ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 2
|
|
- César Velázquez Vega
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 2 Combinatoria (Curso ) 6. Cierto juego de dados se basa en jugadas consistentes en lanzar simultáneamente cinco dados (de los tradicionales). (a) Cuántos resultados distintos podemos obtener en cada uno de estos lanzamientos? (Los dados son indistinguibles.) Cada dado tiene seis posibilidades. No distinguimos orden alguno en los dados. Se trata por tanto de combinaciones con repetición (dos dados pueden sacar el mismo número) de 6 clases de elementos tomadas de 5 en 5: ( ) CR 6,5 = = (b) En cuántos de ellos los dados muestran exactamente tres caras diferentes? Fijamos las tres caras que se mostrarán. Cadan una de ellas aparece al menos en un dado. Sobre los dos dados restantes el número de posiblidades corresponde a las combinaciones con repetición de clases de elementos tomados de 2 en 2, CR,2. Por otra parte para elegir las tres caras distintas que aparecerán de entre las 6 posibles tenemos C 6, casos. Por tanto el número que buscamos es: ( ) CR,2 C 6, = 2 ( ) 6 = (a) Tres personas suben en la planta baja al ascensor de un edificio que tiene cinco pisos. De cuántas maneras diferentes pueden ir saliendo del ascensor si en ningún piso baja más de una persona?. Resolver el problema tanto si se distingue como si no entre las personas. - Primero supongamos que distinguimos entre las personas. Por cada persona elegimos un piso, teniendo en cuenta que no se puede repetir piso, ya que en cada uno no se baja más de una persona. Por tanto se trata de variaciones sin repetición de 5 elementos tomados de en : V 5, = 5 4 = 60 - Ahora supongamos que no distinguimos entre las personas. La diferencia es que ahora no importa el orden en que elijamos los pisos. Por tanto se trata de combinaciones sin repetición de 5 elementos tomados de en : C 5, = ( ) 5 = = 10
2 (b) De cuántas maneras pueden alinearse siete personas, si tres de ellas deben estar juntas? Contabilizamos primero el grupo de tres que no debe de separarse como una solo elemento. Contamos entonces de cuantas maneras puede alinearse 5 elementos (4 personas y el grupo de ). Son permutaciones de 5 elementos. Ahora por cada una de esas alineaciones, los tres del grupo especial pueden intercambiar sus posiciones. El número posible de posiciones que pueden tomar son permutaciones de elementos. En definitiva las posibilidades totales son: P 5 P = 5!! = = En una carrera deportiva participan cinco equipos de cuatro corredores cada uno. Para contabilizar el resultado al primero se le adjudican cuatro puntos, al segundo dos y al tercero uno. (a) Cuántos resultados distintos son posibles, con la condición de que los tres corredores sean de tres equipos distintos? Los cinco equipos pueden ordenarse en los tres primeros puestos de V 5, = 5 4 formas distintas. Ahora dentro de cada equipo hay 4 posibilidades, una por cada corredor. El número total de posibles resultados será: = 840. (b) Cuántos resultados posibles son distintos en la competición por equipos? Las posibilidades son: - Todos los puntos para un equipo: 5 posibilidades. - 6 puntos para un equipo (primer y segundo puesto) y 1 para otro (tercer puesto): 5 4 posibilidades. - 5 puntos para un equipo (primer y tercer puesto) y 2 para otro (segundo puesto): 5 4 posibilidades. - 4 puntos para un equipo (primer puesto) y para otro (segundo y tercero): 5 4 posibilidades. - Que los puntos se repartan entre equipos distintos: 5 4 posibilidades. En total quedan: resultados posibles = = 125
3 ÁLGEBRA Problemas adicionales Combinatoria (Curso ) I. Queremos cubrir una quiniela de fútbol compuesta de 15 partidos. (a) Cuántas quinielas distintas podemos cubrir sin utilizar resultados múltiples?. En cada partido puede haber tres posibles resultados 1x2; por tanto las posibilidades son: 15 = Si lo queremos razonar en la forma usual se trata de contar cuantos grupos ordenados de 15 elementos podemos formar utilizando tres símbolos que pueden repetirse. Es decir, variaciones con repetición de elementos tomados de 15 en 15. (b) Cuántas quinielas distintas podemos cubrir si utilizamos tres resultados dobles y dos triples?. Primero determinamos en que partidos están los resultados dobles y en cuales los triples. Se trata de escoger partidos de entre 15 para los dobles, y 2 partidos de entre los 12 restantes para los triples. Son respectivamente combinaciones sin repetición de 15 elementos tomados de en y de 12 elementos tomados de 2 en 2: C 15, C 12,2 = ( 15 )( 12 2 ) = = 000 Ahora tenemos que elegir en los dobles que resultado ponemos (1x, 12 o x2). Por tanto hay tres opciones para cada uno de ellos. Para los triples hay una única opción. Mientras que para los 10 resultados restantes hay opciones. El número total de posibilidades será: C 15, C 12,2 1 = II. En una cena de antiguos compañeros de clase hay doce comensales que han reservado una mesa redonda en un restaurante de moda. Por una vieja rencilla dos de ellos no se tratan. El organizador, preocupado por la situación, se pregunta: (a) De cuantas formas pueden sentarse a la mesa los doce comensales, de manera que los enemistados no se sienten juntos?. Método I: Primero calculamos de cuantas formas pueden sentarse los 12 sin ninguna restricción. Teniendo en cuenta que es una mesa redonda, lo que diferencia una configuración de otra es la posición relativa de unos respecto a otros. Por tanto fijamos un comensal. Los once restantes pueden sentarse en once sillas, de manera que el orden en que se
4 coloquen diferencia una configuración de otra. Se trata por tanto de permutaciones de 11 elementos, es decir: P 11 = 11! Ahora vemos en cuantas de estas posibilidades los dos enemistados A y B se sientan juntos. Fijado A como referencia, B puede sentarse a su derecha o a su izquierda, y los 10 restantes en las 10 sillas que quedan. Son por tanto 2 P 10 opciones. Restando unas de otras queda: P 11 2 P 10 = 11! 2 10! = 9 10! Método II: Directamente: si los enemistados son A y B, fijamos la posición de A. Entonces B puede sentarse en cualquier silla que no este al lado de A, es decir, 9 opciones. Los otros 10 en las restantes. Obtenemos que las posibilidades totales son: 9 P 10 = 9 10! (b) De cuantas formas pueden sentarse a la mesa los doce comensales, de manera que los dos enemistados no se sienten uno enfrente del otro?. Método I: A las posibilidades totales le descontamos en las que A y B están enfrente. Fijadas sus posiciones los otros 10 se pueden sentar en las 10 sillas restantes. Son P 10 combinaciones. Por tanto aquellas en las que no están enfrente son: P 11 P 10 = 11! 10! = 10 10! Método II: Directamente: fijada la posición de A, si B no esta enfrente puede sentarse en las 10 sillas restantes. Ahora los otros invitados pueden sentarse en cualquier silla no ocupada. Las opciones totales son: 10 P 10 = 10 10! (c) De cuantas formas pueden sentarse a la mesa los doce comensales, de manera que los dos enemistados no se sienten ni juntos ni uno enfrente del otro?. Método I: A las posibilidades totales les restamos aquellas en las que A y B están juntos o enfrente: P 11! 2 P 10! P 10! = 11! 10! = 8 10! Métod II: Directamente: fijada la posición de A, si B no esta enfrente ni al lado puede sentarse en 8 sillas. Los otros comensales eligen entre las 10 sillas restantes. Queda: 8 P 10 = 8 10!
5 III. Vives en una urbanización que se puede representar esquemáticamente con el siguiente diagrama: Una mañana te dispones a desplazarte desde A hasta B. Es claro que para hacerlo tendrás que recorrer al menos 11 tramos (un tramo es la longitud del lado de una manzana). (a) Cuantos recorridos formados por 11 tramos llevan desde A hasta B? Para hacer el recorrido en once tramos necesariamente en cada cruce sólo puedes, o bien subir, o bien ir a la derecha. Si bajas o vas a la izquierda necesitarías más de 11 tramos para completar el recorrido. En concreto hay que subir 4 manzanas e ir 7 a la derecha. Por tanto una ruta de once tramos consiste simplemente en decidir en que orden hacemos los tramos de subida y los de ir a la derecha. Son permutaciones con repetición de 11 elementos donde hay 7 de una clase y 4 de la otra: (b) Cuántos de 12 tramos? P(11; 7, 4) = 11! 7!4! = 0 Sabemos que el número mínimo de tramos es 11, 4 hacia arriba y 7 a la derecha. Si recorremos algún tramo a la izquieda o hacia abajo, hemos de volver a recorrer otro hacia la derecha o hacia arriba respectivamente, para recuperalo. Por tanto para completar el recorrido de A a B, necesariamente hemos de añadir un número par de tramos al número mínimo 11. Deducimos que es imposible hacerlo en 12 tramos. (c) Si deseas evitar a toda costa la intersección C marcada en el dibujo (por motivos que no vienen al caso), cuántos recorridos de 11 tramos puedes seguir? Contamos el número de recorridos de 11 tramos que pasan por la intersección C y los descontamos del número de recorridos total calculado en (a). Para ir de A a C necesitamos tramos a la derecha y 2 hacia arriba. Las posibilidades son P(5;, 2). Para ir de C a B necesitamos 4 tramos a la derecha y 2 hacia arriba. Es decir, P(6; 4, 2) posiblidades. En total hay recorridos de 11 tramos pasando por C. P(5;, 2) P(6; 4, 2) = 5!!2! 6! 4!2! = 150
6 Por tanto el número de recorridos de 11 tramos que no pasan por C es: 11! 7!4! 5!!2! 6! = = !2! IV. Tres personas se suben al ascensor en la planta baja de un edificio con 5 plantas más. Calcular de cuántas formas pueden bajar del ascensor (a) si distinguimos entre las tres personas. Cada una de ellas puede elegir una cualquiera de las 5 plantas, pudiendo bajarse dos o más en la misma. Son por tanto variaciones con repetición de 5 elementos tomados de en : V R 5, = 5 = 125 (b) si no distinguimos entre las tres personas Ahora, como no distinguimos entre las personas no nos importa el orden en que se elijan las plantas. Por tanto son combinaciones con repetición de 5 clases de elementos tomados de en : ( ) CR 5, = = 5 V. (a) De cuántas maneras pueden entrar diez alumnos en tres aulas, si no se hace distinción de personas? Método I: Para contar cuántas posibilidades hay podemos tener en cuenta lo siguiente. Escribimos un número del 1 al por cada uno de los alumnos, dependiendo de en qué clase ha entrado. Estamos formando por tanto grupos de 10 elementos escogidos de entre posibles. Como dos alumnos pueden entrar en la misma clase, pueden repetirse elementos. Como no distinguimos entre los alumnos, no nos importa el orden en que escribimos los 10 números del 1 al. Se trata por tanto de combinaciones con repetición de tipos de elementos tomados de 10 en 10: ( ) ( ) CR,10 = = = = 66. Método II: Contamos de la siguiente manera. - Si en la clase 1 no entra ningún alumno, los 10 entrarán en las dos restantes distribuidos: 10 0; 9 1; 8 2; ; 11 posibilidades.
7 - Si en la clase 1 entra 1 alumno, los 9 restantes podrán distribuirse: 9 0; 8 1; 7 2; ; 10 posibilidades. Reiterando este argumento vemos que el número de posibilidades totales es: = (b) Y si sí que se distingue entre personas? 11 (1 + 11) 2 = 66. Razonamos como antes. La única diferencia es que ahora sí distinguimos entre alumnos. Por tanto si importa el orden en que escribimos los 10 números del 1 al. Se trata de variaciones con repetición de tipos de elementos tomados de 10 en 10: V R,10 = 10 = VI. (a) Cuántas palabras de 10 letras se pueden formar con las letras de MATEMATICA? Vemos que algunas letras de la palabra MATEMATICA se repiten. En concreto tenemos: M : 2, A :, T : 2, E : 1, I : 1, C : 1. Hay que contar de cuantas formas podemos reordenar estas 10 letras, teniendo en cuenta las que hay repetidas. Obviamente lo que diferencia una palabra de otras es el orden en el que se escriben las letras. Se trata de permutaciones con repetición: PR 10;,2,2,1,1,1 = 10!!2!2! = (b) Cuántas palabras de 9 letras se pueden formar con las letras de MATEMATICA? Razonamos como antes, pero teniendo en cuenta que descartaremos una letra: - Si descartamos una A, las posibilidades son: PR 9;2,2,2,1,1,1 = 9! 2!2!2! = Si descartamos una Mo una T, las posibilidades son: 2 PR 9;,2,1,1,1,1 = 2 9! = = !2! - Si descartamos una E, una I o una C, las posibilidades son: En total tenemos: PR 9;,2,2,1,1 = 9! = = 4560.!2!2! PR 9;2,2,2,1,1,1 + 2 PR 9;,2,1,1,1,1 + PR 9;,2,2,1,1 = =
ÁLGEBRA Algunas soluciones a la Práctica 2
ÁLGEBRA Algunas soluciones a la Práctica Combinatoria (Curso 009 010) 7. Sea A un conjunto con n elementos. Cuántos subconjuntos tiene el conjunto A?. Probar que el número de subconjuntos de cardinal par
Más detallesPREPARACION OLIMPIADA MATEMATICA CURSO
Comenzaremos recordando algunos conocimientos matemáticos que nos son necesarios. Para ello veamos el concepto de factorial de un número natural. Es decir, es un producto decreciente desde el número que
Más detallesNormalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:
ENCUENTRO # 43 TEMA: Permutaciones y Combinatoria Ejercicio Reto Resolver las ecuaciones: a) b) DEFINICION: Permutación y Combinaciones Qué diferencia hay? Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente,
Más detalles3. Qué posibilidades hay de que me toquen los cuatro ases en una mano de tute?.
Capítulo 1 COMBINATORIA Previamente al estudio de la probabilidad en sí, conviene dedicar algún tiempo al repaso de las técnicas combinatorias. Recordemos que la Combinatoria es la parte de las Matemáticas
Más detallesÁlgebra Lineal y Estructuras Matemáticas. J. C. Rosales y P. A. García Sánchez. Departamento de Álgebra, Universidad de Granada
Álgebra Lineal y Estructuras Matemáticas J. C. Rosales y P. A. García Sánchez Departamento de Álgebra, Universidad de Granada Capítulo 8 Combinatoria La combinatoria es la técnica de saber cuántos elementos
Más detalles47! 44! 3! 3. Calcula: c) ( 5 2 ) ( 5 3 ) B)PROBLEMAS MEDIANTE VARIACIONES, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.
Ejercicios y problemas. A) NÚMEROS FACTORIALES Y COMBINATORIOS. 1. Calcula: a) 3! b) 5! c) 7! d) 4! 2. Simplifica al máximo, a) 15! 18! b) 23! 20! c) 33! 2! 35! d) 47! 44! 3! 3. Calcula: a) ( 6 2 ) b)
Más detallesTEMA 17: PROBABILIDAD
TEMA 17: PROBABILIDAD Probabilidad de un suceso aleatorio es un numero entre 0 y 1 (más cerca del 0, mas difícil que ocurra. Más cerca del 1 más fácil que ocurra). Suceso seguro: Su probabilidad es 1.
Más detallesRecuerda lo fundamental
11 Combinatoria Recuerda lo fundamental Curso:... Fecha:... COMBINATORIA VARIACIONES CON REPETICIÓN Son las agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos distintos.
Más detallesAcademia, Librería, Informática Diego E S Q U E M A D E C O M B I N A T O R I A. CUADRO RESUMEN Sí (Variaciones o Permutaciones) m n m=n
E S Q U E M A D E C O M B I N A T O R I A m = Número de elementos de que se dispone. n = De cuánto en cuánto se cogen. Influye el orden? CUADRO RESUMEN Sí (Variaciones o Permutaciones) m n m=n No (Combinaciones)
Más detallesEspacio Muestral, se denota con la letra S, y representa el conjunto de todos los sucesos aleatorios. Por ejemplo: Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por: S= {Ø, {C}, {X}, {C,X}}.
Más detallesANÁLISIS COMBINATORIO
ANÁLISIS COMBINATORIO 1. Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado. 2. De acuerdo al principio fundamental del
Más detallesEJERCICIOS DE VARIACIONES
EJERCICIOS DE VARIACIONES 1. Cuántos resultados distintos pueden producirse al lanzar una moneda cuatro veces al aire.. Cuántos números de cuatro cifras distintos pueden formarse con los elementos del
Más detallesSolución del I Examen de Matemáticas Discreta
Solución del I Examen de Matemáticas Discreta 1. En un grupo hay 10 hombres y 15 mujeres: (a De cuantas maneras se puede elegir una comisión de 5 personas si hay al menos un hombre y dos mujeres? (b De
Más detallesCombinatoria. En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:
Conceptos de combinatoria Combinatoria En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir: 1. Población Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con
Más detallesTema 10: Combinatoria.
Tema 10: Combinatoria. En este tema, vamos a perfeccionar una técnica que todos conocemos desde pequeños, vamos a aprender a contar. Lógicamente, todos habéis contado cosas en vuestra vida desde pequeños
Más detallesBienvenidos al mundo de las variaciones, arreglos,permutaciones.!
Bienvenidos al mundo de las variaciones, arreglos,permutaciones.! Conceptos previos. PRINCIPIO SUMATIVO: Si un evento se da de n formas diferentes y otro evento se da de m formas diferentes.la elección
Más detallesSolución: Las rectas paralelas a estas tienen la misma pendiente, es decir 2; por tanto la ecuación es:
Representa las rectas y = x + e y = x y calcula el punto que tienen en común El punto que tienen en común estas dos rectas se obtiene resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones: y = x + y = x 3 x =,
Más detallesTécnicas de Conteo TÉCNICAS DE CONTEO
TÉCNICAS DE CONTEO En matemáticas, contar cosas es un concepto fundamental. No obstante, no siempre es simple. El área de las matemáticas que se ocupa de resolver problemas que consisten en contar un cierto
Más detalles071234 ANALISIS APELLIDO NOMBRE
Permutaciones Trabajo a realizar de este tema: En Excel 2003 hoja 1, prepara un(os) cuadro(s) sinópticos o mapas conceptuales o mapas mentales que sinteticen los capítulos: 0701 Análisis combinatorio,
Más detallesProblema nº 1: Dominó/Dominó triangular
Problema nº 1: Dominó/Dominó triangular Las fichas del juego del dominó son rectángulos formados a partir de la unión de dos cuadrados. En esos cuadrados hay puntos que pueden variar de 0 a 6. Así tenemos
Más detallesESTADÍSTICA INFERENCIAL
ESTADÍSTICA INFERENCIAL ESTADÍSTICA INFERENCIAL 1 Sesión No. 2 Nombre: Probabilidad Contextualización En la sesión anterior analizamos cómo a largo plazo un fenómeno aleatorio o probabilístico posee un
Más detallesCOMBINATORIA. Elaborado por Ildefonso Aranda y Paco Cuenca, profesores de Matemáticas en el I.E.S. Gil de Zático de Torreperogil (Jaén)
COMBINATORIA Elaborado por Ildefonso Aranda y Paco Cuenca, profesores de Matemáticas en el I.E.S. Gil de Zático de Torreperogil (Jaén) 1. FACTORIAL DE UN NÚMERO (Factorial de un número ) El factorial de
Más detallesUnidad 3 Combinaciones
Unidad 3 Combinaciones Combinaciones Contar una selección no ordenada de objetos. Ejemplo Cuántos comités diferentes de tres estudiantes se pueden formar desde un grupo de cuatro estudiantes? R= 4 {1,2,3},
Más detallesLección 2: Combinatoria
Lección 2: Combinatoria Quizás algún estudiante no esta familiarizado con la combinaroria. El objetivo de esta lección es dar los conceptos básicos de de esta disciplina. 1 Variaciones 1.1 Variaciones
Más detallesSOLUCIÓN: a1.- Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos consonantes? Diagrama de árbol
EJERCICIO: Se colocan ( al azar) en línea las letras de la palabra matemáticas. Cuál es la probabilidad de que la palabra formada empiece por dos consonantes? Y por dos vocales? y la de que empiece por
Más detallesCPE (SEGUNDO CURSO) PRÁCTICA 0 SOLUCIONES (Curso 2015 2016)
1/11 CPE (SEGUNDO CURSO) PRÁCTICA 0 SOLUCIONES (Curso 2015 2016) 1. Considérese una función de n variables f(x 1, x 2,..., x n ). Cuántas derivadas parciales de orden r se pueden calcular? Teniendo en
Más detallesEJERCICIOS Y PROBLEMAS DE COMBINATORIA
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE COMBINATORIA En estas hojas se presenta una colección variada de ejercicios y problemas de combinatoria. Los ejercicios están mezclados de forma que no se prevea si se trata de
Más detallesEjercicios resueltos de probabilidad
Ejercicios resueltos de probabilidad 1) En un saco tenemos bolas con las letras de la palabra "MATEMÁTICAS" (en las bolas, ninguna letra tiene tilde). Sacamos cuatro bolas por orden Hay la misma probabilidad
Más detallesGUIA No.3 TERCER PERIODO ESTADISTICA GRADO ONCE
GUIA No.3 TERCER PERIODO ESTADISTICA GRADO ONCE PERMUTACIONES Para considerar la técnica de la permutación es necesario definir la operación factorial, el operador factorial se define sobre los números
Más detallesProbabilidad y Estadística
Probabilidad y Estadística Probabilidad Conceptos como probabilidad, azar, aleatorio son tan viejos como la misma civilización. Y es que a diario utilizamos el concepto de probabilidad: Quizá llueva mañana
Más detallesOBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Experimento determinista. Experimento aleatorio. Espacio muestral. Suceso elemental.
Probabilidad INTRODUCCIÓN El estudio matemático de la probabilidad surge históricamente vinculado a los juegos de azar. Actualmente la probabilidad se utiliza en muchas disciplinas unidas a la Estadística:
Más detallesProbabilidad: Introducción
Probabilidad: Introducción La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento. Ejemplo: tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la
Más detallesLección 1: Números reales
GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 1: Números reales Los números irracionales En los grados anteriores estudiamos distintas clases de números: Vimos en primer lugar: los naturales, que son aquellos que sirven
Más detallesUNA PRIMERA LECCIÓN DE COMBINATORIA. Francisco Bellot Rosado. Seminario de Problemas, Valladolid, de octubre de 2012
UNA PRIMERA LECCIÓN DE COMBINATORIA Francisco Bellot Rosado Seminario de Problemas, Valladolid, 16-17 de octubre de 2012 Algunas formas de explicar cuestiones de Matemáticas, expuestas por buenos profesores,
Más detallesCombinatoria. Probabilidad. Números complejos. Combinatoria. Técnicas de recuento. Tabla de números aleatorios.
Tema 4 Combinatoria. Probabilidad. Números complejos. Introducción. Combinatoria. Técnicas de recuento. Tabla de números aleatorios. Probabilidad de un suceso. Ley de los grandes números. Probabilidad
Más detallesCon miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, tenemos a continiacion un ejemplo:
Método Simplex. Este método fue creado en el año 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el objetivo de crear un algoritmo capaz de crear soluciones
Más detallesMateria: Matemática de Octavo Tema: Conjunto Q (Números Racionales)
Materia: Matemática de Octavo Tema: Conjunto Q (Números Racionales) Vamos a recordar los conjuntos numéricos estudiados hasta el momento. (1.) Conjunto de los números Naturales Son aquellos que utilizamos
Más detallesSoluciones - Tercer Nivel Infantil
SOCIEDAD ECUATORIANA DE MATEMÁTICA ETAPA CLASIFICATORIA "VII EDICIÓN DE LAS OLIMPIADAS DE LA SOCIEDAD ECUATORIANA DE MATEMÁTICA" Soluciones - Tercer Nivel Infantil 01 de abril de 2010 1. En un reloj de
Más detallesReglas básicas e inicio como jugador de poker
Reglas básicas e inicio como jugador de poker Hola a todos de nuevo! Como comentamos en el anterior artículo, la modalidad más popular hoy en día de poker es el Texas Hold em. En este artículo veremos
Más detallesFRACCIONES. Las partes que tomamos ( 3 ó 5 ) se llaman numerador y las partes en que dividimos el queso ( 8 ) denominador.
FRACCIONES Una fracción, en general, es la expresión de una cantidad dividida por otra, y una fracción propia representa las partes que tomamos de un todo. El ejemplo clásico es el de un queso que partimos
Más detallesMateria: Matemática de 5to Tema: Ecuación de la Recta. Marco Teórico
Materia: Matemática de 5to Tema: Ecuación de la Recta Marco Teórico Simplemente comenzar con la ecuación general de la forma pendiente-intersección de una línea, y luego conecte los valores dados de y
Más detallesContenidos. Capítulo 1 Grimaldi. Introducción Reglas. Combinación. Coeficiente. Permutación. Ejercicios 20/05/2014. sin repeticiones con repeticiones
Capítulo 1 Grimaldi Contenidos Introducción Reglas de la suma del producto Permutación sin repeticiones con repeticiones elementos repetidos circular Combinación sin repeticiones con repeticiones Coeficiente
Más detallesCapítulo 6 Combinatoria
Capítulo 6 Combinatoria 6.1 Introducción Se trata de contar el número de elementos de un conjunto finito caracterizado por ciertas propiedades. Principios fundamentales 1. Principio de la multiplicación
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3
ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2011 2012) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí.
Más detallesA i = A i. En total, tenemos = = 520 alumnos para escoger.
Capítulo 4 Combinatoria La Combinatoria estudia las distintas formas de agrupar o seleccionar los elementos de un conjunto finito, calcula cuantas selecciones hay y, en ocasiones, las genera. El tipo de
Más detallesCalcular probabilidad clásica mediante regla de Laplace. Reconocer elementos básicos en las probabilidades.
Guía N 18 Nombre: Fecha: Contenidos: Probabilidad Clásica Objetivos: Calcular probabilidad clásica mediante regla de Laplace. Reconocer elementos básicos en las probabilidades. Métodos de conteo Los métodos
Más detalles5.5 LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
5.5 LÍNES TRIGONOMÉTRIS Sea (O, ) una circunferencia con centro en el origen de coordenadas O(0, 0) radio la unidad. Si se construe un ángulo con vértice en el origen sentido positivo podemos obtener las
Más detallesCOMBINACIONES CON REPETICIÓN. cajas, teniendo en cuenta que cada caja puede
COMBINACIONES CON REPETICIÓN Tenemos objetos idénticos para distribuir en n cajas distintas de cuántas formas distintas se pueden introducir los objetos en las n contener los objetos? cajas, teniendo en
Más detallesProblema 1. Para un planeta general del interior, la probabilidad de visita se calculará a partir de la probabilidad de los planetas anteriores. .
Problema l comandante de la flota escarlata está muy interesado en saber cual es la probabilidad de encuentro con la flota azul, que si ocurre tal encuentro será en algún planeta de la diagonal central.
Más detallesParciales Matemática CBC Parciales Resueltos - Exapuni.
Parciales Matemática CBC 2012 Parciales Resueltos - Exapuni www.exapuni.com.ar Compilado de primeros parciales del 2012 Parcial 1 1) Sea. Hallar todos los puntos de la forma, tales que la distancia entre
Más detallesESTADISTICA 1 CONTEO
ESTADISTICA 1 CONTEO PRINCIPIO DE ENUMERACION PERMUTACIONES Y COMBINACIONES PRINCIPIO DE ENUMERACION Si un suceso puede ocurrir de m maneras diferentes y, después de que ha sucedido, un segundo suceso
Más detallesCómo crear un Juego de preguntas en Educamóvil
Cómo crear un Juego de preguntas en Educamóvil El Juego de preguntas El Juego de preguntas es uno de los objetos que hay disponibles en Educamóvil que nos permite generar, en un punto determinado del mapa,
Más detallesUANL UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON PREPARATORIA 23
PORTAFOLIO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CUARTA OPORTUNIDAD FECHA DE EXAMEN: HORA: Nombre del alumno: Grupo: RÚBRICA: Ten en cuenta que el hecho de entregar el trabajo no te otorga automáticamente 40 puntos.
Más detalles071234 ANALISIS APELLIDO NOMBRE
Combinaciones Trabajo a realizar de este tema: En Excel 2003 hoja 1, prepara un(os) cuadro(s) sinópticos o mapas conceptuales o mapas mentales que sinteticen los capítulos: 0701 Análisis combinatorio,
Más detalles1 : 00 7 : 00 : 1 : 30 11 : 30 : : 2 : 30 : Nombre. Fecha. Es la una. Son las cuatro. y media. y media. Es la una. Es la una. en punto.
1 : 00 7 : 00 : cuatro 1 : 30 11 : 30 : : 2 : 30 : doce : 9 : 00 : once : : : dos doce 1 : 30 5 : 30 12 : 00 : : 8 : 00 cinco : 3 : 30 11 : 30 : : : tres tres 1 : 00 : : cinco tres : : : cinco once 1 :
Más detallesPRIMERA FASE. PROBLEMA Nº 1 TRIÁNGULO. Calcula el área del triángulo. Los cuadrados tienen 5, 4 y 3 cm de lado.
PROBLEMAS DE LA PRIMERA FASE NIVEL 10 12 (5º y 6º de Primaria) PRIMERA FASE. PROBLEMA Nº 1 TRIÁNGULO Calcula el área del triángulo. Los cuadrados tienen 5, 4 y 3 cm de lado. PRIMERA FASE. PROBLEMA Nº 2
Más detallesPrueba Matemática Coef. 1 NM-4
1 Centro Educacional San Carlos de Aragón. Sector: Matemática. Prof.: Ximena Gallegos H. Prueba Matemática Coef. 1 NM-4 Nombre: Curso: Fecha. Porcentaje de Logro Ideal: 100% Porcentaje Logrado: Nota: Unidad:
Más detallesMétodo de Sustitución
Método de Sustitución El nombre de este método nos indica qué es lo que vamos a hacer: para resolver el S.E.L. de dos ecuaciones con dos incógnitas vamos a «despejar» una de las incógnitas de una de las
Más detallesAlfabeto Braille. El total de posibilidades será: = 12. Teoría de la Computabilidad Prof. Carlos Iván Chesñevar DCIC, UNS
Capítulo : Combinatoria Teoría de la Computabilidad Módulo 9 Combinatoria La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada
Más detallesOPENOFFICE IMPRESS. Creación básica de presentaciones digitales
OPENOFFICE IMPRESS Creación básica de presentaciones digitales Qué es OpenOffice Impress? Es la herramienta que nos ofrece OpenOffice para realizar presentaciones Las presentaciones permiten comunicar
Más detallesLógica y Conteo. Elaborado por: Jeff Maynard Guillén. Eliminatoria III
Lógica y Conteo Elaborado por: Jeff Maynard Guillén Eliminatoria III Mayo, 2011 Lógica-Conteo Principio de Conteo: Si tenemos n opciones, y cada una de estas tiene a su vez m opciones, entonces la cantidad
Más detallesGUÍA EXÁMENES FINALES Y EXTRAORDINARIO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. Ciclo
Página: 1 Docente: Judith Ávila Jáen Instrucciones: resuelve lo que a continuación se indica. 1. Resolver las siguientes operaciones con de conjuntos si se tiene, U 0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9 A 1,2,3,4, 5 B
Más detallesTEÓRICO-PRÁCTICO Nº 2 Combinatoria
TEÓRICO-PRÁCTICO Nº 2 Combinatoria EJERCICIOS INTRODUCTORIOS: 1. Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2 y 3? Y si se repiten los dígitos? 2. Cuantos números de
Más detallesOlimpiada Mexicana de Matemáticas Guanajuato
Olimpiada Mexicana de Matemáticas Guanajuato 22 de Mayo de 2010 1.- Sobre una mesa se tienen 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro (no se especifica cuántas con el lado rojo hacia arriba
Más detallesGUIA INFORMATIVA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
GUIA INFORMATIVA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Para el estudio de la Trigonometría es importante tomar en cuenta conocimientos básicos sobre: concepto de triángulo, su clasificación, conceptos de ángulos
Más detallesTALLER DE JUEGOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
TALLER DE JUEGOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Sevilla. Noviembre 2015 Ana García Azcárate Grupo Azarquiel anagazcarate@gmail.com www.anagarciaazcarate.wordpress.com JUGAR EN CLASE DE MATEMÁTICAS! A muchos
Más detalles2) Una persona tiene 6 chaquetas y 10 pantalones. De cuántas formas distintas puede combinar estas prendas?.
ACTIVIDADES COMBINATORIA 1) Se distribuyen tres regalos distintos entre cinco chicos. De cuántas formas pueden hacerlo si: a) cada chico sólo puede recibir un regalo b) a cada chico le puede tocar más
Más detallesUNIDAD 5: LA DIVISIÓN.
UNIDAD 5: LA DIVISIÓN. ÍNDICE 5.1 Repaso de la división de números naturales. 5.1.1 Términos de la división 5.1.2 Palabras clave de la división 5.1.3 Prueba de la división 5.1.4 Tipos de divisiones según
Más detallesProbabilidad. Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz. Teoría de probabilidades
Experimentos deterministas Probabilidad Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas,
Más detallesRANGO Y DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
RANGO Y DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS El rango o recorrido de la distribución es la amplitud del intervalo en que se mueven los valores. Se calcula restando los valores etremos. La frecuencia es el número
Más detallesUnidad I Permutaciones y Combinaciones
Unidad I Permutaciones y Combinaciones Última revisión: 10-Septiembre-2009 Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 1 I.1 Factorial La función factorial (símbolo:!) sólo quiere decir que se multiplican
Más detallesSillas rodeando mesas
Sillas rodeando mesas Unidad 5.3: El álgebra describe nuestro mundo Plan de enseñanza Usando el contexto de sillas alrededor de mesas cuadradas, los estudiantes interactuarán con tres patrones lineales
Más detallesEl esfuerzo con que se dimensionan las losas que trabajan en dos direcciones es el momento flector.
Cálculo de Losas que trabajan en dos direcciones. Cálculo de los esfuerzos El esfuerzo con que se dimensionan las losas que trabajan en dos direcciones es el momento flector. Vamos a desarrollar el cálculo
Más detallesEste documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a Ciencia Matemática El mayor portal de recursos educativos a tu servicio! Susana Puddu Ejemplo 1. Dados dos conjuntos A y B, donde A tiene k
Más detallesESTADÍSTICA CON EXCEL
ESTADÍSTICA CON EXCEL 1. INTRODUCCIÓN La estadística es la rama de las matemáticas que se dedica al análisis e interpretación de series de datos, generando unos resultados que se utilizan básicamente en
Más detallesUNA COMIDA GRATIS. La Matemática es la reina de las ciencias y la teoría de números. Carl Friedrich Gauss ( ).
UNA COMIDA GRATIS - Que uno cualquiera anote el orden en que están sentados ahora. Mañana vienen a comer y se sientan en otro orden. Pasado mañana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto,
Más detallesFunción cuadrática. Ecuación de segundo grado completa
Función cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto
Más detallesCAPÍTULO 4: VARIABLES Y RAZONES
Capítulo 4: Variables y razones CAPÍTULO 4: VARIABLES Y RAZONES Fecha: 33 2014 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Curso 2 Fecha: Caja de herramientas 2014 CPM Educational
Más detallesGUÍAS 2 y 3: FRACCIONES EN QUE EL NUMERADOR ES MENOR QUE EL DENOMINADOR
unidad ásico MTERIL E TRJO PR EL UL GUÍ : EL NUMEROR Y EL ENOMINOR E UN FRIÓN En esta guía se espera que los estudiantes comprendan el significado del los conceptos de numerador y denominador. Se sugiere
Más detallesTEST DE RAZONAMIENTO NUMÉRICO. Consejos generales
TEST DE RAZONAMIENTO NUMÉRICO Consejos generales 1 I. INTRODUCCIÓN En lo relativo a los cálculos de porcentajes, es fundamental tener en cuenta que los porcentajes, en realidad, son referencias abstractas,
Más detallesSeleccionamos el programa Excel. Nos aparece la pantalla del programa
LECCIÓN 1ª Poner en marcha el programa Para poner en marcha el programa lo abrimos. Existen varias formas, por ejemplo partiendo del botón "Inicio" de la esquina inferior izquierda. Pulsamos el botón "Inicio"
Más detallesTEMA 3: FRACCIONES 1º ESO MATEMÁTICAS
TEMA : FRACCIONES 1º ESO MATEMÁTICAS Tema : Fracciones Fracciones equivalentes. Comparación de fracciones y ordenación Proporcionalidad, Porcentajes y escalas Operaciones con fracciones. + problemas 6
Más detallesProbabilidad. Literature de ficción para níños. Literature de no ficción para níños. Literature de ficción para adultos. Otras
C APÍTULO 0 Probabilidad Resumen del contenido El Capítulo 0 presenta unos conceptos básicos de probabilidad, incluyendo clases especiales de eventos, valores esperados y permutaciones y combinaciones
Más detallesExperimento aleatorio, Espacio muestral, Suceso
El siguiente material se encuentra en etapa de corrección y no deberá ser considerado una versión final. Alejandro D. Zylberberg Versión Actualizada al: 4 de mayo de 2004
Más detallesSistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS 1) (Selectividad 2005) Sea el siguiente sistema de inecuaciones: 3y 6; x 2y 4; x + y 8; x 0; y 0. Dibuje la región que definen y calcule sus
Más detallesCONJUNTO: Colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie.
RESUMEN DE MATEMATICAS I PARTE I CONJUNTOS CONJUNTO: Colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie. A= {números pares} B= { banda de rock} ELEMENTO: Son las ideas u objetos cualesquiera
Más detallesEcuaciones Diofánticas
2 Ecuaciones Diofánticas (c) 2011 leandromarin.com 1. Introducción Una ecuación diofántica es una ecuación con coeficientes enteros y de la que tenemos que calcular las soluciones enteras. En este tema
Más detalles1. TARJETAS NUMERADAS.
1. TARJETAS NUMERADAS. Alex y Bea tienen 10 tarjetas numeradas con los números 1, 2, 3,... 10. Juegan a un juego en el que uno de ellos debe usar tres tarjetas para obtener la suma que diga su compañero.
Más detallesAritmética de Enteros
Aritmética de Enteros La aritmética de los computadores difiere de la aritmética usada por nosotros. La diferencia más importante es que los computadores realizan operaciones con números cuya precisión
Más detallesCapítulo 3: Técnicas de Conteo Clase 2: Permutaciones y Combinaciones, Coeficientes Binomiales y Aplicaciones a Probabilidad Discreta
Capítulo 3: Técnicas de Conteo Clase 2: Permutaciones y Combinaciones, Coeficientes Binomiales y Aplicaciones a Probabilidad Discreta Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática
Más detallesIntroducción a la Probabilidad
Introducción a la Probabilidad Tema 3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 2 Objetivos Entender el concepto de experimento
Más detalles6. Mosaicos y movimientos. en el plano
6. Mosaicos y movimientos en el plano Ámbito científico 1. Mosaicos 2. Módulos planos 3. Diseña mosaicos 4. Ejemplos de mosaicos 5. Ejemplos de tramas 6. Mosaicos semiregulares I 7. Libro de espejos 8.
Más detallesFig Rutas que unen la ciudad círculo, la población triángulo y villa cuadrada.
OBJETIVO N 01 INTERPRETAR EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO Y APLICARLO EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS. ACTIVIDAD N 01 ANALICE LA SIGUIENTE INFORMACION Y LOS EJEMPLOS DESARROLLADOS SOBRE EL 3.1. PRINCIPIO
Más detallesTema 3: Números racionales
Tema 3: Números racionales SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 4 (Fracciones y números racionales positivos) (Pág. 9) 22. Al examen de junio de matemáticas se presentan 3 de cada
Más detallesEl radián se define como el ángulo que limita un arco cuya longitud es igual al radio del arco.
Trigonometría Radianes Los grados sexagesimales, que son los más frecuentes, se utilizan para dividir a la circunferencia en 360 partes iguales. Si colocamos el eje de coordenadas en la circunferencia
Más detallesNivel elemental Las cinco preguntas Nivel Avanzado Uso de otras condiciones Nivel Avanzado Cálculo de probabilidades...
COMBIMAQ 2 LA MÁQUINA DE COMBINAR GUÍA DE USO CONTENIDO Combimaq 2 La máquina de combinar... 1 Guía de uso... 1 Introducción... 1 Funcionamiento de Combimaq... 1 Pasos para concretar un problema... 2 Nivel
Más detalles3º ESO TEMA 7.- FUNCIONES Y GRÁFICAS. Página web del profesor: Profesor: Rafael Núñez Nogales
3º ESO TEMA 7.- FUNCIONES Y GRÁFICAS Página web del profesor: http://www.iesmontesorientales.es/mates/ 1.-LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS. (Págs: 13 y 133) 1.1.- Qué es una función? Esta gráfica representa
Más detalleso Una aproximación lo es por defecto cuando resulta que es menor que el valor exacto al que sustituye y por exceso cuando es mayor.
Números reales 1 Al trabajar con cantidades, en la vida real y en la mayoría de las aplicaciones prácticas, se utilizan estimaciones y aproximaciones. Sería absurdo decir que la capacidad de un pantano
Más detallesFUNCIONES y = f(x) ESO3
Las correspondencias entre conjunto de valores o magnitudes se pueden expresar de varias formas: con un enunciado, con una tabla, con una gráfica, o con una fórmula o expresión algebraica o analítica.
Más detallesMETODOS DE CONTEO Y PROBABILIDAD
METODOS DE CONTEO Y PROBABILIDAD PROBABILIDAD Cuando realizamos un experimento, diremos que es: Determinista: dadas unas condiciones iniciales, el resultado es siempre el mismo. Aleatorio: dadas unas condiciones
Más detalles