ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

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1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA TRATA DE DESCRIBIR CONJUNTOS DE DATOS RESUMIENDO LA INFORMACIÓN QUE ESTOS PROPORCIONAN, UTILIZANDO: TABLAS DE FRECUENCIAS GRÁFICAS MEDIDAS NUMÉRICAS REPRESENTATIVAS (POSICIÓN, DISPERSIÓN Y FORMA) CONCEPTOS FUNDAMENTALES POBLACIÓN: cojuto de elemetos o dvduos de los que teresa estudar algua característca. MUESTRA: subcojuto de elemetos de ua poblacó. Coste Tempo RAZONES PARA ESTUDIAR UNA MUESTRA Persoal cualfcado Procesos destructvos

2 Llamamos CARÁCTER a la cualdad objeto de uestro estudo. Los caracteres puede ser: Cuattatvos: la característca toma valores umércos (úmero de petcoes a u servdor, tempo etre petcoes cosecutvas,etc) Cualtatvos:la característca o toma valores umércos (sexo, color de pelo, etc) Los caracteres cuattatvos se llama VARIABLES ESTADÍSTICAS. Los caracteres cualtatvos se llama VARIABLES CUALITATIVAS. SEGÚN EL TIPO DE VALORES QUE PUEDEN TOMAR las varables estadístcas puede ser de dos tpos : Dscretas: s SÓLO PUEDE TOMAR UN NÚMERO ftos o fto umerable DE VALORES DISTINTOS. Cotuas: s PUEDE TOMAR cualquer valor de uo o varos tervalos. EJEMPLOS POBLACIÓN: MUESTRA: VARIABLE ESTADÍSTICA: VARIABLE CUALITATIVA: ESTUDIANTES DE LA EUI ALUMNOS DE ESTADÍSTICA DEL SM EDAD, PESO, NÚMERO DE SEXO, CARA/CRUZ, SENSACIÓN VARIABLE DISCRETA: VARIABLE CONTINUA: EDAD, NÚMERO DE PESO, ESTATURA

3 . DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Sea ua muestra de tamaño ; supogamos que X toma como valores dsttos x, x,..., x k. FRECUENCIA ABSOLUTA DE x : Es el úmero,, de veces que se k repte x. FRECUENCIA RELATIVA DE x : es el cocete etre la frecueca absoluta y. k f, f FRECUENCIA ABSOLUTA(RELATIVA) ACUMULADA DE x. S llamamos x *, x *,..., x * k a los valores ordeados de meor a mayor: N F j N j Frecueca absoluta acumulada de x* Frecueca relatva acumulada de x* 5 S el úmero de valores dsttos que toma la varable es grade (mayor que 0), se agrupa los datos e tervalos para costrur la tabla de frecuecas. VARIABLES NO AGRUPADAS: SI TOMA MENOS DE 0 VALORES DISTINTOS. VARIABLES AGRUPADAS: SI TOMA MÁS DE 0 VALORES DISTINTOS. Ejemplos: VARIABLES NO AGRUPADAS: EDAD, Nº ASIGANTURAS, VARIABLES AGRUPADAS: PESO, ESTATURA, SENSACIÓN, 6

4 VARIABLES AGRUPADAS EN INTERVALOS A estos tervalos se les llama tervalos de clase. Al puto medo de cada clase se le deoma marca de clase. El úmero de tervalos de clase lo determa la persoa que está realzado el estudo, auque ua posbldad razoable es tomar el etero más próxmo a.log 0 (). CRITERIO ESENCIAL: SENTIDO COMÚN Y QUE LA LECTURA SEA FÁCIL Y SIGNIFICATIVA EJEMPLO: PESO (Statg) 7 VARIABLES AGRUPADAS EN INTERVALOS EJEMPLO: PESO. Por defecto, Statgraphcs ofrece esta tabla: Cambamos el úmero de clases y los valores extremos, tetado que los tervalos y las marcas de clase sea fácles de detfcar. Esta ueva tabla os da u formacó más dgerble : 8

5 . MÉTODOS GRÁFICOS VARIABLES SIN AGRUPAR: Dagrama de barras Dagrama de sectores 0 5 Dagrama de barras de Nº de llamadas Frecuecas Dagrama de sectores de Nº de llamadas 8,6% 6,% Nº de llamadas 6,% 0 8,7%,9% 5 6,5% 9. MÉTODOS GRÁFICOS VARIABLES AGRUPADAS: Hstograma Cada clase se represeta medate u rectágulo cuyo área es proporcoal a su frecueca (absoluta o relatva) frequecy Hstogram Peso 0 5

6 . MÉTODOS GRÁFICOS OTRAS REPRESENTACIONES Dagrama de Tallo y Hojas (stetza formacó sobre los datos y sus frecuecas y da ua buea mage gráfca). Ejemplo: PESO. Represeta que hay persoas co 60kg, persoas co 6kg y persoas co 6kg. MÉTODOS GRÁFICOS OTRAS REPRESENTACIONES Idcadores del Ídce de Acceso Dgtal segú el vel de gresos: 6

7 MEDIDAS NUMÉRICAS REPRESENTATIVAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Moda Meda Medaa Cuatles: cuartles, decles y percetles MEDIDAS DE DISPERSIÓN Rago o recorrdo Recorrdo tercuartílco Varaza y desvacó típca Desvacó meda Coefcetes de varacó MEDIDAS DE FORMA Coefcetes de asmetría. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MODA, Mo: Es el dato que más se repte. Puede haber más de ua moda. Por ejemplo, co los datos muestrales:,,,,,,,5,6,6,6,7,7,8,8 se tee dos modas: y 6. Dagrama de barras de Nº de llamadas 0 5 Hacer llamadas al día es lo más frecuete. Moda Frecuecas 7

8 8 5. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIA ARITMÉTICA: s todo se repartera de forma homogéea, cuáto tedrá cada uo? x x x x k j j j x x Co los datos,,,,,,,5,6,6,6,7,7,8,8, se tee: 6. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIA ARITMÉTICA: x Dagrama de barras de Nº de llamadas Frecuecas

9 MEDIANA Me: Es el valor que está e el medo s ordeamos e magtud los datos (el 50% es meor que él y el 50% mayor) Medaa del º de llamadas? 0 Dagrama de barras de Nº de llamadas Observado las frecuecas relatvas acumuladas, se ve que el llega hasta el 0%, y el va del 0% al 67% (cluye al 50%). Por tato, Medaa Frecuecas 7 CUANTIL DE ORDEN α, Cα: Es u valor tal que, ordeados e magtud los datos, el 00 α % es meor que él y el resto mayor. Los más utlzados so: los cuartles Q (α0.5), Q (α0.75), QMedaa (α0.5) los decles D,...,D 9 (α 0.,..., 0.9) los percetles P,...,P 99 (α 0.0,...,0.99) Cálculo de cuatles: (medaa, cuartles y percetles) A partr de las frecuecas relatvas acumuladas: Hallar el tercer cuartl y el percetl 0 de la varable º de llamadas. 8 9

10 Cα: Es u valor tal que, ordeados e magtud los datos, el 00 α % es meor que él y el resto mayor. Tercer cuartl (α0.75): buscamos e la últma columa el valor 0.75, que se ecuetra justo e el. Por tato Q y se puede terpretar: el 75% de los estudates hace llamadas o meos el 5% de los estudates hace llamadas o más el porcetaje de estudates que hace más de llamadas o llega al 5% 75% 5% 9 Cα: Es u valor tal que, ordeados e magtud los datos, el 00 α % es meor que él y el resto mayor. Percetl cuareta (α0.0): buscamos e la últma columa el valor 0.0, que se ecuetra justo e el. Por tato P0 y se puede terpretar: el 0% de los estudates hace llamada o meos el 60% de los estudates hace llamada o más 0% 60% 0 0

11 ROBUSTEZ DE LA MEDIANA Cosderemos los datos del ejemplo ateror: S añadmos u uevo dato x 6 y calculamos de uevo la meda y la medaa, obteemos: Nueva meda: x 6.8 Nueva medaa: Me 5.5 La meda camba más que la medaa. Qué ocurrría s e el ejemplo del º de llamadas troducmos los datos de dos estudates más que ha hecho 0 llamadas? COMPARACIÓN MEDIA-MEDIANA La meda cotee más formacó porque usa los valores de todos los datos. La medaa es más robusta frete a los cambos e los datos. La meda es más seclla de calcular y se presta mejor a los cálculos algebracos. Debe calcularse ambas pues proporcoa formacó complemetara.

12 .5 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las meddas de cetralzacó proporcoa ua formacó completa del cojuto de datos. Ejemplo: sea X e Y las otas de dos grupos de cuareta alumos, co dstrbucoes de frecuecas: x y Para ambas varables la meda es 5, pero e el segudo caso 5 es u valor más represetatvo de los datos que e el prmero. Las meddas de dspersó os permte valorar s el valor de la medda de tedeca cetral es, o o es, represetatvo. MEDIDAS DE DISPERSIÓN MEDIDAS DE AMPLITUD: RANGO O RECORRIDO: R Max - M RECORRIDO INTERCUARTÍLICO: RQ Q - Q Ejemplo: sea X e Y las otas de dos grupos de cuareta alumos, co dstrbucoes de frecuecas: x y RX 0-00; RY RQX 0-00; RQY 5 50 Co estas meddas sí se detecta las dferecas.

13 VARIANZA: MEDIDAS DE DISPERSIÓN MEDIDAS DE DISTANCIA A LOS VALORES CENTRALES: Dstaca a la meda: V DESVIACIÓN TÍPICA: k ( x x) ó V ( x j x) Dt La desvacó típca es la dstaca meda al valor medo de la varable. Está e las msmas udades que la propa varable (o así a varaza). E el ejemplo ateror: V V X Y 0 0 ( 0 5) 0 ( 0 5) 0) V 5 Dt 5 (.5 5) ( 5 5) ( 5.5 5) ) 0,075 Dt 0. 9 X j Y j 5 MEDIDAS DE DISPERSIÓN MEDIDAS DE DISTANCIA A LOS VALORES CENTRALES: Estos resultados se terpreta cosderado que la dstaca meda de la varable X a su valor medo (5) es de 5. La dstaca meda de la varable Y a su valor medo (5) es de 0.9. (Se terpreta el valor de la desvacó típca, pues está e las msmas udades que la propa varable, o así a varaza.) 6

14 MEDIDAS DE DISPERSIÓN MEDIDAS DE DISTANCIA A LOS VALORES CENTRALES: Dstaca a la meda: Por razoes que se verá más adelate, los programas estadístcos calcula los valores de: CUASIVARIANZA: s - CUASIDESVIACIÓN TÍPICA: ( x x) s s 7 MEDIDAS DE DISPERSIÓN MEDIDAS DE DISTANCIA A LOS VALORES CENTRALES: Dstaca a la medaa: DESVIACIÓN MEDIA: DM DM X Y 0 0 k Dm x Me ó Dm x j Me j E el ejemplo de las varables X e Y que represeta uas otas: ( ) 5 ( ) j 0,075 8

15 MEDIDAS DE DISPERSIÓN MEDIDAS DE DISTANCIA RELATIVA A LOS VALORES CENTRALES. Srve para comparar la dspersó etre dos varables que toma valores de magtudes dferetes (o dca la msma dspersó ua Dt s el peso está meddo e gramos que s está meddo e Kg) COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON (dspersó respecto de la meda): CV Dt x COEFICIENTE DE VARIACIÓN MEDIA (dspersó respecto de la medaa): CVm Dm Me 9 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Se quere comparar qué varable tee mayor dspersó, s la Edad o la Estatura: Como datos, teemos: X X EDAD ESTATURA.8 ; Dt EDAD 7 ; Dt.5 ESTATURA 7.6 La desvacó es mayor e ESTATURA, s embargo e térmos relatvos se tee que:.5 CV EDAD 0.077; CV.8 ESTATURA La desvacó de EDAD represeta el 0.77% del valor de su meda y, e cambo, la desvacó de ESTATURA represeta sólo el.% del valor de su meda. Proporcoalmete, la varable EDAD tee ua mayor dspersó que la varable ESTATURA. 0 5

16 PROPIEDADES DE MEDIA Y VARIANZA Sea x,...,,..., k x k los valores dferetes de ua varable estadístca X y sus frecuecas correspodetes, etoces, V X k x x sedo k Ejemplo: sea X e Y las otas de dos grupos de cuareta alumos, co dstrbucoes de frecuecas: x y V V X Y 0 0 ( ) 5 5 ( ) 5 0,075 PROPIEDADES DE MEDIA Y VARIANZA S se defe ua ueva varable Y axb, etoces A) B) y ax V a b Y V X 6

17 DESIGUALDAD DE CHEBYCHEV E el tervalo ( X k Dt, X k Dt) se ecuetra, como mímo el 00 - % de los datos. k Por ejemplo, co la varable ESTATURA, meda de 7 y desvacó típca de 7.6, cosderamos k: ( X Dt, X Dt) (59.8,88.7) ; 00 - % 75 % Se tee que al meos el 75% de los estudates tee ua estatura etre 59.8 y 88.7 cm. Para k, se tee que al meos el 89% de los estudates tee ua estatura etre 5 y 96 cm..6 MEDIDAS DE ASIMETRÍA Smetría a la derecha Skewess > 0 Smétrca Skewess ~0 Smetría a la zquerda Skewess < 0 Cómo cuatfcarla? Como los valores extremos fluye más e la meda que e la medaa, ua forma es observar la dfereca etre meda y medaa, teedo e cueta su sgo. COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON: CAP ( x M e ) Dt 7

18 .6 MEDIDAS DE ASIMETRÍA Otra forma, es cuatfcar las dferecas co la meda (valor cetral), pero teedo e cueta el sgo de esas dferecas. COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE FISHER: ( x x ) CAF Para ambos coefcetes, s: ( Dt) CAF>0 o CAP>0, la dstrbucó es asmétrca a la derecha. CAF0 o CAP0, la dstrbucó es smétrca. CAF<0 o CAP<0, la dstrbucó es asmétrca a la zquerda. 5 DIAGRAMA DE CAJA (BOX-PLOT) Es ua represetacó gráfca que stetza la formacó sobre los valores cetrales, la dspersó y la smetría de ua varable. Dato meor o atípco Meda Box-ad-Whsker Plot Medaa Dato mayor o atípco Dato atípco Altura Dato atípco Prmer cuartl:q Tercer cuartl: Q 6 8

19 DIAGRAMA DE CAJA (BOX-PLOT) Se costruye del sguete modo: Co los datos ordeados se obtee los tres cuartles Se dbuja u rectágulo cuyos extremos so Q y Q y se dca la poscó de la medaa medate ua líea. Se calcula los límtes de admsó ( los valores que quede fuera se cosdera atípcos) LI Q '5 ( Q Q ) LS Q '5 ( Q Se dbuja ua líea desde cada extremo del rectágulo hasta el valor más alejado o atípco. Se marca todos los datos cosderados como atípcos. Q ) 7 DIAGRAMA DE CAJA (BOX-PLOT) Ejemplos: Box-ad-Whsker Plot Box-ad-Whsker Plot Peso 0 5 Nº de llamadas 8 9

20 .5. REGRESIÓN Regresó (e la presetacó de la asgatura) OBJETIVO: Estudar la posble relacó fucoal etre dos o más varables. tee relacó el º de asgaturas aprobadas co el de matrculadas?, y co el tempo que se tarda e llegar a la EUI?, o co el º de películas que se ha vsto e el curso? se puede coocer el peso de algue a partr de su estatura? tee relacó el º de llamadas co la duracó de las llamadas? Fuete: Gock,L. La Estadístca e cómc 9 Dsttos dagramas de dspersó Para tur qué tpo de relacó puede haber etre dos varables, u bue strumeto es el dagrama de dspersó: Mortaldad Ifatl ,7 0,7 0,67 0,87,07 Idce de Desarrollo Humao A mayor Idce de Desarrollo Humao, meor tasa de mortaldad fatl. (Relacó versa) Forma de recta co pedete egatva (relacó leal egatva) peso Plot of Ftted Model estatura A mayor Estatura, mayor Peso. (Relacó drecta) Forma de recta co pedete postva (relacó leal postva) 0 0

21 Dsttos dagramas de dspersó Para tur qué tpo de relacó puede haber etre dos varables, u bue strumeto es el dagrama de dspersó: Aprobados/Matrculados Número de asg. matrculadas No parece que haya relacó etre el úmero de asgaturas matrculadas co el porcetaje de asgaturas aprobadas. (Varables depedetes) (X 0000) PIBpc Alfabetzacó A mayor vel de alfabetzacó, mayor PIB (relacó drecta). Pero el modelo fucoal o parece ser ua recta (relacó o leal). ESTUDIO DE REGRESIÓN: INFLUENCIA DE LA EDAD DE LA MUJER EN LA TASA DE ACIERTO EN LA REPRODUCCIÓN ASISTIDA 0 Plot of Ftted Model Tasa_de_acerto Edad A mayor edad, meor tasa de acerto (relacó versa). Pero el modelo fucoal que más se ajusta o es ua recta (relacó o leal).

22 Dsttos dagramas de dspersó Cómo sabemos cuál es el modelo que mejor explca la relacó etre dos varables? CASO GENERAL: Y f (X ) Cuado aproxmamos el valor de y por el de y * f(x ), estamos cometedo u error: e y f(x ) y y * (se suele deomar resduo). La dea es ecotrar la fucó f(x) que hace que la suma de los cuadrados de estos errores sea míma (mímos cuadrados). La meda de los cuadrados de dchos errores se deoma VARIANZA RESIDUAL: V R e ( ) y f ( x )

23 Cómo se obtee esa fucó f(x)? A la vsta del dagrama de dspersó se propoe u modelo para f: Leal: f(x) ax b Polómco: f(x) ax bx c Expoecal: f(x) a e bx Se halla los valores de a y b que hace míma la varaza resdual. Para el caso leal, f(x) ax b, se busca a y b que haga mímo: V R ( ) y ( ax b) y se obtee: a y ( x x) ; ( x x) b y ax NOTA: E este curso utlzaremos Statgraphcs para obteer las expresoes de los modelos de regresó. 5 Cómo sabemos s esa fucó f(x) es u bue modelo? Cuato meor sea su varaza resdual, mejor será el modelo. Pero para poder comparar, se ha de teer ua medda admesoal (que o depeda de las udades e las que estemos trabajado) y que tega e cueta la propa varabldad de Y (V Y ). Esta medda es el COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN: Propedades: 0 R Se terpreta como el porcetaje de la varaza de Y que es explcado por el modelo propuesto. El modelo será más adecuado cuato más cercao esté de (o del 00%) y será peor cuato más cerca esté de 0. (Se cosdera u bue modelo a partr de 0.5 o 50%) R 6 V V R Y

24 Tasa_de_acerto Ejemplo: INFLUENCIA DE LA EDAD DE LA MUJER EN LA TASA DE ACIERTO EN LA REPRODUCCIÓN ASISTIDA Tasa_de_acerto Plot of Ftted Model Edad Plot of Ftted Model Edad Co el modelo leal, se obtee u valor de R Es decr, el 87.56% de la varabldad de la tasa de acerto e la reproduccó asstda se puede explcar por la relacó leal co la varable Edad. (Es u bue modelo) Co el modelo parabólco, se obtee u valor de R Es decr, el 97.89% de la varabldad de la tasa de acerto e la reproduccó asstda se puede explcar por la relacó cuadrátca co la varable Edad. Es u bue modelo y, además, explca mejor el comportameto de la tasa de acerto que el modelo leal. 7 Regresó leal smple Es el modelo más secllo, f(x) ax b, y tee alguas propedades partculares que vamos a estudar. Para medr la relacó leal etre dos varables, se utlza e estadístca descrptva la COVARIANZA: Cov( X, Y ) ( x x)( y y) x y xy Cov(X,Y) > 0, dca ua relacó leal drecta, Cov(X,Y) < 0, dca ua relacó leal versa. Cov(X,Y) 0, dca que o hay relacó leal etre las varables. (Puede haber otro tpo de relacó) 8

25 Regresó leal smple A partr de la covaraza se tee ua expresó más smple de la recta de regresó: Cov( X, Y ) Y y ( X x) V ( X ). Observar que la recta sempre pasa por el puto Se defe el coefcete de correlacó leal: Se verfca que: r y ( x, y). Cov( X, Y ) r dt( X ) dt( Y ) r R ; R r Iterpretacó de los parámetros del modelo Nos teresa sobre todo: El tpo de relacó leal: drecta o versa La bodad del ajuste: e qué grado el modelo explca el comportameto de la varable Y? 9 Regresó leal smple Iterpretacó Tpo. de relacó leal: Observamos el coefcete de correlacó r, Cov(X,Y) o la pedete de la recta de regresó - r 0 ó Cov(X,Y) 0 ó pedete 0: o hay relacó leal. - r > 0 ó Cov(X,Y) > 0 ó pedete > 0: relacó leal drecta. - r < 0 ó Cov(X,Y) < 0 ó pedete < 0: relacó leal versa. Bodad del ajuste: Será mejor cuato más cerca esté de el valor de Será peor cuato más cerca esté de 0 el valor de r r y R y R 50 5

26 Regresó leal smple Observacó: correlacó leal causaldad -S se aumeta de peso o se tee porqué aumetar de estatura. -Hay ua correlacó postva etre esperaza de vda y porcetaje de poblacó urbaa, es más sao vvr e la cudad que e el campo?. -Hay ua correlacó egatva etre vel de estudos uverstaros de la mujer y porcetaje de mujeres casadas, s estudas o te casas? - Correlacó egatva etre tasa de mortaldad y tasa de dvorcos, cuáto más os dvorcemos más vvmos? 5 6