1 EY ( ) o de E( Y u ) que hace que g E ( Y ) sea lineal. Por ejemplo,

Transcripción

1 Modelos lneales generalzados En los modelos no lneales (tanto en su formulacón con coefcentes fjos o coefcentes aleatoros) que hemos vsto hasta ahora, exsten algunos que se denomnan lnealzables : son modelos en los que exste una funcón de la meda que es una funcón lneal de los parámetros del modelo. Es decr, exste una transformacón g(.) de E ( ) o de E( u ) que hace que g E ( ) sea lneal. Por ejemplo, x x es lnealzable porque exste una funcón gt () t. que hace que g x x S estos modelos lnealzables provenen de datos cuya dstrbucón es una famla exponencal (por ejemplo, dstrbucón normal, gamma, bnomal, Posson, etc.) entonces tenemos un modelo lneal generalzado. Un modelo lneal generalzado es un modelo que vncula las respuestas (varables dependentes ) con otras varables ndependentes o explcatvas. Tenemos que consderar tres componentes:. La componente aleatora (la dstrbucón de las ). En general, se supone que las son ndependentes, con una dstrbucón que sea una famla exponencal lneal (por ejemplo: normal, bnomal, Posson, gamma, etc.). La componente sstemátca, que ndca la relacón entre las varables ndependentes. Éste es un modelo lneal (es decr, los parámetros entran lnealmente al modelo). Por ej., x x. 3. La funcón de enlace, que es la que vncula la meda (esperanza) de la dstrbucón de las con la componente sstemátca. Por ejemplo, g( ) log( ) x x.

2 Algunos ejemplos de modelos lneales generalzados: a. N x x (, ) b. Posson( ); log( ) Bn(, N ); log x c. S el modelo que estamos consderando está formulado en térmnos de su esperanza condconal (es decr, conocemos la dstrbucón de las observacones dados los efectos aleatoros y la dstrbucón de los efectos aleatoros), y además el modelo es lnealzable (es decr, exste una funcón de enlace que aplcada a la meda condconal está lnealmente relaconada a los parámetros) entonces tenemos un modelo lneal generalzado mxto. Como se ndcó en el ejemplo de los árboles de naranjo, la exstenca de uno o más efectos aleatoros nduce una correlacón entre las observacones que comparten el msmo valor realzado del(los) efecto(s) aleatoro(s). La otra posbldad para formular el modelo con la esperanza margnal es olvdarnos del efecto aleatoro, y modelar mplíctamente su efecto sobre la estructura de correlacón que nduce sobre la dstrbucón margnal de la respuesta. Estos modelos se denomnan margnales, y permten aprovechar las ventajas de la formulacón margnal (nferenca promedo para la poblacón) sn preocuparse por modelar específcamente los efectos aleatoros. Es decr, el modelo especfca la esperanza margnal y la matrz de correlacón (margnal) de las observacones, así como la funcón de enlace y la dstrbucón margnal de las observacones. Para ajustar este modelo margnal en SAS es posble usar Proc GENMOD y PROC GLIMMIX, que tenen la ventaja de no requerr valores ncales para la estmacón de los parámetros, además de usar una sntaxs smlar a SAS Proc GLM y Proc MIXED para especfcar efectos, nteraccones, covarables, etc. En el sguente ejemplo

3 usaremos GLIMMIX para ajustar modelos lneales generalzados mxtos, tanto con efectos aleatoros como margnales con estructura de correlacón. Ejemplo. Datos Papaya. Modelo lneal generalzado mxto para proporcones. Se consderan las curvas de progreso de enfermedad para evaluar el cambo en la proporcón de plantas de papaya nfectadas con rng spot vrus bajo 4 tratamentos dferentes: suelo sn malezas, suelo con malezas, suelo cuberto con plástco negro y suelo cuberto con plástco plateado. Los modelos comúnmente usados en ftopatología para modelar la proporcón de ndvduos nfectados son modelos lneales generalzados: Modelo Ecuacón dferencal Ecuacón ntegrada Exponencal d r e exp( ) re t ecular d r ( ) m B exp( rm t) Logístco d r ( ) l exp( B r t) l d r g log exp B exp( rg t) A partr de los gráfcos presentados para este ejemplo, y tambén realzando pruebas de falta de ajuste, es claro que los modelos Logístco y ajustan razonablemente ben estos datos. En este ejemplo ndcaremos el ajuste al modelo logístco, aunque resultados smlares pueden obtenerse con el de.

4 Dsease ndex Dsease Index Dsease Index Dsease ndex Control Weeds Logstc Exponental Logstc Exponental PC PP Logstc Exponental Logstc Exponental Defnmos a como la cantdad de plantas enfermas en una fecha j, tratamento y jk parcela k. Como las parcelas se observan repetdamente, podemos pensar en un efecto aleatoro de parcela formular es u, con lo que el modelo no lneal mxto que podemos k u Bnomal(, ) jk k jk jk jk k j jk logt log u r dap u k Normal(, ) Con este modelo podemos observar que la esperanza condconal de proporcón de plantas con síntomas) es jk p jk (la E( p u ) jk jk k exp( u r dap ) k j exp( u r dap ) k j

5 Como menconamos anterormente, la esperanza margnal no segurá la msma forma funconal (es decr, no será una funcón logístca) pero se aproxmará bastante a ésta. S por el contraro, formulamos la esperanza margnal como una logístca, debemos mponer un modelo para la correlacón entre observacones de la msma parcela. Por ejemplo, podemos formular una correlacón de tpo autorregresvo de orden para la correlacón: * * * ( ) exp( dap ) * r j jk jk exp( * * * r dap ) j E Corr(, ) jk jk * k k* Es mportante notar que los parámetros de este modelo son ntrínsecamente dferentes a los del modelo mxto, por lo que hemos usado asterscos para dferencarlos. Los del modelo mxto se nterpretan en térmnos específcos para sujetos (.e. parcelas, en este ejemplo), mentras que los del margnal son promedos poblaconales. Para ajustar estos modelos en SAS se puede usar Proc NLMxed (modelo no lneal mxto) y Proc GLIMMIX (modelo margnal o generalzado mxto). Para ajustar en Proc GLIMMIX, no son necesaros valores ncales de los parámetros, y se puede usar las facldades del comando class, que crea varables ndcadoras (dummy varables) para los tratamentos.