Guía de Matemática Segundo Medio

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1 Guía de Matemática Segundo Medio Aprendizaje Esperado:. Analizan la ecuación de la recta; establecen la dependencia entre las variables y la expresan gráfica y algebraicamente.. Identifican e interpretan los parámetros de pendiente e intercepto con el eje de las ordenadas tanto en la forma y = mx + n como en ax + by + c = 0 de la ecuación de la recta. Reconocen estos parámetros en las respectivas gráficas. Contenido Mínimo Obligatorio:. Ecuación de la recta, distancia entre dos punto, punto medio, pendiente e intersección. Habilidades:. Los alumnos y las alumnas identifican y resuelven ejercicios usando elementos de la función de la recta. I. EJES DE COORDENADAS. El sistema de ejes coordenados está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical llamadas ejes. El eje horizontal (eje x) se denomina eje de las abscisas y el eje vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas. Sobre el sistema de ejes coordenados es pueden ubicar todos los pares ordenados de la forma (a, b), como lo muestra la figura. En este punto P(a, b) los elementos a y b se llaman coordenadas del punto P II. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. Supongamos que P (x, y ) y P (x, y ). Son dos puntos del plano tal como se observa en la figura. La distancia entre P y P se puede determinar, por ejemplo, mediante el teorema de Pitágoras, de la siguiente manera: P P =(x x ) +(y y ) Así la distancia de P a P es: P P = (x x ) +(y y ) La distancia entre los puntos A (-4,7) y B (3, -5) es: AB AB 93 AB

2 . Determina en cada caso la distancia entre los puntos dados: a) A (-5, -4) y B (, 4) b) P (5, 4) y H (-3, -). Calcula el perímetro de los siguientes polígonos, considerando las coordenadas dadas para cada uno de los vértices: a) Un triángulo ABC, con A (, 6); B (-, ) y C (3, ). b) El cuadrilátero EFGH, cuyos vértices son: E(6,); F(3,.); G(,) y H(4, 4) III. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LÍNEA RECTA. En toda igualdad de la forma ax by c, donde abc,,, representa una ecuación lineal con dos incógnitas, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano. Gráfica. La ecuación L: x y 4 Tabla de valores x y xy, (,) 3 (,3) 0 4 (0,4) - 5 (-,5) Gráfica las siguientes rectas en tu cuaderno: a) xy 0 b) 3xy Observaciones: A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta. Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir, satisface esta ecuación. Los puntos representados por cada par ordenado, pertenecen a la recta correspondiente. IV. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO. Como ves en la figura, el segmento AB está determinado por las coordenadas A(4, 0) y B(0, 4). Para determinar las coordenadas del punto medio M de AB, debes calcular el promedio de las abscisas 4 0 y de las ordenadas 0 4, obteniendo el punto medio M(, ). De la situación anterior podemos deducir que: Dado el segmento AB de coordenadas A(x, y ) y B(x, y ); el punto medio M de este segmento AB tiene por coordenadas: x x, y M y

3 Considera el cuadrado ABCD, cuyo vértices son: A(-,); B(,-3); C(6,); D(,5). Calcular: a) El punto medio de sus lados. b) El punto medio de sus diagonales (E) c) El perímetro del triángulo ABE V. PENDIENTE DE UNA RECTA. Se denomina pendiente m de una recta al grado de inclinación que tiene respecto del eje de las abscisas (eje x). y y m x x Supongamos que se tienen 4 rectas L, L, L 3 y L 4 de modo que: L pasa por los puntos: A(, ) y B(, ); L pasa por los puntos: P(, ) y Q(5, ); L 3 pasa por los puntos: D(, ) y E(, -5); L 4 pasa por los puntos: R(, ) y T(-, -6); a) Gráfica cada una de éstas rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos. b) Calcula la pendiente de cada una de éstas rectas. c) Establece conclusiones válidas en relación a la inclinación de cada una de estas rectas con respecto al eje x y compáralo con el valor de su pendiente. d) Qué ocurre cuando y = y?, y si x = x? Interpreta y dibuja las siguientes situaciones: e) m f) 3 m 3 Nota: Decimos a tres o más puntos son colineales cuando pertenecen a una misma línea recta, determina, en cada caso, si los puntos son o no colineales. Realiza además el gráfico correspondiente: g) A(, 3); B(4, 5); C(6, 7) h) A (-5, ); B(, 5), C(-4,5) Haz el gráfico correspondiente a las siguientes rectas, en un mismo sistema se ejes coordenados y establece conclusiones válidas respecto lo que observas en ellas. i) L : yx j) L 3: x y 3 k) L 4 : y x l) L 5 : x y3 0 m) L : y x n) xy

4 VI. PUNTO DE INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON LOS EJES COORDENADOS. Según la gráfica que se muestra a continuación, los puntos donde la recta L corta al eje x son de la forma (x, 0) y dónde corta al eje y, de la forma (0, y) Hallar la intersección de la recta x3y con los ejes coordenados: A) Intersección con el eje x: se hace y = 0 Resulta: x = De donde: x = 6 Así la recta corta al eje x en el punto (6, 0) B) Intersección con el eje y: se hace x = 0 Resulta: -3y = De donde y = -4 Así la recta corta al eje y en el punto (0,-4) Dadas las siguientes rectas encuentra la intersección de ellas con los ejes de coordenados: o) xy p) 3x6y 8 q) x y r) x y 3 VII. ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA. Toda igualdad de la forma ax by c, donde abc,,, también se puede escribir en la forma y mx n, es decir como una función, donde m es la pendiente o coeficiente de dirección y n es la intersección de la recta con el eje y, llamada también coeficiente de posición. De esta forma, podemos afirmar que una recta está perfectamente definida si se conocen.

5 A) Dos puntos de ella. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(5,4) y B(7,8) Identificar los puntos: Los puntos son:, P x y P x y, Debes determinar la pendiente: y y m x x Luego, se calcula el coeficiente de posición con: y mx n Finalmente, reemplaza en la siguiente fórmula: y mx n A 5,4 B 7,8 Calculemos la pendiente: m m m 7 5 Calculemos el coeficiente de posición: considerando el punto A 5,4 y la fórmula y mx n con x5 e y 4 tenemos: 4 5 n 4 0 n 40 n 6 n Finalmente, reemplazamos m y n: y x 6 B) Un punto y su pendiente. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(, -5) y tiene pendiente -4. Como el punto dado es A(, -5) con x e y -5 y el valor de la pendiente es m -4 Entonces y mx n Tenemos: 5 4 n 5 8 n 5 8 n 3 n Luego, reemplazamos m y n: y 4x5 Encuentra la ecuación de la recta que: ). Pasa por el punto P(-,3) y cuya pendiente es -. ). Pasa por los puntos R(-, ) y T(,7). 3). Su pendiente es m=0. 4). Sus ecuaciones son de la forma x=a 5). Sus ecuaciones son de la forma y=mx

6 VIII. POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL PLANO. ). Rectas paralelas. Dos rectas cualesquiera L y L son paralelas si y sólo si tienen igual pendiente. Dadas: L : y mx n L : y mx n L L m m L : y=x L : y=x+4 L 3 : y=x-8 L ; L y L 3 son paralelas pues todas tienen pendiente igual a ). Rectas coincidentes. Dos rectas cualesquiera L y L son coincidentes si y sólo si tienen igual pendiente e igual coeficiente de posición. Dadas: L : y mx n L : y mx n L es coincidente a L m m y n n L: x 3y 5 0 L : 0x 5y 5 0 L y L son coincidentes pues tienen igual pendiente e igual coeficiente de posición. 3). Rectas perpendiculares. Dos rectas cualesquiera L y L son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -. Dadas: L : y mx n L : y mx n L L m m 5 L: y x L : y x 6 x L y L son perpendiculares pues al multiplicar sus pendientes resulta -.

7 4). Rectas no paralelas o secantes (concurrentes). Recuerda que son rectas son secantes en un plano si y solo si se intersectan en un único punto. IX. ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA. Se escribe de la forma: y mx n m: pendiente (ángulo de inclinación). n: coeficiente de posición (donde corta eje y). X. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. Se escribe de la forma: a m b ax by c 0 abc,, c n b XI. CUÁNDO UN PUNTO PERTENECE A UNA RECTA?. Un punto pertenece a una recta cuando sus coordenadas satisfacen la ecuación de dicha recta, y no pertenece a ella en caso contrario. Si C(4,7) en la recta y x 3 y x El punto C(4,7) pertenece a la recta y x 3