Matemática financiera

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1 UNDAD 2 Maemáica financiera L a necesidad de efecuar numerosos y complicados cálculos dio origen a los logarimos. Los más usados son los logarimos neperianos, llamados así en honor de John Neper ( ), y los decimales. Las variaciones porcenuales, el inerés simple y el compueso, la TAE y las anualidades de capialización y de amorización aparecen habiualmene en los cálculos financieros. Para calcular esas dos úlimas es necesario conocer las progresiones geoméricas, que repasamos. La Unidad ermina con los números índices, complemeno y ampliación de las variaciones porcenuales, muy empleados en Economía. Los objeivos que nos proponemos alcanzar con el esudio de esa Unidad son los siguienes: 1. Valorar la imporancia hisórica de los logarimos en el cálculo. 2. Analizar las propiedades de los logarimos. 3. Comprender desde disinos puno de visa la imporancia de los porcenajes. 4. Disinguir enre los diversos ipos de porcenajes que se nos presenan en la vida coidiana. 5. Comprender la imporancia de las progresiones geoméricas para el esudio del inerés compueso. 6. Disinguir los concepos de anualidades de capialización y de amorización para afronar las siuaciones económicas que nos presena la vida coidiana. 7. Uilizar los conocimieno adquiridos sobre capializaciones y amorizaciones para resolver problemas que se planean en la vida acual. 8. Comprender que los números índices facilian el esudio de variables someidas a cambios emporales. ÍNDCE DE CONTENDOS 1. LOGARTMOS DECMALES Y NEPERANOS Definición Propiedades de los logarimos Logarimos decimales y neperianos PORCENTAJES: NCREMENTOS Y DSMNUCONES PORCENTUALES Porcenajes encadenados NTERÉS SMPLE Y COMPUESTO. T.A.E. (TASA ANUAL EQUVALENTE) nerés simple nerés compueso Tasa Anual Equivalene (T.A.E.) PROGRESONES GEOMÉTRCAS Término general de una progresión geomérica Suma de los n primeros érminos de una progresión geomérica ANUALDADES DE CAPTALZACÓN. FONDOS ANUALDADES DE AMORTZACÓN. PRÉSTAMOS NÚMEROS ÍNDCES Índices simples Propiedades de los índices simples Índices compuesos

2 1. Logarimos decimales y neperianos 1.1. Definición Se llama logarimo en base a, posiiva y disina de uno, de un número x, a oro número y, que es el exponene al que hay que elevar la base a para reproducir el número dado x; se escribe: log a x y a y x La operación para hallar logarimos es la logarimación, operación inversa de la poenciación, y su objeo es hallar el exponene cuando se conocen la base y el valor de la poencia. Por ejemplo, log ; pueso que Calcula log Solución. Será un número y; al que 2 y 32. Como , queda 2 y 2 5, poencias iguales de la misma base ienen exponenes iguales, por lo que y 5. Luego escribimos: log 2 32 log Calcula log Solución. Será un número y, al que 2 y. Como 2 4 ; queda 2 y 2 4, por lo que y 4. Se escribe: 1 4 log2 log Calcula log 3 3. Ejemplos Solución. Será un número y al que 3 y 3; por ano y 1, enonces log Observa que el logarimo de la base es siempre 1, log a a 1 a 1 a 4. Calcula log 3 1 Solución. Será un numero y al que 3 y 3 1; por ano y, enonces log 3 1. Observa que el logarimo de 1 en cualquier base es, log a 1 a 1 5. Calcula log 3 Solución. Será un número y al que 3 y. Como las poencias dan siempre resulados posiivos, podemos afirmar: El número cero no iene logarimo. 35

3 UNDAD 2 MATEMÁTCA FNANCERA 6. Calcula log 3 ( 4) Solución. Será un número y al que 3 y 4. Como en el ejemplo anerior, recordamos que las poencias dan siempre números posiivos, por ano: Los número negaivos no ienen logarimos Propiedades de los logarimos Los ejemplos aneriores nos han permiido enunciar algunas propiedades de los logarimos; a coninuación enunciamos oras propiedades de los logarimos 1. El logarimo de un produco es igual a la suma de los logarimos de sus facores, eso es: log ( m n) log m+ log n a a a 2. El logarimo de un cociene es igual al logarimo del dividendo menos el logarimo del divisor, eso es: m loga loga m loga n n 3. El logarimo de una poencia es igual al produco del exponene por el logarimo de la base, eso es: k log m klog m 4. El logarimo de una raíz es igual al cociene enre el logarimo del radicando y el índice de la raíz, eso es: Ejemplos log a k a a loga m m k 1. Calcula log a x y, sabiendo que log a x 3,23 y log a y 2,34: Solución. Por la propiedad 1, log a x y log a x + log a y 3,23 + 2,34 5,57 x 2. Calcula log a, con los daos del ejemplo 1. y x Solución. Por la propiedad 2, loga loga x log a y 323, 234, 89, y 3. Calcula log a x 4, con los daos del ejemplo 1. Solución. Por la propiedad 3, log a x 4 4 log a x 4 3,23 12,92 36

4 4. Calcula log a x 2 y 3, con los daos del ejemplo 1. Solución. Por las propiedades 1 y 3, log a x 2 y 3 log a x 2 + log a y 3 2 log a x + 3 log a y 2 3, ,34 6,46 + 7,2 13, Calcula log a x, con los daos del ejemplo 1. 3 log a, Solución. Por la propiedad 4, loga x x, Calcula log a x y, con los daos del ejemplo 1. Solución. Por la propiedades 4, 1 y 3. log 5 a xy loga xy loga x + loga y 2loga x+ 4log a y 2 3, , 15, , Logarimos decimales y neperianos En el cálculo de logarimos se uilizan usualmene como bases, el número 1 y el número e 2, Los logarimos de base 1 se llaman logarimos decimales y se escribe simplemene log; por ejemplo el log Los logarimos de base e se llaman logarimos neperianos, y se simbolizan por ln o L.; por ejemplo ln e 4 4 e 4 e 4 Esos logarimos los llevan incorporados las calculadoras cieníficas, los siguienes ejemplos e indicarán cómo uilizar la calculadora para calcular logarimos. 1. Calcula log 8. Solución. Será un número y, al que 1 y 8. Como 8 no puede expresarse como una poencia enera de base 1, para calcular su logarimo decimal de forma aproximada, se recurre a la ecla log de la calculadora, mediane la secuencia siguiene: 8 log Y escribimos: log 8, Calcula ln 8. Ejemplos Solución. Será un número y, al que e y 8. Como en el ejemplo anerior, se recurre a la ecla ln de la calculadora, mediane la secuencia siguiene se deermina de forma aproximada el logarimo neperiano de 8: 8 ln Se escribe: ln 8 2,

5 2 UNDAD MATEMÁTCA FNANCERA 3. Calcula x si ln x 2, Solución. Se conoce la base e y el exponene que origina x; como, x e 2,484966; la secuencia siguiene calcula x NV ex 12 Por ano: x 12 Acividades 1. Calcula: a) log3 81; b) log3 243 ; c) log Calcula: a) log2,5; b) log2,25; c) log2, Calcula: a) log 1; b) log 1; c) log 1 4. Calcula : a) log,1; b) log,1; c) log,1. 5. Se sabe que log a 1,39794, log b 1,77815, y log c 2,9691. Calcula: a) log (a b); b) log (a b c); c) log a ; b d) log ab ; c e) log a3; f) log (a2 b5 c3); g) log 5 a 4 b3 2. Porcenajes: incremenos y disminuciones porcenuales. Recuerda que porcenaje se represena mediane el signo % y significa "de cada cien"; es decir, cenésimas; por ese moivo, los porcenajes se pueden expresar como decimales. Por ejemplo: R 12 %, significa de 12 de cada 1; por que se puede escribir en forma decimal así: r 12,12 1 Por ora pare, sabemos que: Si una mercancía cuesa inicialmene C y su valor aumena un 8 %, su cose final será: C +,8 C (1 +,8) C 1,8 C Si una mercancía cuesa inicialmene C y su valor disminuye un 8 %, su cose final será: C,8 C (1,8) C,92 C 38

6 El cose final de una mercancía que ha aumenado o disminuido un porcenaje se consigue muliplicando el cose inicial C por un número llamado índice de variación; en los ejemplos aneriores los índices fueron 1,8 y,92 respecivamene. R En los aumenos porcenuales del R%, el índice de variación es: r 1 En las disminuciones porcenuales del R%, el índice de variación es: R 1 1 r 1 La canidad final con aumeno o disminución porcenual se obiene al muliplicar la canidad inicial por el índice de variación; es decir: C R ± C r C 1 1 ( 1 ± ) final inicial inicial Ejemplos 1. Los precios de odos los arículos de unos almacenes se encuenran rebajados el 12% Qué precio se pagará por un arículo marcado a 5 euros? Solución. Se aplica la fórmula; 2. El precio de un elevisor sin VA es de 7 euros. Calcula el precio que pagaremos si esá gravado con el 16 % de VA. Solución. Se aplica la fórmula; P f ( 1, 12) 5, euros P f ( 1+, 16) 7 116, euros 3. Por una lavadora se han pagado 46 euros. Si la lavadora iene un impueso del 16 % de VA, cuál es su precio sin incluir el impueso? Solución. Se aplica la fórmula y se despeja el precio inicial; 46 ( , 16 ) P ; P 116, 35 i i euros Porcenajes encadenados A veces es necesario rabajar con varios porcenajes seguidos, como se planea en el ejemplo siguiene: El índice del cose de la vida subió un 14% durane 198 y un 6% durane 1981, pero bajó un 5% durane Halla la subida del índice de cose de la vida de 198 a

7 UNDAD 2 MATEMÁTCA FNANCERA Solución: Se pare del cose de un produco de 1 euros en enero de 198. Cose el (1,14) 114 Cose el (1,6) 12,84 Cose el ,84 (,95) 114,798 Por ano el aumeno ha sido de 14,79%. Observa que si sumas obienes 15; eso es debido a que los anos por cienos acúan sobre canidades iniciales disinas. Ejemplos 1. Un ordenador valía al salir al mercado 924 euros; a lo largo de un año sufrió las siguienes variaciones, bajó el 2 %, bajó un 15 %, subió un 12 % y finalmene bajó un 6 %. Cuáno era su precio al final del año? Cuál ha sido el índice de variación oal? Solución. El ordenador ha cambiado cuaro veces de precio. Precio al primer cambio (1,2) 924 (,8) ,2 euros Precio al segundo cambio (1,15) 739,2 (,85) 739,2 628,32 euros Precio al ercer cambio (1 +,12 ) 628,32 (1,12) 628,32 73,72 euros Precio final ( 1,6) 73,72 (,94) 73,72 661,49 euros Parimos de la variación de 1 euros Primera variación (1,2) 1,8 1 8 Segunda variación (1,15) 8, Tercera variación (1 +,12) 68 1, ,16 Cuara variación (1,6) 76,16,94 76,16 71,594 El índice de variación oal será,7159 Se podía haber calculado direcamene:,8,85 1,12,94,7159 y, ,49 euros. 2. Un comerciane compra los lecores de CD por 45 euros y los vende con un recargo del 3 %; llega un amigo y, sobre el precio de vena, le rebaja el 3 %. Ganó o perdió con la vena del lecor de CD al amigo? Solución. El comerciane los vende a: P v ( 1+, 3) 45 1, euros EL amigo lleva el lecor de CD por: comerciane perdió en la vena: 45 49,5 4,5 euros P v ( 1, 3) 585, , 5 euros ; el 4

8 Acividades 6. En la ienda A un arículo esá marcado a 765 euros y iene una rebaja del 25%. En la ienda B el mismo arículo esá marcado a 742 euros y presena un descueno del 2% En qué ienda es más barao el arículo? 7. Un comercio ofera sus producos rebajados el 22%. Calcula el precio al que resulan los marcados con 35 euros, 56 euros y 85 euros, si al ano por cieno de rebaja se le debe añadir el 16 % de VA. 8. Si has pagado 256 euros por un produco que se enconraba rebajado el 15%, qué precio marcaba el produco? 9. Después de rebajarse un arículo en un 25 %, vale 53,2 euros Cuáno valía anes de la rebaja? 3. nerés simple y compueso. T.A.E. (asa anual equivalene) 3.1. nerés simple Al abrir una librea de ahorro en una enidad bancaria, en realidad presamos un capial C a la caja o banco; présamo que nos remuneran ofreciéndonos un deerminado rédio R, que es la canidad que la enidad nos abonará anualmene, por cada 1 euros deposiados. Los beneficios que se obienen por el capial C deposiado se llaman inerés. Si los beneficios se reiran periódicamene esamos ane un inerés simple. nerés simple por años Ejemplo: Supongamos que una persona ingresa 2 euros en un banco al 4% de rédio, el rédio siempre es anual. El inerés que recibe al finalizar el año será: i 2 x,4 8 euros Por ano, si maniene los 2 euros en el banco, al finalizar cada año recibirá 8 euros en concepo de inereses. Eso nos permie consruir la siguiene abla: Capial inicial El primer año El segundo año El ercer año... El año 15 2 euros Los capiales finales se obienen mediane una relación lineal cuya variable es el iempo que esán presados. 41

9 UNDAD 2 MATEMÁTCA FNANCERA El capial inicial C, ingresado al R % de rédio anual simple, al cabo de años se conviere en: C R C C i i C r i C C C R +, donde o ; es decir, En esas fórmulas C es el capial final, C es el capial inicial, R es el rédio anual en porcenaje, r el rédio anual en decimal y es el número de años. nerés simple por meses Si enemos en cuena que el R% anual es el r mensual en decimal será ; con lo que: 12 En esa fórmula esá expresada en meses % mensual, enonces el inerés C C i i C r C R i C C C R f +, donde o ; es decir; f R 12 nerés simple por días Si enemos en cuena que el R% anual es el r diario en decimal es ; con lo que: 36 En esa fórmula esá expresada en días R 36 % diario, enonces el inerés C C i i C r C R i C C C R f +, donde o ; es decir, f Ejemplos 1. Hallar el inerés de 3 euros, al 4 % durane seis meses. Solución. Se aplica la fórmula y se iene en cuena que 6 meses es la miad de un año; i 3,4,5 6 euros 2. Al mirar la carilla, un ahorrador observa que le han abonado 36 euros. Si uvo deposiados 2 7 euros durane 4 meses, a qué rédio le han abonado los inereses? Solución. Se aplica la fórmula, se simplifica y se despeja R R R 9R R 4%

10 3.2. nerés compueso Cuando los inereses no se reiran sino que se acumulan al capial y se maniene el depósio, que es lo más corriene, esamos ane el inerés compueso: nerés compueso anual Ejemplo: Si se deposian en un banco C euros a un 5%, al final del año endremos el capial: 5 C1 C + C C ( 1+, 5) 1 Al final del segundo año el nuevo capial será: C 2 C 1 (1 +,5) C (1 +,5) 2 Al final del ercer año el nuevo capia será: C 3 C 2 (1+,5) C (1+,5) 3 En general, al final del año el capial será: C C (1+,5) Por lo ano, si se deposian C euros al R% de rédio, el capial final al cabo de años deposiado a inerés compueso será: C C (1 + r) nerés compueso mensual Como en el caso de inerés simple el rédio R% anual, se rasforma en mensual, lo que equivale a será: r 12 decimal, por lo que el capial final al cabo de meses C r C R 12 % nerés compueso por días R r El R% rédio anual será, % diario, lo que equivale a decimal diario; y el capial final al cabo de días será: Cálculo de los inereses El inerés o nuesra ganancia será la diferencia enre el úlimo capial y el capial inicial; que en el caso de capializar por años será: i C C C (1 + r) C Sacando facor común C obenemos: i C [(1 + r) 1] C r C

11 UNDAD 2 MATEMÁTCA FNANCERA Ejemplos 1. Hallar el capial acumulado durane 1 años a parir de 12 euros colocados al 4 % de inerés compueso abonando los inereses anualmene. Solución. Se aplica la fórmula. C C ( 1+ r) 12 ( 1+, 4) 12 1, La siguiene secuencia en la calculadora deermina el capial x y El capial acumulado será ,93 euros 2. Repeir el problema anerior pero con pago de inereses cada rimesre. Solución. Es necesario inerprear la fórmula para generalizar. El capial C 12 ; cada año se cobran cuaro veces inereses; los periodos de cobro o capialización serán 4 1 4; el rédio será rimesral es decir 4/4 1% rimesral. Con esos razonamienos la fórmula será: C , + 12 (, 1 1) 4 4 La siguiene secuencia en la calculadora deermina C x y ,36 euros. El capial acumulado en esa siuación será: ,36 euros. Se observa un aumeno del capial acumulado, debido a que los inereses se convieren en capial al comenzar cada rimesre, en lugar de anualmene. 3. Calcula el iempo a que deben esar presados 1 euros al 6% de inerés compueso anual, para que se convieran en 1 54 euros. Solución. Se aplica la formula y se obiene, (1 +,6) ; resolvemos la ecuación: 1,54 1,6 ; en esa ecuación, llamada exponencial, se oman logarimos para despejar : log 1,54 log 1,6 log 1, 54 log 16, Con esa secuencia de eclas deerminamos : 1,6 log M in 1,54 log ) MR 7, El valor de es 7 años. 44

12 3.3. Tasa Anual Equivalene (T.A.E.) En la prensa diaria aparecen oferas de depósios o crédios en los que el % del rédio se indica seguido de las siglas T. A. E. " Tasa anual equivalene". El ejemplo que proponemos corresponde a la ofera de una caja de ahorros, y con él aclaramos el significado de las mencionadas siglas. Ejemplo: Si nos confía su dinero en nuesra Cuena Ahorro le damos el 6% anual, con pagos mensuales de inereses, lo que equivale al 6,17% T. A. E. Qué significa el T. A. E. en esa ofera? 6, 5% mensual. El 6 % anual equivale al 12 Como el año iene 12 meses el capial deposiado, C, se habrá converido en: Cf C (1 +, 5)12 C (1, 5)12 C 1, Como se puede observar al final de año el 6 % anual, con capializaciones mensuales se convieren mediane redondeo en el 6,17 %; ese porcenaje es precisamene el anunciado T. A. E. En los présamos hipoecarios que los bancos conceden la T. A. E. es, por supueso, superior al rédio anual anunciado. Ejemplos 1. Calcula la T. A. E. que corresponde aun rédio anual del 12% con pagos mensuales de inereses. Solución. Al 12% anual le corresponde el 12/12 1% mensual. Cada mes, el capial se muliplica por 1,1; por ano, en un año se muliplicará por 12 12, 68 1,1 1, , Luego la T. A. E será 12,68% 1 Acividades 1. Calcular el iempo que deben esar colocados 4 euros al 6% anual para dar un inerés de 2 euros. 11. Ciero capial, colocado durane 8 meses al 1% anual, ha dado un inerés de 4 euros. Calcularlo. 12. Hallar el capial que poseeremos al cabo de diez años si se coloca al 5% de inerés compueso un capial inicial de 2 euros. Los inereses vencen semesralmene. 13. Qué capial al cabo de 6 años al 4% de inerés compueso pagadero anualmene se ha ransformado en 1 euros? 14. Calcular la T. A. E. correspondiene al 9% de rédio anual con pagos mensuales de inereses. 45

13 UNDAD 2 MATEMÁTCA FNANCERA 4. Progresiones geoméricas Si una cuarilla la parimos por la miad, y a las miades las parimos por la miad y así sucesivamene, las pares que resulan son: 2, 4, 8, 16, 32,... Esa sucesión de números es una progresión geomérica, cada érmino es igual al anerior muliplicado por 2. Las progresiones geoméricas son sucesiones en las que un érmino cualquiera se obiene del anerior al muliplicarlo por una canidad consane r, llamada razón; eso es: a n 1 r a n Para saber cuando una sucesión de números es una progresión geomérica se comprueba si los cocienes de érminos consecuivos dan el mismo resulado; ese resulado es la razón de la progresión. Ejemplos 1. Comprueba que la siguiene sucesión de números es una progresión geomérica; 2, 6,18, 54, 162,...Calcula la razón. 162 Solución. Se divide cada érmino por el anerior, La razón es Forma una progresión geomérica cuyo primer érmino sea 4 y la razón,5. Solución. 4 ; 4,5 2; 2,5 1; 1,5 5; 5,5 2,5... La progresión es 4, 2, 1, 5, 2,5, Término general de una progresión geomérica Una de las propiedades de las progresiones geoméricas es que el érmino general se puede dar mediane una expresión algebraica como veremos a coninuación. Supongamos que la sucesión: a 1, a 2, a 3, a 4,... a n,... es una progresión geomérica de razón r. El érmino a 2 será: a 2 a 1 r El érmino a 3 será: a 3 a 2 r a 1 r r a 1 r 2 46

14 El érmino a 4 será: a 4 a 3 r a 1 r 2 r a 1 r 3 Se observa que un érmino cualquiera es igual al primer érmino por la razón elevada al subíndice del érmino menos la unidad; por lo ano, el érmino general de n 1 dicha sucesión será: a a r n 1 La expresión anerior indica que para conocer el érmino general de una progresión geomérica basa con conocer el primer érmino a 1 y la razón r. Ejemplos 1. Calcula el érmino quino de una progresión geomérica, sabiendo que a 1 2 y r 3. Solución. Se aplica la fórmula. a Halla el primer érmino de una progresión geomérica cuyo érmino 4 vale 192 y la razón 4. Solución. Se aplica la fórmula y se despeja a 1 ; a 4 a 1 r 3 ; 192 a a 1 64; 192 a Suma de los n primeros érminos de una progresión geomérica Dada la progresión geomérica a 1, a 2, a 3,..., a n de n érminos y razón r. Se desea enconrar una expresión para calcular la suma de esos números. S n a 1 + a 2 + a a n 1 + a n (1) Se muliplica por r los dos miembros de la igualdad anerior: r S n a 1 r + a 2 r + a 3 r a n 1 r + a n r a 2 + a 3 + a a n + a n r (2) Resamos: (2) (1), y queda: r S n S n a n r a 1 Sacamos facor común a S n : S n (r 1) a n r a 1 Y despejamos S n : S n an r a r 1 1 La suma de n érminos de una progresión geomérica se puede expresar función de a 1 y r, para ello basa susiuir a n a 1 r n 1 en la fórmula S n y se obiene: S n 1 a1 r r a a r a r 1 r 1 a ( r 1) r 1 n n n

15 2 UNDAD MATEMÁTCA FNANCERA Ejemplos 1. Calcula la suma de 12 erminos de una progresión geomérica si el primer érmino es 5 y la razón 2. a1 (r 12 1) 5 (212 1) 5 (212 1) S Solución. Se aplica la fórmula r 1 Con la secuencia siguiene de eclas enconramos la suma: 2 xy Halla el primer érmino de una progresión geomérica si la suma de los 5 primeros érminos es 155 y la razón,5. a1, 55 1 Solución. Se aplica la fórmula y se despeja a1: S5, 5 1 ( 155 ( ) a (, 96875) a1, 55 1, 5 1 1, 5 luego a1 ) 155(, 5) 8, Acividades 15. Forma una progresión geomérica cuyo primer érmino es 8 y la razón es, Encuenra progresiones geoméricas enre las siguienes sucesiones: a) 9, 7, 5, 3, 1,... b) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32,... c),5,,5,,5,,5,..., d) 2, 2/3, 2/9, 2/27, Hallar la suma de los 1 primeros érminos de una progresión geomérica en la que a1 2 y r 1/ Halla los érminos cuaro y ocavo de la progresión geomérica :,8;,4;,2; Anualidades de capialización. Fondos En la vida coidiana es frecuene querer disponer de un capial al cabo de ciero iempo mediane depósios iguales realizados odos los años. Es el caso ípico de fondos o planes de pensiones an en boga úlimamene. La canidad, de nuesros ahorros, que deposiamos odos los años es una anualidad de capialización. Supongamos que al principio de cada año se ingresa una anualidad A, y se desea calcular el capial que se ha formado al cabo de años, al rédio R % anual. R Expresamos el rédio R en forma decimal: r 1 48

16 La primera anualidad A, que ha esado deposiada de años, se ransforma en: A (1+r) La segunda anualidad A, que ha esado deposiada 1 años, se ransforma en: A (1+r) 1 La úlima anualidad esá deposiada solo un año, y se ransforma en: El capial que se obiene es: A (1+r) C A(1 + r) + A(1 + r) 2 + A(1 + r) A(1 + r) 1 + A(1 + r) El capial se obiene mediane la suma de n érminos de una progresión geomérica de razón (1 + r). C A r ( 1+ ) ( 1+ ) A ( 1+ r ) ( 1+ r ) 1 A ( 1+ r) ( 1+ r) 1 r Si se desea conocer la anualidad que se debe pagar anualmene, se despeja A en la fórmula anerior y queda: C r A ( 1+ r) 1+ r 1 ( ( ) ) A veces los pagos se hacen en periodos no anuales; por ejemplo en semesres, rimesres o meses; en esos casos se aplica la fórmula siguiene: C r A n n r r + n n 1 Donde n es el número de pagos que se efecúan en un año; por ano sus posibles valores son: 2 en pagos semesrales; 4 en pagos rimesrales y 12 en pagos mensuales. Ejemplos 1. Una enidad bancaria ofrece un plan de pensiones de modo que durane 15 años debemos aporar 6 euros al 8% Qué capial endremos al finalizar el plazo? Solución. Se aplica la fórmula C A( 1+ r) 1+ r ( ) ( +, ) + (, ) 15 61, 8(, 1 8 1) r 8, 8, La secuencia siguiene deermina C x y ,8 6, El capial acumulado será: ,57 euros. ) 49

17 UNDAD 2 MATEMÁTCA FNANCERA 2. Repeir el problema anerior si se realizan los pagos rimesralmene. Solución. Es necesario inerprear la fórmula para generalizar. La anualidad se va apagar en cuaro palazos 6 / 4 15 euros al rimesre; cada año se pagan cuaro cuoas con lo que rédio será: 8/4 2% rimesral; el número de pagos a efecuar será Con esos razonamienos la fórmula será: C 6 La siguiene secuencia calcula C 6. El capial acumulado será ,88 euros 6 6 ( ),, 15( 1+, 2) ( 1+, 2) 1 2, ( ) ,2 1,2 x y 6 1 1,2 15 ), ,88 En ese caso el capial acumulado es menor debido a que se enrega menor canidad inicial. 3. Podemos ahorrar odos los años 5 euros, y un plan de jubilación nos ofrece un inerés del 6% Cuáno iempo debemos pagar para obener un capial de euros? Solución. Se aplica la formula y se despeja, omando logarimos. ( ) 5( 1+, 6) ( 1+, 6) , ; ,6 5 1,6(1,6 1); (1,6 1) ; 53 16, , ; 74 log 74 + Se oman logarimos y queda: log 16, log ; log 16, La siguiene secuencia calcula : 1,6 log Min 74 ) log ) RM 14,9976 El iempo redondeando será: 15 años Acividades 19. Una persona ingresa 1. euros cada año a un 7 % de inerés anual compueso. Qué canidad endrá al cabo de 8 años? 2. Deseamos muliplicar por 12 un capial que anualmene vamos a enregar a un inerés del 6% anual. Hallar el número de años que deberemos esperar. 21. Cuános años endremos que ahorrar 45 euros, si nos abonan el 8 % y deseamos formar un capial de 1577,75 euros? 22. Una persona desea hacer un plan de pensiones; para ello abona odos los meses durane 15 años 5 euros. Si el banco le ha abona el 6 % anual, qué canidad le abonará al cumplir los 15 años? 5

18 6. Anualidades de amorización. Présamos De manera similar, pero con mayor frecuencia, se solicia un présamo que hemos de devolver en un deerminado plazo de iempo, abonando canidades iguales en cieros periodos de iempo. Es el caso ípico de crédio hipoecario, para el pago de un bien comprado a plazos. Esos pagos reciben el nombre de anualidades de amorización. Supongamos que al final de cada año se abona una anualidad A, para pagar una deuda D en años al ano por cieno anual R. Se ransforma el ano por cieno R en decimal; r R/1 y si conraemos una deuda D, ésa se conviere al cabo de años de iempo en: D(1 + r) Por ora pare, como las anualidades se enregan al final de la unidad de iempo, la primera anualidad A se conviere, después de 1 años, en: A(1 + r) 1 La segunda se converirá en: A(1 + r) 2 Con la úlima anualidad A se cancela la deuda. La suma de las canidades aneriores deben coincidir con: D (1 + r) D (1 + r) A A(1 + r) 2 + A(1 + r) 1 El segundo miembro de la igualdad es la suma de érminos de una progresión geomérica de razón (1 + r); por lo que: 1 A r r A A r ( 1+ ) ( 1+ ) 1+ 1 D ( 1+ r) ( 1+ r ) 1 r De esa igualdad se puede despejar ano A (valor de la anualidad) como D (valor de la deuda). A D r r ( 1+ ) D A r ( ( 1+ ) 1) y ( 1+ r ) 1 r( 1+ r) Como en la anualidades de capialización, los pagos a veces no se hacen en periodos anuales y como se hizo allí generalizamos las fórmulas. n D r r n 1+ n A n r 1+ n 1 n r A 1+ n 1 D n r r + n 1 n Donde n es el número de pagos que se efecúan en un año; por ano, sus posibles valores son: 2, en pagos semesrales; 4, en pagos rimesrales y 12, en pagos mensuales. y ( ( ) ) 51

19 UNDAD 2 MATEMÁTCA FNANCERA Ejemplos 1. Para pagar un présamo hipoecario sobre una vivienda de 7 euros en un plazo de 14 años a un inerés de 6%, qué canidad se debe pagar anualmene?; y rimesralmene? , 6( 1+, 6) 7, 6 1, 6 Solución. Se aplica la fórmula A ( 1+, 6) 1 16, 1 La secuencia siguiene de eclas deermina la anualidad: 1,6 x y 14-1 Min + 1,6 7 ) MR 753,9435 La anualidad que corresponde pagar es de 753,9 euros. Para responder a la segunda preguna es necesario generalizar la fórmula. Se debe pagar 7 euros, mediane pagos rimesrales; por ano, en 14 años deben realizarse pagos; el 6% anual, equivale a 6/4 1,5% rimesral; con esos nuevos daos aplicamos la fórmula. 7, 15( 1+, 15) A 56 ( 1+, 15) , 151, 15 1, La secuencia deermina el pago rimesral 1,15 x y 56 1 Min + 1,15 7 ) MR 185,64745 El pago rimesral será 185,66 euros. 2. Mediane el pago de 4 euros anuales al 8% de inerés compueso durane 5 años, qué deuda hemos saldado? 5 4( ( 1+, 8) 1 5 ) 4(, 1 8 1) Solución. Se aplica la fórmula: D , ( + 8, ) 818,, La siguiene secuencia calcula la deuda: 1,8 x y 5,8 Min,8-1 4 ) MR 1597,841 En la prácica, la deuda saldada es de 15 97,84 euros. ) 3. Si pagamos 3 euros anuales para amorizar una deuda de ,38 euros al 6%, cuános años endremos que pagar? 18629, 38, 6 1, 6 Solución. Se aplica la formula 3 ; se opera sobre esa 16, 1 ecuación para ransformarla en ora en la que se puedan omar logarimos. 3(, 1 6 1) 1117, 6281, 6, 1, 6 1, 37261, 6 ; 1 ( 1, 3726), 1 6 1;, 62741, 6 1; 1, 6,

20 Se oman logarimos: ln 1,6 ln,6274 ; de donde La siguiene secuencia calcula : 1, 6 ln Min,6274 ln ln, 6274 ln 1, 6 ) MR 8,33 El valor de, redondeando al enero más próximo, es 8 años. Acividades 23. Para comprar una moo soliciamos un présamo de 12 euros al 6%. Nuesra siuación económica nos permie dedicar a ese pago anualmene 2 5 euros. Durane cuános años endremos que pagar? 24. Soliciamos un présamo de 1 euros para devolverlo en diez años al 8%. Qué canidad deberemos pagar cada año? Cuáno pagaremos por el ciado présamo? Cuános inereses pagaremos? 25. Una inmobiliaria vende pisos a 12 euros. A la enrega de llaves se pagan 2 euros y el reso es un présamo a pagar en 15 años al 6,2%. Si los pagos se realizan al final de cada año; se pide: Cuáno se pagará anualmene? Cuáno se habrá pagado por el piso? 26. Compramos un coche por euros, mediane un présamo al 9 %. Para pagarle mediane pagos mensuales durane 2 años, cuáno pagaremos mensualmene? Cuáno pagaremos por el coche? 7. Números índices 7.1. Índices simples Cuando ineresa conocer la evolución en el iempo de una variable o una magniud medible, se emplean los números índices. Los números índices muesran los cambios de una variable enre dos periodos emporales de los que uno de ellos se oma como base o referencia. Por ejemplo, la abla siguiene nos da el número de reclusos en las cárceles españolas enre 1997 y 22. Año Nº presos

21 UNDAD 2 MATEMÁTCA FNANCERA Si quisiéramos averiguar la variación de la población reclusa del año 1998 omando como base el año 1997, la obendríamos del cociene Del mismo modo, la variación de la población reclusa del año 22 con respeco al año 1997 sería: Cómo inerpreamos esos cocienes? En el año 1998 se ha incremenado la población reclusa, respeco a 1997, en un 3,7%, mienras que en el periodo , el incremeno fue del 21,3%. Sea X una variable o magniud cuya evolución a lo largo del iempo queremos esudiar. Supongamos que enemos una serie de regisros emporales que simbolizaremos por, 1, 2, 3,..., ; y que los valores de X en cada uno de esos regisros emporales sean x, x 1, x 2,..., x. Se llama índice de la variable X en el periodo (periodo acual), omado como base el periodo, al cociene x /x, y se simboliza por Para hacer una lecura más fácil del índice se acosumbra a expresarlo muliplicado por 1, En el caso del índice de la población reclusa en los años 1998 y 22, omando como base 1997, sería , , 213 x x x 1 x , , Con lo que, sin anos decimales, es más fácil ver que la población reclusa aumenó un 3,7% enre 1997 y 1998, y un 21,3% enre 1997 y 22. Al muliplicar por 1 es como si asignáramos valor 1 al índice de referencia o base; los demás índices mayores que 1 indican aumenos y los menores que 1 indican disminución. 54

22 Ejemplo La abla siguiene muesra el número de alumnos mariculados en España en educación universiaria. Curso 2/21 21/22 22/23 23/24 24/25 25/26 Nº alumnos Calcular los índices omando como base el número de mariculados en el curso 2/21 Solución. Se efecúan los cálculos: , , 195 Compleamos la abla así:,...,ec. Curso 2/1 21/2 22/3 23/4 24/5 25/6 Alumnos Índices 1 98,1 96,9 95,7 93,1 91,4 nerpreamos el resulado diciendo que en el curso 21/2 ha habido una disminución de mariculados de aproximadamene un 1,9%, mienras que en el curso 25/6 la disminución del número de alumnos mariculados fue del 8,6% (1 91,4 8,6). Los índices que hemos viso hacen referencia a una única variable, número de presos, número de alumnos mariculados; se llaman índices simples Propiedades de los índices simples Las propiedades de los índices simples son una consecuencia de su definición como cociene indicado o razón. a) Propiedad de inversión. Si x 1 1 x x x enonces 1 Es decir, si cambiamos el periodo base con el periodo acual, el nuevo índice es inverso del inicial. 55

23 UNDAD 2 MATEMÁTCA FNANCERA b) Propiedad circular. Si enemos res periodos emporales,,,, siendo inermedio enre y, se cumple que: Eso es consecuencia de 1 x x x x 1. x x Esa úlima propiedad se emplea para hacer un cambio de base del índice. Si se conocen dos índices en los periodos emporales y respeco a la base, enonces podemos calcular el índice del periodo omando como base el periodo emporal. Despejando / en, resula o simplemene x x x x x x El índice del periodo omando como nueva base el periodo se calcula dividiendo / enre /. El cambio de base se realiza cuando el periodo base pierde represenaividad, al ir alejándose el periodo acual del periodo base, en cuyo caso se oma como base un periodo más cercano al acual. Ejemplo La abla siguiene refleja la producción anual de aceiunas en miles de oneladas , , ,6 5.2, 4.21,7 Calcula los índices omando como base la producción en 21, en 25 y 23. Solución Compleamos la abla eniendo en cuena que y

24 Año Producción 6.982, , ,6 5.2, 4.21,7 / ,2 18,1 74,4 57,5 /25 173,6 19,7 187,8 129,2 1 /23 92,4 58,4 1 68,8 53, Índices compuesos Se emplean los índices compuesos cuando queremos esudiar una variable o una magniud X que iene muchos componenes. Por ejemplo, si queremos esudiar la evolución de los precios en un país, no sólo endríamos que analizar el precio de un produco sino los precios de un conjuno de producos, los que consumen los habianes de ese país, y cuyas magniudes simbolizamos por X 1, X 2,..., X k. Hay varios modos de calcular el índice de esa variable compleja X. Uno consise en hallar la media ariméica de los índices / (X 1 ),..., / (X k ) enre los periodos emporales y, para cada magniud. Pero ocurre que no odos los producos que consumimos, y por ano sus magniudes, iene la misma imporancia, por lo que es preciso asignarles una medida de su imporancia mediane lo que se llama una ponderación o peso. Simbolizaremos esos pesos por w 1, w 2,..., w k, con lo que el índice compueso ponderado de la magniud X, se define así: ( X1 ) ( Xk ) ( X) k ( X1) w ( X ) w ( X) k k k Los índices más conocidos son índices compuesos ponderados. El Índice de precios de Consumo, que calcula mensualmene el nsiuo Nacional de Esadísica, mide la evolución de los precios de un conjuno de bienes y servicios que consume la población española. El cálculo acual se hace omando como periodo base enero de 21. Oros índices relevanes son: Índice de producción indusrial, Índices de precios indusriales, miden la evolución de los precios de los bienes de equipo, Índices de comercio exerior, miden la evolución de la balanza comercial. Unos índices muy populares son los índices de coización de valores en la Bolsa. El más conocido, el bex-35, es un índice compueso ponderado que refleja la evolución de las coizaciones de las 35 principales empresas de la Bolsa española. Además del 57

25 UNDAD 2 MATEMÁTCA FNANCERA índices bex -35, diariamene se publican el precio de las acciones, en euros, de las empresas que coizan en Bolsa y la asa de variación con respeco a la coización del cierre del mercado del día anerior. Si leemos que el valor de una acción de Telefónica es 21,1 y a su lado aparece +6%, eso quiere decir que la asa de variación, del precio de una acción de Telefónica, omando como base el precio de cierre del día anerior, fue del 6% de aumeno Solución. Ejemplo La asa de variación, si el precio de la acción de Telefónica el día anerior erminó en 19,9, se calcula así: 21, 1 19, 9 12, Tasa de variación, 61 19, 9 19, 9 Que, expresado en porcenaje, resula,61 1 6,1 6% de aumeno del precio de la acción. Acividades 27. El paro regisrado en España, en los úlimos años, según el NE, viene dado por la abla: años Parados (en miles) 193,1 249,6 296,9 2113,7 269,9 239,4 Calcula los índices omando como base el paro regisrado en 21, y calcula los índices omando como base el paro regisrado en De un deerminado produco alimenario se conocen los siguienes índices de precios 24/21 y 27/24 9 a) Calcular 27/21. b) Sabiendo que el precio medio durane 24 fue 5,8 / kg, qué precio medio enía en 21 y en 27? 29. El precio del barril de peróleo, que ahora esá por las nubes, no era an alo hace unos pocos años. La abla refleja el precio medio de un barril de peróleo en dólares. año precio 14,4 23,8 17,8 18, , ,8 a) Calcula 24/21 y 27/24. 58

26 b) Si sabemos que 2/198 78,8. Tomando como base el precio en 198, calcula 1995/198 y 22/198. c) Calcula el precio medio del peróleo en Calcula la asa de variación del bex -35 si empezó la semana en y erminó el viernes en

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