Capitalización, actualización y equivalencia financiera en capitalización compuesta

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1 Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5 E eta Udad aprederá a: Decrbr lo efecto eecale de la captalzacó compueta. Reolver problema facero e captalzacó compueta. Dferecar etre teré omal e teré efectvo. Calcular operacoe de decueto de efecto comercale e captalzacó compueta. Reolver problema de equvaleca de captale e captalzacó compueta.

2 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5. Captalzacó compueta 5. Captalzacó compueta Llamamo captalzacó compueta a la ley facera egú la cual lo teree producdo por u captal e cada perodo e agrega al captal para calcular lo teree del perodo guete, y aí ucevamete, hata el mometo de cerre de la operacó facera. E la práctca facera, la captalzacó y la actualzacó compueta e utlza e aquella operacoe facera co ua duracó uperor al año. S deomamo: C : Captal cal. : Duracó de la operacó. : Tpo de teré aual e tato por uo. Repreeta la catdad de dero que e obtee aualmete por euro vertdo. C : Motate del año, o captal fal e el año. I : Iteree del año, cuyo valor erá C. I T : Iteré total, I T I I. C : Captal fal o motate. A. Captal fal o motate Partedo de la defcó ateror, la captalzacó compueta cote e u proceo de acumulacó de lo teree al captal para producr cojutamete uevo teree, perodo tra perodo, hata llegar al mometo fal de la operacó facera. Por tato, para determar el valor del captal fal e ecearo r calculado lo ucevo motate al fal de cada año. Al fal del. er año: C C + I como I C, etoce: Al fal del 2.º año: C C + C C ( + ) C 2 C + I 2 Como I 2 C, etoce: C 2 C + C C ( + ) Como C C ( + ), etoce: C 2 C ( + ) ( + ) C ( + ) 2 Al fal del 3. er año: C 3 C 2 + I 3 Como I 3 C 2, etoce: C 3 C 2 + C 2 C 2 ( + ) Como C 2 C ( + ) 2, etoce: C 3 C ( + ) 2 ( + ) C ( + ) 3 Y aí ucevamete; por aplcacó del método cocurrete llegamo a la cocluó de que al fal del año : C C + I Como I C, etoce: C C + C C ( + ) C ( + ) ( + ) C ( + ) C C ( + ) Expreó que o permte calcular el motate o captal fal partedo del captal cal. Gráfcamete, obtedremo ua curva expoecal al relacoar año y motate (véae la Fgura 5.). C I I 2 C C ( + ) C C C 2 C 2 Fg. 5.. Repreetacó gráfca del motate. I T 6

3 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5. Captalzacó compueta Cao práctco La eñora Sacho depota e u baco euro, a plazo fjo durate tre año a u teré compueto del 4 % aual. Halla la catdad que recbrá al cabo de lo tre año que dura la operacó facera. Solucó C ; 3 año,4 por uo aual ; C? C C ( + ) Suttuyedo: C ( +,4) 3, ,64 C 248,64 B. Captal cal C. Cálculo de lo teree totale Sabedo que C C ( + ) y depejado C reulta que: C C ( + ) o be: C C ( + ) La expreó ( + ) recbe el ombre de factor de actualzacó, pueto que al aplcarla obre el captal fal obteemo el valor del captal cal o actual. Partedo de C C + I T lo teree geerado erá la dfereca etre el captal fal y el captal cal: I T C C C ( + ) C C [( + ) ] I T C [( + ) ] O be, I T C C ; de dode C C I T e el upueto de coocere lo teree. Cao práctco 2 Calcula el captal cal que, colocado a u teré del 4 % aual durate cco año, produjo u motate o captal fal de euro. Suttuyedo: C C ( + ) Solucó C?; 5 año C ( +,4) ,7 C 82 92,7,4 por uo aual ; C 62

4 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5. Captalzacó compueta Cao práctco 3 Determa la catdad que tedrá que grear el eñor Blaco e cocepto de teree por u prétamo de euro detro de cuatro año e u baco, el tpo de teré compueto pactado e del 4,5 % aual. Solucó C,45 4 año I T? I T C [( + ) ] Suttuyedo: I T [( +,45) 4 ] 9 25,86 I T 9 25,86 D. Cálculo del tpo de teré A partr de la fórmula del captal fal o motate, vamo a depejar : C C ( + ) De dode: C C C ; ( + ) ; C o be C C C C + E. Cálculo del tempo Del mmo modo que e el apartado ateror, y partedo de C C ( + ), tomado logartmo: log C log C ( + ) Y dearrollado la expreó: Depejado : log C log C + log ( + ) log C log C log + ( ) Cao práctco 4 Calcula el tpo de teré al que etuvero colocado 9 euro durate cuatro año, e covrtero e euro. Solucó C 9 ;? 4 año ; C Suttuyedo: C C , 45 9 Iteré 4,5 % 63

5 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5. Captalzacó compueta Cao práctco 5 Cuáto año ha paado dede que e ua etdad facera e depotaro 5 euro, al 5 % de teré compueto, hoy e recbe 67 47,8 euro? Solucó C 5,5 por uo aual? C 67 47,8 log C log C log ( + ) Suttuyedo: log 67 47,8 log 5 log +,5 ( ) 5, , , Tempo 6 año 6 Calcula el tempo ecearo para que u captal colocado al 4% de teré compueto e duplque. Solucó C 2 C,4? C C ( + ) C C Suttuyedo: 2 C C ( +,4) ; 2 ( +,4) Tomado logartmo: log 2 log (,4) año 2 mee,6729 x mee me 3 día,748 x día log 2 7, 6729 log 4, 7 año +,6729 año 2, 6729 x 8,748 mee x 8 mee +,748 mee 3, 748 x 2 día x 2 día 7 año, 8 mee y 2 día 64

6 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5.2 Comparacó etre captalzacó compueta y mple 5.2 Comparacó etre captalzacó compueta y mple Segú hemo vto e lo apartado aterore, lo motate obtedo e la captalzacó compueta y mple o: Captalzacó compueta Captalzacó mple C C ( + ) C C ( + ) Tempo < < > Captale C (mple) C (compueta) C (mple) C (compueta) C (mple) > C (compueta) C (mple) < C (compueta) Como e puede obervar, eta do expreoe e dfereca etre í por lo factore de captalzacó: ( + ) para la captalzacó compueta, y ( + ) para la captalzacó mple. S damo valore a amba fórmula, comprobamo que para y el valor de C cocde, edo dferete para lo retate valore. E el cao de que eté compredda etre y, oberva la Fgura 5.2. C C (compueto) C ( + ) C (mple) C ( + ) Tabla. 5.. Comparacó de tema de captalzacó. Cao práctco 7 Calcula el captal fal e captalzacó compueta y mple de euro colocado a u tpo de teré del 5 % aual. Prmero, el perodo de captalzacó e de e mee; egudo, e de u año, y tercero, el perodo de captalzacó e de cco año. Solucó C ( + ) C C euro,5,5 año, año y 5 año C? Número de año Fg Comparacó de lo motate e teré compueto y mple para valore de etre, y má. Tempo Captalzacó mple C C ( + ) Captalzacó compueta C C ( + ) De la comparacó ateror podemo decr que el motate de captalzacó e mayor e la captalzacó mple e perodo ferore al año, gual para u año y meor e perodo uperore al año. Por tato, la operacoe facera uperore a u año utlzará el teré compueto, e operacoe a u año erá dferete el uo de u tema de captalzacó u otro y e la operacoe ferore a u año, habtualmete, e adoptará la captalzacó mple. 6 mee año 5 año C ( +,5,5) 2 5 euro C ( +,5) 5 euro C ( + 5,5) 25 euro C ( +,5), ,5 euro C ( + +,5) 5 euro C ( + 5 +,5) 5 25 euro 65

7 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5.3 Tato equvalete e teré compueto 5.3 Tato equvalete e teré compueto 8 Habtualmete, e la operacoe facera correte e fja el tpo de teré aual aplcable, y el mometo de hacer efectvo el teré e correpode ca empre co fraccoe de año. E la operacoe facera empre debe aparecer la Taa Aual Equvalete (TAE), auque lo perodo de captalzacó eté fraccoado e emetre, trmetre, mee, etcétera. Al realzar el cálculo matemátco, el tpo de teré y la duracó de la operacó facera debe etar meddo e la mma udade de tempo. Tato equvalete o aquello que, aplcado a u mmo captal, produce détco motate o captal fal durate el mmo tempo, auque e refera a perodo dferete de captalzacó. A. Iteré omal Etedemo por teré omal el tato proporcoal aual (J (m) ); e obtee multplcado m vece el tpo de teré de u perodo fraccoado ( (m) ). J (m) m (m) Halla el teré omal aual correpodete al 2 % efectvo emetral. Solucó (2),2 m 2 J (m)? Suttuyedo: J (m) m (m) J (m) 2,2,4 J (m) 4 % Cao práctco De dode, queremo calcular el tpo de teré de la fraccó de año a que correpode, debemo mplemete dvdr el teré omal etre el úmero de vece que eté cludo lo perodo de aboo o cargo de teree e el año (m). m J ( m ) ( ) m m : Frecueca de fraccoameto o úmero de vece que etá cludo el perodo de refereca e u año (mee, trmetre, emetre). E todo cotrato facero debe aparecer tato el teré omal como el efectvo o Taa Aual Equvalete (TAE). B. Iteré efectvo o Taa Aual Equvalete (TAE) El teré efectvo o Taa Aual Equvalete e el tpo de teré realmete aboado o cargado a la operacoe facera e u año. Por ejemplo, u euro vertdo u año al tato proporcoa u captal fal gual a C C ( + ). El mmo euro vertdo durate el mmo perodo de tempo, pero co frecueca de captalzacó referda al tato (m), proporcoa u captal fal gual a ( + (m) ) m. Para que el tato ea equvalete faceramete a (m), lo do captale fale, por defcó, ha de er guale, por lo que: ( + ) ( + (m) ) m S realzamo ua ere de operacoe matemátca, podemo obteer: a) El tpo de teré efectvo aual o Taa Aual de Equvaleca (TAE), e fucó del tpo fraccoado: ( + (m) ) m b) O be el tpo de teré efectvo de u perodo fraccoado e fucó del tpo de teré efectvo aual (TAE): 66

8 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5.3 Tato equvalete e teré compueto ( + ) ( + (m) ) m ; ( + ) m ( + ( )) m m m Cao práctco Depejado (m) : ( + ) /m + (m) (m) ( + ) /m 9 Calcula la TAE correpodete al 2 % efectvo emetral. Solucó (2),2 ; m 2? ( + (m) ) m Suttuyedo: J (m) TAE ( +,2) 2,44,44 (m) Fg Comparacó etre tpo de teré omal efectvo y de u perodo fraccoado. C. Comparacó etre el tpo de teré omal y el efectvo Dado que e alguo documeto mercatle e exprea el tpo de teré omal olamete, e ecearo poder calcular el tpo de teré efectvo e fucó del omal. Para ello bata co uttur e la fórmula de equvaleca de tato el valor (m) por el correpodete omal: De dode: ( + (m) ) m ; ( m) J( m) + m S comparamo la Taa Aual Equvalete,, y el tpo de teré omal, J (m), podemo obervar que: > J (m) El tato real aual (TAE) e el que debemo coocer para comparar dferete operacoe facera co dtto perodo de captalzacó. m ( m) J m Cuál erá el teré efectvo emetral la TAE e del 6 %? Solucó,6 ; m 2 ; (2)? (m) ( + ) /m Suttuyedo: (2) ( +,6) /2,29563 (2),29563 Calcula la taa aual equvalete el tpo de teré omal aual e del 8 %. Captalzacó meual. Solucó J (m),8 ; m 2 ;? Suttuyedo: J( m) + m 2 8, +, m TAE 8,29995 % 67

9 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5.4 Captalzacó fraccoada 5.4 Captalzacó fraccoada Se etede por captalzacó fraccoada cuado el perodo de captalzacó o e aual, como, por ejemplo, emetre, bmetre, mee. E ete cao, hemo de trabajar co u tpo de teré referdo al perodo de captalzacó (tato fraccoado), ya que, como abemo, el tato fraccoado debe ver meddo e la mma udad de tempo; por ejemplo, perodo de captalzacó emetral, tato emetral y el tempo expreado e emetre. La fórmula del captal fal o motate para captalzacó fraccoada erá: C : Captal cal. C C ( + (m) ) m (m) : Tato fraccoado, referdo al perodo de captalzacó. A. Captalzacó e tempo fraccoado Etedemo la captalzacó compueta e tempo fraccoado como la operacó facera e la que el tempo de captalzacó o e u úmero exacto de perodo (año). Para calcular el captal fal e ete tpo de captalzacó exte la olucoe guete: Coveo expoecal. El cálculo del captal fal e realza medate la aplcacó de la fórmula geeral de captalzacó compueta. C C ( + ) +m Coveo leal. Captalza a teré compueto u úmero exacto de año y a teré mple la fraccó retate. C C ( + ) ( + m ) m : Tempo total de la operacó, meddo e la mma udad que el tato fraccoado. Cao práctco 2 Halla el motate de captalzacó de 4 euro colocado al 3 % de teré emetral co captalzacó meual durate cuatro año. Solucó C 4 (2),3 4 año m 2 mee C? C C ( + (m) ) m Hemo de poer el tato de teré y el tempo, co refereca al perodo de captalzacó. ( + (2) ) 2 ( + (2) ) 2 S efectuamo ua ere de operacoe matemátca, obteemo: (2) ( + (2) ) /6 (2) (,3) /6,49386 C 4 ( +,49386) ,4993 C 56 77,5 68

10 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5.5 Actualzacó compueta o decueto compueto Cao práctco 3 Calcula el motate de 3 euro al 5 % de teré compueto aual durate tre año y e mee. Coveo expoecal y leal. Solucó C 3 ;,5 Tempo 3 año y 6 mee ; C? Coveo expoecal: C C ( + ) +m C 3 ( +,5) 3+, ,794 C ,79 Coveo leal: C C ( + ) ( + m ) C 3 ( +,5) 3 ( +,5,5) ,6875 C , Actualzacó compueta o decueto compueto La actualzacó o decueto compueto e toda operacó facera cotete e la uttucó de u captal futuro por otro co vecmeto preete. E, por tato, ua operacó vera a la captalzacó compueta, extedo ua completa detdad etre amba, por lo que toda la partculardade que hemo etudado e la captalzacó compueta o aplcable a la actualzacó (véae la Fgura 5.4). Llamaremo: D : Decueto. C : Nomal o catdad a pagar e el vecmeto. C : Efectvo o catdad pagada realmete. D r C C D r C ( + ) C C [( + ) ] D r C [( + ) ] S uttumo C e la fórmula ateror por u valor e fucó del omal, egú etoce: D T C + ( ) C C ( + ) ( + ) ; D r C [ ( + ) ] D C C A. Decueto racoal compueto (D r ) C Decueto C E la catdad que e cocepto de teree geera el efectvo dede u pago hata el vecmeto del omal. Por tato, el cálculo de lo teree e hará obre el efectvo: Fg Decueto compueto. 69

11 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5.5 Actualzacó compueta o decueto compueto B. Decueto comercal compueto (D c ) E la catdad que e cocepto de teree geera el omal dede el mometo del pago del efectvo hata u propo vecmeto. Por tato, el cálculo de lo teree e hará obre el omal. Dado u omal C, al que e le aplca u decueto por perodo e tato por uo de d, e el mometo C, habrá dmudo C d, por lo que podremo ecrbr: C C C d C ( d) C 2 C C d C ( d) C ( d) ( d) C ( d) 2 C 3 C 2 C 2 d C 2 ( d) C ( d) 2 ( d) C ( d) 3 Sguedo ucevamete: C C C d C ( d) C ( d) ( d) C ( d) C C ( d) S expreamo el decueto e fucó del omal: D c C C ( d) C [ ( d) ] Ahora e puede obteer el tato de decueto y el tato de teré equvalete; para ello, batará co hacer D c D r. Lo tato y d erá equvalete cuado, al er aplcado a lo mmo captale durate el mmo perodo de tempo, da valore actuale o efectvo guale, o lo que e lo mmo, tee el mmo decueto. C [ ( d) ] C [ ( + ) ] De dode, mplfcado: Elmado expoete: d D c C [ ( d) ] ( d ) ( + ) + d + e, por lo que: Idepedetemete de cuál ea el valor de. d d Cao práctco 4 La emprea Roza, S.A., tee e ete mometo ua letra de cambo de 5 euro pedete de pago, co vecmeto detro de do año. Cuál erá el mporte que recbrá Roza, S.A., e cao de que e quera decotar dcha letra e ua facera que trabaja al 8, % aual de decueto a teré compueto? Solucó C 5 ; 2 año ;,8 ; C? a) Decueto racoal: D r C [ ( + ) ] Suttuyedo: D r 5 [ ( +,8) 2 ] 7 22,332 C C D r C , ,67 C ,67 b) Decueto comercal: D c C [ ( d) ] Suttuyedo: D c 5 [ (,8) 2 ] 7 77,95 C C D c C , ,5 C ,5 7

12 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5.6. Tato medo e captalzacó compueta Cao práctco 5 Qué tato a teré compueto e aplcó e ua operacó de decueto que duró tre año y que upuo u decueto comercal de de euro para u motate de 5 de euro? Solucó C 5 ; 3 año ; D c Tato de decueto: Suttuyedo: D c C [ ( d) ] 5 [ ( d) 3 ] 5 ( d) 3 5 Tato de teré: Suttuyedo: ( d) 3 ;,8 ( d) 3 3 8, d d, , Tato de decueto 7,7 % d d, , , Tato de teré 7,72 % 5.6 Tato medo e captalzacó compueta Dado lo captale C, C 2,..., C, colocado durate el mmo tempo, pero a lo tpo, 2,...,, exte u tpo h que, aplcado a dcho captale durate el mmo tempo, produce u détco motate total. Ete tpo recbe el ombre de tato medo. Matemátcamete: C ( + h ) + C 2 ( + h ) C ( + h ) C ( + ) + C 2 ( + 2 ) C ( + ) Smplfcado la expreó: h ( ) C ( + ) C + Dearrollado: Depejado h : h ( + ) C C ( + ) ( + ) h C ( + ) h C C ( + ) C 7

13 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5.7. Equvaleca de captale e captalzacó compueta Cao práctco 6 El eñor Jméez, que poee tre veroe e dferete etdade facera a teré compueto durate do año, deea aber cuál e la retabldad meda de la mma. Calcula dcha retabldad abedo que la veroe o: 8 7 euro al 4 % aual. euro al 5 % aual. 2 3 euro al 6 % aual. Solucó h C( + ) C C ( + ) C ( + ) 8 7, ,92,25 25, 2 3, , ,2 h , 2 3 2, 5929 Tato medo 5,2 % 5.7 Equvaleca de captale e captalzacó compueta Dremo que do o má captale o equvalete u valore actuale o equvalete para u mmo tpo de teré, referdo a u mmo mometo. Supogamo do captale, C y C 2, co vecmeto e y 2, repectvamete; para que ea equvalete e captalzacó compueta ha de ocurrr que C ( + ), que e el valor actual del prmer captal, ea gual a C 2 ( + ) 2, que e el valor actual del egudo captal, referdo al mometo ; e decr, tal como aparece e la Fgura 5.5. C ( + ) C2 ( + ) 2 Para bucar otro mometo de equvaleca cualquera, procederemo a multplcar ambo térmo de la gualdad ateror por ( + ) : Operado: C ( + ) ( + ) C 2 ( + ) 2 ( + ) C ( + ) C2 ( + ) 2 El valor de puede er: a) Iferor a y 2 : e ete cao, la expreó ateror e coverte e la actualzacó de ambo captale dede u vecmeto hata (véae la Fgura 5.6). 2 C C C 2 C 2 Fg Captale equvalete. Fg Captale equvalete. 72

14 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5.8 Suttucó de varo captale por uo úco b) Itermedo etre y 2 : e ete cao, la expreó ateror e coverte para el prmer térmo de la gualdad e el motate producdo por C etre u vecmeto y, y para el egudo e la actualzacó de C 2 dede u vecmeto hata (véae la Fgura 5.7). 2 C Fg Captale equvalete. 2 C 2 c) Superor a y 2 : e ete cao, la expreó repreeta el motate de C y C 2 dede u vecmeto hata (véae la Fgura 5.8). C Fg Captale equvalete. 2 C 2 2 De lo vto hata ahora e puede coclur que, e captalzacó compueta, para u tpo de teré dado, do captale equvalete e u mometo cualquera lo o també e cualquer otro. 5.8 Suttucó de varo captale por uo úco Dado lo captale C, C 2, C 3,..., C co vecmeto e, 2,...,, e puede uttur por u úco C co vecmeto e empre que exta ua equvaleca facera. Para u cálculo partmo de: C C C2 C ( + ) ( + ) ( + ) 2 ( + ) C ( + ) Cao práctco 7 S la ocedad Rzo, S.A., tee tre captale de 3, 4 y 6 euro, co vecmeto a lo do, tre y cuatro año, repectvamete, y e deea uttur por u úco captal co vecmeto a lo cco año, cuál deberá er el mporte del mmo el tpo de teré aplcado e del 5 % compueto aual? C C + ( ) C ( + ) + C 2 ( + ) C ( + ) Abrevado y depejado: C C ( + ) C ( + ) C( + ) ( + ) o C C + ( ) Solucó C ( + ) C ( + ) 3 ( +,5) ,75 4 ( +,5) , 6 ( +,5) , C 4 828, ,75 73

15 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5.9 Vecmeto comú 5.9 Vecmeto comú Hablamo de vecmeto comú cuado e u mometo e produce la uttucó de u cojuto de captale co dferete vecmeto por uo úco. Hay que depejar de la fórmula del apartado ateror. Tomado logartmo: Y depejado : log C log C( + ) log ( + ) log C log C ( + ) log ( + ) log C C( + ) log ( + ) log C log C ( + ) log( + ) Cao práctco 8 Calcula el vecmeto comú de tre captale de 3, 5 y 7 de euro, co vecmeto a lo tre, cuatro y cco año, repectvamete, e deea utturlo por uo úco de 7 de euro, aplcado u 4% aual e captalzacó compueta. log 7 log , 8 7,446 año log 4, 7,446 año Solucó C 7 C ( + ) C ( + ) 3, ,8 5, ,95 7, , ,8 año 2 mee x 5,352 mee,446 x mee me 3 día x día,352 x día 7 año, 5 mee y día 5. Vecmeto medo Cuado e u cao de vecmeto comú la uma de lo omale de lo captale a er uttudo e gual al omal del captal que lo uttuye, e puede hablar de vecmeto medo. E decr, : Etoce: log C log C ( + ) log ( + ) C + C + + C C ; C C 2 74

16 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5. Vecmeto medo Cao práctco 9 Cuál erá el vecmeto medo de tre captale de, 2 y 3 euro, co vecmeto a tre, cuatro y cco año, repectvamete, aplcado u 4,5 % e captalzacó compueta? Solucó log C log C ( + ) log ( + ) C ( + ) C ( + ), ,66 2, ,268 3, , ,243 log 6 log 49677, 243 4, 32 log, 45 año 2 mee x 3,852 mee,32 x mee me 3 día x 26 día,852 x día 4 año, 3 mee y 26 día 2 Cuál erá el vecmeto medo de tre captale de 47 5, 2 25 y 42 3 euro, co vecmeto a u año y tre mee el prmero, u año y ueve mee el egudo y do año el tercero, abedo que e aplca captalzacó trmetral a teré compueto y ua TAE del 8,244 %? Solucó a) Cálculo del tpo trmetral (4) ( + ) /4,8244 /4,2 b) Reolucó 3 log C log C ( + ) 3 log ( + ) C ( + ) 47 5, ,8756 3, C 43 22, ,4 36 2,64 C ( + ) ,25 C ( + ) log5 log 97624, 25 log ( 2, ) 3 3 6,56 trmetre 6,56 trmetre o año, 7 mee y 5 día 75

17 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta Actvdade Cocepto báco Captalzacó compueta. E la ley facera egú la cual lo teree de cada perodo e agrega al captal para calcular lo teree del perodo guete, y aí ucevamete, hata el mometo de cerre de la operacó facera. Equvaleca de captale. Do o má captale o equvalete cuado u valore actuale o equvalete para u mmo tpo de teré, referdo a u mmo mometo. Fg Tato equvalete. So aquello que, aplcado a u mmo captal, produce détco motate o captal fal durate el mmo tervalo de tempo, auque e refera a dferete perodo de captalzacó. C 2 2 C2 Iteré omal. E el tato proporcoal aual; e obtee multplcado m vece el tpo de teré de u perodo fraccoado. Iteré efectvo o Taa Aual Equvalete (TAE). E el tpo de teré realmete aboado o cargado a la operacoe facera e u año. Captalzacó compueta e tempo fraccoado. E la operacó facera e la que el tempo de captalzacó o e u úmero exacto de perodo (año). Cuado (mometo de equvaleca) e feror a y 2 C Cuado e termedo a y 2 2 C 2 2 Fg C 2 C Fg Cuado e uperor a y 2 (m) J (m) TAE Suttucó de varo captale por uo úco. Dado lo captale C, C 2, C 3,..., C, co vecmeto, 2, 3,...,, e puede uttur por uo úco C co vecmeto e empre que exta ua equvaleca facera. Fg Comparacó etre tpo de teré omal efectvo y de u perodo fraccoado. Actualzacó o decueto compueto. E toda operacó facera cotete e la uttucó de u captal futuro por otro co vecmeto preete. E la operacó vera de la captalzacó. Vecmeto comú. E el mometo e el que e produce la uttucó de u cojuto de captale co dferete vecmeto por uo úco. Vecmeto medo. E u cao epecífco del vecmeto comú que e da cuado la uma de lo omale de lo captale a er uttudo e gual al omal del captal que lo cottuye. 76

18 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta Actvdade Captalzacó y actualzacó compueta C C + I T ( + (m) ) m C C ( + ) (m) ( + ) /m C C ( + ) m J( m) + m I T C [( + ) ] C C ( + ) +m C C log C log C log ( + ) C C ( + ) ( + m ) D r C [ ( + ) ] J (m) m (m) ( m) ( m) J m D c C [ ( d) ] d + h C( + ) C d d log C log C ( + ) log ( + ) C C( + ) ( + ) 77

19 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta Actvdade Actvdade. La eñora Blaco depota e u baco 5 euro, a plazo fjo durate do año a u teré compueto del 4 % aual. Calcula la catdad que recbrá al cabo de lo do año que dura la operacó facera. R: El eñor Rueda deea aber la catdad que recbrá detro de cuatro año, e ete mometo depota e u baco euro al 4 % de teré compueto aual. R: 6 985,9 3. Calcula el captal cal que, colocado a u teré del 3 % aual durate cuatro año, produjo u motate o captal fal de 4 euro. R: ,9 4. Halla el captal cal que produjo u motate de 3 4,96 euro al 4 % aual durate e año. R: 59,97 5. Calcula la catdad que tedrá que grear el eñor Jméez e cocepto de teree por u prétamo de 2 euro detro de cco año e u baco, el tpo de teré compueto pactado e del 5 % aual. R: ,32 6. La ocedad MIGAS, S.A., frma u cotrato co ua etdad facera por el que recbe 2 de euro, que debe devolver a lo cuatro año. Qué catdad etregará e cocepto de teree el tpo e del 8 % aual? R: ,92 7. Calcula el tpo de teré al que etuvero colocado 8 euro durate tre año e covrtero e ,2 euro. R: 4 % 8. Halla el tpo de teré que traformó u captal cal de 4 e 55 5 al cabo de lo tre año. R:,2 % 9. Cuáto año ha paado dede la colocacó e ua etdad facera de 5 de euro, al 4,5 % de teré compueto, hoy e recbe euro? R: 4 año. S u captal de 4 euro al 5 % e ha covertdo e 7, cuáto tempo duró la operacó facera? R: 3 año, mee y 22 día. Calcula el tempo ecearo para que u captal colocado al 3 % de teré compueto e duplque. R: 23 año, 5 mee y 2 día 2. Halla el captal fal e captalzacó compueta y mple de de euro, colocado a u tpo de teré del 4 % aual; e prmer lugar, el perodo de captalzacó e de e mee; e egudo, el perodo de captalzacó e de u año, y e tercero, el perodo de captalzacó e de e año. R: Realza el cuadro correpodete 3. Determa el teré omal aual correpodete al,8 % efectvo emetral. R: 3,6 % 4. Calcula la TAE correpodete al,8 % efectvo emetral y co el % efectvo meual. R: 3,63 % y 2,68 % 5. Cuál erá el teré efectvo emetral y meual la TAE e del 4,5 %? R: 2,22 % y,36 % 6. Calcula la Taa Aual Equvalete el tpo de teré omal aual e del 6 %. Captalzacó meual. R:,668 por uo 78

20 5. Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta Actvdade 7. Halla el motate de captalzacó de 3 euro colocado al 2 % de teré emetral co captalzacó meual durate cuatro año. R: ,8 8. Determa el motate de 3 euro al 4 % de teré compueto aual durate cuatro año y e mee. Coveo expoecal y leal. R: ,9 y ,72 9. La emprea Lmua, S.A., tee e ete mometo ua letra de cambo de 5 euro, pedete de pago, co vecmeto detro de tre año. Cuál erá el mporte que recbrá Lmua, S.A., e cao de que e quera decotar dcha letra, e u baco que trabaja al 6 % aual de decueto a teré compueto? R: 4 529,2 2. Qué tato a teré compueto e aplcó e ua operacó de decueto que duró do año y que upuo u decueto de, para u motate de 5? R:,55 % 2. La emprea Cataño, S.L., adeuda u efecto comercal de 4 euro co vecmeto detro de tre año. Dado que e deea adelatar el pago, cuáto deberá etregar el acreedor accede aplcado el decueto comercal co u tpo del 8 % aual? R: 3 475,2 22. El eñor Jua Teoro, que poee tre veroe e dferete etdade facera a teré compueto durate tre año, deea aber cuál e la retabldad meda de la mma. Calcula dcha retabldad abedo que la veroe o: 8 euro al 4 % aual. 2 euro al 5 % aual euro al 5,5 % aual. R: 4,97 % 23. S la ocedad Ra, S.A., tee tre captale de 4, 8 y de euro, co vecmeto a lo do, tre y cuatro año, repectvamete, y e deea uttur por u úco captal co vecmeto a lo cco año, cuál deberá er el mporte del mmo el tpo de teré aplcado e del 6 % compueto aual? R: ,4 24. Tre captale de 3 euro cada uo, co vecmeto a lo do, tre y cuatro año, repectvamete, va a er uttudo por uo úco detro de u año. Cuál habrá de er u mporte e aplca u tpo de teré del 6 % aual? R: 8 93, Calcula el vecmeto comú de tre captale de 6, 5 y 9 euro, co vecmeto a lo do, tre y cco año, repectvamete, e deea utturlo por uo úco de 8 euro, aplcado u 4,5 % aual e captalzacó compueta. R: año y 2 mee 26. Cuál erá el vecmeto medo de tre captale de, 2 5 y 5 de euro, co vecmeto a tre, cuatro y cco año, repectvamete, aplcado u 4,75 % e captalzacó compueta? R: 4 año, 5 mee y 5 día 27. La eñora Mauela coloca 25 euro e ua cueta de alta remueracó. Calcular el aldo dpoble e la cueta correte al cabo de 8 mee la úca aotacoe meuale correpode a lo aboo de teree de la cueta co ua TAE del 6 %. R: 25 99,27 79

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