Breve introducción al grupo de Rubik

Transcripción

1 Breve introducción al grupo de Rubik. Introducción El cubo de Rubik es un puzle secuencial en tres dimensiones caracterizado por 26 piezas: 6 centros, 2 aristas (numeradas de A a L) y 8 vértices (numerados de a 8), los cuales son capaces de girar y de cambiar de posición. En el presente texto utilizaremos la siguiente notación para el giro de caras; en el sentido de las agujas del reloj: Cara superior: U Cara inferior: D Cara izquierda: L Cara derecha: R Cara frontal: F Cara trasera: B Cara intermedia paralela a R: M Para un giro en el sentido contrario de las agujas del reloj, se adscribe una prima: R, U, El conjunto de todas las transformaciones que se pueden realizar sobre el cubo recibe el nombre G. Si ahora se define sobre este conjunto la operación de composición, caracterizada por las siguientes propiedades:,, i) (clausura) ii) = (asociatividad) iii) = = (elemento neutro) iv) = (elemento inverso) Lo que obtenemos es un grupo matemático, conocido como grupo de Rubik. Este grupo, no obstante, no cumple la propiedad conmutativa, por lo que no es abeliano. En concreto, es parcialmente conmutativo, ya que

2 v), = Lo cual ocurre con el giro de caras paralelas. Ahora bien, si tenemos además el conjunto de todas las combinaciones posibles de piezas B, es decir, el número de estados del cubo, es posible demostrar que existe una aplicación biyectiva entre ambos conjuntos, con la condición de tomar un valor de referencia. Lo usual en este caso es asignar la identidad a la posición definida como resuelta. Teorema : : : Es relativamente sencillo obtener el cardinal del conjunto B mediante teoría de grupos y combinatoria, y, debido al teorema, este es idéntico al cardinal de G. El argumento es el siguiente: Por una parte podemos combinar entre sí de cualquier forma todos los picos lo que da lugar a 8! posibilidades. Con las aristas pasa lo mismo, es decir, que podemos combinarlos como queramos lo que da lugar a 2! posibilidades, pero la permutación total de vértices y aristas debe de ser en total par lo que nos elimina la mitad de las posibilidades. Por otra parte, podemos rotar todos los vértices como queramos salvo uno sin cambiar nada más en el cubo. La orientación del último vértice vendrá determinada por la que tenga los otros siete y esto nos crea 3^7 posibilidades. Con las aristas pasa lo mismo, es decir, nos aparecen 2^ posibilidades más. Es decir, card = 8!2!3 2 = , Matrices de rotación Nuestro interés en esta asignatura sobre el grupo G consiste en caracterizar cada elemento mediante operadores. En concreto, emplearemos matrices de rotación de tres dimensiones. Como cada operación consiste en un giro de /2 de todas las piezas de esa cara, podemos emplear las siguientes matrices (en la base canónica):

3 =, =, =, = = = Estas matrices caracterizan cada giro por su aplicación sobre un elemento de esa cara. Si tenemos un cubo centrado en el origen, y de arista dos unidades, caracterizamos cada pieza mediante los vectores de posición, que en la posición resuelta tienen la forma: a) Centros: b) Aristas: =, =, =, = =, = =, =, =, = =, =, =, = =, =, =, = c) Vértices: =, =, =, =

4 =, =, =, = El conjunto de las matrices U, R, F y las generadas a partir de ellas, junto con la operación producto matricial, conforma también un grupo matemático, el cual tampoco es conmutativo, pues, en general:,, Estas matrices, junto con la identidad, sirven para representar operadores que se relacionan con los elementos de G. La actuación de estos operadores depende del vector al que se aplican, pues el elemento U modifica las piezas de la cara superior, pero claramente deja intactos aquellos de la cara inferior; así, tenemos: = matriz = identidad = matriz = matriz = identidad = matriz Etc. Además, una propiedad de estas matrices, que es evidente observando el giro de caras, es la siguiente: = = = Pues, tras un giro de 2, todas esas piezas vuelven a su estado original. Cabe mencionar que estas matrices no son autoadjuntas, pues teniendo coeficientes reales no son simetricas, aunque sí que son unitarias, ya que = =

5 Es importante el hecho de que sean unitarias para conservar la norma de los vectores. 3. Ciclos El grupo de Rubik es típicamente un grupo permutativo, ya que hemos observado que es posible permutar las piezas. Los ciclos son secuencias que, aplicadas un cierto número de veces, dejan el cubo intacto: = Posiblemente el ciclo más conocido es RUR U, que resulta ser el elemento identidad al repetirlo 6 veces: 6= Podemos entenderlo con las matrices de rotación. Para las piezas, por ejemplo: = = Donde hemos cancelado términos debido a que algunos movimientos se comportan como la identidad. Los ciclos de especial interés son los 2-ciclos y 3-ciclos. Los 2-ciclos permutan dos piezas entre sí, aunque siempre se presentan por pares, siendo imposible (por justificaciones de teoría de grupos) tener un único 2-ciclo. Una propiedad fundamental y evidente de los 2-ciclos es que dejan el cubo intacto al aplicarse dos veces: = Lo que refleja que los operadores asociados a 2-ciclos son además autoadjuntos. Un sencillo ejemplo es el par de 2-ciclos, que se define como el ciclo (2 3) (A D) (es decir, intercambia la arista A con la D y el vértice 2 con el 3), y que puede venir dado por la secuencia:

6 Por ejemplo, para el caso de : = 2 = = = = Un 3-ciclo, en cambio, permuta tres piezas, las tres o bien aristas, o bien vértices. Un ejemplo de 3-ciclo es (A D B), el cual puede generarse únicamente por movimiento de las caras superior y derecha: = 2 2 Una propiedad fundamental de los tres ciclos es la siguiente: = = Lo cual demuestra que estos operadores son adjuntos de su inverso. Por ejemplo, para la pieza A tenemos: Y para un vértice, por ejemplo : = = = No obstante, cabe enfatizar en que no es posible encontrar una expresión matricial para un operador actuando sobre una pieza cualquiera. 4. El problema de la orientación Podemos preguntarnos si existe otra aplicación biyectiva entre estos operadores y los elementos de G. la respuesta es negativa, ya que en ningún momento hemos tenido en cuenta la orientación de las piezas. Por ejemplo, el elemento: = 4 4

7 Devuelve a todas las piezas a su posición, pero claramente no es la identidad ya que desorienta las piezas. La orientación de una pieza depende de la forma en que es llevada a su nueva posición. Por ejemplo, la arista A puede pasar a la posición D haciendo U o bien FR, estando desorientada en el último caso. La regla para la orientación de aristas es la siguiente: i) Si ha rotado un número par de veces en las caras F, B su orientación es + ii) Si ha rotado un número impar de veces en las mismas, su orientación es La orientación de vértices es más complicada, ya que acepta tres orientaciones distintas. La regla es: i) Un giro en las caras U, D no cambia su orientación ii) Un giro en las caras L, R suma a su orientación iii) Un giro en las caras F, B resta a su orientación iv) Se considera bien orientado si su orientación es un múltiplo de 3 Con estas reglas podemos generalizar el uso de los operadores de rotación para poder definir correctamente los estados del cubo. Se podría decir que, mientras que hay 3 grados de libertad, hay 4 coordenadas generalizadas, con lo cual el sistema es claramente no holónomo. Para tener en cuenta la orientación, se puede generalizar los operadores anteriores incluyendo una dimensión más: Entonces, para aristas, el signo de determina su orientación. Para vértices, además, = determina la orientación correcta. Por ejemplo, tenemos: Con: = =, =

8 Si estas matrices siguen siendo unitarias, se podría hablar de una rotación en R. Daniel E. Borrajo Gutiérrez