4. PRÉSTAMOS. Préstamos INTRODUCCIÓN Definición

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1 PRÉSTAMOS ae Badía, Hotèsia Fotaals, Meche Galisteo, José Mª Lecia, Mª Agels Pos, Teesa Peixes, Dídac Raíez, F. Javie Saasí y Aa Mª Sucaats DEPARTAMENTO DE MATEMÁTA EONÓMA, FNANERA Y ATUARAL Divisió de iecias Juídicas, Ecoóicas y Sociales Uivesidad de Baceloa

2 Péstaos 4. PRÉSTAMOS 4.. NTRODUÓN 4... Defiició U péstao es ua opeació fiaciea e la que el sujeto activo, o pestaista, etega al sujeto pasivo, o pestataio, u capital o u cojuto de capitales fiacieos, y a cabio el pestataio se copoete a eebolsa e u plazo coceto, ya sea ediate u úico pago o ediate desebolsos sucesivos la cuatía pestada y el pago del pecio o iteés. Se deoia pestació al capital fiacieo o cojuto de capitales fiacieos que el pestaista etega al pestataio. Noalete la pestació es de u solo capital (, 0 ), siedo el picipal o oial del péstao. Se deoia cotapestació, al capital fiacieo o cojuto de capitales fiacieos que se copoete a paga el pestataio al pestaista, pudiedo tatase de: U cojuto uitaio, {( ',T')} U cojuto de capitales fiacieos: {(, T )},2,..., paga el pestataio e el difeieto T., cuado la cotapestació es u úico capital fiacieo. dode es la cuatía que debe El esquea habitual de ua opeació de péstao es: P estaista pestació (,0) P estataio {( )} cotapestació, T,2,..., tatádose de ua opeació pacialete copleja. Los capitales fiacieos que se itecabia ete los sujetos de la opeació debe se equivaletes ete sí. Dicha

3 2 toducció a la Mateática Fiaciea equivalecia se establece ediate el pecio pactado e la opeació y suele vei deteiada e égie fiacieo de iteés copuesto vecido: {(,0 )} ~ {(,T )},2,..., lasificació La opeacioes de péstao adite distitos tipos de sisteatizacioes. Si se clasifica de acuedo co su estuctua aotizativa los péstaos puede se: a. Péstaos co devolució úica del capital pestado al fial de la opeació. Deto de este gupo se distigue dos odalidades de péstaos: a.. Péstaos aotizables ediate pago úico de capital e iteeses al fial de la opeació. a.2. Péstaos co pago peiódico de iteeses y devolució úica de capital al fial de la opeació. b. Péstaos co aotizació peiódica de capital. Esta odalidad de péstao se caacteiza poque la cuatía que paga el pestataio e cada peiodo se destia a cubi los iteeses devegados e el peiodo y adeás a devolve ua pate del capital pestado. Deto de este gupo cabe difeecia: b.. Péstaos aotizables ediate téios aotizativos costates. (Péstao aotizable po el sistea facés). b.2. Péstaos aotizables ediate téios aotizativos vaiables e pogesió geoética. b.3. Péstaos aotizables ediate téios aotizativos de vaiació lieal. b.4. Péstaos co cuota de capital costate.

4 Péstaos PRÉSTAMO AMORTZABLE MEDANTE UN SOLO PAGO E esta odalidad de péstao, el pestaista etega al pestataio uidades oetaias (u..) e el oige de la opeació, y a cabio, el pestataio se copoete a efectua u úico pago al fial de la isa que icluye el oial pestado,, y los iteeses geeados duate todo el plazo. Geealete este péstao se pacta e égie fiacieo de iteés copuesto a tato costate Ecuació de equilibio iicial Patiedo de la equivalecia fiaciea ete pestació y cotapestació: {(, 0) } ~ {( ',T' )} y valoado abos cojutos al fial del plazo al tato de iteés que ige la opeació, se obtiee: ' T' ( )p dode: Y -, so los iteeses acuulados duate todo el plazo. T /p T úeo de peiodos e T años Reseva ateática y deuda pediete Reseva ateática La eseva ateática os idica el desequilibio iteo de la opeació e u istate cualquiea τ del plazo de la opeació, 0 τ T', y peite calcula el ipote que cacela el péstao e dicho istate τ, es deci, la cuatía que el pestataio debe etega al pestaista paa cacela la opeació de foa aticipada e τ. La eseva ateática e τ se calcula valoado e ese istate de tiepo, al tato del

5 4 toducció a la Mateática Fiaciea péstao, las pestacioes y las cotapestacioes ya ealizadas desde el iicio de la opeació hasta el istate τ cosideado, obteiedo la deoiada eseva etospectiva, o bie valoado las pestacioes y las cotapestacioes pedietes de ealizació desde el istate τ hasta el fial de la opeació, obteiedo la deoiada eseva pospectiva. Abas esevas coicide. E esta odalidad de péstao la eseva ateática etospectiva y pospectiva, se obtiee del siguiete odo: 0 τ T años eto pos R τ R τ Reseva ateática etospectiva. Se obtiee valoado e el istate τ la úica pestació ecibida po el pestataio, ya que o se ha efectuado igua cotapestació: R τ eto τ ( )p Reseva ateática pospectiva. Resulta de valoa e τ la úica cotapestació pediete, ya que o hay igua pestació pediete de ecibi a pati de τ : R pos τ ' τt' ( ) p oo puede obsevase, R τ se obtiee capitalizado las u.. desde el iicio de la opeació hasta τ o bie actualizado las u.. desde T hasta τ : R τt' T' τt' τ pos τ ' p eto ( ) p ( ) ( ) p ( ) p R τ

6 Péstaos 5 E defiitiva, se cuple que R pos τ R eto τ Gáficaete, la evolució de la eseva ateática es: R τ ' Y R τ 0 τ T ' años Deuda pediete La deuda pediete es la pate del oial del péstao pediete de devolució e u istate cualquiea de la opeació. E esta odalidad de péstao: D τ paa τ T' y D ' T Relació ete eseva ateática y deuda pediete E el iicio de la opeació deuda pediete y eseva ateática coicide co el oial del péstao: D R0 0 E τ, co 0 τ T', la deuda coicide co el oial del péstao y la eseva va auetado debido a los iteeses geeados sobe las u.. duate los τ años tascuidos desde el iicio de la opeació:

7 6 toducció a la Mateática Fiaciea D τ τ R τ ( )p E T, se devuelve el oial pestado juto co los iteeses, po lo que la deuda pediete y la eseva vuelve a coicidi, siedo abas ulas: D T ' R T' Total aotizado El total aotizado es la pate del oial del péstao que ya ha sido devuelto po el pestataio. Es la difeecia ete el oial del péstao y la deuda pediete: M D τ τ E este odalidad de péstao, e cualquie istate de la opeació y puesto que el pestataio o efectúa igú pago hasta el fial de la isa, el total aotizado es ulo, hasta el oeto de efectua el pago de las u.., e que el total aotizado coicide co el oial. M τ 0 paa τ T' y M ' T Tato efectivo pestataio. Tasa aual equivalete: TAE. Toda opeació de péstao lleva asociados gastos a cago del pestataio. Esto iplica que si bie el tato de iteés pactado ete los dos sujetos e el oeto de coceta el péstao peite obtee las agitudes del iso, o es epesetativo del tato al que le esulta la opeació Tato efectivo pestataio El tato efectivo pestataio, ', es el tato efectivo de iteés que hace equivaletes los siguietes cojutos de capitales: El cojuto de capitales fiacieos ecibido po el pestataio, siedo lo habitual que esté

8 Péstaos 7 foado po u úico capital, cuya cuatía es el oial del péstao. El cojuto de capitales pagado po el pestataio, que icluye, adeás de las cotapestacioes, los gastos a su cago. Alguos de estos gastos epecute diectaete e el pestaista ietas que otos so gastos ecesaios paa la obteció del péstao peo que o epecute e la etidad pestaista, coo seía el caso de los gastos otaiales. Lo habitual es que todos estos gastos se haga efectivos e el oeto de la cotatació del péstao. Sea, G 0 los gastos que el pestataio debe paga e el iicio de la opeació. G 0, los gastos iiciales a cago del pestataio que epecute e el pestaista. G 0,2 a los gastos iiciales a cago del pestataio que o epecute e el pestaista. G 0 G 0, G 0,2 El tato efectivo pestataio, ', e el péstao aotizable ediate u úico pago, es el que hace equivaletes los siguietes cojutos de capitales fiacieos: {(,0)} ~ {( G,0) ; ( ',T' )} 0 ' La valoació se puede efectua e cualquie istate de tiepo, auque geealete se valoa e el oige de la opeació, siedo e este caso, la ecuació que peite obtee el tato efectivo pestataio: de dode, G T' ' p 0 ' ( ) ' G ' 0 p ' T Tasa aual equivalete: TAE El cálculo de la tasa aual equivalete, TAE, está egulado po el Baco de España e la cicula º 8/990 que establece:

9 8 toducció a la Mateática Fiaciea... E el cálculo del coste efectivo se icluiá las coisioes y deás gastos que el cliete esté obligado a paga a la etidad coo cotapestació po el cédito ecibido o los sevicios iheetes al iso. No se cosidea a estos efectos las coisioes o gastos que se idica a cotiuació, aú cuado debe queda expesa y claaete idicado que la tasa aual equivalete o los icluye: Los gastos que el cliete pueda evita e uso de las facultades que le cocede el cotato, e paticula, y, e su caso, los gastos po tasfeecia de los fodos debidos po el cliete. Los gastos a aboa a teceos, e paticula los coetajes, gastos otaiales e ipuestos. Los gastos po seguos o gaatías. No obstate, se icluiá las pias de los seguos que tega po objeto gaatiza a la etidad el eebolso del cédito e caso de falleciieto, ivalidez, o desepleo de la pesoa física que haya ecibido el cédito, siepe que la etidad ipoga dicho seguo coo codició paa cocede el cédito. De odo que la TAE,, es el tato efectivo aual que hace equivaletes los siguietes cojutos de capitales fiacieos: El cojuto uitaio foado po el oial del péstao que el pestaista etega al pestataio al iicio de la opeació. El cojuto foado po las cotapestacioes y po todos los gastos pagados po el pestataio y que epecute e el pestaista. Si G 0, so los gastos iiciales a cago del pestataio que epecute e el pestaista, la TAE,, e el péstao aotizable ediate u úico pago se obtiee de la siguiete equivalecia: {(,0)} ~ {( G,0) ; ( ',T' )} 0, Valoado e el oige de la opeació esulta, G T' 0, ' ( ) ' 0, T G ' Ejeplo Ua pesoa solicita u péstao de a ua etidad fiaciea, aotizable ediate u úico pago, que copede capital e iteeses, a los 7 eses de su cocesió. El tato de iteés del péstao es del 5% aual e égie fiacieo de iteés copuesto. Existe uos gastos iiciales, a cago del pestataio del 3% sobe el oial, de los cuales 400 los paga al pestaista. Los datos del ejeplo so:

10 Péstaos ,05 T' 7/2 años G0 0, G 0, 400 alcula: a. uatía a devolve al fial de la opeació El esquea tepoal de la opeació es: Y 0 7/2 años dode, ' ( 0,05) 7/2 4.54, es la devolució del oial pestado. Y.54,79 coespode al pago de los iteeses. b. Reseva ateática y deuda pediete a los 4 eses de la cocesió del péstao Reseva ateática: eto 4/2 ( ) 4/2 R , ,85 pos 4/2 ( ) 3/2 R 4.54,79 0, ,85 Deuda pediete: D4/

11 0 toducció a la Mateática Fiaciea c. Tato efectivo pestataio y TAE Tato efectivo pestataio: ' Paa halla el tato efectivo pestataio, fiaciea: ', hay que platea la siguiete equivalecia {( , 0) } ~ {(.200, 0 ); ( 4.54,79, 7 /2 )} ' y valoado al iicio de la opeació, se obtiee: ' 2 ( ) ' ,79 0, ,79 TAE de la opeació: La equivalecia fiaciea a platea paa obtee la TAE,, de la opeació es la siguiete: {( ,0) } ~ {( 400,0) ; ( 4.54,79, 7 /2 )} y valoado al iicio de la opeació, se obtiee: 7 2 ( ) 2 7 '' ,79 0, , PRÉSTAMO AMORTZABLE MEDANTE UN SOLO PAGO Y ABONO PERÓDO DE NTERESES E esta odalidad de péstao, el pestaista etega al pestataio u úico capital al iicio de la opeació. A cabio el pestataio se copoete a paga al pestaista al fial de cada peiodo los iteeses devegados e el iso, y a estitui el oial del péstao al fial de la opeació. Este tipo de péstao se suele pacta e égie fiacieo de iteés copuesto vecido.

12 Péstaos Ecuació de equilibio iicial La equivalecia ete pestacioes y cotapestacioes viee dada po: { } {(,0 )} ~ (,p) ; (,p),2,..., siedo: el oial del péstao el tato efectivo de iteés al que se ha cocetado la opeació de péstao, y cuya fecuecia coicide co la del aboo de iteeses la cuota de iteés del peiodo el úeo de peiodos de p años cada uo p la duació total de la opeació, expesada e años Gáficaete: (-) peiodos Reseva ateática y deuda pediete Reseva ateática La eseva ateática uesta la evolució de la opeació a lo lago del plazo, y peite obtee la cuatía que debe paga el pestataio e caso de cacela aticipadaete el péstao. Al fial de cada uo de los - pieos peiodos, tas efectua el coespodiete pago de iteeses, la eseva ateática coicide co el oial del péstao. R co, 2,...,

13 2 toducció a la Mateática Fiaciea Este valo se puede obtee a pati de la eseva etospectiva o pospectiva: Reseva ateática etospectiva. El ipote que cacela el péstao tascuidos peiodos se obtiee po difeecia ete lo que el pestaista etega al pestataio, valoado e, y lo que el pestataio ya ha devuelto al pestaista, valoado tabié e : eto ( ) s R Reseva ateática pospectiva. A pati del fial del peiodo -ésio queda pedietes el pago de las - últias cuotas de iteés y la devolució de las u.. pestadas que, valoados al fial del peiodo -ésio, peite obtee la cuatía que el pestataio debe paga al pestaista paa cacela el péstao de foa aticipada: R pos a () ( ) E el istate τ, siedo τ, la cuatía que cacela aticipadaete el péstao se puede obtee capitalizado la eseva al fial del peiodo -ésio, la facció de peiodo tascuida: R τ τ ( ) ( ) τ R Al fial de la opeació, u istate después de efectuado el pago de la cuota de iteés coespodiete y de devolve el oial del péstao la eseva es ula: R Deuda pediete La deuda pediete e τ es la pate del oial del péstao pediete de aotiza e dicho istate. Teiedo e cueta que desde que el pestaista etega la cuatía al iicio de la opeació, el pestataio o devuelve ada, la deuda pediete es siepe u.., excepto al fial de la opeació ya que después de aotiza el péstao, la deuda pediete es ula. D paa τ y D 0 τ

14 Péstaos Relació ete eseva ateática y deuda pediete Al iicio de la opeació, la deuda pediete y la eseva ateática coicide co el oial del péstao. D R0 0 Al fial de cada peiodo, ua vez pagada la cuota de iteés, la deuda pediete y la eseva ateática coicide, tabié, co el oial pestado. D R co, 2,..., E τ la deuda pediete sigue siedo el oial del péstao, ietas que la eseva ha auetado debido a los iteeses geeados duate la facció de peiodo que ha tascuido desde hasta τ. D τ R Al fial de la opeació, tato la deuda pediete coo la eseva so ulas. τ D R 0 La epesetació gáfica de la eseva ateática es la siguiete: R τ ( ) _ - D R R τ D τ D τ () (-) peiodos

15 4 toducció a la Mateática Fiaciea Total aotizado El total aotizado e τ, M τ, es la pate del oial del péstao aotizada po el pestataio hasta este oeto. Puesto que el pestataio o aotiza ada del capital pestado hasta el fial de la opeació, esulta: M 0 co τ y M τ Tato efectivo pestataio. Tasa aual equivalete: TAE Tato efectivo pestataio E esta odalidad de péstao, el tato efectivo pestataio, ', cuya fecuecia de capitalizació coicide co la de las cuotas de iteés, es el que esulta de la siguiete equivalecia: { } {(, 0) } ~ ( G,0); (, p) ; (, p) ' 0,2,..., Si se valoa e el oige de la opeació, la ecuació que peite obtee el tato efectivo ', que idica el coste al que esulta el péstao al pestataio es, ' ( ) G0 a ' Tasa aual equivalete: TAE Paa ecota la TAE, la equivalecia fiaciea a platea es la siguiete: { } {(, 0) } ~ ( G,0) ; (, p) ; (, p) 0,,2,...,

16 Péstaos 5 Valoado al iicio de la opeació se obtiee la ecuació que peite halla el tato G a ( ) 0, siedo la TAE el tato efectivo aual equivalete al ateio: TAE ( ) Ejeplo Ua pesoa solicita u péstao de a aotiza ediate u solo pago deto de 2 años, y co pago tiestal de iteeses. El tato de iteés cocetado co la etidad fiaciea es del 6% aual capitalizable tiestalete, y los gastos a cago del pestataio asciede a.000 de los que 400 epecute e el pestaista. Los datos del ejeplo so: p /4 años T'-T p 2 8 tiestes i 4 0,06 ; 4 0,06/4 0,05 G G 0, 400 alcula: a. uota de iteés tiestal , b. Reseva ateática y deuda pediete a los 9 y eses de cocetado el péstao A los 9 eses de cocetado el péstao, ua vez efectuado el pago de la cuota de iteés coespodiete: R D3

17 6 toducció a la Mateática Fiaciea A los eses de cocetado el péstao: ( ) 2 3 R , ,50 D D c. Tato efectivo pestataio y TAE Tato efectivo pestataio: ' 4 La equivalecia fiaciea a platea es la siguiete: {( , 0) } ~ (.000, 0) ; 300, ; ( , 2 ) ' 4 4,2,...,8 Valoado al iicio de la opeació, esulta: 8 ' ( ) a ' de dode se obtiee el tato efectivo tiestal pestataio, ' 4 0, 0288 TAE de la opeació: La equivalecia fiaciea e este caso es: {( , 0) } ~ ( 400, 0) ; 300, ; ( , 2 ) 4 4,2,...,8 y valoado al iicio de la opeació, al tato 4, esulta: a ( ) 8 4

18 Péstaos 7 ecuació de la que se obtiee el tato efectivo tiestal, 4 0, 0770, a pati del cual se obtiee la TAE,, coo el tato efectivo aual equivalete: TAE 4 ( 0,0770) 0, PRÉSTAMO AMORTZABLE MEDANTE TÉRMNOS AMORTZATVOS ONSTANTES. PRÉSTAMO FRANÉS El péstao aotizable po el sistea facés es u péstao co téios aotizativos costates y pagadeos peiódicaete po vecido, pactado e égie fiacieo de iteés copuesto vecido. ada uo de los pagos que efectúa el pestataio al fial de cada peiodo se destia a paga los iteeses devegados e el peiodo y a aotiza pate del capital pestado. Las agitudes que iteviee e esta odalidad de péstao y e geeal, e todos los péstaos de aotizació peiódica so: el oial del péstao. p la peiodicidad cosideada e la opeació. el úeo de peiodos e que se divide el plazo de la opeació. el téio aotizativo. Es la cuatía que el pestataio paga al pestaista al fial de cada uo de los peiodos. Los téios aotizativos se copoe de cuota de iteés y de cuota de capital. Y la cuota de iteés del peiodo -ésio. Es la pate del téio aotizativo que se destia a paga los iteeses devegados del peiodo. A la cuota de aotizació o de capital del peiodo -ésio. Es la pate del téio del téio aotizativo que se destia a aotiza el capital pestado. el tato efectivo de iteés al que se ha pactado el péstao, cuya fecuecia de capitalizació coicide co la fecuecia de pago de los téios aotizativos.

19 8 toducció a la Mateática Fiaciea Ecuació de equilibio iicial La equivalecia fiaciea ete pestació y cotapestacioes es: siedo su esquea tepoal: {(,0) } ~ {(, p) },2,..., (-) peiodos Valoado al iicio de la opeació, al tato de iteés del péstao, se obtiee la ecuació que peite halla el téio aotizativo que el pestataio debe paga al fial de cada peiodo: a a Reseva ateática y deuda pediete Reseva ateática Al fial del peiodo -ésio,, 2,, -, después del pago del téio aotizativo coespodiete la eseva ateática puede obteese po el étodo etospectivo o pospectivo. Reseva ateática etospectiva R eto ( ) s Reseva ateática pospectiva pos R a

20 Péstaos 9 La eseva ateática etospectiva y pospectiva coicide, siedo su esquea tepoal: (-) () peiodos eto R pos R La eseva ateática e τ, siedo τ, es: R τ ( ) τ R Al fial de la opeació: R 0 La epesetació gáfica de la eseva ateática es: R τ R R 2 R (-) peiodos

21 20 toducció a la Mateática Fiaciea Deuda pediete La deuda pediete al fial del peiodo -ésio es: D A s co D0 y D 0 s La deuda pediete va disiuyedo a edida que el pestataio va pagado los téios aotizativos, ya que ua pate de los isos se destia a la aotizació de oial. Paa obtee la deuda pediete si calcula peviaete las cuotas de aotizació hay que elacioala co la eseva ateática Relació ete eseva ateática y deuda pediete oocida la eseva ateática se puede calcula la deuda pediete a pati de ella, ya que: Al iicio de la opeació deuda pediete y eseva ateática coicide co el oial del péstao: D R 0 0 Al fial de cada peiodo, ua vez que se ha pagado el téio aotizativo coespodiete, deuda y eseva coicide: D R,2,..., R τ R D R 2 D 2 R - D - R D (-) peiodos

22 Péstaos 2 E τ co τ D τ D R R τ Los iteeses que se acuula sobe la cuatía pediete al iicio del peiodo hace que la eseva ateática vaya auetado y que o coicida co la deuda hasta u oeto después de efectuado el pago del téio aotizativo del peiodo siguiete. R τ R ( ) R ( ) τ- R τ D R D D τ R D τ.....peiodos Al fial de la opeació, la eseva ateática y la deuda pediete coicide y so ulas: D R uota de iteés y cuota de capital El téio aotizativo que se paga al fial del peiodo -ésio se desglosa e cuota de iteés y cuota de capital: Y A uota de iteés. E cada peiodo se paga los iteeses sobe la eseva ateática del fial del peiodo ateio: Y ( ) R R R uota de capital. oocido el téio aotizativo y la cuota de iteés, po difeecia puede obteese la cuota de capital. A Y

23 22 toducció a la Mateática Fiaciea o bie: A R - - R Gáficaete el desglose del téio aotizativo del peiodo -ésio es: R τ R - ( ) Y R - R - A -Y R peiodos Ua caacteística del péstao aotizable po el sistea facés es que las cuotas de aotizació vaía e pogesió geoética de azó ( ) : ) ( R Y A a ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) s a a Po tato: ( ) s A co A A

24 Péstaos 23 La piea cuota de aotizació puede obteese a tavés de la expesió ateio y tabié: A - Y Total aotizado El total aotizado hasta el fial del peiodo -ésio se obtiee suado las cuotas de aotizació pagadas po el pestataio desde el iicio de la opeació hasta el fial de dicho peiodo. M A s s o bie se obtiee po difeecia ete el oial del péstao y la deuda pediete: M D uado de aotizació Las agitudes del péstao se puede esui e el cuado de aotizació: Y A M R D M 0 0 R 0 Y A Y M M 0 A R R 0 - A 2 Y 2 R A 2 Y 2 M 2 M A 2 R 2 R A 2 Y R - A Y M M - A R R - A - Y - R -2 A - Y - M - M -2 A - R - R -2 A - Y R - A Y R - M M - A R R - A 0

25 24 toducció a la Mateática Fiaciea Tato efectivo pestataio. Tasa aual equivalete: TAE Tato efectivo pestataio El coste al que esulta la opeació al pestataio, se obtiee a pati de la siguiete equivalecia fiaciea: { } {(, 0) } ~ ( G,0) ; (,p) ' 0,2,..., Valoado al iicio de la opeació se obtiee la ecuació que peite deteia el tato efectivo pestataio, ' : G 0 a ' Tasa aual equivalete: TAE La TAE, *, se obtiee de la siguiete equivalecia fiaciea: { } {(, 0) } ~ ( G,0) ; (,p) 0,,2,..., Valoado al iicio de la opeació se obtiee la ecuació que peite obtee el tato, a G 0, siedo la TAE * TAE ( ) Ejeplo Ua pesoa solicita u péstao hipotecaio de de oial, a aotiza ediate pagos esuales, costates y vecidos duate 0 años. El tato de iteés es del 6% aual pagadeo esualete. Existe uos gastos iiciales a cago del pestataio del 5% sobe el oial, de los cuales epecute e el pestaista.

26 Péstaos 25 Los datos del ejeplo so: i 2 0,06 2 0,06/2 0,005 t 0 años p años 2 costate y esual 20 eses G 0 0, G 0, alcula: a. Téio aotizativo El ipote del téio aotizativo se obtiee a pati de la siguiete equivalecia fiaciea: {( ,0) } ~, 2 0,005 2,2,...,20 Valoado al iicio de la opeació, se obtiee: a 20 0, , ,33 a 20 0,005 El esquea tepoal de la opeació es e este caso: ,33.776, , eses b. Reseva ateática y deuda pediete a los 6 años, y a los 6 años y 5 días de cocetado el péstao Reseva ateática a los 6 años, esto es, a los 72 eses: ( ) 72 eto ,005 R , ,33 s , ,6

27 26 toducció a la Mateática Fiaciea R.776,33 a , ,6 pos ,005 Reseva ateática a los 6 años y 5 días, esto es, a los 72 eses y edio: 72,5 72 ( ) ( ) 2 2 R R 0, ,6 0, ,47 Deuda pediete a los 6 años: D 72 R ,6 Deuda pediete a los 6 años y 5 días: D72,5 D72 R ,6 R72,5 c. uota de aotizació y cuota de iteés coespodiete al pie es del séptio año Ua aea de halla la cuota de iteés y de capital es la siguiete, que a su vez es el étodo geeal que puede utilizase e todos los péstaos de aotizació peiódica: Y 73 R ,6 0, ,8 A 73 Y ,33 378,8.398,5 Si se tiee e cueta que e el péstao facés la cuotas de capital cece e pogesió geoética, esulta: Y , o bie, A Y.776, , A 976,33 s 20 0,005

28 Péstaos 27 po lo que, siedo, A 73 A, ,33, ,5 Y 73 A ,5 378,8 d. Total aotizado hasta el fial de los 6 años, esto es a los 72 eses M72 D , ,39 e. Tato efectivo pestataio y TAE Tato efectivo pestataio: ' 2 Se obtiee de la siguiete equivalecia fiaciea: {( , 0) } ~ ( 8.000,0) ;.776,33, ' 2 2,2,..., 20 Valoado al iicio de la opeació esulta: ,33 a ' 2 0,00596 TAE de la opeació: 2 La equivalecia fiaciea a platea e este caso es la siguiete: 20 ' 2 {( , 0) } ~ ( 3.000,0) ;.776,33, 2 2,2,...,20 Valoado al iicio de la opeació esulta: ,33 a ,00535

29 28 toducció a la Mateática Fiaciea La TAE es el tato efectivo aual equivalete al ateio: TAE 2 2 ( ) ( 0,00535) 0, 0662 * Péstao facés co caecia E ocasioes el oeto e el que se cocieta el péstao o coicide co el iicio del pago de los téios aotizativos, sio que duate u deteiado úeo de peiodos o se efectúa aotizació de capital. El úeo de peiodos tascuidos desde el iicio de la opeació hasta el iicio de la devolució del capital pestado se deoia caecia. Duate los peiodos que dua la caecia, si bie el pestataio o aotiza capital, puede paga los iteeses peiódicaete, deoiádose e este caso caecia pacial, o bie o ealiza igú pago, e cuyo caso se deoia caecia total Péstao facés co caecia pacial El pestaista etega el oial del péstao al iicio de la opeació y el pestataio se copoete a paga al fial de cada uo de los d pieos peiodos los coespodietes iteeses, e iiciádose el pago de los téios aotizativos, que copede capital e iteeses, cuado teia el plazo de caecia. La equivalecia fiaciea ete pestació y cotapestacioes es e este caso la siguiete: siedo su esquea tepoal: { } {(,0) } ~ (, p) ; (, ( d ) p),2,...,d,2,..., d d d d peiodos d cuotas de iteés téios aotizativos

30 Péstaos 29 Valoado pestacioes y cotapestacioes al iicio de la opeació se obtiee la ecuació de equilibio iicial: a a d ( ) d de dode esulta: a ecuació de equilibio que coicide co la del péstao facés si caecia. La epesetació gáfica de la eseva ateática e esta odalidad de péstao es la siguiete: R τ R d R d d d d d- d peiodos Ejeplo alcula el téio aotizativo de u péstao coo el del ejeplo ateio peo cuya duació total sea de años, siedo el pieo de caecia pacial, duate el cual se pagaá los iteeses esualete y po vecido. El esquea tepoal de la opeació es: eses 2 eses de caecia 20 téios aotizativos esuales

31 30 toducció a la Mateática Fiaciea La equivalecia fiaciea, e este caso, es: 2 0,005 2,2,...,2 2 {( ,0) } ~ 800, ;, ( 2 ),2,...,20 siedo la ecuació de equilibio iicial: a a 2 0, ,005 ( 0,005) 2 que es equivalete a platea la ecuació al fial de la caecia, a 20 0,005 de dode: a 20 0, ,33 euos Péstao facés co caecia total El pestaista etega el oial del péstao al iicio de la opeació y el pestataio o efectúa igú pago hasta que ha tascuido los d peiodos de caecia. Al fial de la caecia, el pestataio debe al pestaista el oial ás los iteeses geeados duate la caecia, ipote que estituiá ediate el pago de los téios aotizativos. La equivalecia fiaciea ete pestació y cotapestacioes es la siguiete: siedo su esquea tepoal: {(,0) } ~ {(, ( d ) p) },2,..., d d d d peiodos téios aotizativos

32 Péstaos 3 El téio aotizativo,, se obtiee a pati de la ecuació de equilibio iicial: a ( ) d que tabié se puede platea al fial de los d peiodos de caecia: ( ) d a siedo, a ( ) d Gáficaete la eseva ateática es: R τ R d R d ( ) d d d d(-) d peiodos Ejeplo Si e el ejeplo ateio el pie año es de caecia total y se atiee el esto de datos, calcula el ipote de los téios aotizativos. El esquea tepoal de la opeació es este caso:

33 32 toducció a la Mateática Fiaciea eses 2 eses de caecia total 20 esuales y la equivalecia fiaciea ete pestació y cotapestacioes viee dada po: {( ,0) } ~, ( 2 ) 2 0,005 2,2,...,20 El téio aotizativo puede obteese a pati de la ecuació de equilibio iicial, ya sea plateada al iicio de la opeació o al fial de la caecia: Ecuació de equilibio iicial: a 20 0,005 ( 0,005) 2 Ecuació de equilibio al fial del plazo de caecia: 2 ( 0,005) 20 0, a Despejado el téio aotizativo de cualquiea de las dos ecuacioes, se obtiee: ( ) , ,89 a 20 0,005

34 Péstaos PRÉSTAMO AMORTZABLE MEDANTE TÉRMNOS AMORTZATVOS DE VARAÓN GEOMÉTRA Es u péstao de aotizació peiódica co téios aotizativos vaiables e pogesió geoética y pagadeos po vecido, pactado e égie fiacieo de iteés copuesto Ecuació de equilibio iicial La equivalecia fiaciea ete pestació y cotapestacioes e esta odalidad de péstao es la siguiete: dode: { },2,..., {(,0) } ~ ( q,p) es el pie téio aotizativo q es la azó de vaiació de los téios aotizativos y siedo su esquea tepoal: q q q peiodos Valoado al iicio de la opeació se obtiee la ecuació de equilibio iicial de la que se puede obtee el ipote del pie téio aotizativo. Paa valoa las cotapestacioes se debe utiliza el valo actual de la eta vaiable e pogesió geoética, iediata, tepoal y vecida. q ( ) q si q ( ) si q

35 34 toducció a la Mateática Fiaciea esultado: ( ) ( ) ( ) q si q si q q Reseva ateática y deuda pediete Reseva ateática Al fial del peiodo -ésio,, 2,..., -, después del pago del téio aotizativo coespodiete, la eseva ateática se calcula del siguiete odo: Reseva ateática etospectiva ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q si R q si q q q q R eto eto Reseva ateática pospectiva ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q si R q si q q q q q R pos pos

36 Péstaos 35 La eseva ateática etospectiva y pospectiva coicide, siedo su esquea tepoal: q.... q -2 q - q q peiodos eto R pos R La eseva ateática e τ, siedo τ, es: R τ ( ) τ R Al fial de la opeació: R Deuda pediete La deuda pediete al fial del peiodo -ésio es: D A s co D0 y D 0 s Paa obtee la deuda pediete si calcula peviaete las cuotas de aotizació debeos elacioala co la eseva ateática, tal coo se ha visto e el péstao aotizable po el sistea facés uota de iteés y cuota de capital El téio aotizativo que se paga al fial del peiodo -ésio se descopoe e cuota de iteés y cuota de capital: Y A uota de iteés: e cada peiodo se paga los iteeses sobe la eseva ateática al fial del peiodo ateio: Y R -

37 36 toducció a la Mateática Fiaciea uota de capital: coocido el téio aotizativo y la cuota de iteés, po difeecia puede obteese la cuota de capital: A Y q R Total aotizado El total aotizado hasta el fial del peiodo -ésio se obtiee suado las cuotas de aotizació pagadas po el pestataio desde el iicio de la opeació hasta el fial de dicho peiodo. M A s s o bie se obtiee po difeecia ete el oial del péstao y la deuda pediete: M D Ejeplo Ua epesa solicita u péstao de de oial a aotiza ediate téios aotizativos seestales cecietes e u 2% seestal acuulativo. El tato de iteés del péstao es del 6% aual pagadeo seestalete, la duació de la opeació es de 0 años y los gastos iiciales a cago del pestataio asciede a 7.000, de los cuales epecute e el pestaista. Los datos del ejeplo so: q - y seestal q,02 i 2 0,06 2 0,06/2 0,03 t 0 años p /2 años 20 seestes G G 0, 3.000

38 Péstaos 37 alcula: a. Téio aotizativo La equivalecia fiaciea ete pestació y cotapestacioes es: {( ,0) } ~,02, 2 0,03 2,2,...,20 Valoado al iicio de la opeació se obtiee: 20 ( 0,03) 20, ya que 0,03,02 0,03,02 y despejado el pie téio aotizativo, ( ) ( ) ,03, , , ,02 0,03 A pati del pie téio se puede obtee todos los deás: q 7.897,69,02 co,2,...,20 b. Reseva ateática y deuda pediete a los 2 años y a los 2 años y 4 eses de la cocesió del péstao Reseva ateática a los 2 años, esto es, a los 4 seestes: eto 4 ( ) ( ) 4 4 4,02 0,03 4 ( ) R , ,69 0, ,62 0,03,02 6 ( ) 6,02 0,03 pos R ,62 0,03, siedo, , ,72

39 38 toducció a la Mateática Fiaciea Reseva ateática a los 2 años y 4 eses: ( ) ( ) R R 0, ,62 0, ,43 Deuda pediete a los 2 años de cocetada la opeació: Deuda pediete a los 2 años y 4 eses D4 R ,62 D D R , c. oposició del quito téio aotizativo uota de iteés: Y5 R ,62 0, ,52 uota de aotizació: d. Tato efectivo pestataio y TAE A5 5 Y , , ,20 Tato efectivo pestataio: ' 2 Se obtiee de la siguiete equivalecia fiaciea: {( , 0) } ~ ( 7.000, 0 ) ; 7.897,69,02, ' 2 2,2,...,20 Valoado al iicio de la opeació esulta:, ,69 ' 20 2 ' ( ), ' 2 0,03525

40 Péstaos 39 TAE de la opeació: La equivalecia a platea e este caso es la siguiete: {( , 0) } ~ ( 3.000, 0 ) ; 7.897,69,02, 2 2,2,...,20 y valoado al iicio de la opeació se obtiee el tato ( ), ,69, ,03220 La TAE es el tato efectivo aual equivalete a 2 * TAE ( ) ( 0,03220) 0, PRÉSTAMO AMORTZABLE MEDANTE TÉRMNOS AMORTZATVOS DE VARAÓN LNEAL Es u péstao de aotizació peiódica co téios aotizativos vaiables e pogesió aitética y pagadeos po vecido, pactado e égie fiacieo de iteés copuesto vecido Ecuació de equilibio iicial La equivalecia fiaciea ete pestació y cotapestacioes es e esta odalidad de péstao la siguiete: {(,0) } ~ {( ( ) h, p) },2,..., dode: es el pie téio aotizativo h es la azó de vaiació aitética de los téios aotizativos

41 40 toducció a la Mateática Fiaciea siedo su esquea tepoal: peiodos h (-)h Valoado al iicio de la opeació se obtiee la ecuació de equilibio iicial de la que se puede despeja el pie téio aotizativo. Paa valoa las cotapestacioes se debe utiliza el valo actual de la eta vaiable e pogesió aitética, iediata, tepoal y vecida, h h h a esultado: h h h a Reseva ateática y deuda pediete Reseva ateática Al fial del peiodo -ésio, después del pago del téio aotizativo coespodiete, la eseva ateática se calcula del siguiete odo: Reseva ateática etospectiva ( ) ( ) eto h h h R a Reseva ateática pospectiva ( ) ( ) h siedo h h h R pos a

42 Péstaos 4 La eseva ateática etospectiva y pospectiva coicide, siedo su esquea tepoal: h... (-2)h (-)h h (-)h peiodos eto R pos R La eseva ateática e τ, si τ, es: R τ ( ) τ R Al fial de la opeació, R Deuda pediete La deuda pediete al fial del peiodo -ésio es: D A s co D0 y D 0 s Paa obtee la deuda pediete si calcula peviaete las cuotas de aotizació hay que elacioala co la eseva ateática, tal coo se ha visto e el péstao aotizable po el sistea facés uota de iteés y cuota de capital El téio aotizativo que se paga al fial del peiodo -ésio se desglosa e cuota de iteés y cuota de capital: Y A uota de iteés: e cada peiodo se paga los iteeses sobe la eseva al fial del peiodo ateio. Y R -

43 42 toducció a la Mateática Fiaciea uota de capital: coocido el téio aotizativo y la cuota de iteés, po difeecia puede obteese la cuota de capital. A ( ) h R Y Total aotizado El total aotizado hasta el fial del peiodo -ésio se obtiee suado las cuotas de aotizació pagadas po el pestataio desde el iicio de la opeació hasta el fial de dicho peiodo: o tabié: M M A s s D Ejeplo Ua pesoa solicita u péstao de a devolve e 7 años ediate téios aotizativos tiestales, vecidos y cecietes cada tieste e 50. El tato cocetado co la etidad fiaciea es del 5% aual capitalizable tiestalete. Los datos del ejeplo so: ( ) h y tiestal h 50 i 4 0,05 4 0,05/4 0,025 t 7 años p /4 años 28 tiestes alcula: a. Expesió geeal del téio aotizativo La equivalecia fiaciea ete pestació y cotapestacioes es:

44 Péstaos 43 50, {( ,0) } ~ ( ) Valoado al iicio de la opeació, se obtiee: 4 0,025 4,2,..., a 0, , ,025 y despejado el pie téio aotizativo, , , ,23 a 0, ,025 A pati del pie téio aotizativo se puede obtee todos los deás: ( ) h.500,23 ( ) 50 co,2,..., 28 a. Reseva ateática y deuda pediete a los 4 años y a los 4 años y 2 eses Reseva ateática a los 4 años, esto es a los 6 tiestes: ( ) eto 6 6 R , , ( 0,025) 52.06,38 6 0,025 0,025 a 0,025 pos R ,38 2 0,025 0,025 a 0,025 siedo , ,23 7 Reseva ateática a los 4 años y 2 eses ( ) ( ) R R 0, ,38 0, ,70

45 44 toducció a la Mateática Fiaciea Deuda pediete a los 4 años D6 R ,38 Deuda pediete a los 4 años y 2 eses D D R 52.06, b. uota de iteés y de aotizació del téio aotizativo que se paga a los 4 años y 3 eses uota de iteés: uota de aotizació: Y7 R ,38 0,025 65,33 A7 7 Y ,23 65, , PRÉSTAMO DE UOTA DE APTAL ONSTANTE Es u péstao que se caacteiza poque la cuota de capital o cuota de aotizació es costate. A A co,2,..., siedo A Habitualete e los péstaos de aotizació peiódica se platea la ecuació de equilibio iicial paa calcula los téios aotizativos, y a pati de éstos se obtiee la eseva ateática, obteiedo el esto de agitudes a pati de abos. E esta odalidad de péstao, a pati del total aotizado y de la deuda pediete se obtiee el esto de agitudes Total aotizado El total aotizado hasta el fial del peiodo -ésio se obtiee suado las cuotas de aotizació pagadas po el pestataio desde el iicio de la opeació hasta el fial de dicho peiodo.

46 Péstaos 45 M A s A A co,2,..., s s Deuda pediete y eseva ateática Deuda pediete La deuda pediete al fial del peiodo -ésio, co,2,,-, es ( ) A A co D y D 0 D A s A 0 s s Reseva ateática La deuda pediete y la eseva ateática coicide al fial de cada peiodo ua vez efectuado el pago del téio aotizativo coespodiete: D R co,2,..., La eseva ateática e τ, siedo τ, es: R τ τ ( ) D ( ) τ R uota de capital y cuota de iteés El téio aotizativo que se paga al fial del peiodo -ésio se desglosa e cuota de capital y cuota de iteés: A Y uota de capital: A A co,2,..., uota de iteés: e cada peiodo se paga los iteeses sobe la eseva al fial del peiodo ateio: Y R D

47 46 toducció a la Mateática Fiaciea De odo que: Y D ( ( ) A) ( ) A y sustituyedo Y, se obtiee la expesió geeal de las cuotas de iteés: ( ) A co,2,..., Y Y que, coo puede apeciase, sigue ua pogesió aitética dececiete de azó h A Téio aotizativo El téio aotizativo del peiodo -ésio es la sua de la cuota de iteés y la cuota de capital de dicho peiodo: Y Sustituyedo e la expesió ateio las dos cuotas po su valo, A Y ( ) h A { siedo Y A } ( ) h ( ) A co,2,..., Los téios aotizativos sigue ua pogesió aitética dececiete de azó, del iso odo que las cuotas de iteés. h A, Ejeplo Se solicita u péstao de , aotizable ediate téios aotizativos tiestales, vecidos y co cuota de capital costate, la duació de la opeació es de 2 años y el tato de iteés es del 6% aual capitalizable tiestalete. Los gastos iiciales a cago del pestataio asciede a 3.600, de los cuales.500 los paga al pestaista. Los datos del ejeplo so:

48 Péstaos 47 i 4 0,06 4 0,06/4 0,05 t 2 años p /4 años 48 tiestes A cuota de aotizació o de capital costate y tiestal G G 0,.500 Se pide: a. Total aotizado a los 7 años de cocetado el péstao La cuota de capital costate es: A siedo el total aotizado tascuidos 7 años, es deci a los 28 tiestes desde el iicio de la opeació: M A 28 A s b. Reseva ateática y deuda pediete a los 7 años y a los 7 años y es desde el iicio de la opeació Deuda pediete a los 7 años, esto es a los 28 tiestes: La deuda pediete se puede obtee po difeecia ete el oial del péstao y el total aotizado hasta el fial de los 7 años: D28 M o coo sua de las cuotas de aotizació pedietes, Reseva ateática a los 7 años: 28 ( ) D R28 D

49 48 toducció a la Mateática Fiaciea Deuda pediete a los 7 años y es: D D Reseva ateática a los 7 años y es: ( ) ( ) 3 3 R R 0, , ,38 c. Expesió geeal del téio aotizativo La expesió geeal del téio aotizativo es: siedo e este caso: ( ) A co,2,..., Y A A , h A.250 0,05 8,75 4 de odo que: 2.50 ( ) 8,75 co, 2,...,48 d. uota de iteés y de aotizació que copoe el téio aotizativo que se hace efectivo al fial del quito año Se tata del téio aotizativo úeo 20: siedo: Si h ,75.793,75 A.250 Y A.793, ,

50 Péstaos 49 e. Tato efectivo pestataio y TAE Tato efectivo pestataio: ' 4 Se obtiee a pati de la siguiete equivalecia fiaciea: {( ,0) } ~ ( 3.600,0) ; 2.50 ( ) Valoado al iicio de la opeació esulta: 8,75, ' 4 4,2,...,48 8, , ,75 a ' ' 48 ' ' 4 0,0824 TAE de la opeació: La equivalecia fiaciea e este caso es la siguiete: {( ,0) } ~ (.500,0) ; 2.50 ( ) Valoado al iicio de la opeació esulta: 8,75, 4 4,2,..., , , , a 4 0,063 La TAE es el tato efectivo aual equivalete al tiestal ateio: * TAE ( ) ( 0,063) 0, 06687

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