Propiedades fundamentales de las tangencias
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- Vanesa Iglesias Cuenca
- hace 7 años
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1 Las Tangencias Dos elementos son tangentes cuano tienen un punto en común enominao punto e tangencia. Estos elementos son cicunfeencias (o acos e cicunfeencia, en algunos casos cuvas conicas también) y ectas. Un enlace es la unión amónica e cuvas con cuvas o cuvas con ectas. Los enlaces son la aplicación páctica e las tangencias. Popieaes funamentales e las tangencias - Los centos e os cicunfeencias tangentes ente sí están alineaos con el punto e tangencia. 2- Una ecta tangente a una cicunfeencia es siempe pepenicula al aio coesponiente al punto e tangencia. - El cento e cualquie cicunfeencia que pasa po os puntos se encuenta en la meiatiz el segmento que efinen los os puntos.too aio pepenicula a una cuea e cicunfeencia ivie a esta en os mitaes iguales. 4- El cento e cualquie cicunfeencia tangente a os ectas se encuenta en la bisectiz el ángulo que estas poucen. Las tangencias: efinición y popieaes
2 Tangencias: Teoemas funamentales y lugaes geométicos Conocieno los cuato teoemas funamentales e las tangencias aun no sabemos lo suficiente paa esolve poblemas básicoas e tangencias. º Centos alineaos con el punto e tangencia 2º aio pepenicula a ecta tg. po el punto e tg. Es necesaio conoce el concepto e LUGA GEOMÉTICO. Y hace uso e al menos os tipos e lugaes geométicos. º Centos e ci. que pasan po os ptos. en meiatiz 4º Centos e ci. tg. a os ectas. en bisectiz Un LUGA GEOMETICO es un conjunto e puntos en el plano que cumplen unas cicunstancias, caacteísticas o popieaes comunes especto a un elemento geometico (puee se un plano, una cicunfeencia, un segmento, un ángulo, etc) Paa esolve poblemas básicos e tangencias tenemos que tene claos os lugaes geometicos: Las ectas paalelas y las cicunfeencias concénticas. Lugaes Geométicos: PAALELAS Y CI. CONCENTICAS DEFINICIONES DE ALGUNOS LUGAES GEOMÉTICOS IMPOTANTES PAA TANGENCIAS MEDIATIZ: Luga geomético e los puntos el plano que equiistan e os puntos. Una meiatiz contiene los centos e TODAS las cicunfeencias que pasan po los extemos el segmento. Cuanto más se aleje el cento el punto meio el segmento más amplio seá el aio. BISECTIZ: Luga geomético e los puntos el plano que equiistan e os ectas. Pesente en las popieaes funamentales e las tangencias. La bisectiz e un ángulo contiene a toos los centos e cicunfeencias tangentes a los laos. Cuanto más alejao esté el cento el vétice el ángulo más amplitu tená el aio e la cicunfeencia tangente. EJE ADICAL: El es luga geomético e los puntos el plano que son centos e cicunfeencia e igual aio tangentes a otas os. CICUNFEENCIAS CONCÉNTICAS Una ci. concéntica e aio (+) a ota e aio () es el luga geomético e los puntos el plano que son centos e las cicunfeencias TANGENTES EXTEIOES e aio () a la cicunfeencia e aio (). PAALELAS A UNA DISTANCIA Una ecta paalela a una istancia () es el luga geomético e los puntos el plano que son centos e cicunfeencias e aio () tangentes a una ecta que se encuenta a la istancia () e su paalela. - + Una ci. concéntica e aio (-) a ota e aio () es el luga geomético e los puntos el plano que son centos e las cicunfeencias TANGENTES INTEIOES e aio () a la cicunfeen cia e aio (). Las tangencias y los lugaes geométicos
3 ESOLUCIÓN DE POBLEMAS DE TANGENCIAS Las soluciones a los poblemas e tangencias son ectas y cicunfeencias tangentes a otas ectas y/o cicunfeencias. Peo la base e las soluciones y un equisito impotante en estas es situa coectamente LOS PUNTOS DE TANGENCIA Y LOS CENTOS (si la solución es una cicunfeencia). Daos os puntos, taza la cicunfeencia que pasa po estos con un aio ' ' ' 2 ' º- Tazamos un aco con aio ' con cento en el pime ' punto (luga geomético one se encontaá el cento solución, ci. concénticas). 2º-Tazamos oto aco con aio ' con cento en el seguno punto (luga geomético one se encontaá el cento solución, ci. concenticas). º- En el punto e intesección se encuenta la solución. Tazamos la cicunfeencia. ' ' ' EL CENTO DE LAS SOLUCIONES SIEMPE SE ENCONTAÁ EN LA MEDIATIZ DEL SEGMENTO QUE PASA PO DOS PUNTOS. PAA ESTE POBLEMA ENCONTAMOS OTA SOLUCIÓN EN EL LADO OPUESTO DEL SEGMENTO. Daos tes puntos, taza la cicunfeencia que pasa po estos. 2 º- Unimos os puntos y tazamos su meiatiz. 2º- Unimos el oto punto con cualquiea e los anteioes y tazamos la meiatiz el seguno segmento. º- En el punto e intesección se encuenta la solución. Tazamos la cicunfeencia. LA MEDIATIZ DEL SEGMENTO QUE PASA PO DOS PUNTOS CONTINENE TODOS LOS CENTOS DE LAS CICUNFEENCIAS QUE PASAN PO ESOS DOS PUNTOS. EL PUNTO DE INTESECCIÓN DE DOS MEDIATICES DE DOS SEGMENTOS PODUCIDOS PO TES PUNTOS ES EL CENTO DE LA CICUNFEENCIA QUE PASA PO LOS TES PUNTOS. CICUNCENTO DE UN TIÁNGULO. Daa una ecta y el punto e tangencia sobe ella, taza la cicunfeencia tangente con un aio ' ' ' ' ' º- Tazamos una ecta pepenicula a la aa po el punto e tangencia.(luga geomético one se encontaá el cento solución, eivao e los teoemas e las tangencias). 2 ' 2º- Con cento en el punto e tangencia tazamos un aco e aio ' que cota a la pepenicula. (luga geomético one se encontaá la solución, cicunfeencia concéntica). º- En el punto e intesección se encuenta la solución. Tazamos la cicunfeencia. Daas os ectas y el punto e tangencia sobe una e ellas, taza la cicunfeencia tangente con un aio º- Tazamos la bisectiz el ángulo fomao po las os esctas. 2 4 (luga geomético e toos los centos e ci. tg a ambas ectas). 2º- Tazamos una pepenicula a la ecta que contiene el pto. e tg. pasano po este. (Luga geomético e toos los centos e ci. que son tangentes po ese puntoa la ecta). º- La intesección e la bisectiz con la pepenicula es el cento buscao. (Coinciencia e os lugaes geométicos). Dese ese cento tazamos una pepenicula a la ota ecta que nos a el oto pto. e tg. 4º- Tazamos la ci. buscaa. Daas os ectas, taza la cicunfeencia e aio tangente a ambas. º- Tazamos una paalela a una istancia e una ecta. 2º- Hacemos lo mismo con la ota ecta. Done 2 las paalelas se cotan es el cento e la solución. º- Dese el cento tazamos pepeniculaes a las ectas el enunciao paa halla los ptos. e tg. Tazamos la ci. LA BISECTIZ DE UN SEGMENTO DE UN ÁNGULO PODUCIDO PO DOS ECTAS CONTINENE TODOS LOS CENTOS DE LAS CICUNFEENCIAS TANGENTES A ELLAS. EL PUNTO DE INTESECCIÓN DE DOS BISECTICES DE DOS ÁNGULOS PODUCIDOS PO TES ECTAS ES EL CENTO DE LA CICUNFEENCIA TANGENTE A LAS TES. INCENTO DE UN TIÁNGULO. ' Las tangencias poblemas básicos una, os o tes ectas o puntos.
4 TANGENCIAS ENTE DOS CICUNFEENCIAS: PINCIPIOS. Nos pueen pei tes tipos e cicunfeencias tangentes a una aa. - Las tangentes inteioes que se encuentan contenias po la cicunfeencia aa, con la cual compaten el punto e tangencia. Obviamente estas tenán que tene un aio meno a la aa paa poe se contenias sin se secantes. 2- Las tangentes exteioes que se encuentan fuea e la cicunfeencia aa. - Las cicunfeencias tangentes que contienen a la aa. Estas tenán que tene un aio mayo a la cicunfeencia aa. EN CUALQUIE CASO LOS CENTOS DE CICUNFEENCIAS TANGENTES SIEMPE ESTÁN ALINEADOS CON EL PUNTO DE TANGENCIA. Daa una cicunfeencia e aio y el punto e tangencia sobe ella, taza la cicunfeencias tangentes con un aio º- Tazamos una ecta que une 2 el cento con el punto e tangencia (luga geomético one se encontaá el cento solución, eivao e los teoemas e las tangencias). 2º- Con cento en el punto e tangencia tazamos un aco e aio (luga geomético one se encontaá la solución, cicunfeencia concéntica)que cota a la ecta en os puntos, los cuales seán los centos e las soluciones. º- En el punto e intesección se encuenta la solución. Tazamos la cicunfeencia. Daa una cicunfeencia e aio y el punto e tangencia sobe ella, taza la cicunfeencias tangentes con un aio. º- Tazamos una ecta que une el cento con el punto e 2 tangencia (luga geomético one se encontaá el cento solución, eivao e los teoemas e las tangencias). 2º- Con cento en el punto e tangencia tazamos un aco e aio (luga geomético one se encontaá la solución, cicunfeencia concéntica)que cota a la ecta en os puntos, los cuales seán los centos e las soluciones. º- En el punto e intesección se encuenta la solución. Tazamos la cicunfeencia. Daa una cicunfeencia e aio y un punto exteio a ella, taza las ci. tangentes e aio que pasan po el punto º- Tazamos un aio abitaio y a pati el punto e intesección con la cicunfeencia copiamos (), tazamos un aco concéntico a la cicunfeencia e aio (+). 2º- Con cento en el punto ao tazamos una cicunfeencia e aio (). Los puntos e intesección con el aco anteio son los centos e la solución (coinciencia e os lugaes geométicos). º- Unimos los centos hallaos con el cento e la cicunfeencia aa paa halla los puntos e tangéncia. 4º- Tazamos las cicunfeencias buscaas. Daa una cicunfeencia e aio y un punto exteio a ella, taza las ci. tangentes e aio que pasan po el punto. 2 4 º- Tazamos un iámeto abitaio y a pati el punto e intesección con la cicunfeencia copiamos () sobe la totalia el iámeto), tazamos un aco concéntico a la cicunfeencia e aio. 2º- Con cento en el punto ao tazamos una cicunfeencia e aio (). Los puntos e intesección con la cicunfeencia anteio son los centos e la solución (coinciencia e os lugaes geométicos). º- Unimos los centos hallaos con el cento e la cicunfeencia aa paa halla los puntos e tangéncia. 4º- Tazamos las cicunfeencias buscaas. Cicunfeencias TANGENTES a ota cicunfeencia ao el aio e la solución y un punto
5 TANGENCIAS DADOS DOS ELEMENTOS (ectas o cicunfeencias) y el aio e la cicunfeencia solución. Daa una ecta y una cicunfeencia e aio, taza la cicunfeencia e aioao (meno al aio e la aa) tangente a ambas. 2 + º- Tazamos una paalela a una istancia e la ecta. 2º- Tazamos un aco conc'entico a la aa e aio (+). Conseguimos esto tazano un aio abitaio y a pati el punto e cote con la cicunfeencia tanspota la meia (). Los puntos e intesección con la ecta paalela seán los centos e las cicunfeencias soluciones. (coinciencia e sos lugaes geométicos) º- Hallamos los puntos e tangencia: a pati e los centos pepeniculaes a las ectas y segmentos con el oto extemo en la cicunfeencia e la aa. Tazamos las cicunfeencias que solucionan el poblema. Daa una ecta y una cicunfeencia e aio, taza las cicunfeencias e aioao (mayo al aio e la aa) tangente a ambas. 2 + º- Poceeemos el mismo moo que en el poblema anteio paa halla las mismas soluciones. Tg exteioes. 2º- Situaemos la meia e sobe el iámeto a pati e un extemo paa enconta lso centos e las ci. tg que contienen a la aa. Unimos los centos solución con el ao paa halla ptos. e tg y ese estos tazamos pepeniculaes a las ectas paa halla ptos. e tg. sobe la ecta. Tazamos las ci. solución que contienen a la aa. Daas os cicunfeencias taza las cicunfeencias e aio ao tangentes exteioes a ambas. 2 º- Sumamos a los aios e ambas cicunfeencias y tazamos os acos concenticos que se cotan en os ptos que seán los centos e las soluciones. 2º- Unimos los centos e la solución con los aos y obtenemos los ptos. e tg. Tazamos las ci. solución. Daas os cicunfeencias taza la cicunfeencia e aio ao tangente a ambas queano la cicunfeencia gane el enunciao ento e la solución. 2 4 º- A un iámeto cualquiea e la ci. que va a se contenia po la ci. solución le estamos el aio. Tazamos una ci. concéntica con áio hasta la maca sobe el iámeto. 2º- Tazamos un aio a la ci. que va a quea tg. exteio a la ci. solución y le sumamos el aio. Tazamos un aco concéntico con aio hasta la maca. Los puntos e intesección con el oto aco concéntico son los centos e las soluciónes. º- Unimos los centos e las ci. aas con los centos obtenios paa halla los ptos. e tg. y tazamos las soluciónes. Cicunfeencias TANGENTES a os elementos (ectas o cicunfeencias: cc,, c)
6 En el enunciao se pesenta una cicunfeencia con su cento y un punto exteio a ella. Se pien las ectas tangentes a la cicunfeencia que pasan po el punto exteio ENUNCIADO SOLUCIÓN Paa esolvelo necesitamos taza cietos tazaos auxiliaes que se pueen explica cuato pasos º- Unimos el cento e la cicunfeencia con el punto exteio a ella tazano un segmento. 2º-Tazamos la meiatiz el semento obtenieno el punto meio e este. º- Con cento en el punto meio y aio hasta el punto exteio o el cento (lo cual es lo mismo), tazamos una cicunfeencia que cota a la aa en os puntos, los Puntos e tangencia. 4º Tazamos aios hasta los puntos e tangencia 5º Dese el punto exteio hasta los puntos e tangencia tazamos las ectas que son solución ectas tangentes: cicunfeencia-punto
7 Tangentes exteioes e inteioes a os cicunfeencias ENUNCIADO SOLUCIÓN tangentes exteioes SOLUCIÓN tangentes inteioes Paa esolve estos os poblemas necesitamos eucilos al poblema pto-cicunfeencia. tenemos que hace el esfuezo e "olvianos" (ignoa visualmente) el enunciao oiginal y esolve el poblema ptocicunfeencia. una vez conseguio el esultao el poblema oiginal no tae mas ificulta que lleva las ectas y los aios a su sitio tazano paalelas con escuaa y catabón Tangentes exteioes a os cicunfeencias º Tazamos el segmento que une los os centos 2º Sobe el segmento, a la cicunfeencia gane, con el compás, le estamos el aio e la cicunfeencia pequeña. 2 DE ESTE MODO HEMOS EDUCIDO EL POBLEMA A ECTAS TANGENTES PUNTO-CICUNFEENCIA º- esolvemos el poblema eucio, tazamos los aios que van a (t) y (t2) lo suficientemente lagos paa que coten a la cicunfeencia gane oiginal. 4º- A pati el cento e la cicunfeencia pequeña oiginal tazamos aios con la misma inclinación (escuaa y catabón). Así,con los cuato aios tazaos obtenemos t yt2 sobe la gane y t' yt2' sobe la pequeña 5º- Unimos t con t' y t2 con t2' (t ) 4 5 t ' t (t 2 ) t 2 ' t 2 Tangentes inteioes a os cicunfeencias º Tazamos el segmento que une los os centos 2º Sobe el segmento, a la cicunfeencia gane, con el compás, le sumamos el aio e la cicunfeencia pequeña. DE ESTE MODO HEMOS EDUCIDO EL POBLEMA A ECTAS TANGENTES PUNTO-CICUNFEENCIA 2 2+ º- esolvemos el poblema eucio,obtenieno así (t) y (t2), peo esta vez no tazamos las ectas tangentes paa no contamina con emasiaas lineas el ibujo. 4º- Tazamos aios paalelos a los e la cicunfeencia gane en la cicunfeencia pequeña, peo invitieno su posicion (el aio e aiba en la gane, abajo en la pequeña y vicevesa). Los puntos e tangencia el poblema oiginal se encuentan en las intesecciones e los aios. 5º- Unimos t' con t y t2' con t2 4 5 ectas tangentes a oscicunfeencias
8 Daas os cicunfeencias y sus centos, taza las tangentes exteioes empleano las popieaes e la homotécia. º- Tazamos una ecta que une los centos e las os cicungfeencias. 2º- Tazamos os aios paalelos a las cicunfeencias y unimos los os puntos e inteseccion con las cicunfeencias paa DETEMINA sobe la ecta que une los centos e las cicunfeencias el CENTO DE HOMOTECIA iecta º- Hallamos los puntos e tangencia e las ectas tangentes a la cicunfeencia más póxima al cento e homotecia que pasan po este. No las ibujamos toavía, sólo los aios que van a los puntos e tangencia. 4º- En la cicunfeencia mayo tazamos aios paalelos (homotéticos) a los hallaos en el paso anteio y eteminamos los puntos e tangencia. 5º- Las ectas tangentes exteioes eben e pasa po los puntos e tangencia os a os y po el cento e homotecia, las tazamos. HEMOS ENCONTADO EL CENTO DE HOMOTECIA DIECTA, HALLADO LOS PUNTOS DE TANGENCIA CON UNA CI. Y ENCONTADO SUS HOMOTÉTICOS EN LA SEGUNDA PAA ESOLVE EL POBLEMA. Daas os cicunfeencias y sus centos, taza las tangentes inteioes empleano las popieaes e la homotécia. BUSCAMOS EL CENTO DE HOMOTECIA INDIECTA: º-Unimos los centos e las cicunfeencias. Sobe este segmento se encontaá el cento e homotecia. 2º-Tazamos os aios paalelos a las cicunfeencias peo en laos opuestos e la ecta que une los centos. Obtenemos os puntos e intesección, uno en sobe caa cicunfeencia. Los unimos y el punto e intesección e este segmento con el que une los os centos e la cicunfeencia es el CENTO DE HOMOTECIA INVESA. º- Hallamos los puntos e tangencia e las ectas tangentes que pasan po el cento e homotecia a una e las cicunfeencias (hemos usao la más gane po claia). No tazamos las tangentes peo si sus aios. 2º- Tazamos aios paalelos a los ultimos en la ota cicunfeencia peo invitieno el lao e la ecta que une los centos al que se encuentan. Asñi obtenemos los puntos e tangencia en la ota cicunfeencia. 5º- Unimos los puntos e tangencia paa obtene las ectas tangentes, estas tienen que cotase en el cento e homotecia. Tangentes inteioes y exteioes a una cicunfeencia Po homotecia
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