3. Si xy + 5 = 4x, Cuánto vale y + 5 x? (a)5 (b)0 (c)20 (d)4 (e)no se puede determinar. , luego dividiendo entre x la igualdad inicial tenemos xy+5

Transcripción

1 1. El cubo de la gura tiene 7cm 3 de volumen. Una hormiga camina desde el punto A hasta el punto B siguiendo la ruta que se muestra en la gura. Cuántos centímetros recorrió la hormiga? (a)9 (b)10 (c)1 (d)15 (e)no se puede determinar La hormiga recorrió una distancia igual a 5 veces la longitud de cada arista. Como el volumen del cubo es de 7cm 3, cada arista mide 3cm, por lo tanto la hormiga recorrió 5 3 = 15cm. Respuesta correcta: (d). Mario es mayor que Zelda por 18 días, este año Mario celebró su cumpleaños en martes, En qué día celebrará su cumpleaños Zelda? (a)martes (b)miércoles (c)jueves (d)viernes (e)domingo Mario es mayor que Zelda por 18 semanas y dos días, así que el cumpleaños de Zelda será dos días después de un martes, o sea, un jueves. Respuesta correcta:(c) 3. Si xy + 5 = 4x, Cuánto vale y + 5 x? (a)5 (b)0 (c)0 (d)4 (e)no se puede determinar Tenemos que y + 5 x = xy+5 x, luego dividiendo entre x la igualdad inicial tenemos xy+5 x = 4, por lo tanto y + 5 x = 4: Respuesta correcta:(d) 4. En la ecuación a + 3b = 001, a y b son enteros. Cuál de los siguientes valores es imposible para a? (a)3 (b)45 (c)111 (d)1001 (e)001 Como 001 y 3b son múltiplos de 3, a también debe ser un múltiplo de 3. El único número que no lo es, es En los demás casos, a es múltiplo de 3 y podemos tomar b = 001 a 3, que es un entero. Respuesta correcta: (d) 1

2 5. Julio pegó 7 dados de manera que coincidieran los números de las caras pegadas. Cuántos puntos quedaron en total en la super cie? (a)95 (b)10 (c)105 (d)11 (e)16 Considerando los 6 dados exteriores antes de pegarlos, el total de puntos en sus super cies es 6( ) = 16. A esta cantidad hay que restarle la suma de los puntos en la super cie del dado que quedará al centro (cada uno de los lados de afuera se pega por el mismo número al dado central), que es = 1: Así, la cantidad de puntos que quedaron en la super cie es 16 1 = 105: Respuestas correcta: (c) 6. Lucero y David van al cine y entran en una sala que tiene 1 las de 13 asientos cada una, observan que varios asientos ya se han ocupado, Cuál es el máximo número de asientos ocupados que puede haber para asegurar que Lucero y David se pueden sentar juntos en la misma la? (a)71 (b)83 (c)154 (d)7 (e)78 Tenemos que tomar el peor de los casos, es decir el caso en el que Lucero y David no se puedan sentar juntos en alguna la, es fácil ver qué ocurre cuando alternadamente hay asientos ocupados y desocupados, si a cada asiento de una la le asignamos un número en orden 1,, 3,..., 13, y están ocupados todos los asientos impares, tendríamos 7 lugares ocupados, mientras que si ocupamos todos los asientos pares tendríamos 6 lugares ocupados. Entonces en el peor de los casos en cada la estarían ocupados todos los asientos pares por lo que tendría que haber 6 personas por la 6 1 = 7: Por lo tanto con solo 71 personas aseguramos que Lucero y David se podrán sentar juntos. Respuesta correcta: (a) 7. Si cortamos un rectángulo por la mitad y ponemos una pieza encima de la otra obtenemos un cuadrado cuya área es 144cm : Cuál es el perímetro del rectángulo con el que empezamos?

3 (a)4cm (b)30cm (c)48cm (d)60cm (e)7cm Si el área del cuadrado es 144cm entonces sus lados miden 1cm. Es fácil ver que dividimos el rectángulo grande en dos rectángulos pequeños iguales, el largo de estos es igual al lado del cuadrado, es decir 1cm:Por otra parte el ancho de los rectángulos pequeños mide la mitad del lado del cuadrado, es decir 6cm; por lo tanto el perímetro del rectángulo con el que empezamos es 1cm + 1cm + 1cm + 1cm + 6cm + 6cm = 60cm Respuesta correcta: (d) 8. En el triángulo ABC de la gura el segmento BH es una altura y los ángulos \CAD y \DAB miden lo mismo, el ángulo mayor entre AD y BH mide 4 veces lo que el \DAB, así como se ha marcado en la gura. Cuál es la medida del ángulo \CAB? (a)30 o (b)45 o (c)60 o (d)75 o (e)90 o Solución Por la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo tenemos que (180 4) = 180; + 90 = 4; 3 = 90 ; = 30 ; luego \CAB = = 60 : Respuesta correcta: (c) 9. En un curso se aplican 5 examenes. Todos tienen la misma puntuación máxima, pero la cali cación nal se obtiene como sigue: la cali cación del primer examen se promedia con la del segundo; el resultado se promedia con la cali cación del tercero; el resultado se promedia con la cali cación del cuarto examen y, nalmente, el resultado se promedia con la quinta cali cación. En qué porcentaje de la cali cación nal contribuye el tercer examen? 3

4 (a)10% (b)1:5% (c)0% (d)5% (e)depende de las cali caciones Haciendo el primer promedio: 1o + o ;el segundo: 1 o + o +3 o 1 o + o +3 o ;el tercero: 1 o + o +4 o +5 nalmente el cuarto promedio: o :Notemos que en el último promedio el 5 o examen equivale al 50% de la cali cación nal mientras que 1 o + o +3 o +4 o también es el 50%, de esto sale que el 4 o examen vale pues el 5% por lo que 1 o + o +3 o también vale 5%, de igual forma se obtiene que el 3 o equivale al 1:5% de la cali cación nal. Respuesta correcta (b) 10. Cuál es la suma de los dígitos de 111:::11 {z } 101? 014 (a)01 (b)016 (c)408 (d)403 (e)8056 Solución Tenemos que: 111:::11 {z } 101 = 111:::11 {z } ( ) = 111:::11 {z } luego la suma de los dígitos es = 408: Respuesta correcta: (c) + 111:::11 {z } 014 = 11 ::: {z } En un rectángulo de 611 se trazan las rectas que dividen a la mitad cada uno de los ángulos que están en los extremos de uno de los lados que mide 11, de forma que el lado opuesto queda dividido en tres partes. Cuáles son las longitudes de esas tres partes? 01 (a)5; 1; 5 (b); 7; (c)3; 5; 3 (d)4; 3; 4 (e)1; 9; 1 +3 o +4 o ;y 4

5 La gura queda de la siguiente forma: Como AF es bisectriz de \DAB que mide 90, entonces \DAF = 45 ; por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo tenemos que \DAF +\ADF +\DF A = 180; \DF A = 180 ; \DF A = 45. Como \DAF = \DF A = 45 entonces 4ADF es un triángulo isósceles con AD = DF = 6:Análogamente podemos llegar a que BC = CE = 6. Finalmente tenemos que DC = CE + DE; 11 = 6 + DE; DE = 5, análogamente F C = 5, luego CE = EF + F C; 6 = EF + 5; EF = 1, así que las longitudes de las tres partes son 5; 1; 5: Respuesta correcta: (a) 1. Se tiene una baraja que consta de cartas de varios colores distintos, en la baraja hay 5 cartas de cada color. Se reparten todas las cartas de la baraja entre 4 personas, Cuál es la probabilidad de que al menos a una persona le toquen a lo menos cartas del mismo color? (a)1 (b) 4 5 (c) 5 11 (d) 5 (e)no se puede determinar Como hay 5 cartas de un mismo color y se van a repartir todas a 4 personas, entonces al menos a una persona siempre le tocarán a lo menos dos cartas del mismo color (principio de las casillas), por lo tanto la probabilidad es 1. Respuesta correcta: (a ) 13. En la siguiente gura se tiene que CE = DE, además ]CAB = 50 o y ]BDE = 5 o. Cuánto mide ]CED? 5

6 (a)80 o (b)50 o (c)45 o (d)30 o (e)no se puede determinar. Tenemos que ]CAB es un ángulo central y que ]CDB es una ángulo inscrito en el mismo arco que ]CAB, por lo tanto ]CDB = ]CAB 50 o = = 5 o ; luego ]CDE = 50 o : Como CE = DE entonces 4CDE es isósceles con ]CDE = ]DCE = 50 o. Finalmente por la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo tenemos que ]CDE+]DCE+]CED = 180 o ; es decir 50 o + 50 o + ]CED = 180 o ; luego ]CED = 80 o : Respuesta correcta: (a) 14. Si 4 x = 9 y 9 y = 56, A qué es igual xy? (a)006 (b)48 (c)36 (d)10 (e)4 Como (4 x ) y = 4 xy = 9 y = 56 = 4 4, tenemos que xy = 4. Respuesta correcta: (e) 15. Se lanzan dos dados distintos uno azul y otro rojo. Cuál es la probabilidad de que la suma de las caras que quedan hacia arriba sea un número primo? (a) (b) 5 36 (c) 5 11 (d) 5 15 (e) 5 1 (Un número primo es aquel que tiene únicamente dos divisores positivos) Los números primos que podemos obtener como suma son ; 3; 5; 7 y 11, y las formas distintas de obtener cada número primo son 1; ; 4; 6 y respectivamente. Como los dados son distintos, no es lo mismo que 3 + 1, observemos que las formas de obtener por ejemplo 5 son 1 + 4; + 3; 3 + ; 4 + 1; es decir 4 formas. Así que el total de formas en las que obtenemos como suma un número primo son = 15, y como el total de resultados al lanzar los dados es 6 6 = 36 entonces la probabilidad es = 5 1 Respuesta correcta: (e) 6

7 16. Recordando que las tarántulas y los ratones tienen 8 y 4 patas respectivamente, si en un conjunto de tarántulas y ratones el cuádruple del número de cabezas más 1 es igual al número de patas en el conjunto. Cuántas tarántulas hay en el conjunto? (a) 3 (b) 1 (c) 1 (d) no se puede determinar (e) ninguno de los anteriores Los ratones tienen 4 patas y una cabeza, las tarántulas tienen 8 patas y una cabeza por lo tanto podemos plantear la siguiente ecuación: 4(x+y)+1 = 8x+4y, donde "x" es el número de tarántulas y "y" el número de ratones. Luego de la ecuación: 4x + 4y + 1 = 8x + 4y; 1 = 4x; x = 3 Por lo tanto hay 3 tarántulas en el conjunto. Respuesta correcta: (a) 17. En la gura se muestran dos hexágonos regulares. Los lados del hexágono grande miden el doble que los del hexágono pequeño. El hexágono pequeño tiene un área de 4cm : Cuál es el área del hexágono grande? (a)4cm (b)18cm (c)16cm (d)15cm (e)1cm Sean P y A el perímetro y el apotema del hexágono grande, y sean p y a el perímetro y el apotema del hexágono pequeño respectivamente. El área del hexágono pequeño es 4cm = pa : Como los lados del hexágono grande son el doble de los lados del pequeño entonces P = p; además A = a: Luego el área S del hexágono grande es S = P A = pa = 4pa = 4 4cm = 16cm. Respuesta correcta: (c) 18. Cuántos números de 5 dígitos abcde existen tales que a + b, b + c, c + d y d + e son todos números pares? (a)5 5 (b)5 4 (c) 5 5 (d)5 4 9 (e)otra respuesta Los números que cumplen esto son los que tienen todos sus dígitos pares o todos sus dígitos impares. Si contamos primero los que tienen sus dígitos impares hay que tomar en cuenta que tenemos cinco dígitos impares, 1, 3, 5, 7 y 9, por principio fundamental del conteo tenemos que a tiene 5 7

8 valores posibles e igualmente b, c, d y e, por lo que el total de números que hay en este caso es = 5 5 :Análogamente en el caso donde todos los dígitos son pares hay = (ya que los dígitos posibles son 0,, 4, 6 y 8, solo que en a no puede valer cero, entonces el conteo cambia a = ) Luego = 5 4 (5 + 4) = Por lo tanto el resultado es 5 4 9: Respuesta correcta: (d) 19. Cada uno de los lados del cuadrado que se muestra en la gura mide 4 cm. En su interior se dibujaron 5 rectángulos iguales. Cuál es el área de cada uno de esos rectángulos? (a)3cm (b)4cm (c)18cm (d)16cm (e)1cm Sea "x" y "y" el largo y ancho de los rectángulos respectivamente, expresando el lado del cuadrado en términos de "x" y "y" es fácil ver que x + (x y) + y + x = 4; 3x = 4; x = 8. Por otra parte también tenemos que y + x + x + y = 4; como x = 8 entonces y = 4 16, y = 4 luego el área de los rectángulos es 4 8 = 3 Respuesta correcta: (a) 0. Varios piratas se repartieron un cofre con monedas de oro de manera que cada uno le tocó la misma cantidad. Si hubiera habido cuatro piratas menos, a cada persona le habría tocado 10 monedas más. Si hubiera habido 50 monedas menos, a cada persona le hubieran tocado 5 monedas menos que en el reparto original. Cuántas monedas se repartieron en total? (a)80 (b)100 (c)10 (d)150 (e)50 Sea "x" la cantidad original de piratas y sea "y" la cantidad de monedas que le tocaron a cada pirata en el reparto original, observemos entonces que "xy" es el total de monedas que se repartieron en total. Si hubiera habido cuatro piratas menos, a cada persona le habría tocado 10 monedas más, es decir: 8

9 (x 4)(y + 10) = xy; xy + 10x 4y 40 = xy; 10x 4y = 40 Si hubiera habido 50 monedas menos, a cada persona le hubieran tocado 5 monedas menos que en el reparto original, es decir: x(y 5) = xy 50; xy 5x = xy 50; 5x = 50; x = 10 Por lo tanto originalmente había 10 piratas, luego sustituyendo en 10x 4y = 40; 100 4y = 40; 4y = 60; y = 15; luego a cada pirata le tocaron 15 monedas en el reparto original, por lo tanto había = 150 monedas. Respuesta correcta: (d) 1. Todos los ángulos interiores de un polígono convexo son menores que 108 o. El número de lados de ese polígono puede ser a lo más: (a)3 (b)4 (c)5 (d)6 (e)7 (Un polígono convexo es aquel que tiene todos sus ángulos menores que 180 o ) Observemos que si n es el número de lados de un polígono convexo, entonces la suma de sus ángulos interiores está dada por 180(n ):Como todos los ángulos son menores que 108 o, tenemos que 180(n ) < 108n, luego 7n < 360, de donde n < 5. Por lo tanto, a lo más el polígono puede tener 4 lados. Respuesta correcta: (b). Al nal de un día de ventas, Mariana y Ricardo juntaron el dinero que ganó cada uno y se lo repartieron en partes iguales. Haciendo esto, Ricardo perdió un 30% del dinero que había ganado. Qué porcentaje ganó Mariana? (a)0% (b)5% (c)30% (d)70% (e)75% Tomemos lo que Mariana vendió como un porcentaje de lo que Ricardo vendió, Ricardo perdió 30% por lo que le queda sólo 70% de lo que ganó, como se repartieron equitativamente la ganancias entonces Mariana al nal también quedo con un 70% de lo que ganó Ricardo. Por tanto como Mariana recibió 30% de lo que Ricardo vendió, entonces ella solo vendió 40% de lo que Ricardo. Finalmente es fácil notar que 30% son 3 4 de 40%, por lo que Mariana recibe un aumento del 75% de lo que vendió. Respuesta correcta: (e) 3. Una caja tiene 900 tarjetas numeradas del 100 al 999 (una con cada número). Francisco va a extraer de la caja algunas de las tarjetas y apuntará la suma de los dígitos de cada una (por ejemplo, si toma las tarjetas 09,833 y 911, apuntará 11, 14 y 11). Cuántas tarjetas debe tomar para poder garantizar que tomará tres cartas al menos con la misma suma de dígitos? 9

10 (a)51 (b)5 (c)53 (d)54 (e)55 Las posibles sumas de los dígitos son los números del 1 al 7; la suma 1 sólo se logra con el número 100, y la suma 7 sólo se logra con el número 999. Todas las demás sumas se logran con al menos dos números. Entonces sería posible que Francisco escogiera el 100, el999 y dos números de cada una de las otras 5 sumas y todavía no habría encontrado 3 números con la misma suma de dígitos; una tarjeta extra forzosamente repetiría suma. Respuesta correcta: (c) 4. En la gura se tiene que ]BAE = ]ADE, si ]ACE = 30 o y ]DAE = 5 o ; Cuánto mide ]BAD + ]EAC? (a)90 o (b)100 o (c)60 o (d)77:5 o (e)50 o Por la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo tenemos que ]DAE + ]CAE + ]ACE + ]ADE = 180 o, es decir 5 o + ]CAE + 30 o + ]ADE = 180, por lo tanto ]EAC + ]ADE = 15 o y como ]BAE = ]ADE, entonces ]EAC+]BAE = 15 o :Por otra parte ]BAE = ]DAE+ ]BAD; luego ]EAC + ]DAE + ]BAD = 15 o, pero como ]DAE = 5 o ;llegamos a que ]EAC+5 o +]BAD = 15 o y ]EAC+]BAD = 100 o Respuesta correcta: (b) 5. Dos lados de un triángulo acutángulo y la altura sobre el tercer lado tienen longitudes 1,13 y 15 (tal vez no en ese orden). Cuál es el área del triángulo? (a)168 (b)156 (c)80 (d)84 (e)no se puede saber 10

11 La altura debe tener la longitud más corta, 1. triángulo de la siguiente forma: Entonces tenemos el Luego por teorema de Pitágoras BH = 9 y HC = 5, entonces BC = 14 y el área del triángulo es BCAH = 114 = 84: Respuesta correcta: (d) 6. María y Luisa compitieron resolviendo una lista de 100 problemas. Algunos problemas no fueron por ninguna pero otros los resolvieron las dos. Por cada problema resuelto, la primera en resolverlo obtuvo 4 puntos y, en caso que lo hubieran resuelto las dos, la segunda obtuvo sólo un punto. Si cada una de ellas resolvió 60 problemas de la lista y entre las dos lograron 31 puntos, cuántos problemas resolvieron en común? (a)57 (b)56 (c)55 (d)54 (e)53 Sea k la cantidad de problemas que resolvieron en común, observemos que María resolvió 60 k = a problemas que Luisa no pudo resolver, pero también Luisa resolvió 60 k = a problemas que María no pudo resolver. Por cada uno de los k problemas que resolvieron las dos, acumulan 5 puntos, ya que una acumula 4 puntos y la otra 1 punto. Además por cada uno de los a problemas que María resolvió y Luisa no, María acumula 4 puntos. Pero también por cada uno de los a problemas que Luisa resolvió y María no, Luisa acumula 4 puntos. Como entre las dos tuvieron una puntuación de 31; podemos plantear la ecuación: 4a+4a+5k = 31. Pero además ya teníamos que a + k = 60. Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que a = 4 y k = 56, por lo tanto la cantidad de problemas que resolvieron en común son 56: Respuesta correcta:(b) 7. En la siguiente gura CD = p 18, EC = 3, ED = 3; AC = 9 p, CB = 9; 11

12 Cuál es la medida de ]CAB? (a)30 o (b)45 o (c)55 o (d)60 o (e)no se puede determinar Observemos que el CED es un triángulo rectángulo con hipotenusa CD ya que se cumple el teorema de Pitágoras. p = p = p 18 Pero además el CED es isósceles ya que EC = ED = 3 y por lo tanto \ECD = \EDC, por la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo \EDC = 180o \CED = 180o 90 o = 45 o Por otra parte CED ABC por criterio LAL ya que 3 9 = p 18 p 18 3 p = p p = EC CB ABC: = CD AC 3 p 18 = y el ángulo \ACB es común de CED y De la semejanza se tiene que \EDC = \CAB = 45 o Respuesta correcta: (b) 8. En la siguiente gura, Cuantos caminos distintos hay para ir del punto A al punto B, si solo se puede avanzar en las direcciones: &, #, % ;!? 1

13 (a)71 (b)83 (c)55 (d)53 (e)78 Contamos las formas en que podemos llegar a los puntos más próximos a "A", a cada punto podemos llegar por las direcciones opuestas a las que podemos avanzar. Por ejemplo las formas en que podemos llegar a "G" son llegar desde los puntos A, F y H, como solo podemos llegar de 1 forma a cada uno, entonces el total de caminos hasta G son = 3. Siguiendo el mismo procedimiento podemos saber cuántos caminos hay hasta "K", como podemos llegar desde "A"; "I"; "G" y "H" entonces los caminos hasta "K" son: = 7: Siguiendo el mismo procedimiento obtenemos el total de caminos desde "A" hasta "B", que son 55: 13

14 Respuesta correcta: (c) 9. En el bosque hay 0 duendes. Algunos son verdes, otros son amarillos y otros son morados. Se les hicieron 3 preguntas. Los verdes siempre dijeron la verdad, los morados siempre mintieron, y cada uno de los amarillos eligió entre mentir y decir la verdad al responder la primera pregunta y, a partir de ahí alternó entre verdad y mentira. La primera pregunta que se le hizo a cada uno fue Eres verde?, a lo que 17 de ellos respondieron "Si". La segunda pregunta fue Eres amarillo? a lo que 1 de ellos respondieron "Si". La tercera pregunta fue Eres morado? a lo que 8 respondieron "Si" Cuántos duendes son amarillos? a)7 (b)8 (c)9 (d)10 (e)11 Los duendes verdes y morados no respondieron "Si" a la tercera pregunta, ya que iría en contra de su naturaleza de siempre decir la verdad y siempre mentir respectivamente. Por lo tanto todos los duendes que respondieron "Si" a la tercera pregunta son duendes amarillos que empezaron mintiendo, es decir 8. Por otra parte los duendes que empezaron respondiendo la verdad no respondieron "Si" a la primera pregunta y además es claro que el resto (duendes morados, verdes y amarillos que empezaron mintiendo) respondieron "Si". Por lo tanto los duendes que empezaron respondiendo la verdad son 0 17 = 3. Luego el total de duendes amarillos son = 11 Respuesta correcta:(b) 30. Los vértices de un cubo se numeran del 1 al 8 de manera que el resultado de sumar los cuatro números de cada cara es el mismo para todas las caras. Se han colocado ya los números 1; 4 y 6 como se muestra en la gura. Qué número va en el vértice marcado con x? a) (b)3 (c)5 (d)7 (e)8 14

15 Sea S la suma en cada cara y de namos los vertices del cubo como se sigue: Como cada vértice es parte de 3 caras, podemos plantear la siguiente ecuación: 6S = 3b + 3c + 3a + 3d + 3x S = b + c + a + d + x + 11 = ::: + 8 = 36 S = 18 Luego observemos que d = S = 18, y d = 7: Por otra parte 4 + d + c + x = S; 11 + c + x = 18; c + x = 7: Análogamente a + x = 5: Entonces: c + x = 7; a + x = 5 c a = Luego los números que nos faltan por acomodar son, ; 3; 5 y 8; y los únicos cuya diferencia es son 5 y 3, luego c = 5 y a = 3 Finalmente c + x = 7; 5 + x = 7; luego x = : Respuesta correcta:(a) 15