÓN DE INVERSIONES Y SUS COMPLEJIDADES UNA CRÍTICA AL ARTICULO DE JULIO SARMIENTO METODOLOGÍA PARA EL CÁLCULO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO NO PONDERADA DE ALTERNATIVAS CON FLUJOS NO CONVENCIONALES Rodrigo Varela * * Ph.D. e igeiería química y refiamieto de petróleos de Colorado School of Mies, Magíster e igeiería, igeiero químico de la Uiversidad del Valle. Profesor ivestigador, Uiversidad ICESI. Director Cetro de Desarrollo del Espíritu Empresarial (CDEE) y del Grupo de Ivestigació Espíritu Empresarial y Desarrollo PYME. Se recibió el y se aprobó el Correo electróico: Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (26): , julio-diciembre de

3 RODRIGO VARELA Itroducció E el artículo Metodologías para el cálculo de la tasa itera de retoro poderada de alterativas co flujos o covecioales, publicado e u úmero aterior de esta revista, se platearo alguos coceptos que, a mi juicio, o so precisos y por ello deseo volver a aalizar alguos aspectos básicos del proceso de aálisis ecoómico y fiaciero de ua iversió. Todo proceso de aálisis de iversió implica la evaluació de varias alterativas, co el propósito de seleccioar la óptima, e el caso de las mutuamete excluyetes o la mejor combiació e los casos de alterativas idepedietes o complemetarias. E todos los casos se requiere dos aálisis: el idividual o de factibilidad y el icremetal o de optimalidad. E ambos es ecesario estar seguros de que, por u lado, los proyectos dispoe de los recursos ecesarios para su ejecució y, por el otro, de que la iversió de los recursos sea productiva desde el puto de vista de garatizar la recuperació de la iversió y ua productividad del capital superior a la tasa míima de retoro el iversioista (i*). A lo largo de los años se ha desarrollado diversos métodos y criterios de aálisis y, e muchos casos, sobre ellos se ha geerado opiioes e muchos casos divergetes. Dóde está las divergecias básicas? 1. Divergecias básicas de los diversos métodos de aálisis E primer lugar, e creer que los supuestos de la tasa de retoro descotada de los flujos de caja (coocida tambié como tasa itera de retoro) y del valor presete eto (VPN) so diferetes. Para aclarar esto hay que mirar las ecuacioes básicas de defiició. La fució geérica del VPN es: VPN Dode: (j, 0) FCTN j = j (1) (1+i) j=0 FCTN j = flujo de caja totalmete eto e el período j i = tasa de descueto Para el cálculo específico de factibilidad de u proyecto usado VPN se usa la tasa míima de retoro aceptable al iversioista (i*) como tasa de descueto y por ello la fució se escribe: VPN (i*, 0) FCTN j = j (2) (1+i*) j=0 Para el cálculo de la tasa de retoro descotado de los flujos de caja el procedimieto es hallar el valor de la tasa de descueto (i) que origia que la fució geérica VPN sea igual a cero, es decir: FCTN j = 0 j=0 (1+i) j (3) 162 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (26): , julio-diciembre de 2003

4 LA DECISIÓN DE INVERSIÓN Y SUS COMPLEJIDADES Es muy claro que los supuestos de los dos procedimietos so exactamete iguales, tal y como las fórmulas matemáticas lo demuestra. Etoces, si para uo de ellos se dice que supoe la codició A, igual hay que supoer para el otro, y o hay lugar para supoer que la codició x aplica sólo a uo y o aplica al otro. E segudo lugar, e creer que la TRDFCN (TIR) y el VPN supoe la reiversió de los recursos geerados a la tasa de retoro o a la tasa míima de retoro segú el caso, y que ellas aplica sobre capital iicial. El pricipio básico de la igeiería ecoómica es que los dieros ivertidos e el proyecto tiee que garatizar al iversioista u redimieto, pero que el proyecto o es resposable de lo que el iversioista haga o o co los dieros que el proyecto le etrega. El aálisis es sobre el proyecto de iversió y o sobre el cojuto proyectodueño. Como se idicará más adelate, para esta última situació se crearo los métodos co reiversió. Empecemos por mirar u caso muy secillo, y es el caso prestatario-prestamista. Si alguie me presta u diero y al fial del primer mes yo le pago sus itereses y le hago u aboo de capital, es obvio que al segudo mes los itereses será sobre el saldo que quedó vigete al fial del primer y que a mí como usuario de esos recursos o me preocupa e lo más míimo lo que el dueño del diero hizo durate el segudo mes co los recursos que yo le etregué al fial del primer mes. Ahora miremos u proyecto de iversió. Qué es lo que ocurre e éste? El iversioista le presta al ete proyecto uos recursos y le exige que le devuelva u capital y los itereses. Ua vez que el proyecto le devuelve los recursos al iversioista, es obvio tambié que el proyecto o tiee por qué preocuparse del uso que de dichos recursos hacer el iversioista. Veámoslo co u ejemplo umérico. Sea u proyecto que requiere ua iversió iicial e cero de $ = y geera $39.403,5 al fial de cada uo de sus seis años de operació Cuál es su retabilidad? La ecuació básica será: VP egresos = VP igresos = ,5 (P/A, i, 6) y al resolverlo se ecuetra i = 5% aual El Cuadro 1 muestra la situació del proyecto año a año. Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (26): , julio-diciembre de

5 RODRIGO VARELA Cuadro 1 Situació del proyecto año a año Año Itereses causados recibidos ($) Igresos de capital ($) Iversió amortizada ($) Iversió o amortizada ($) , , , , , , , , , , , , , , ,5 - Fuete: elaboració propia. E este detallado cuadro se ve que cada año el 5% aplicó sobre el capital o amortizado, que o se dice ada sobre lo que el iversioista hace co los recursos que recibe cada año y que efectivamete al fial del año 6 el iversioista ha recuperado su iversió y ha logrado el 5% aual sobre el capital o amortizado que había e el proyecto. Si el iversioista tomó los recursos y los multiplicó o los dilapidó eso es u uevo proyecto de cuyos resultados, el proyecto origial o puede asumir resposabilidades. El VPN a ua tasa de 3% sería: VPN (3%,0) =39.403,5 (P/A;3,6) = $ Cuáles so etoces los sigificados de estos úmeros: E el caso de la tasa de retoro descotada de los flujos de caja etos (TIR) sería: los flujos positivos de $39.403,5 geerados durate cada uo de los 6 años de operació so capaces de recuperar los $ ivertidos e cero y geerar ua retabilidad del 5% cada año sobre el capital o amortizado. E el caso del VPN sería: los flujos positivos de $39.403,5 geerados durate cada uo de los 6 años de operacioes so capaces de recuperar los $ ivertidos e cero, geerar ua retabilidad del 3% aual sobre el capital o amortizado y dejar u excedete (utilidad ecoómica) de $ e cero. Espero que esta explicació ilustre claramete que i el VPN, i la TRDFCN (TIR) implica reiversió, i geera datos de retabilidad sobre capital iicial. E tercer lugar, e creer que los procesos de comparació etre dos o más proyectos se puede hacer co los datos idividuales de cada proyecto y que o hay ecesidad de recurrir al aálisis icremetal. 164 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (26): , julio-diciembre de 2003

6 LA DECISIÓN DE INVERSIÓN Y SUS COMPLEJIDADES Ésta es la causa de que alguos autores diga que la TRDFCN (TIR) y el VPN o da iguales decisioes y que sus resultados so icosistetes. Los coceptos de aálisis icremetal o margial o de optimalidad so bie coocidos, y e múltiples artículos y textos se ha tratado e detalle y se ha demostrado que todo aálisis de optimalidad etre alterativas excluyetes requiere u aálisis icremetal, y que cuado este se hace, o hay lugar a discrepacias o a icosistecias e las decisioes. Erróeamete muchos aalistas sugiere que el mejor proyecto es el A, si teer e cueta que se está hablado de porcetajes, los cuales so cifras relativas; que se está hablado de dos proyectos co iversioes y flujos diferetes, y que, por lo tato, la comparació o se puede hacer directamete, pues se viola pricipios de la aritmética básica. Qué hacer etoces? Realizar el aálisis icremetal para ver si se justifica o o pasar del proyecto de meor iversió al de mayor iversió, esto es: Veámoslo co u ejemplo secillo: Sea las dos iversioes que se idica a cotiuació co ua tasa míima de retoro del 20%: TIR B-A = 22,6% aual Por ser la TIR icremetal superior al 20%, que es la míima, se cocluye que es viable la iversió adicioal y que, por lo tato, B es mejor que A. Si alguie erróeamete hubiera seleccioado A usado sólo los datos idividuales, el error o hubiera surgido de los supuestos de la TRDFCN (TIR), sio de u error de procedimieto y de u error aritmético del aalista. Si se calcula las tasas de retoro de cada uo de los proyectos, los resultados será: TIR A = 36% aual TIR B = 31,7% aual Qué pasa co VPN? VPN es ua cifra absoluta e cuya defiició está ivolucrada la tasa míima de retoro (i*). VPN A,20%,0 = 1, VPN B,20%,0 = 1, VPN B-A,20%,0 = 0, Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (26): , julio-diciembre de

7 RODRIGO VARELA Como se ve por el aálisis icremetal, la iversió (B-A) es factible y, por lo tato, se escoge B. Es posible demostrar que: VPN B-A = VPN B VPN A (4) Y que si VPN B-A > 0, es porque VPN B > VPN A y el mejor proyecto sería B. Y que si VPN B-A < 0, es porque VPN B < VPN A y el mejor proyecto sería A. La facilidad del aálisis icremetal co VPN es maifiesta y da la sesació de que o se ecesitara, pero la realidad es que las características de la ecuació 4 lo facilita. De uevo, como se ve o hay discrepacias etre TRDFCN (TIR) y VPN. E cuarto lugar, e o distiguir el propósito de los criterios de decisió y buscar que u criterio de productividad de capital icluya coceptos de dispoibilidad de recursos. Como ya se dijo, ua de las codicioes de factibilidad de todo proyecto es cotar co los recursos (fiacieros, técicos, humaos, físicos, iformáticos, etc.) que ecesite. Si esto o es así, el proyecto o se puede realizar, y ocurre co gra frecuecia a muchas persoas y etidades que ecuetra que sus limitacioes fiacieras les impide realizar egocios muy bueos. Los idicadores ecoómicos sólo trata de cotestar u aspecto: so los producidos del proyecto suficietes o o para recuperar las iversioes realizadas y dar u redimieto superior a la tasa míima de retoro de acuerdo co las codicioes de riesgo previstas? Por ello criticar a la TRDFCN (TIR) o al VPN o a la tasa de crecimieto del patrimoio, porque o aaliza si la orgaizació tiee o o recursos para hacer u proyecto, es claramete u despropósito. Los dos aálisis, el ecoómico, etedido como productividad del capital ivertido, y el fiaciero, etedido como dispoibilidad de recursos, so igualmete importates; pero cada uo tiee sus herramietas y procedimietos. 2. Criterios co reiversió A raíz de las iquietudes que se formula sobre el maejo de los recursos totales del iversioista, se ha desarrollado, desde hace muchos años, los criterios co reiversió, e los cuales como su ombre lo idica se parte del pricipio de que los recursos que el proyecto le etrega al iversioista este último los reivierte e el mercado de sus oportuidades. Es claro e estos criterios que ya el sistema e aálisis o es el proyecto de iversió, sio el cojuto proyecto-iversioista, y que más que determiar la retabilidad del proyecto, se trata de determiar la retabilidad de los recursos que el iversioista maeja (etre ellos los que asiga y los que recibe de u proyecto e particular). Estos métodos parte del supuesto de que los excedetes se ivierte y la gra preguta es a qué tasa se ivierte? Es obvio que como supuesto es ecesario usar la tasa míima de retoro (i*), pues ésta represeta, por u lado, el ivel míimo de redimieto aceptable por el iversioista y, por 166 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (26): , julio-diciembre de 2003

8 LA DECISIÓN DE INVERSIÓN Y SUS COMPLEJIDADES el otro, el ivel promedio de las oportuidades que el iversioista tiee. Supoer que se reivierta los recursos de cada proyecto a tasas diferetes, sea ellas la tasa de retoro descotadas de los flujos de caja (TIR) o cualquier otra tasa, es otorgarle vetajas que o exista a alguos proyectos, y por ello los métodos que ha aparecido e la bibliografía especializada, que icluye a la tasa itera del retoro como tasa de reiversió, o sólo so métodos que adolece del pricipio de equidad e la comparació y por ello poco válidos, sio que tampoco so susceptibles de geerar u iterpretació útil y tampoco resuelve los problemas de decisió desde el pricipio de elimiar el aálisis icremetal e el caso de comparació de alterativas mutuamete excluyetes. Etre los métodos co reiversió, los dos más frecuetemete utilizados so el valor futuro de los flujos de caja (VFFC) y la tasa de crecimieto del patrimoio tambié deomiado tasa itera de retoro modificada. El VFFC mide la catidad de diero que el iversioista acumularía si reivirtiera e la tasa míima de retoro (i*) todos los dieros líquidos que tuviera, fuera ellos geerados por el proyecto o capital de iversió que o se utiliza e el proyecto. Este método parte de que el iversioista dispoe de capital suficiete e todos los períodos para realizar cualquiera de las alterativas si cotar co el apoyo que le pueda dar los igresos de u proyecto. Esto es, todas las alterativas de iversió so viables desde el puto de vista de la dispoibilidad fiaciera. El proceso de cálculo es: VFFC = FCN ( F / P, i*, ) + DNU ( F / P, i*, ) (5) X,, i* x, j x, j j= 0 j= 0 Dode DNU x,j = CD j IN x,j DNU X,j = dieros o utilizados por el proyecto X e el período j CD j = capital dispoible para el período j IN X,k = iversió realizada e el proyecto X e el período K Como elemeto de comparació se calcula el VFFC de la alterativa ula, que cosiste e o hacer proyecto alguo e ivertir todo el capital dispoible a la tasa míima de retoro (i*). Nula,, i* = j ( /, *, ) (6) j= 0 VFFC CD F P i El proyecto X será factible cuado: VFFC X,,i* > VFFC Nula,,i* Dado que todos los proyectos parte co los mismos recursos (CD j ), el mejor de todos es aquél (de los factibles) que tiee el mayor VFFC, porque al hacer el aálisis icremetal las iversioes se aularía y dejará excedete frete a cualquier otro. De uevo, o es que o se haga aálisis icremetal, es que éste por estar hecho de cifras absolutas se puede hacer por simple comparació aritmética para idetificar el mayor. Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (26): , julio-diciembre de

9 RODRIGO VARELA El otro método es la tasa de crecimieto del patrimoio o tasa itera de retoro modificada. Me parece más claro el primer ombre, pues mide la tasa de crecimieto de todos los recursos moetarios que el iversioista dedica al proyecto. La idea básica de este método es tomar todos los flujos positivos liberados por el proyecto, reivertirlos a la tasa míima de retoro (i*) hasta el fial de la vida del proyecto y luego calcular a qué tasa ha crecido el capital o patrimoio que el iversioista ha colocado e el proyecto. Su cálculo esta dado por la ecuació: IN x, j( F / P, v, ) = FCN x, j( F / P, i*, ) (7) j= 0 j= 0 Dode v = tasa de crecimieto del patrimoio. De uevo, e este método se acostumbra supoer que el proyecto es viable fiacieramete y que el iversioista dispoe de recursos para cubrir todas las iversioes que el proyecto requiere. Veamos los cálculos para los proyectos A y B ates euciado. Dado que el proyecto A requiere 3 milloes e la posició cero y el B, 4,5 milloes e la posició cero, es claro que para que sea viables fiacieramete el iversioista debe teer dispoible e cero (CD 0 ) 4,5 milloes. Etoces el cálculo de VFFC es: VFFC A,6,20% = 1,2 (F/A,20,6) + 1,2 + 1,5 (F/P,20,6) = 17, VFFC B,6,20% =1,65 (F/A,20,6) + 1,5 = 17, VFFC Nula,6,20% = 4,5 (F/P,20,6) = 13, Lo cual os recofirma la viabilidad ecoómica de los proyectos A y B y el hecho de que el proyecto B es el mejor, pues al hacer el aálisis icremetal deja 0, milloes de excedete e la posició 6. Para calcular las tasas de crecimieto del patrimoio se tiee: Para el proyecto A: 3,0 (F/P,v,6) = 1,20 (F/A, 20,6) + 1,2 v = 27,87% aual Para el proyecto B: 4,5 (F/P, v, 6) = 1,65 (F/A, 20,6) + 1,5 v = 25,86% aual Aquí de uevo muchos tratadistas de este tema iteta tomar decisió y cometería el error de decir que el mejor proyecto es el A, pues tiee la mayor tasa de crecimieto del patrimoio, pero esa decisió es errada por dos razoes: Porque aritméticamete los porcetajes o se puede comparar directamete, a o ser que las bases sea idéticas. Porque o se ha hecho aálisis icremetal. Cuál es el sigificado de estos úmeros? E el caso del proyecto A, diría que los 3 milloes ivertidos debería crecer a ua tasa 168 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (26): , julio-diciembre de 2003

10 LA DECISIÓN DE INVERSIÓN Y SUS COMPLEJIDADES aual de 27,8% aual para poder lograr el capital acumulado e 6, al reivertir los producidos (1,2 cada año y el 1,2 fial) al 20% aual, o sea 13, milloes. Cómo sería el aálisis icremetal? 1,5 (F/P, v,6) = 0,45 (F/A,20,6)+0,3 v = 21,26% aual Por lo tato, la iversió adicioal es viable y el proyecto B es mejor que el A. Espero, a través de este ejemplo secillo, dejar claro los siguietes aspectos: Cuado el aálisis se hace bie (idividual e icremetal), los cuatro criterios coicide y siempre lo hace; por lo tato, o hay discrepacias etre uo u otro. Los cuatro criterios aquí idicados geera sigificado ecoómico, y esto tiee iterpretació, ya que o so simples úmeros logrados por maipulació de factores. Los cuatro criterios le da a las alterativas equidad e el aálisis. Los criterios parte del supuesto de que los proyectos so viables fiacieramete, es decir, el iversioista tiee recursos para poder realizar cualquier proyecto. Aseveracioes del tipo: la tasa itera de retoro modificada se utiliza para elimiar las icosistecias de los supuestos de la TIR: tradicioal y e su lugar icluir las suposicioes del VPN o tiee susteto, pues como se demostró los supuestos de la TIR y del VPN so los mismos. Aseveracioes como el cálculo de la tasa itera de retoro modificada elimia los problemas que preseta la TIR cuado se hace ordeació de alterativas de iversió tampoco so sosteibles, como se demuestra co el ejemplo icluido. Si se pretede tomar decisioes co el aálisis idividual y se descooce los pricipios de aritmética, cualquier método falla; pero o por culpa del método, sio por culpa del aalista. No tiee setido práctico supoer que los recursos geerados por u proyecto se podrá reivertir a la tasa itera de retoro, pues ése o es el ivel estádar de oportuidad de iversió que el iversioista tiee. Los recursos dispoibles debe ivertirse a la tasa promedio de oportuidad del iversioista que es, e geeral, la que usa como tasa míima de retoro (i*). No tiee setido la aseveració que se obvie el problema que preseta la TIR al o teer e cueta los valores de las iversioes, pues la TIR tiee e cueta la iversió que se hace e cada proyecto y por el procedimieto icremetal tiee e cueta las diferecias de iversioes etre u proyecto y otro. No tiee setido preteder que el método de la tasa de retoro modificada facilita los procesos, pues si de tomar la Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (26): , julio-diciembre de

11 RODRIGO VARELA decisió se trata, se sabe hace mucho tiempo que el método más expedito, más fácil, más geeral y más fácilmete iterpretables es el VPN. 3. Aplicacioes e situacioes complejas Es claro que los ejemplos tratados e el umeral aterior correspode a proyectos muy simples. Qué pasa si los proyectos so más complejos, bie sea por existecia de varias iversioes e varios períodos, por duració diferetes de u proyecto a otro o por alteracioes de flujos positivos y egativos? La bibliografía ha demostrado varios hechos: Que el VPN fucioa bie e todos los casos mecioados. Que cuado hay alteracioes de flujos positivos y egativos, la tasa de retoro descotada de los flujos de caja (TIR) puede presetar problemas por geerar solucioes múltiples (tasas duales), que so difíciles de iterpretar directamete; pues es posible que icluya situacioes e que el proyecto cumple dos papeles: iversioistas y reiversioistas, y los criterios de decisió so diferetes. Que obviamete comparacioes directas de porcetajes, calculados como sea, so absurdas, pues las iversioes, los flujos o las duracioes so diferetes. Veamos u ejemplo secillo de tres iversioes mutuamete excluyetes co i* = 15%. 4. Aálisis idividual 4.1 Valores presetes etos VPN A,15,0 = 32(P/A, 15,5) + 50 (P/F, 15,5) 100 = 32, VPN B,15,6 = [40+5 (A/G, 15,7)] (P/A, 15,7) + 85 (P/F, 15,7)-200 = 49, VPN C,15,0 = 45(P/A, 15,9) + 13(P/F, 15,9) + [30-10(A/G,15,3)] (P/A,15,3)-250 = 16, Tasa de retoro descotada de los flujos de caja 100 = 32(P/A, i,5) + 50(P/F, i,5) i = 26,03% aual 200 = [40+5 (A/G, i,7)] (P/A, i,7) + 85(P/F, i,7) i = 21,35% aual 170 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (26): , julio-diciembre de 2003

12 LA DECISIÓN DE INVERSIÓN Y SUS COMPLEJIDADES 250 = 45(P/A, i,9) + 13(P/F, i,9) + [30-10(A/G, i,3)] (P/A,i,3) i = 16,99% aual 4.3 Valores futuros de flujos de caja VFFC A,15,9 =[32(F/A, 15,5) + 50] (F/P,15,4) +150(F/P,15,9) = 992, VFFC B,15,9 = {(40+5(A/G,15,7)](F/A,15,7) + 85} (F/P,15,2)+50(F/P,15,9) = 1.053, VFFC C,15,9 = [75-10(A/G,15,3)] (F/A,15,3) (F/P,15,6)+ 45(F/A,15,6)+13= 936, VFFC Nula,15,9 = 250(F/P,15,9) = 879, Tasa de crecimieto de patrimoio y ueve años, y comparar estas tasas directamete. 5. Aálisis icremetal 5.1 VPN de acuerdo co la ecuació 4 VPN B-A,15,0 = 49, , = 17, Es decir, que B es mejor que A. VPN C-B,15,0 = 16, , = -33, Esto es, B es mejor que C y la mejor opció es B. 5.2 Tasa de retoro descotada de los flujos de caja (TIR) 100(F/P,v,9) = [32(F/A,15,5)+50] (F/P,15,4) v = 18,62% aual 200(F/P,v,9) = {[40+5(A/G,15,7) (F/A,15,7) + 85} (F/P,15,2) v = 17,85% aual 250(F/P,v,9) = [ 75-10(A/G,15,3)] (F/A,15,3) (F/P,15,6) + 45(F/A,15,6)+13 v = 15,81% aual Como se ve, los tres proyectos so factibles por los cuatro criterios. Para decir cuál es el mejor hay ecesidad de hacer aálisis icremetal. Obsérvese que auque e la tasa de crecimieto del patrimoio se hizo el cálculo sobre el mismo horizote de tiempo, es decir, ueve años, o se puede tomar decisió directa pues las iversioes y los flujos so diferetes. Más absurdo sería, si se hubiera hecho el aálisis sobre cico, siete i = 18,45% aual Esto es, B es mejor que A. i< 0% aual Es decir, B es mejor que C y la mejor es B. Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (26): , julio-diciembre de

13 RODRIGO VARELA 5.3 VFFC Por aálisis icremetal. VFFC B-A,15,9 =1053, ,490699= 60, Esto es, B mejor que A. VFFC C-B,15,9 = 936, = - 116, Es decir, B mejor que C y B es la mejor. 5.4 Tasa de crecimieto del patrimoio (tasa itera de retoro modificada) E estos diagramas icremetales para la TIR y para la tasa de crecimieto del patrimoio aparece alteracioes e los flujos que geera todo tipo de dificultades coceptuales y prácticas más fáciles de maejar e el caso de la TIR, a o ser que uo para el caso de las tasas de crecimieto del patrimoio trabaje co los valores futuros modificados idividuales (valor futuro de los flujos de caja eto positivos a la tasa míima de retoro) y co ellos haga el icremetal, esto es: VFM A,15,9 = [32 (F/A,15,5) + 50] (F/P,15,4) = 464, VFM B,15,9 ={[ (A/G,15,7)] (F/A,15,7) + 85} (F/P,15,2) = 877, VFM C,15,9 = [75-10 (A/G,15,3)] (F/A,15,3) (F/P,15,6)+45(F/A,15,6)+13 = 936, Y los diagramas icremetales será: v = 17,57% aual Es decir, B es mejor que A. Ahora: 100 (F/P, v, 9) = 412, v = 7,45% Es decir, B es mejor que C y, por lo tato, la mejor es B. v = 17,05% aual Y B será mejor que A, 172 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (26): , julio-diciembre de 2003

14 LA DECISIÓN DE INVERSIÓN Y SUS COMPLEJIDADES Esto es, B es mejor que C y B es el mejor de todos. 50 (F/P, V, q) = 59, V = 1,92% aual Obsérvese de uevo que los cuatro métodos, au co las dificultades que pueda surgir e el aálisis icremetal tato e la TIR (dualidad) como e la tasa de crecimieto del patrimoio (tasa itera de retoro modificadas), coicide si éste se realiza. Coclusioes A lo largo del artículo se ha demostrado coceptual y uméricamete varios hechos: Los supuestos de la tasa de retoro descotada de los flujos de caja (TIR) y del valor presete eto so los mismos: retabilidad sobre capital o amortizado y o sobre el capital iicial o total, cosideració de todas las iversioes realizadas e el proyecto, elimiació de efectos de reiversió, aálisis del proyecto y o del cojuto proyecto-dueño y medició de productividad de capital. Todo aálisis de decisió de iversió por cualquier criterio que se haga requiere u aálisis icremetal, y sólo a través de éste se puede determiar cuál es la iversió óptima. Existe criterios que dice que dicho proceso es, por la aturaleza de los criterios, muy fácil y expedito y que casi por observació directa se puede decidir; pero eso o idica que o sea ecesario el proceso. E otros criterios el icremetal es mucho más egañoso y se requiere cálculos adicioales. Si embargo, los cuatro criterios aquí aalizados si se utiliza bie y se hace el aálisis icremetal so lo suficietemete cofiables para decir cuál es la mejor iversió, e el caso de iversioes mutuamete excluyetes. E los casos de idepedietes y complemetarios el VPN es el úico que garatiza el proceso de decisió. La aritmética básica hace muchos años idicó que las comparacioes etre cifras relativas porcetajes o se puede hacer e forma directa, a o ser que todas las bases sea iguales. Si uo de aalista se olvida de este pricipio aritmético, o le puede adjudicar la culpa a u criterio. E los criterios co reiversió es sao icluir, como la tasa a la cual se puede reivertir los recursos, la tasa míima de retoro (i*), pues es alcazable y da codicioes de igualdad a todos los proyectos. Los idicadores de productividad del capital mide lo aterior y o tiee razoes par evaluar la dispoibilidad de recursos para hacer u proyecto, que o es lo mismo. Que e el aálisis fiaciero se cosidere fuetes propias y exteras al proyecto está muy bie, pero eso o es parte del proceso ecoómico; Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (26): , julio-diciembre de

15 RODRIGO VARELA pues cuado el iversioista o retira uos recursos que el proyecto geera, es como si los hubiera ivertido y sobre ellos espera recibir retabilidad. La tasa crecimieto del patrimoio (tasa de retoro modificada) debe teer iterpretació ecoómica como cualquier otro idicador y o ser sólo u úmero que permita tomar decisioes. Referecias bibliográficas Varela Villegas, Rodrigo, Evaluació ecoómica de proyectos de iversió, Bogotá, Iberoamérica., Porque el VFFC y el VPN da las mismas decisioes de iversió, e: Revista Escuela de Admiistració de Negocios, EAN,. 32, septiembre-diciembre, Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 16 (26): , julio-diciembre de 2003

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