ELO211: Sistemas Digitales. Tomás Arredondo Vidal 1er Semestre 2011

Transcripción

1 ELO211: Sistemas Digitales Tomás rredondo Vidal 1er Semestre 2011 Este material está basado en: textos y material de apoyo: Contemporary Logic Design 1 st / 2 nd edition. Gaetano Borriello and Randy Katz. Prentice Hall, 1994, 2005 material del curso ELO211 del Prof. Leopoldo Silva material en el sitio 4: N-Cubos 1

2 4-N-Cubos 4.1 Representación y cubos de diferentes dimensiones 4.2 Generalizaciones sobre N-Cubos 4: N-Cubos 2

3 Representación Los n-cubos permiten visualizar las funciones booleanas en espacios n- dimensionales discretos. Las representaciones gráficas de los n- cubos están restringidas a valores de n pequeños (<10). 4: N-Cubos 3

4 Representación Se suelen dibujar las variables de la función en ejes coordenados ortogonales. Las variables pueden tomar solamente los valores "0" y "1", lo cual define un espacio discreto. 4: N-Cubos 4

5 N-Cubos Técnica visual usada para identificar cuando se puede minimizar usando el teorema de unificación (o fusión) 1-cubo (X) 0 1 X Y X distancia entre nodos adyacentes es siempre 1 2-cubo (X, Y) cubo Y Z (X, Y, Z) 000 X Y Z X W cubo (W, X, Y, Z) : N-Cubos 5

6 N-Cubos y mintérminos Un n-cubo tiene 2 n vértices. Cada vértice de un n-cubo tiene n adyacentes. Cada mintérmino corresponde a un vértice. 1-cubo (X) 0 1 X Y X distancia entre nodos adyacentes es siempre 1 2-cubo (X, Y) cubo Y Z (X, Y, Z) 000 X Y Z X W cubo (W, X, Y, Z) : N-Cubos 6

7 Tablas de verdad y N-Cubos Teorema de unificación (X Y + X Y = X) combina superficies del cubo en bordes mas largos Ejemplo: B F F = B + B B F dos superficies de dimensión 0 (nodos) se combinan en una superficie de dimensión 1 (línea) F = B + B = B ON-set = nodos solidos OFF-set = nodos vacios Don t Care-set = nodos con X varia en la superficie, B no varia. Esta superficie representa el literal B. 4: N-Cubos 7

8 3-Cubo Ejemplo: Lógica de carry para Sumador de 1 bit ('+)BCin B Cin Cout B C B(Cin'+Cin) (B+B')Cin El on-set esta completamente cubierto por la combinación (OR) de los tres sub-cubos de menor dimensionalidad. Cout = BCin+B+Cin 4: N-Cubos 8

9 3-Cubo Ejemplo: F(,B,C) = Σm(4,5,6,7) on-set es un cuadrado (un cubo de dimensión 2) representa una expresión de una variable (3 dimensiones 2 dimensiones) B C es verdad y no cambia, B y C varían Este sub-cubo representa el literal 4: N-Cubos 9

10 Sub-cubos de mas dimensiones ctividad: Que variable(s) representa este sub-cubo? cubo Y Z X W f(w, X, Y, Z)=? 4: N-Cubos 10

11 N-Cubos y mapas de Karnaugh Un mapa de Karnaugh es una mapa aplanado de un N-Cubo K-mapas están doblados (conectados) alrededor de sus bordes difícil dibujar y visualizar para mas de 4 dimensiones casi imposible para mas de 6 dimensiones lternativa a tabla de verdad para ayudar a visualizar minimizaciones (adyacencias) ayudan a aplicar el teorema de minimización elementos del on-set con solo un cambio de una variable son adyacentes (y se pueden agrupar para minimizar) B B B F Porque los minterms no son adyacentes en la tabla de verdad pero en las otras representaciones si? 4: N-Cubos 11

12 dyacencias en N-cubos y mapas de Karnaugh Conectados de la primera a la ultima columna Conectados de primera a ultima fila C B 010 B C : N-Cubos 12

13 Cubos y mapas de 4-variables: simplificación F(,B,C,D) = Σm(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15) ctividad: Dibujar el 4-Cubo correspondiente a los min-terms y simplificar 4: N-Cubos 13

14 Cubos y mapas de 4-variables: simplificación F(,B,C,D) = Σm(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15) C D B : N-Cubos 14

15 Mapas de 4-variables: simplificación F(,B,C,D) = Σm(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15) Hay que encontrar el menor numero de sub-cubos de mayor tamaño que cubran el ON-set (menos términos con el menor numero de variables por termino) C D B : N-Cubos 15

16 Mapas de 4-variables: simplificación F(,B,C,D) = Σm(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15) F = C + BD + B D C B D C D B : N-Cubos 16

17 4-N-Cubos 4.1 Representación y cubos de diferentes dimensiones 4.2 Generalizaciones sobre N-Cubos 4: N-Cubos 17

18 Generalizaciones sobre sub-cubos Se pueden efectuar k elecciones de k elementos de un grupo total de n Recordando que: n n k = n! k!( n k)! Un conjunto de k variables booleanas puede tomar 2 k valores posibles Los grupos posibles de k literales, cuando se tienen n variables (k n) (o sub-cubos con dimensión n-k incluidos en un n-cubo): n k n! k!( n k)! k 2 = 2 k 4: N-Cubos 18

19 Combinaciones de sub-cubos posibles Ejemplo: El numero de combinaciones para elegir sub-cubos con dimensión 2 de un 3-cubo (sin importar el orden) n = 3, k = 1 Una variable fija B C Una de muchas posibilidades! Numero de (n-k)-cubos o 2-cubos posibles son: = 3! 2 1! = 6,, B, B, C, C 4: N-Cubos 19

20 Generalizaciones Bloques pueden agruparse de un número de nodos que es una potencia de dos; es decir: 2, 4, 8, Ejemplo: los grupos de 1 literal cuando k=1, n= ! = 2 1!(4 1)! = 8 Los 3-cubos posibles son, B, C, D,, B, C, D 4: N-Cubos 20

21 Generalizaciones Ejemplo: los grupos de 2 literales (k=2), cuando n=4: ! = 2!(4 2 2)! = 24 Los 2-cubos posibles son: B, B, B, B, C, C, C, C,..., C D 4: N-Cubos 21

22 Generalizaciones sobre sub-cubos Mediante inducción puede plantearse: Cada mintérmino corresponde a un vértice. Un n-cubo tiene 2 n vértices (o nodos). Cada vértice de un n-cubo tiene n adyacentes. Si se fija una variable en un n-cubo, el resto de las (n-1) variables puede representarse por un cubo de (n-1) dimensiones. Si se fijan k de las n variables, las restantes pueden representarse en un cubo de (n-k) dimensiones. Un (n-k) cubo está contenido en el cubo de n dimensiones; se dice por esto que es un sub-cubo. 4: N-Cubos 22