1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.

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1 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Introduccón. En general, cuando se va a estudar un determnado colectvo, se suele tener un gran conjunto de datos y números que nos nforman sobre el msmo y que suelen ser, por sí msmos, poco transparentes y/o nos proporconan una nformacón que no somos capaces de nterpretar. Es necesaro, por tanto, poder dgerrlas y procesarlas de una manera fácl y asequble. En este sentdo, la Estadístca va a ser el conjunto de procedmentos y métodos que, entre otras cosas, nos van a soluconar este problema. La palabra estadístca se utlza, prncpalmente, bajo dos sgnfcados dstntos: a) Como coleccón de datos numércos (se sobreentende que están presentados de manera ordenada y sstemátca): Esta prmera acepcón, que tene orígenes hstórcos y es el sgnfcado más coloqual, se encuentra bastante arragada en la socedad actual ya que nos encontramos nmersos en un mundo de cfras tales como datos de seres sobre el PIB (producto nteror bruto), tasa de nflacón, cotzacones bursátles,... que llenan los medos de comuncacón y, por tanto, mpregnan nuestras referencas personales. b) Como cenca: Además de facltar los métodos precsos para la obtencón de la nformacón numérca de base, proporcona métodos objetvos de análss de dcha nformacón y, en general, métodos de nvestgacón aplcables al resto de las cencas. Esta rrupcón de la Estadístca en el ámbto de las cencas en general, es un fenómeno relatvamente recente pero de enorme vgor. En este sentdo, la cenca Estadístca estuda el comportamento de los fenómenos de masa y pretende obtener las regulardades que se dan en dchos fenómenos para, además de descrbrlos, utlzarlos con fnes de predccón. Así, la Estadístca tene como prmer objetvo ndcar los métodos de recogda y agrupamento de datos, como segundo el análss de dchos datos en funcón de los propóstos de la nvestgacón y, por últmo, su utlzacón con fnes de predccón en algunas crcunstancas. La Estadístca matemátca nacó en el s. XVII y se forma al msmo tempo que la Teoría de la Probabldad. Su desarrollo se debe a matemátcos como Gauss, Gosset, Tchebyschev, Markov, Fsher, Kolmogorov, Pearson, Neyman y otros. 1

2 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva 1.. Poblacón: elementos y caracteres. Toda nvestgacón estadístca va a estar referda a un conjunto o coleccón de elementos (personas, cosas,...) que tenen una o varas característcas en común y que lo defnen. Dcho conjunto recbe el nombre de poblacón y cada uno de los elementos que la forman se llama elemento o ndvduo. Hay que tener en cuenta dos cosas: la poblacón puede ser fnta o nfnta, dependendo del número de ndvduos que la formen, y dchos elementos pueden tener exstenca real (coche, casa,...) o referrse a algo más abstracto (ntervalo de tempo, votos,...). Tambén es muy mportante tener perfectamente ben defnda la poblacón, de forma que en todo momento tengamos claro s un ndvduo forma parte de la msma o no. Los elementos de la poblacón presentan certas propedades o característcas que se conocen con el nombre de caracteres (altura; color de pelo,...) que a su vez se subdvden o presentan dferentes modaldades (185 cm, 05 cm; rubo, moreno,...). Los caracteres se pueden clasfcar en: (A) Caracteres cuanttatvos o varables: son aquellos cuyas modaldades son medbles, es decr, se pueden descrbr numércamente (peso, número de hermanos,...). Las modaldades son los dstntos valores que puede tomar la varable (65 kg, 80 kg, 91 kg,...;, 3, 4,...). A su vez hay dos tpos de varables estadístcas: a.1.) Varables dscretas: los valores que toma la varable son aslados, es decr, no tenen sentdo los valores ntermedos a dos cualesquera. Por ejemplo, la varable número de hermanos puede tomar los valores 0,1,,3,4, pero no tene sentdo que haya 7 hermanos. a..) Varables contnuas: la varable toma valores dentro de un ntervalo, por ejemplo, la varable puede tomar los valores 1 y pero tambén los valores 1'5, 1'01, 1'89874,...; en general, cualquer valor comprenddo entre 1 y : ntervalo [1,]. (B) Caracteres cualtatvos o atrbutos: son aquellos cuyas modaldades se referen a cualdades de los ndvduos, por lo que no son medbles, es decr, expresables numércamente (color de ojos, marcas de coches,...). Las modaldades venen descrtas por palabras (azules, marrones, negro,...; Opel, Seat,...). A su vez hay dos tpos de atrbutos: b.1.) Ordenables: Aquellas que tenen una ordenacón objetva. Por ejemplo: la graduacón mltar, el nvel de estudos, los meses del año, las calfcacones de una asgnatura (SB, NT, BI, SF, IN), b..) No ordenables: Aquellas que sólo admten una ordenacón alfabétca, pero nnguna ordenacón por su naturaleza. Por ejemplo: el color de pelo, el estado cvl,

3 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Podemos observar ahora otra dstncón fundamental entre varables y atrbutos: s los caracteres venen descrtos medante varables, los elementos de la poblacón se pueden ordenar de menor a mayor según los valores que toma la varable, es decr, exste una jerarquzacón natural de los elementos de la poblacón. En cambo, ésta no sempre es posble en los atrbutos. Ahora ben, normalmente en un estudo estadístco, no se puede trabajar con todos los elementos de la poblacón porque es muy costoso temporal o económcamente, por lo que se realza sobre un subconjunto de la msma. Este subconjunto puede ser una muestra, cuando se toma un determnado número de elementos de la poblacón sn que, en prncpo, tengan nada en común; o una subpoblacón, que es el subconjunto de la poblacón formado por los elementos de la msma que comparten una determnada característca (p.e. de los alumnos del centro la subpoblacón formada por los alumnos de 3º ESO, o la subpoblacón de los varones). Una vez selecconados los caracteres que van a ser objeto del estudo estadístco, se procede a observarlos en los elementos de la poblacón, subpoblacón o muestra. S se trata de una varable habrá que medr el valor numérco que toma en cada elemento y, s es un atrbuto, habrá que clasfcar a cada elemento en su modaldad correspondente. Así pues, las etapas de todo estudo estadístco son: 1. PLANIFICACIÓN. a) Defncón de OBJETIVOS. b) Defncón de la POBLACIÓN y/o MUESTRA. c) Defncón de las CARACTERÍSTICAS que se van a estudar. d) Descrpcón de los posbles DATOS que se pueden obtener.. EJECUCIÓN. a) Recoleccón de los datos. b) Organzacón de los datos. c) Descrpcón, análss e nterpretacón de los datos. 3. CONCLUSIÓN. Y, a su vez, podemos consderar dos fases: 1. Estadístca descrptva o deductva, que trata del recuento, ordenacón y clasfcacón de los datos obtendos por las observacones. Se construyen tablas y se representan gráfcos, se calculan parámetros estadístcos que caracterzan la dstrbucón, etc.. Estadístca nferencal o nductva, que establece prevsones y conclusones sobre una poblacón a partr de los resultados obtendos de una muestra. Se apoya fuertemente en el cálculo de probabldades. 3

4 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Ejercco. Indca s los sguentes caracteres son cualtatvos o cuanttatvos, y en caso de ser varables, s son dscretas o contnuas: Número de nacdos en un día. Grupo sanguíneo de una persona. Tempo que se necesta para resolver un problema. Número de preguntas de un examen. Temperatura de una persona. Partdo polítco votado en las últmas eleccones. Número de goles marcados por un jugador en una temporada Dstrbucón de frecuencas. Aunque hoy en día, s se realza un estudo estadístco mportante esta tarea la realza el ordenador, ya sea por medo de programas de estadístca específcos BMDP, SPSS, STATGRAFICS o ben utlzando herramentas nformátcas de propósto general como Bases de Datos u Hojas de Cálculo. En casos sencllos podemos realzarlo manualmente, utlzando dversas técncas para r anotando puntuacones: (A) La frecuenca absoluta de una modaldad x es el número de veces que aparece en el estudo dcho valor. La representaremos por n. Propedad. La suma de las frecuencas absolutas de todas las modaldades es el número total de elementos que tene la poblacón o muestra. Tene la ventaja de que sempre será un número natural, por lo que resulta muy cómoda para realzar cálculos, pero tene el nconvenente de que no podemos utlzarla para comparar, puesto que sus valores dependen del tamaño total de la poblacón o muestra y éste no aparece en ella. Además, s la utlzamos para hacer cálculos, debemos recordar que al fnal tenemos que dvdr por el número total de ndvduos. (B) La frecuenca relatva de una modaldad x es la proporcón o dvsón entre el número de veces que aparece dcho valor y el tamaño de la poblacón o muestra. La representaremos por se calcula: f n n =. Propedad. La suma de las frecuencas relatvas de todas las modaldades es 1. f y 4

5 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Tene la ventaja de que, cuando realzamos los cálculos, obtenemos el resultado deseado drectamente, aunque las operacones sean menos cómodas al ser con fraccones o decmales (es más recomendable, por exacttud, utlzar fraccones, sobre todo cuando no son decmales exactos). Tambén podemos hablar de frecuencas acumuladas, pero sempre y cuando estemos trabajando con una varable estadístca o un atrbuto ordenable. En otro caso no tene mucho sentdo el cálculo de estas frecuencas ya que vararían en el momento en que cambemos el orden de los datos. (C) La frecuenca absoluta acumulada de una modaldad absolutas de dcha modaldad y todas las anterores. La representaremos por x es la suma de las frecuencas N. (D) La frecuenca relatva de una modaldad modaldad y todas las anterores. La representaremos por x es la suma de las frecuencas relatvas de dcha F y se calcula: F N n = Tablas estadístcas. Representacones gráfcas. Las tablas estadístcas consttuyen una parte fundamental de la nvestgacón ya que en ellas aparecen reflejados claramente todos los datos obtendos en la msma y, por tanto, sumnstran toda la nformacón que se necesta para cubrr los objetvos persegudos con el estudo. Ahora ben, a veces es necesaro o convenente traducr la nformacón que nos proporcona una tabla estadístca en un gráfco con el fn de hacerla más patente. No obstante, las representacones gráfcas no deben consderarse como un medo defntvo para extraer conclusones, sno como un medo auxlar de la nvestgacón estadístca, que es fundamentalmente numérca, y ésto sempre que el mpacto vsual de la gráfca responda a la realdad, para lo cual debemos recurrr a sstemas geométrcos capaces de descrbr los datos de manera correcta. En general, las representacones gráfcas más utlzadas se basan en un sstema de ejes cartesanos donde se representan, en el eje de abscsas los valores que toma la varable y en el eje de ordenadas las frecuencas con que dchos valores se toman Tablas de tpo I. Corresponden a la stuacón en que estudamos una varable estadístca dscreta que toma un número pequeño de valores y, además, dspone de pocas observacones. En este caso no se debe pensar en una tabulacón en sentdo estrcto de los datos, sno más ben en una dsposcón ordenada de los msmos. No tene sentdo dsponerlos de forma gráfca. Ejemplo 1. Puntuacones de los 0 alumnos de una clase en un examen de Matemátcas: 0, 0, 1,,, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 9 5

6 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Tablas de tpo II. Dagramas de barras y sectores. Pctogramas. Se utlzan en stuacones en las que estudamos un atrbuto o una varable estadístca dscreta que toma pocos valores pero, sn embargo, hay muchas observacones. Ejemplo. Las notas en un examen de Matemátcas de los alumnos de 3º A ESO del Colego Vrgen de Graca de Granada (España) han sdo las sguentes: X n f 0 /30 / /30 5 5/30 1 1/30 6 6/ /30 7 7/ /30 8 8/ / /30 6 / / / / /30 5 5/ / / N F Ejemplo 3. Las marcas de los móvles de los membros de una famla son: Noka, Semens, Noka, Motorota, Noka, Semens X n Noka 3 3/6 Motorola 1 1/6 Semens /6 6 1 f Exsten dferentes tpos de gráfcos estadístcos. Algunos sólo se pueden utlzar con un tpo de caracter, pero otros se pueden utlzar ndependentemente de cómo sea el msmo. En cualquer caso, exste un tpo de representacón que se suele utlzar más con cada tpo de caracter. La representacón más típca asocada a una varable estadístca dscreta recbe el nombre de dagrama de barras y consste en levantar, para cada valor x de la varable, una barra cuya altura sea su frecuenca absoluta (o relatva): Frecuencas absolutas Notas 6

7 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Las formas más usadas para representar gráfcamente un atrbuto son: 1) Dagrama de sectores: es la representacón más utlzada y consste en repartr la superfce total de un círculo en tantos sectores como modaldades tenga el atrbuto, de manera que cada sector tenga área proporconal a la frecuenca absoluta de dcha modaldad. S repartmos los 360º proporconalmente a las frecuencas relatvas, el número de grados correspondente a cada modaldad x es 360 f : 3% 17% 17% 7% 10% 3% 3% 3% 10% 7% % 17% 50% Noka Motorola Semens ) Pctograma: consste en representar la nformacón medante un dbujo alusvo a la dstrbucón que se estuda. Pueden ser de dos tpos: Pctograma de repetcón: Se asgna un valor a una fgura base, y ésta se repte tantas veces como convenga según la frecuenca de la modaldad. Pctograma de amplfcacón: A cada modaldad se le asgna una únca fgura-motvo con un área proporconal a la frecuenca de aquella. 7

8 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Tablas de tpo III. Hstogramas. Cuando el tamaño de la poblacón o muestra y la dferenca entre el mayor y el menor valor de la varable (recorrdo) son grandes, es necesaro agrupar en ntervalos los valores de la msma. En este tpo de tablas aparecen algunos valores mportantes: -La ampltud de clase es la dferenca entre los extremos del ntervalo. No todos los ntervalos tenen que tener la msma ampltud y, caso que no la tengan, se debe añadr una columna a la tabla, con la densdad de frecuenca (absoluta o relatva) de cada modaldad: h n =, que srve para que en la representacón gráfca podamos reconocer a la modaldad a de mayor frecuenca a través del área, NO de la altura. -La marca de clase es el punto medo del ntervalo, y es el dato fundamental para realzar todos los cálculos. Asocada a este tpo de tablas tenemos la representacón gráfca llamada hstograma, que consste en levantar sobre cada ntervalo un rectángulo cuya área sea su frecuenca absoluta o relatva. Para consegur que el área sea la frecuenca, se representa en el eje de ordenadas la densdad de frecuenca de cada ntervalo. S consderamos las marcas de cada clase con el valor que el hstograma les da a cada una (altura del rectángulo) y unmos dchos puntos, obtenemos el polígono de frecuencas. Ejemplo 4. S a un grupo de 30 alumnos les preguntamos el dnero (en pesetas) que en ese momento llevan encma, nos encontramos con los sguentes datos: Evdentemente, la varable estadístca tene un recorrdo muy grande, 4998 pesetas, por lo que sí queremos hacer una tabla con estos datos tendremos que tomar ntervalos. Para decdr la ampltud de los ntervalos, necestaremos decdr cuántos queremos. Normalmente se suele trabajar con no más de 10 ó 1 (s es posble menos, mejor; aunque cuantos menos haya más nformacón se perde ). Así pues, ampltud = 4998/10 = 499,8, por lo que tomaremos ntervalos de ampltud

9 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva [ L 1, L[ a X n f N F [ 0, 500 [ /30 0,53 53% 16 16/30 0,53 53% [ 500, 1000 [ /30 0, 0% /30 0,73 73% [ 1000, 1500 [ /30 0,1 10% 5 5/30 0,83 83% [ 1500, 000 [ /30 0,07 7% 7 7/30 0,90 90% [ 000, 500 [ /30 0,03 3% 8 8/30 0,93 93% [ 500, 3000 [ /30 0,03 3% 9 9/30 0,96 96% [ 3000, 3500 [ /30 0 0% 9 9/30 0,96 96% [ 3500, 4000 [ /30 0 0% 9 9/30 0,96 96% [ 4000, 4500 [ /30 0 0% 9 9/30 0,96 96% [ 4500, 5000 [ /30 0 0% 9 9/30 0,96 96% [ 5000, 5500 [ /30 0,03 3% 30 30/30 0,99 99% % El hstograma correspondente al ejemplo anteror es:

10 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Ejercco. Observa detendamente los sguentes gráfcos estadístcos. a) Indca el nombre de cada una de las representacones. b) Indca el tpo de carácter que representan. NOMBRE: CARACTER: NOMBRE: CARACTER: NOMBRE: CARACTER: NOMBRE: CARACTER: NOMBRE: CARACTER: NOMBRE: CARACTER: 1.5. Parámetros estadístcos. Ya que después de realzar un estudo estadístco, tenemos una gran cantdad de datos, tratamos de obtener una sere de meddas numércas que nos permtan, con objetvdad y precsón, tener una vsón más completa del fenómeno estudado, resumr toda la nformacón, comparar dstntas dstrbucones, El Estadístco Yule defnó algunas propedades deseables para cualquer medda estadístca: 1ª) Debe defnrse de manera objetva: dos observadores dstntos deben llegar al msmo resultado numérco. ª) Usar todas las observacones y no algunas de ellas solamente, de manera que s varía alguna observacón, la medda consderada debe reflejar esta varacón. 3ª) Tener un sgnfcado concreto: la nterpretacón debe ser nmedata y senclla 4ª) Ser senclla de calcular. 5ª) Prestarse fáclmente al cálculo algebraco, es decr, con las fórmulas generales, lo que permtrá demostracones más elegantes. 6ª) Ser poco sensble a las fluctuacones muestrales. Esta condcón es mprescndble en la Estadístca Matemátca y en la Teoría de Sondeos. 10

11 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Por otra parte, dependendo del crtero que utlcemos para obtener esos parámetros, tenemos dferentes tpos de meddas: De poscón: Nos permten clasfcar, de alguna forma los elementos de la poblacón o muestra: percentles, decles, cuartles y medana. Dentro de éstas se pueden consderar las meddas de poscón central, que srven para ver en torno a qué valores se concentra la varable: moda, medana y meda. De dspersón: Nos dan una dea sobre la representatvdad de las meddas centrales (a mayor dspersón, menor representatvdad): recorrdo, desvacón meda, varanza, desvacón típca. De smetría: Srven para ver s la dstrbucón tene el msmo comportamento por encma y por debajo de los valores centrales. De forma: Comparan la forma de la dstrbucón con la forma de la dstrbucón Normal, que es la que se toma como referenca. En general, los parámetros sólo se podrán calcular en el caso de varables, exceptuando la moda, que tambén se puede hallar para todos los atrbutos, y la medana, que se puede calcular en los atrbutos ordenables MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL. Las meddas de poscón central resumen los datos. Según el crtero que se utlce para hacer dcho resumen, tenemos dstntos tpos de meddas: Medana: es el valor M e central de la varable, es decr, supuesta la muestra ordenada en orden crecente o decrecente, el valor que dvde en dos partes la muestra. (A) Cálculo de la medana en el caso dscreto: Depende del tamaño N de la poblacón o muestra: -S N es mpar, hay un térmno central X n + 1 que será el valor de la medana. -S N es par, hay dos térmnos centrales X y X n n + 1, y la medana será la meda de los dos. 11

12 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Ejemplo 6. n=1 par n=13 Impar 1,4,6,7,8,9,1,16,0,4,5,7 1,4,6,7,8,9,1,16,0,4,5,7,30 Térmnos centrales: el 6º y 7º 9 y 1 Térmno central: el 7º 1 M e 9+ 1 = = 10, 5 M e = 1 Moda: Es el valor M o de la varable que más se repte, es decr, que tene mayor frecuenca. Puede haber más de una moda: s hay dos la dstrbucón se dce que es bmodal y, en general, s hay más de dos se dce que es plurmodal. Es la únca medda de centralzacón que tene sentdo estudar en una varable cualtatva o atrbuto, pues no precsa la realzacón de nnguna cuenta. Ejemplo 7. X n N n = 3 19 mayor frecuenca Mo = x3 = 75 Meda: La meda artmétca de una varable es la suma de los productos de los valores de la varable por sus frecuencas relatvas correspondentes. S la varable es contnua, consderaremos las marcas de clase como valores de la msma. Otra vez en el msmo ejemplo anteror: [ L 1, L[ x n f x f [ 45, 55 [ /50 300/50 [ 55, 65 [ /50 600/50 [ 65, 75 [ / /50 [ 75, 85 [ /50 880/50 [ 85, 95 [ /50 360/ / x = = 69 '

13 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva MEDIDAS DE DISPERSIÓN. Las meddas de dspersón mden, en general, lo dstantes o dspersos que se encuentran los datos respecto de alguna medda de poscón central. Dado que exsten dstntos tpos de parámetros de centralzacón, podemos defnr dstntas meddas de dspersón, aunque como la medda central más utlzada es la meda, tendrán especal mportanca las meddas que mdan la dstanca respecto a la msma. El recorrdo de la varable es la dferenca entre el mayor y el menor valor de la msma. La varanza σ es la meda de las desvacones cuadrátcas respecto de la meda: o Se calculan las desvacones o dferencas entre los valores y la meda o Se elevan al cuadrado dchas desvacones o Se multplcan por sus frecuencas o Se suman Hay que llamar la atencón sobre el hecho de que la varanza de una dstrbucón sempre es postva (suma de sumandos postvos). Esto nos permte, entre otras cosas, defnr: La desvacón típca σ es la raíz cuadrada de la varanza. La ventaja de la desvacón es que tene las msmas undades que la meda (cosa que la varanza no cumple al elevar las desvacones al cuadrado). Por tanto es más fácl de nterpretar: cuanto más próxma a cero esté, más representatva será la meda. σ El coefcente de varacón es el cocente entre la desvacón típca y la meda: CV =. x Este parámetro es admensonal (no tene undades, ya que la desvacón típca y la meda tenen las msmas) y es muy útl para comparar dos poblacones dstntas. Además, tambén es mejor utlzarlo para nterpretar la bondad de la meda cuando los datos tenen un recorrdo muy amplo: cuanto más próxmo a cero se encuentre, mejor será la meda Ejemplos resueltos. Vamos a analzar detendamente un ejemplo de cada uno de los tpos de caracteres estadístcos que nos podemos encontrar, y en ellos estudaremos todo aquello que hemos comentado hasta ahora, y nos servrán de ejemplos de cálculo de las meddas de dspersón que acabamos de defnr. 13

14 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Ejemplo I: CARACTER CUALITATIVO o ATRIBUTO. X = número de vuelos según naconaldades. Poblacón = avones que aterrzaron en Barajas durante la Semana Santa de Tabla: X n f 360º f Franca 350 7/18 0,39 39% 140 Alemana 150 1/6 0,17 17% 60 Inglaterra 50 1/18 0,06 6% 0 Itala 50 5/18 0,8 8% 100 Otros 100 1/9 0,11 11% Pctograma 1: Pctograma : 14

15 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Dagrama de sectores: 11% Franca 8% 38% Alemana Inglaterra Itala 6% 17% Otros Dagrama de barras: Franca Alemana Inglaterra Itala Otros Parámetros estadístcos: Sólo se puede calcular la moda M o = Franca. S el atrbuto fuera ordenable, se podrían calcular tambén las meddas de poscón, aunque la únca que tendría un sgnfcado más concreto sería la medana. 15

16 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Ejemplo II: CARACTER CUANTITATIVO DISCRETO o VARIABLE DISCRETA. X = nº de accdentes automovlístcos daros regstrados durante Dcembre y Enero de Poblacón = vehículos que crculaban por el casco urbano de Granada (España). Tabla: x n f N x f x x f /31 0,06 4 0,00 0,00 0,00-4,16 17,31 1, /31 0,03 6 0,03 1,00 0,03-3,16 9,99 0, /31 0,10 1 0,19 4,00 0,39 -,16 4,67 0, /31 0,16 0,48 9,00 1,45-1,16 1,35 0, /6 0,11 9 0,45 16,00 1,81-0,16 0,03 0, /31 0,6 45 1,9 5,00 6,45 0,84 0,71 0, /31 0,3 59 1,35 36,00 8,13 1,84 3,39 0, /31 0, ,3 49,00 1,58,84 8,07 0, /6 0,0 6 0,13 64,00 1,03 3,84 14,75 0,4 6 x x ( x x) ( ) x x f 360 º f 6 1 1,00 4,16 0,87 3, Dagrama de barras:

17 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Dagrama de sectores: 3% 6% 3%% 6% 3% 10% 11% 16% Parámetros estadístcos: Moda: Mo Medana: Me 58 Meda: x = = 416 ' 6 Recorrdo = 8 0 = 8 = x6 = 5 porque es el valor de la varable con mayor frecuenca n 6 = 16 = x6 = 5 porque es el prmer valor de la varable con n 6 N 6 = 45 > = = 31 Varanza: σ = 356 ' ó σ = = = 355 ' Desvacón típca: σ = σ = 356 ' = 188 ' Coefcente de varacón: CV σ ' = = ' x 416 ' 17

18 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Ejemplo III: CARACTER CUANTITATIVO CONTINUO o VARIABLE CONTINUA. X = cantdad, en centos de euros, gastada semanalmente en almentacón durante Poblacón = famlas que resden en el barro del Zadín de Granada (España). Tabla: x n f N 360 º f x f x I x f a h 1 0,5 1 0,5 0,75 3 1/0 0,05 3 6,00 18,0 0,04 0,56 0,03 1 1,5 0,5 1,5 8 /15 0, ,00 48,0 0,17 1,56 0,1 3 1,5 0,5 1,75 1 1/5 0,0 3 4,00 7,0 0,35 3,06 0, ,5 0 1/3 0, ,00 10,0 0,83 6,5, /6 0, ,00 60,0 0,67 16,00, ,5 7 7/60 0,1 60 1,40 4,0 0,88 56,5 6, ,00 360,0,94 1,16 Hstograma y polígono de frecuencas (absolutas): h ,5 1 1,

19 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva Parámetros estadístcos: Intervalo modal: I = [, [ 4 3 porque es el ntervalo con mayor frecuenca n 4 = 0 Intervalo medano: I = [, [ 4 3 porque es el prmer ntervalo con n 60 N 4 = 43 > = = 30 Meda: x = 94, Recorrdo = 10 0,5 = 9,5 Varanza: σ = ( ) 1, 16, 94 3' 60 Desvacón típca: σ = σ = 36 ' 19 ' Coefcente de varacón: CV σ ' = = ' x 94 ' 1.7. EJERCICIOS. 1. Sea X la puntuacón de los alumnos de la clase de 3º B de ESO del colego Vrgen de Graca de Granada (España) en un examen de Matemátcas, que toma los valores sguentes: 0, 0, 1,,, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 9 a. Indcar cuál es la poblacón. b. Indcar cuál es el número de elementos de la poblacón. c. Indcar qué tpo de varable estadístca es X. d. Elaborar una tabla que recoja los datos anterores junto con las frecuencas. e. Completar la tabla anteror con las columnas necesaras para calcular las meddas de poscón central y de dspersón de la varable X. f. Elaborar todas las representacones gráfcas posbles que correspondan a la dstrbucón de la varable estadístca X. 19

20 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva. Sea X el número de aparatos de teléfono por famla en el bloque de vecnos de la calle Pedro Antono de Alarcón nº 40 de Granada (España) a fecha marzo de 1998, que toma los sguentes valores: X n a. Indcar cuál es la poblacón. b. Cuál es el número de elementos de la poblacón? c. Razonar qué tpo de carácter estadístco es X. d. Completar la tabla anteror con las columnas necesaras para calcular las meddas de poscón central y de dspersón de la varable X. e. Elaborar todas las representacones gráfcas posbles que correspondan a la dstrbucón de la varable estadístca X. 3. Sea X la marca de los automóvles que poseen los vecnos del bloque del ejercco anteror, con fecha Abrl 008, que toma los sguentes valores: X Mercedes Ctroën Renault Seat Honda Peugeot Otros n a. Indcar cuál es la poblacón y su número de elementos. b. Razonar qué tpo de caracter es X. c. Calcular la moda de la dstrbucón. d. Completar la tabla de frecuencas anteror. e. Elaborar todas las representacones gráfcas posbles que correspondan a la dstrbucón de la varable estadístca X. 4. Sea X la cantdad, en decenas de euros, gastada los fnes de semana en saldas por los alumnos del tercer curso de la Facultad de Derecho de la Unversdad de Granada (España): I a x n [ 0, [ 6 [ 4, [ 9 [ 46, [ 11 [ 68, [ 6 [ 810, [ 8 N f F h = n / a 0

21 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva a. Indcar cuál es la poblacón y su número de elementos. b. Razonar qué tpo de caracter estadístco es X. c. Completar la tabla anteror con las columnas necesaras para calcular las meddas de poscón central y de dspersón de la varable X. d. Elaborar todas las representacones gráfcas posbles que correspondan a la dstrbucón de la varable estadístca X. 5. Consderamos el sguente gráfco que corresponde a una varable estadístca X: n a. Indcar el nombre de la representacón gráfca anteror. b. Indcar qué tpo de varable estadístca es X. c. Qué frecuenca tene el ntervalo [ 10, 14 [? Y el [, [ 6 30? d. Deduce el número total de personas de la poblacón a partr del gráfco. e. Razona cuál es la moda. f. Reconstrur la tabla de la dstrbucón de X a partr de la representacón gráfca. g. Completar la tabla anteror con todas las columnas necesaras para poder calcular las meddas de poscón central y de dspersón de X. 1

22 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva 6. Consderamos el sguente gráfco que corresponde a un caracter estadístco X: a. Indcar el nombre de la representacón gráfca anteror. b. Indcar qué tpo de caracter es X. c. Cuál es la moda de la dstrbucón de datos? d. Cuántas modaldades tene el carácter? e. Reconstrur la tabla de las frecuencas de X a partr de la representacón gráfca. 7. Consderamos el sguente gráfco que corresponde a una varable estadístca X: a. Indcar el nombre de la representacón gráfca anteror. b. Razonar que tpo de carácter estadístco es X. c. Cuáles son las modaldades del carácter? d. Qué modaldad tene frecuenca 1 94? Cuál tene mayor frecuenca? e. Cuántos elementos tene la poblacón? f. Reconstrur la tabla de la dstrbucón de X a partr de la representacón gráfca. g. Completar la tabla anteror con todas las columnas necesaras para poder calcular las meddas de poscón central y de dspersón de X.

23 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva 8. Consderamos la sguente tabla: I a x n N [ 0, [ 7 5 [ 4, [ 5 [ 46, [ 5 [ 68, [ 15 [ 810, [ 15 f F h = n / a a. Razonar qué tpo de varable es X. b. Completar la tabla anteror con todas las columnas necesaras para calcular las meddas de poscón central y de dspersón de la varable X. c. Elaborar todas las representacones gráfcas posbles que correspondan a la dstrbucón de la varable estadístca X. 9. La sguente tabla corresponde a la dstrbucón de una varable estadístca X: X N a. Indcar cuál es el número de elementos de la poblacón. b. Razonar el tpo de varable que es X. c. Completar la tabla anteror con todas las columnas necesaras para calcular las meddas de poscón central y de dspersón de la varable X. d. Elaborar todas las representacones gráfcas posbles que correspondan a la dstrbucón de la varable estadístca X. 3

24 Departamento de Matemátcas Estadístca descrptva 10. La sguente tabla corresponde a la dstrbucón de un atrbuto X: X F Albno 430 Rubo Castaño Negro 30 Otros a. Indcar cuál es el número de elementos de la poblacón. b. Completar la tabla de frecuencas anteror. c. Elaborar todas las representacones gráfcas posbles que correspondan a la dstrbucón de la varable estadístca X BIBLIOGRAFÍA. Para la elaboracón de estos apuntes, se ha utlzado como materal: 1º Mayortaramente, las explcacones y ejerccos propuestos en clase por los profesores del Departamento de Matemátcas del Colego Vrgen de Graca (Granada). º Como ayuda para desarrollar y completar algunos apartados: -Apuntes del profesor Gregoro Gómez Sorano. 4