SECUELA SUGERIDA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE EXTREMOS

Transcripción

1 (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) SECUELA SUGERIDA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE EXTREMOS - Leer cuidadosamente el enunciado para comprender la problemática presentada y ver qué se pretende optimizar. - Construir, cuando sea posible, un modelo geométrico del problema, que considere magnitudes constantes y variables. - Establecer un modelo matemático preliminar, que exprese como función al concepto que se desea optimizar. - Si este modelo matemático tiene más de una variable independiente, acudir a una o más ecuaciones auxiliares. - Sustituir las ecuaciones auxiliares en el modelo matemático preliminar y obtener el modelo matemático definitivo. - Se aplica cualquiera de los criterios para calcular extremos al modelo matemático definitivo y se resuelve el problema. - Cuando se obtienen los puntos críticos, alguno evidencia de inmediato el máximo o mínimo de la función y si se desea verificar su naturaleza, lo que no es indispensable, se prosigue con el criterio que se elija para ello. Ejemplo. La suma de dos números positivos es 40. Obtener los números tales que: i) Su producto sea máximo. ii) La suma de sus cuadrados sea mínima. iii) El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo.

2 Ejemplo. Un viaje de prácticas para realizar estudios geológicos, subsidiado por una escuela de ingeniería, costará a cada estudiante $ 15,000 si viajan no más de 150 estudiantes. Sin embargo, el costo por estudiante se reducirá en $50 por cada uno que exceda los 150. Con cuántos estudiantes los ingresos de la escuela serían los máximos? Construir también una gráfica de los ingresos en función del número de estudiantes.

3 3 Ejemplo. Se tienen dos postes de 7 10 m y m de altura, separados una distancia de 15 m en un piso horizontal. Deben sujetarse con cables que van de sus puntas a un solo punto en el suelo. En qué lugar se deben fijar los dos cables al suelo para que la longitud total de cable sea mínima? Cuál es la longitud mínima de cable?

4 4 Ejemplo. Una empresa petrolera desea construir un depósito en forma de cilindro circular recto, con tapa. El tanque debe contener 500,000 litros de crudo. El material para la superficie lateral tiene un costo de $ 400 por m, para la tapa de $ 300 por m y para base de $ 500 por m. Qué dimensiones debe tener el tanque para que el costo de los materiales empleados en su construcción sea el mínimo? Calcular también el costo mínimo del material.

5 5 Ejemplo. Un abrevadero de 6 m de largo tiene su sección transversal en forma de triángulo isósceles invertido, cuyos lados iguales miden 1. m cada uno. Determinar el ancho en la parte superior de la sección, de manera que el volumen del abrevadero sea máximo. Calcular el valor de este volumen máximo.

6 6 Ejemplo. Qué dimensiones debe tener el cono circular recto de volumen máximo que se inscribe en una esfera de radio igual a R?

7 7 Ejemplo. Una lámpara está colgada sobre el centro de una mesa redonda de radio igual a 1.4 m. Se requiere saber a qué altura deberá estar la lámpara para que la iluminación de un objeto en el borde sea la máxima. Considérese que la iluminación es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luminosos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco de luz.

8 8 Ejemplo. Se cuenta con 40 m de alambre para cercar un seto de flores en un jardín. El seto debe tener la forma de un sector circular. Cuál será el radio y la longitud del arco del círculo si se desea que el seto tenga área máxima y cuál es el valor del área máxima?

9 9 Ejemplo. De un tronco recto de sección circular, de diámetro 100 cm, es necesario cortar una viga de sección rectangular. Qué ancho y qué peralte (altura) debe tener la sección para que la viga ofrezca la resistencia máxima posible a la compresión y a la flexión? La resistencia de una viga a la compresión es proporcional al área de su sección transversal y a la flexión es proporcional al producto de su ancho por el cuadrado de su peralte.

10 10 Ejemplo. Determinar la base y la altura del triángulo de mínima área que en el primer cuadrante se puede formar al cortar los ejes coordenados una recta que pasa por el punto P 3,4. ( )

11 11 VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN El estudio de la variación de una función consiste en analizar sus características geométricas como sus intersecciones con los ejes, sus simetrías, la existencia de asíntotas verticales y horizontales, sus extremos relativos, puntos de inflexión y sentido de la concavidad, concluyendo con el trazado aproximado de su gráfica. Ejemplo. Se pretende estudiar la variación de la función: 1x y = x + 9 Solución 1. Intersecciones. Para determinar las intersecciones de la curva, gráfica de la función, con cada eje coordenado, se hacen cero por separado cada una de las variables. Así se tiene, a) Con el eje " x " : y = 0 x = 0 la curva interseca al eje " x " en el origen. b) Con el eje " y " : x = 0 y = 0 la curva interseca al eje " y " en el origen.

12 1. Simetrías. Para estudiar la simetría de la curva con respecto a cada uno de los ejes coordenados o con respecto al origen se sustituyen las variables x y y por x y y respectivamente y si la función no se altera, entonces existe simetría con el eje en cuestión. Así, 1x a) Con el eje " x " : Se cambia y por y y se tiene y = x + 9 Como se altera la función, no hay simetría. 1x b) Con el eje " y " : Se cambia x por x y se tiene y = x + 9 Como se altera la función, no hay simetría. c) Con el origen: Se cambia x por x y y por y y se tiene 1x y =. Como no se altera la función, sí hay simetría con x + 9 respecto al origen. 3. Asíntotas. Estas, si existen, se localizan como se vio en el tema II. a) Asíntotas verticales. No tiene ya que no existe ningún valor real al cual tienda la " x " que haga que el límite de la función no exista. b) Asíntotas horizontales. Se calcula el valor numérico del límite de la función cuando la variable " x " tiende a y, 1x lim = 0 x x + 9 por lo que la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal de la función. 4. Extensión. Se despeja cada una de las variables y se obtiene el dominio de cada una. De esta manera, 1x a) Extensión en " x " : y = x + 9 x b) Extensión en " y " 1 ± y yx 1x + 9y = 0 x = y

13 ( )( ) y 0 1 6y 1 + 6y 0 1 6y 0 y Primera posibilidad: 1 + 6y 0 y 13 Segunda posibilidad: y 0 y 1 + 6y 0 y x Por lo tanto, la extensión en " " y es : y, { 0} 5. Extremos relativos, intervalos de creciente y decreciente, puntos de inflexión y concavidad. Se obtienen la primera, segunda y tercera derivadas y se procede como ya se estudió en el presente capítulo. ( ) ( ) 1x dy x x x dy 108 1x y = = = x + 9 dx x + 9 dx x x ( x + 9) ( ) ( ) = x = 0 x = 9 ( x + 9) ( 4x) ( 108 1x ) ( x + 9)( x) ( x + 9) dy = 4 dx x 1 x ( x + 9) dx ( x + 9) = dy 4x 16x 43x+ 48x dy 4x 648x = = 3 3 dx x3 = x 648x = 0 4x 3 ( x 7) = 0 x4 = 0 ( x + 9) x5 = 3 3 que son los posibles puntos de inflexión. x = 3

14 ( + ) ( ) ( 3 ) ( + ) ( x + 9) 3 3 dy ( x + 9)( 7x 648) 6x( 4x 648x) = 3 dx ( x + 9) 3 3 dy = 3 6 dx x 9 7x 648 4x 648x 3 x 9 x 3 4 dy 7x x 583 = 3 3 dx 3 dy 3 3 ( x + 9) ( ) x = 3 3 dx 0 PI 3 3, 3 3 dy x4 = dx PI( 0,0) 3 dy x3 = dx PI( 3 3, 3) En ocasiones puede resultar muy difícil calcular la tercera derivada para garantizar la existencia de un punto de f'' x = 0 o no existe, por lo que es inflexión cuando ( ) suficiente con saber si la función cambia su concavidad o bien, si su segunda derivada cambia de signo. Ahora se construye la correspondiente tabla y, 14 x y y ' y '' característica (, 3 3) decrece x = 3 3 PI 0 PI( 3 3, 3) ( 3 3, 3) decrece + x = 3 mínimo 0 m r ( 3, ) 3, 0 ( ) crece + + x = 0 PI 0 PI ( 0, 0) ( 0, 3 ) crece + x = 3 máximo 0 M r ( 3, ) ( 3, 3 3 ) decrece x = 3 3 PI 0 PI ( 3 3, 3) ( 3 3, ) decrece +

15 15 De acuerdo con la tabla, es posible decir que la curva que representa a la función dada: Es creciente en el intervalo ( 3, 3), 3 y 3, Es decreciente en los intervalos ( ) ( ) Es cóncava hacia arriba en ( 3 3,0) y ( 3 3, ) Cóncava hacia abajo en (, 3 3) y ( 0,3 3) Tiene un máximo relativo en el punto ( 3, ) Tiene un mínimo relativo en ( 3, ) Tiene tres puntos de inflexión en los puntos ( 3 3, 3 );( 0,0 );( 3 3, 3) y M r ( 3, ) PI ( 3 3, 3) x PI ( 3 3, 3) ( 3, ) m r PI ( 0, 0) Cabe decir que a pesar de que la curva corta a los ejes coordenados en el origen, al crecer " x " en los dos sentidos, el eje de las abscisas, esto es, y = 0, se convierte en asíntota de la curva, por lo que no se contradice el análisis realizado. Ejemplo. Estudiar la variación de la siguiente función: x + 1 y = x

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17 x y y ' y '' característica 17

18 4x Ejemplo. Estudiar la variación de la función y = x

19 x y y ' y '' característica 19