ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 2

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1 ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 2 Combinatoria (Curso ) 6. Cierto juego de dados se basa en jugadas consistentes en lanzar simultáneamente cinco dados (de los tradicionales). (a) Cuántos resultados distintos podemos obtener en cada uno de estos lanzamientos? (Los dados son indistinguibles.) Cada dado tiene seis posibilidades. No distinguimos orden alguno en los dados. Se trata por tanto de combinaciones con repetición (dos dados pueden sacar el mismo número) de 6 clases de elementos tomadas de 5 en 5: ( ) CR 6,5 = = (b) En cuántos de ellos los dados muestran exactamente tres caras diferentes? Fijamos las tres caras que se mostrarán. Cadan una de ellas aparece al menos en un dado. Sobre los dos dados restantes el número de posiblidades corresponde a las combinaciones con repetición de clases de elementos tomados de 2 en 2, CR,2. Por otra parte para elegir las tres caras distintas que aparecerán de entre las 6 posibles tenemos C 6, casos. Por tanto el número que buscamos es: ( ) CR,2 C 6, = 2 ( ) 6 = (a) Tres personas suben en la planta baja al ascensor de un edificio que tiene cinco pisos. De cuántas maneras diferentes pueden ir saliendo del ascensor si en ningún piso baja más de una persona?. Resolver el problema tanto si se distingue como si no entre las personas. - Primero supongamos que distinguimos entre las personas. Por cada persona elegimos un piso, teniendo en cuenta que no se puede repetir piso, ya que en cada uno no se baja más de una persona. Por tanto se trata de variaciones sin repetición de 5 elementos tomados de en : V 5, = 5 4 = 60 - Ahora supongamos que no distinguimos entre las personas. La diferencia es que ahora no importa el orden en que elijamos los pisos. Por tanto se trata de combinaciones sin repetición de 5 elementos tomados de en : C 5, = ( ) 5 = = 10

2 (b) De cuántas maneras pueden alinearse siete personas, si tres de ellas deben estar juntas? Contabilizamos primero el grupo de tres que no debe de separarse como una solo elemento. Contamos entonces de cuantas maneras puede alinearse 5 elementos (4 personas y el grupo de ). Son permutaciones de 5 elementos. Ahora por cada una de esas alineaciones, los tres del grupo especial pueden intercambiar sus posiciones. El número posible de posiciones que pueden tomar son permutaciones de elementos. En definitiva las posibilidades totales son: P 5 P = 5!! = = En una carrera deportiva participan cinco equipos de cuatro corredores cada uno. Para contabilizar el resultado al primero se le adjudican cuatro puntos, al segundo dos y al tercero uno. (a) Cuántos resultados distintos son posibles, con la condición de que los tres corredores sean de tres equipos distintos? Los cinco equipos pueden ordenarse en los tres primeros puestos de V 5, = 5 4 formas distintas. Ahora dentro de cada equipo hay 4 posibilidades, una por cada corredor. El número total de posibles resultados será: = 840. (b) Cuántos resultados posibles son distintos en la competición por equipos? Las posibilidades son: - Todos los puntos para un equipo: 5 posibilidades. - 6 puntos para un equipo (primer y segundo puesto) y 1 para otro (tercer puesto): 5 4 posibilidades. - 5 puntos para un equipo (primer y tercer puesto) y 2 para otro (segundo puesto): 5 4 posibilidades. - 4 puntos para un equipo (primer puesto) y para otro (segundo y tercero): 5 4 posibilidades. - Que los puntos se repartan entre equipos distintos: 5 4 posibilidades. En total quedan: resultados posibles = = 125

3 ÁLGEBRA Problemas adicionales Combinatoria (Curso ) I. Queremos cubrir una quiniela de fútbol compuesta de 15 partidos. (a) Cuántas quinielas distintas podemos cubrir sin utilizar resultados múltiples?. En cada partido puede haber tres posibles resultados 1x2; por tanto las posibilidades son: 15 = Si lo queremos razonar en la forma usual se trata de contar cuantos grupos ordenados de 15 elementos podemos formar utilizando tres símbolos que pueden repetirse. Es decir, variaciones con repetición de elementos tomados de 15 en 15. (b) Cuántas quinielas distintas podemos cubrir si utilizamos tres resultados dobles y dos triples?. Primero determinamos en que partidos están los resultados dobles y en cuales los triples. Se trata de escoger partidos de entre 15 para los dobles, y 2 partidos de entre los 12 restantes para los triples. Son respectivamente combinaciones sin repetición de 15 elementos tomados de en y de 12 elementos tomados de 2 en 2: C 15, C 12,2 = ( 15 )( 12 2 ) = = 000 Ahora tenemos que elegir en los dobles que resultado ponemos (1x, 12 o x2). Por tanto hay tres opciones para cada uno de ellos. Para los triples hay una única opción. Mientras que para los 10 resultados restantes hay opciones. El número total de posibilidades será: C 15, C 12,2 1 = II. En una cena de antiguos compañeros de clase hay doce comensales que han reservado una mesa redonda en un restaurante de moda. Por una vieja rencilla dos de ellos no se tratan. El organizador, preocupado por la situación, se pregunta: (a) De cuantas formas pueden sentarse a la mesa los doce comensales, de manera que los enemistados no se sienten juntos?. Método I: Primero calculamos de cuantas formas pueden sentarse los 12 sin ninguna restricción. Teniendo en cuenta que es una mesa redonda, lo que diferencia una configuración de otra es la posición relativa de unos respecto a otros. Por tanto fijamos un comensal. Los once restantes pueden sentarse en once sillas, de manera que el orden en que se

4 coloquen diferencia una configuración de otra. Se trata por tanto de permutaciones de 11 elementos, es decir: P 11 = 11! Ahora vemos en cuantas de estas posibilidades los dos enemistados A y B se sientan juntos. Fijado A como referencia, B puede sentarse a su derecha o a su izquierda, y los 10 restantes en las 10 sillas que quedan. Son por tanto 2 P 10 opciones. Restando unas de otras queda: P 11 2 P 10 = 11! 2 10! = 9 10! Método II: Directamente: si los enemistados son A y B, fijamos la posición de A. Entonces B puede sentarse en cualquier silla que no este al lado de A, es decir, 9 opciones. Los otros 10 en las restantes. Obtenemos que las posibilidades totales son: 9 P 10 = 9 10! (b) De cuantas formas pueden sentarse a la mesa los doce comensales, de manera que los dos enemistados no se sienten uno enfrente del otro?. Método I: A las posibilidades totales le descontamos en las que A y B están enfrente. Fijadas sus posiciones los otros 10 se pueden sentar en las 10 sillas restantes. Son P 10 combinaciones. Por tanto aquellas en las que no están enfrente son: P 11 P 10 = 11! 10! = 10 10! Método II: Directamente: fijada la posición de A, si B no esta enfrente puede sentarse en las 10 sillas restantes. Ahora los otros invitados pueden sentarse en cualquier silla no ocupada. Las opciones totales son: 10 P 10 = 10 10! (c) De cuantas formas pueden sentarse a la mesa los doce comensales, de manera que los dos enemistados no se sienten ni juntos ni uno enfrente del otro?. Método I: A las posibilidades totales les restamos aquellas en las que A y B están juntos o enfrente: P 11! 2 P 10! P 10! = 11! 10! = 8 10! Métod II: Directamente: fijada la posición de A, si B no esta enfrente ni al lado puede sentarse en 8 sillas. Los otros comensales eligen entre las 10 sillas restantes. Queda: 8 P 10 = 8 10!

5 III. Vives en una urbanización que se puede representar esquemáticamente con el siguiente diagrama: Una mañana te dispones a desplazarte desde A hasta B. Es claro que para hacerlo tendrás que recorrer al menos 11 tramos (un tramo es la longitud del lado de una manzana). (a) Cuantos recorridos formados por 11 tramos llevan desde A hasta B? Para hacer el recorrido en once tramos necesariamente en cada cruce sólo puedes, o bien subir, o bien ir a la derecha. Si bajas o vas a la izquierda necesitarías más de 11 tramos para completar el recorrido. En concreto hay que subir 4 manzanas e ir 7 a la derecha. Por tanto una ruta de once tramos consiste simplemente en decidir en que orden hacemos los tramos de subida y los de ir a la derecha. Son permutaciones con repetición de 11 elementos donde hay 7 de una clase y 4 de la otra: (b) Cuántos de 12 tramos? P(11; 7, 4) = 11! 7!4! = 0 Sabemos que el número mínimo de tramos es 11, 4 hacia arriba y 7 a la derecha. Si recorremos algún tramo a la izquieda o hacia abajo, hemos de volver a recorrer otro hacia la derecha o hacia arriba respectivamente, para recuperalo. Por tanto para completar el recorrido de A a B, necesariamente hemos de añadir un número par de tramos al número mínimo 11. Deducimos que es imposible hacerlo en 12 tramos. (c) Si deseas evitar a toda costa la intersección C marcada en el dibujo (por motivos que no vienen al caso), cuántos recorridos de 11 tramos puedes seguir? Contamos el número de recorridos de 11 tramos que pasan por la intersección C y los descontamos del número de recorridos total calculado en (a). Para ir de A a C necesitamos tramos a la derecha y 2 hacia arriba. Las posibilidades son P(5;, 2). Para ir de C a B necesitamos 4 tramos a la derecha y 2 hacia arriba. Es decir, P(6; 4, 2) posiblidades. En total hay recorridos de 11 tramos pasando por C. P(5;, 2) P(6; 4, 2) = 5!!2! 6! 4!2! = 150

6 Por tanto el número de recorridos de 11 tramos que no pasan por C es: 11! 7!4! 5!!2! 6! = = !2! IV. Tres personas se suben al ascensor en la planta baja de un edificio con 5 plantas más. Calcular de cuántas formas pueden bajar del ascensor (a) si distinguimos entre las tres personas. Cada una de ellas puede elegir una cualquiera de las 5 plantas, pudiendo bajarse dos o más en la misma. Son por tanto variaciones con repetición de 5 elementos tomados de en : V R 5, = 5 = 125 (b) si no distinguimos entre las tres personas Ahora, como no distinguimos entre las personas no nos importa el orden en que se elijan las plantas. Por tanto son combinaciones con repetición de 5 clases de elementos tomados de en : ( ) CR 5, = = 5 V. (a) De cuántas maneras pueden entrar diez alumnos en tres aulas, si no se hace distinción de personas? Método I: Para contar cuántas posibilidades hay podemos tener en cuenta lo siguiente. Escribimos un número del 1 al por cada uno de los alumnos, dependiendo de en qué clase ha entrado. Estamos formando por tanto grupos de 10 elementos escogidos de entre posibles. Como dos alumnos pueden entrar en la misma clase, pueden repetirse elementos. Como no distinguimos entre los alumnos, no nos importa el orden en que escribimos los 10 números del 1 al. Se trata por tanto de combinaciones con repetición de tipos de elementos tomados de 10 en 10: ( ) ( ) CR,10 = = = = 66. Método II: Contamos de la siguiente manera. - Si en la clase 1 no entra ningún alumno, los 10 entrarán en las dos restantes distribuidos: 10 0; 9 1; 8 2; ; 11 posibilidades.

7 - Si en la clase 1 entra 1 alumno, los 9 restantes podrán distribuirse: 9 0; 8 1; 7 2; ; 10 posibilidades. Reiterando este argumento vemos que el número de posibilidades totales es: = (b) Y si sí que se distingue entre personas? 11 (1 + 11) 2 = 66. Razonamos como antes. La única diferencia es que ahora sí distinguimos entre alumnos. Por tanto si importa el orden en que escribimos los 10 números del 1 al. Se trata de variaciones con repetición de tipos de elementos tomados de 10 en 10: V R,10 = 10 = VI. (a) Cuántas palabras de 10 letras se pueden formar con las letras de MATEMATICA? Vemos que algunas letras de la palabra MATEMATICA se repiten. En concreto tenemos: M : 2, A :, T : 2, E : 1, I : 1, C : 1. Hay que contar de cuantas formas podemos reordenar estas 10 letras, teniendo en cuenta las que hay repetidas. Obviamente lo que diferencia una palabra de otras es el orden en el que se escriben las letras. Se trata de permutaciones con repetición: PR 10;,2,2,1,1,1 = 10!!2!2! = (b) Cuántas palabras de 9 letras se pueden formar con las letras de MATEMATICA? Razonamos como antes, pero teniendo en cuenta que descartaremos una letra: - Si descartamos una A, las posibilidades son: PR 9;2,2,2,1,1,1 = 9! 2!2!2! = Si descartamos una Mo una T, las posibilidades son: 2 PR 9;,2,1,1,1,1 = 2 9! = = !2! - Si descartamos una E, una I o una C, las posibilidades son: En total tenemos: PR 9;,2,2,1,1 = 9! = = 4560.!2!2! PR 9;2,2,2,1,1,1 + 2 PR 9;,2,1,1,1,1 + PR 9;,2,2,1,1 = =

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