Las hipotecas y la tasa anual equivalente

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1 49 Juo 2005, Las hotecas y la tasa aual equvalete La mayor arte de osotros hacemos uso de los crédtos que os ofrece las etdades faceras ara la adquscó de dsttos bees, sobre todo la vveda. E este artículo retedemos mostrar las matemátcas que se ecuetra debajo de estas oeracoes faceras, evtado e lo osble el leguaje facero. També troducmos el coceto de la Tasa ual Equvalete (TE) que os srve ara comarar los dsttos crédtos, así como u rograma ara DERIVE que os ermte calcularla e dsttas stuacoes. Bak loas meat for roerty acqusto, maly home acqusto, are commolace to most of us. Ths artcle teds to show the mathematcs uderlyg facal oeratos, regardless of facal laguage whe ossble. The cocet of ual Percetage Rate (PR), whch hels us comare the dfferet loas, s also dealt wth, as well as a rogramme for DERIVE, whch wll eable us to recko t dfferet stuatos. E el úmero 38 de la revsta SUM odemos leer ua vñeta de too Fraguas Forges cludo detro del artículo de Ferado Corbalá e cuyo texto se uede leer: M teoría es que os eseña ta mal las matemátcas ara que cuado seamos mayores o os eteremos de lo que os roba e las hotecas. Tras ese chste, se escode ua realdad asumda or muchas ersoas; las formacoes que solctamos a los bacos referdas a los réstamos sólo se uede calcular medate el ordeador del roo baco. De este modo, los bacos actúa como autétcas cajas egras a las que osotros acudmos co uestros datos y os devuelve la cuota que teemos que agar, s que ada más odamos hacer ara comreder lo que está sucededo. rato, ues sólo se ecesta logartmos y exoecales ara comrederlas. De hecho, e la mayor arte de los textos y rogramas de la modaldad de Humadades y Cecas Socales se cluye u aartado dedcado a las matemátcas faceras, ero e la mayoría de los casos (al meos e los que osotros hemos oddo cosultar) el caítulo se detee e las aualdades de amortzacó, quedado más como u hecho aecdótco, que como ua alcacó útl y real. No obstate, cas todos osotros utlzaremos crédtos ara adqurr alguos de los bees que ecestaremos (sobre todo la vveda) y estamos erdedo ua oortudad de troducr a los alumos e uos cotedos que uede resultarles realmete útles e el futuro y que, desde luego, forma arte de ua educacó ara el cosumdor que o debemos dejar de lado. Las matemátcas que se escode bajo las hotecas está al alcace de u alumo de rmero de Bachllerato. S embargo las matemátcas que se escode bajo las hotecas está al alcace de u alumo de rmero de Bachlle- Fracsco Javer Pascual Burllo IES Erque de rfe. Vllacañas. Toledo. a Rosa Romero Ramos IES Garclaso de la Vega. Vllacañas. Toledo. 25

2 SUM 49 Juo 2005 E el resete artículo retedemos exoer estos cotedos evtado e lo osble los térmos faceros que os los hace accesbles (quzá quere haceros creer que las matemátcas faceras so comresbles). Estos cotedos está esados ara su cororacó e el currículo de matemátcas del Bachllerato de Humadades y Cecas Socales. Los réstamos. El método de amortzacó fracés Los réstamos so ua oeracó facera medate la cual, algue que tee ua certa catdad de dero se la cede a otro dvduo co la codcó de que se lo devuelva. E la realdad, la rmera de estas dos ersoas suele ser ua etdad facera (u baco, caja de ahorros, etc), metras que la seguda de las ersoas somos cualquera de osotros. E estos casos, lo ormal es que la catdad que teemos que devolver al baco sea sueror a la que os ha restado, uesto que teemos que devolver també los tereses. Los réstamos so ua oeracó facera medate la cual, algue que tee ua certa catdad de dero se la cede a otro dvduo co la codcó de que se lo devuelva. Ua de las formas más comues de devolver u réstamo es el coocdo como método fracés, e el cual agamos uas cuotas costates, arte de las cuales va destada a agar la deuda y otra arte a devolver los tereses geerados or el catal edete de devolver. Este método de amortzacó está reresetado gráfcamete e la fgura 1. C : Deuda al co del eríodo : Cuota : mortzacó efectva e el eríodo I : Iterés del eríodo Cálculo de la aualdad La aualdad es la catdad que teemos que agar cada año ara devolver el réstamo, ero como e la ráctca las cuotas que se aga so mesuales, tee más setdo hablar de mesualdad. No obstate, el to de terés que os ofrece los bacos suele ser aual y ara oder realzar los cálculos debemos hacer que el terés sea mesual. Esto lo cosegumos dvdedo la catdad que aarece e el cotrato co el baco etre 1200, así obteemos el tato or uo efectvo mesual que deotaremos a artr de ahora or. Para calcular la mesualdad que tedremos que agar debemos teer e cueta que el catal e que se covertría todas las mesualdades al cabo de meses debe ser gual a la catdad e la que se trasformaría la deuda C 0 a terés comuesto durate ese eríodo. (Es lo que se cooce como equvaleca facera al fal del eríodo). sí, el catal cal C 0, al cabo de meses se covertría e C 0 (1 + ). Para calcular el catal al que equvale todas las mesualdades, observemos las sguete tabla: Cuota Temo (meses) Valor fal (1+) (1+) (1+) (1+) (1+) Se uede observar que la rmera mesualdad está u mes meos, ya que la mesualdad la agamos al fal del mes, metras que el dero lo recbmos al co. Etoces C 0 (1 + ) tee que ser gual a la suma de los valores stuados e la últma columa, que es ua rogresó geométrca, de dode obteemos que C0 ) = + )+ + ) + ) = ) 1 = y, desejado, obteemos el valor de la mesualdad Fgura 1. Reresetacó gráfca de la amortzacó de u réstamo e cuatro cuotas costates. C ( 1 + ) = 0 ) 1 () 1 26

3 SUM 49 Juo 2005 Itereses y amortzacó efectva de cada mesualdad E realdad, e cada cuota estamos agado ua arte del catal que le adeudamos al baco y la otra arte se desta a agar los tereses que geera el dero que os ha restado, segú se areca e la fgura 1, es decr = I + Dode I rereseta los tereses que agamos y la catdad amortzada e la -ésma cuota. Podemos calcular la catdad que destamos a cada uo de estos cocetos e cada cuota. Para ello, lo más secllo es calcular ambos valores smultáeamete de forma ductva. Veamos cómo: La aualdad es la catdad que teemos que agar cada año ara devolver el réstamo, ero como e la ráctca las cuotas que se aga so mesuales, tee más setdo hablar de mesualdad. E rmer lugar, odemos ver que los tereses que geera el catal restado durate el rmer mes será I 1 = C 0 (2) de este modo el dero que dedcamos a la amortzacó del catal (esto es, la deuda que os qutamos) será 1 = I 1 (3) de modo que tras agar la rmera mesualdad debemos al baco C 1 = C 0 1 y los tereses a agar e la seguda mesualdad será +1 = (1 + ) = 1 (1 + ) (4) Combado las ecuacoes (1) a (4) se tee que C = ( 1 ) ) 1 lo que os ermte calcular lo edete de devolver al fal del eríodo -ésmo, sumado así ua rogresó geométrca ) ) C = C0 k = C0 ) 1 Préstamos a terés varable Uo de los casos más habtuales e los réstamos (sobre todo e los hotecaros) es que e el cotrato el to de terés sea varable, rocedédose a la revsó del msmo geeralmete cada año o cada ses meses. Pero, cómo odemos calcular la ueva cuota que vamos a teer que agar? Para ello teemos que teer e cueta que, tras el eríodo trascurrdo, el catal que le debemos al baco es C y que el eríodo que teemos ara devolverlo es, or lo que s es el uevo tato or uo de terés que alcaremos a uestro réstamo, teemos que la ueva cuota será = C ( 1 + ) 1+ 1 ( ) ( 5) es decr, que cada vez que se reueva el réstamo es como s se volvera a abrr uo uevo co las uevas codcoes. Nueva Hoteca Revsó Tos TE 6 meses 4% 4,42% 1 año 4% 4,39% Resto Eurbor +0,49%, Revsó aual Comsó aertura: 0,30% Hasta el 80% del valor de la tasacó I 2 = C 1 = (C 0 1 ) = I 1 1 La amortzacó atcada y la catdad amortzada e el segudo eríodo 2 = I 2 = 1 + I 1 I = 1 (1 + ) Sguedo de esta maera es secllo robar or duccó que Otro de los roblemas que se latea habtualmete e los réstamos es el de la amortzacó atcada, es decr, que cuado va a comezar el eríodo gresamos ua catdad e e uestro réstamo. E ocasoes, or este coceto teemos que agar comsoes (que suele ser u orcetaje sobre la catdad gresada y que vee esecfcada e el co- 27

4 SUM 49 Juo 2005 trato que frmamos co el baco). E uestro caso cosderaremos e como la cuota eta, es decr, ya descotadas las comsoes que estemos oblgados a agar. Dos so las osbldades que geeralmete os ofrece las etdades faceras. La rmera es dsmur la cuota. E ese caso, ara calcular la ueva cuota, actuaremos como e el aartado ateror, or lo que la ueva cuota vedrá dada or la exresó ( 1 + ) = C ) 1 dode C =C e. La otra osbldad es coservar la cuota ero dsmur el eríodo e el que vamos a termar de agar el réstamo. E este caso ermaece costate, y debemos calcular el uevo lazo, que deotamos or k. k ( 1 + ) C = C k ( + ) 1 = ( 1 + ) de dode, desejado, obteemos la exresó que os da el uevo eríodo log C k = log( 1 + ) k La utldad de este dato, radca e que os ermte comarar dos crédtos s ecesdad de hacer cálculos comlcados, ya que, a ror, etre dos etdades que os ofrezca crédtos semre será mejor ara osotros aquel que os ofrezca u meor TE (o obstate, y auque esto es certo e térmos geerales, tedremos que cosderar otras oblgacoes que os moe el baco y leer la letra equeña ara decdr etre uo y otro). Desde uestro uto de vsta de futuros deudores, os teresa el tato efectvo ara el deudor que se defe como aquel que hace que las catdades recbdas y las devueltas sea guales, valoradas todas e el mometo cal. El caso más secllo ocurre cuado el to de terés es fjo. E este caso sólo teemos que teer e cueta las comsoes agadas calmete α 0 y las que agamos co cada mesualdad (s las hay, las cosderaremos cludas e cada cuota). E ese caso, e el state cero recbmos C 0 α 0, y esta catdad tee que ser gual a la suma de las catdades agadas, ero valoradas e el state cal. Dchos valores se rereseta e la tercera columa, dode el temo rereseta el eríodo trascurrdo etre el state cero, cuado recbmos el réstamo, y el mometo del ago de la cuota. Cuota Temo (meses) Valor cal (1+) (1+) (1+) (1+) (1+) (-1) - El To ual Equvalete exresa el coste total del dero, or la suma de los tereses totales agados, los efectos del sstema de amortzacoes y las comsoes de aertura. Tamames, 1992 Sumado la tercera columa, teemos 1 k 1 ) ) + + ) = ) = y la ecuacó que teemos que resolver es C 1 ) α = 0 0 El TE (To ual Equvalete) El To ual Equvalete exresa el coste total del dero, or la suma de los tereses totales agados, los efectos del sstema de amortzacoes y las comsoes de aertura. (Tamames, 1992). Es decr que este to de terés tee e cueta los tereses agados, la forma e la que lo hemos agado y las comsoes que estamos oblgados a agar. Esta ecuacó es rresoluble or métodos algebracos, or lo que es ecesaro calcular la solucó de forma umérca. Para ello odemos utlzar la fucó TE geerada or el rograma que clumos e el artículo, s coocemos el valor de las cuotas que teemos que agar, o la fucó TE_INT s lo que coocemos es el to de terés omal, como se uede ver e los ejemlos que clumos al fal del artículo. 28

5 SUM 49 Juo 2005 Cuado el terés es varable, las cuetas se comlca mucho, ya que e ese caso las mesualdades també varía. Suogamos que el to de terés varía m veces a lo largo de la vda del réstamo. De este modo, las cuotas (cludas las comsoes) vedrá dadas or 1,, m cada ua de las cuales las agaremos durate k eríodos, co k varado etre 1 y m, de forma que m =, el total del eríodos. es decr, 1 k 1 k C α = ) + ) ) m + + k m ( 1 m 1) + ( 1 + ) ( 1 + ) 2 Fgura 4 De este modo la catdad a gualar co C 0 α 0 será la sguete suma, dode lo que buscamos es el valor de : Se deoma EURIBOR al to de cotado, ublcado or la Federacó Bacara Euroea, ara las oeracoes de deóstos e euros a lazo de u año, calculado a artr del ofertado or ua muestra de bacos ara oeracoes etre etdades de smlar calfcacó ) ) + 1) 2) 2 ) ) m 1) ) + + ) m m Sumado las rogresoes, obteemos 1 1 ) 1 ) 1 C0 α 0 = ( 1 + ) m ( m 1) ( + ) + m ( 1 + ) Ecuacó que odemos resolver umércamete co las fucoes TE o TE_INT defdas ara DERIVE. El TE de los réstamos E todas las oeracoes bacaras es oblgatoro que aarezca el TE, tal oblgacó vee muesta or la crcular 8/90 del Baco de Esaña. Pero, qué gastos se cluye e el cálculo del TE y cuáles o? La resuesta la ecotramos e la crcular del Baco de Esaña ates ctada. E artcular el uto 4 de su Norma Octava dce lo sguete:

6 SUM 49 Juo 2005 E la formacó sobre el coste efectvo de las oeracoes actvas, se alcará las reglas sguetes: a. E el cálculo del coste efectvo se clurá las comsoes y demás gastos que el clete esté oblgado a agar a la etdad como cotrarestacó or el crédto recbdo o los servcos heretes al msmo. No se cosderará a estos efectos las comsoes o gastos que se dca a cotuacó, (): Los gastos que el clete ueda evtar e uso de las facultades que le cocede el cotrato(). Los gastos a aboar a terceros, e artcular los corretajes, gastos otarales e muestos. lcacoes ddáctcas Ua rmera aroxmacó a estos cotedos odría hacerse co alumos de Secudara cuado se troduce los cocetos de terés smle e terés comuesto. Basta co que estos coozca la exsteca del TE y su utldad ara comarar roductos faceros. Para ello sugermos ua actvdad or gruos e la que los alumos busque aucos y recortes de resa dode aarezca la alabra TE. Poste-rormete los debe clasfcar e roductos de ahorro y de crédto, ara desués comarar y ordear de mejor a eor roducto las dsttas ofertas. Los gastos or seguros o garatías(). Pero cuado cotratamos u réstamo cuyo to de terés es varable, osotros, y també uestro baco, descoocemos cómo se va a comortar dcho to de terés e el futuro. La msma Norma, e el uto 6, os dca la maera e la que debemos calcular el TE: E las oeracoes a to de terés varable, el coste o redmeto efectvo que se ha de reflejar e la documetacó cotractual se calculará bajo el suuesto teórco de que el to de terés de refereca cal ermaece costate, durate la vda del crédto, e el últmo vel coocdo e el mometo de celebracó del cotrato. E todas las oeracoes bacaras es oblgatoro que aarezca la TE, tal oblgacó vee muesta or la crcular 8/90 del Baco de Esaña. S se actara u to de terés fjo ara certo eríodo cal, se tedrá e cueta ara el cálculo, ero solo durate dcho eríodo cal. Excecoalmete, s el to cal se alcara durate u lazo de dez años o más o durate la mtad o más de la vda del cotrato, alcádose, al meos durate tres años, e el cálculo del coste o redmeto efectvo solo se tedrá e cueta ese to cal actado. Plazo Imorte Máxmo To de terés Hasta 1 año Hasta 3 años Comsoes: 3 mesualdades (máx ) 6 mesualdades (máx ) ertura: 1,20% (mímo 42 ) Esta ormatva aclara todas las osbles dudas que ueda surgr. Todos los crédtos hotecaros de terés varable se rge or uos ídces de refereca, cuyo valor ublca mesualmete el Baco de Esaña. Estos ídces so, el MIBOR, el EURIBOR, CEC y el IRPH co tres versoes, de Bacos, de Cajas y del Total de las Etdades. De este modo, e los cotratos de crédtos hotecaros lo que aarece es el eríodo tras el cual se revsará el réstamo y el dferecal alcado. Uo de los más habtuales es el EURIBOR, así o es extraño ver e la resa que u réstamo se ofrece a, or ejemlo EURIBOR Mesualdad or 6000 a lazo máxmo T..E.* 7,00% 9,67% 7,50% 8,64% Estudo: Exeto *TE calculado a lazo e morte máxmo, co cuotas mesuales. Cacelacó arcal: 3% Fgura 2. tco óma, co óma domclada Cacelacó total atcada: 3% Por otra arte, los lbros de texto de Bachllerato de Matemátcas lcadas a las Cecas Socales suele clur e su rmer curso ua refereca a las hotecas; e geeral se detee úcamete e el cálculo de la cuota a agar e u réstamo a terés fjo. Co estos alumos, los cotedos exuestos odría servr ara elaborar actvdades de rofudzacó, sobre todo ara los alumos que curse las otatvas relacoadas co la ecoomía. Sugermos que se orgace or gruos y elabore u trabajo relatvo a estos temas; artedo de los coocmetos teórcos, y co el f de hacer más atractva la vestgacó, los alumos uede drgrse a las etdades faceras de su localdad ara edr formacó sobre las hotecas, los crédtos al cosumdor, las tarjetas de crédto y los roductos de ahorro, ara osterormete trabajarlo e gruo y exoerlo al resto de sus comañeros. Puede comletar la formacó recogda e las etdades faceras co recortes de resa, aucos de televsó o rado, etc. 30

7 SUM 49 Juo 2005 Ejemlos de cálculo del TE Ejemlo 1 Veamos los crédtos que os ofrece la etdad facera e la tabla que aarece e la fgura 2. Solctamos u réstamo de 6000 euros a devolver e u año. Como la comsó de aertura es del 1 20% tedremos que aboar or este coceto 72 euros. Para el cálculo del TE, troducmos e DERIVE: #25: TE_INT (6000, 72, [7.50], [36]) y smlfcamos la exresó, obteedo como resultado #26: [ ] que redodeado a las cetésmas os da el 8 64% dcado e el folleto. S decdmos devolver el crédto e meos temo, or ejemlo e 2 años, vemos como el TE aumeta, ya que el efecto de la Comsó de ertura tee cada vez más mortaca, #27: TE_INT (6000, 72, [7.50], [24]) #28: [ ] Es decr, el 9 05%. També odemos observar cómo el TE aumeta cuado dsmuye la catdad que solctamos al baco. sí suogamos que solctamos 3000 euros, a devolver e 3 años. La comsó de aertura e este caso será % = 36 euros, ero como el mímo es de 42, ésta es la comsó a agar. Calculamos el TE: #29: TE_INT (3000, 42, [7.50], [36]) #30: [ ] hora el TE es del 8 79%. Todos los crédtos hotecaros de terés varable se rge or uos ídces de refereca, cuyo valor ublca mesualmete el Baco de Esaña. Ejemlo 2 Vemos el auco del la fgura 3 (se ecuetra e la ága sguete). E éste se os ofrece uas codcoes que arece mejorables. uque hay ocasoes como esta, e las que la dfereca etre el To de terés omal y el TE resulta bastate mortates. Veámoslo. Suogamos que comramos u electrodoméstco or valor de E ese caso y segú las codcoes rouestas, teemos que agar ua etrada del 20% (300 ) or lo que la catdad que e realdad os resta es de 1200, que tedremos que devolver e 15 meses. De esta catdad hay que agar u 2% juto co la rmera mesualdad (24 ), or lo que será más secllo calcular el TE a través de las cuotas. Para calcular la cuota básca, como el to de terés es del 0%, basta co dvdr el total etre los 15 meses (1200 / 15 = 80 ). S a la cuota del rmer mes le sumamos la comsó tedremos todos los elemetos ara calcular el TE: #31: TE (1500, 300, [80+24, 80], [1, 14]) #32: [ ] Es decr, u TE del 3 08%. Ejemlo 3 Observemos ahora la fgura 4 (se ecuetra dos ágas haca atras). E este caso se os dce que la Hoteca es a to varable co u to de terés de EURIBOR Como teemos que calcular el TE, debemos teer e cueta tal y como os dce la crcular del Baco de Esaña el to de refereca de Febrero de 2002 (3 594%) y cosderarlo fjo durate toda la vda del réstamo. Suodremos que vamos a solctar u réstamo de a devolver e 20 años (240 meses). Como la comsó de aertura es del 0 30%, habrá que agar como comsó 270. Para calcular el TE troducmos e DERIVE la struccó: #33: TE_INT (90000, 270, [ ], [20*12]) que os da como resultado #34: [ ] que redodeado a dos decmales os da 4 16%, el TE exresada e el auco. La cuota a agar també la odemos obteer co DERIVE. E este caso co la orde #35: CUO_INT (90000, [ ], [20*12]) #36: [ ] 31

8 SUM 49 Juo 2005 Ua cuota de Pero s vamos a solctar el crédto e Setembre de 2004, y además lo queremos devolver e 25 años, lo que ecestamos es actualzar ese TE, cosderado que el EURIBOR fjado ara setembre fue del 2'302%, troducmos #37: TE_INT (90000, 270, [ ], [25*12]) y obteemos #38: [ ] U TE del 2'81%. Tal y como os dca la Crcular del Baco de Esaña, debemos cosderar el to de terés de refereca del mometo e el que vamos a calcular el TE (e uestro caso, e setembre de 2004 el EURIBOR es de 2'302%), or lo tato ara calcular el TE de u réstamo de 70000, troducmos: #39: TE_INT (70000, 210, [4, ], [12, 228]) #40: [ ] U TE del 3%. Para calcular el morte de las cuotas a aboar, troducmos: Fgura 3 Ejemlo 4 E este últmo caso vamos a calcular el TE de u réstamo como el esecfcado e la fgura 5. E él se os esecfca que durate u eríodo cal de u año, vamos a agar u 4% de terés, y, a artr del rmer año, se revsará a EURIBOR + 0'49, además la comsó de aertura es del 0'30%. #41: CUO_INT (70000, [4, ], [12, 228]) #42: [ , ] Es decr, cuotas de 424'19 y de 382'77. uque la seguda de ellas tee u carácter meramete formatvo, ya que el to de terés de refereca uede varar otablemete al alza o a la baja e el trascurso de u año. REFERENCIS BIBLIOGRÁFICS Normatva de los réstamos: Crcular 8/1990 del Baco de Esaña, de 7 de Setembre. ÁLVREZ, M. (1992): Matemátcas faceras, lhambra Logma, Madrd. BIOSC,., ESPINET, M. J., FNDOS, M. J., JIMENO, M., REY, J. (1998): Matemátcas alcadas a las Cecas Socales I, Edebé, Barceloa. CORBLÁN, F. (2001): "La actualdad matemátca", Suma.º 38, GONZÁLEZ, V. (1984): Itroduccó a las Oeracoes faceras, bacaras y bursátles, Tebar Flores, Madrd. KUTZLER, B. (1998): Itroduccó a DERIVE ara Wdows, Dazotec, Valeca. ROMO, J. J.; CUEVS,,; DELICDO, P. (2000): EULER, Matemátcas lcadas a las Cecas Socales I, Edcoes SM, Madrd. TMMES, R., (1992), Curso de ecoomía, lhambra Logma, Madrd. 32