Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo

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1 Capítulo III El valor del dinero en el tiempo

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3 CAPÍTULO III. EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Introducción... 5 Desarrollo El precio del dinero: interés calculatorio simple y compuesto La equivalencia financiera de capitales en el tiempo El tipo de interés para períodos no anuales: la aplicación de la Tasa Anual Equivalente (TAE) La valoración de rentas periódicas Los tipos de interés de referencia en el mercado interbancario Glosario Check-List Bibliografía Junio 2011 E - 34 ESPECIAL DIRECTIVOS - III - 3

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5 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo INTRODUCCIÓN Dice la Teoría Económica que el ahorro es una abstención del consumo, considerando esa abstención como un esfuerzo de voluntad. Por otra parte, hay personas que desean consumir o invertir sin tener dinero para hacerlo. La conjunción de estos dos agentes económicos genera un precio que es el coste del dinero o tipo de interés que los que ahorran quieren cobrar a los que necesitan de su dinero. En otras palabras, el tipo de interés que un prestamista cobra a su deudor es el precio por el «uso» del dinero (de este concepto procede la palabra «usura»). El precio del dinero depende, entre otras cosas, del tiempo que los consumidores tarden en devolver los préstamos a los ahorradores y del riesgo de que esta promesa no sea cumplida. Este hecho establece una diferencia de valor entre el dinero de hoy y el dinero del futuro. Podemos decir que el valor del dinero en el futuro depende del tipo de interés (que a su vez depende del riesgo a que no sea recuperado), del tiempo y de la cuantía en el momento presente, todos ellos cuantificables y por tanto susceptibles de tratamiento matemático. En este capítulo desarrollaremos el aparato matemático que sirve para atribuir valor al dinero en cada momento del futuro y viceversa, el valor que en el momento presente tiene el dinero del futuro. Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 5

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7 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo DESARROLLO 1.- EL PRECIO DEL DINERO: INTERÉS CALCULATORIO SIMPLE Y COM- PUESTO El llamado tipo de interés de referencia establecido por las autoridades monetarias (como el Banco Central Europeo, la Reserva Federal Norteamericana, etc.) es una variable muy importante pues su evolución y expectativas de comportamiento futuro afectan sustancialmente a los tipos de interés que aplican las entidades financieras en las operaciones con sus clientes. Además, los tipos de interés van a condicionar el coste financiero de la financiación empresarial e inciden de diversa forma en la tasa de descuento que se aplica en el análisis de inversiones. Así, una subida de los tipos de referencia o del precio oficial del dinero traerá como consecuencia un mayor coste de las operaciones de préstamo para los inversores, pero también una mayor remuneración de los depósitos o pasivos bancarios. Sin entrar en el análisis de los tipos de interés en el marco de la política monetaria, ni en la valoración de su posible comportamiento futuro (pues no es el objetivo de este capítulo ni de esta obra), seguidamente se van a exponer una serie de conceptos y fórmulas básicas e imprescindibles para poder comprender el funcionamiento de las operaciones de inversión y de financiación, así como un gran número de productos financieros, pues, al fin y al cabo, los productos financieros son instrumentos que permiten adecuar las preferencias y condiciones que demandan y que ofrecen los inversores y ahorradores. En primer lugar hay que distinguir entre el ya referido tipo de interés oficial y el tipo de interés que un inversor o ahorrador se le aplica en sus operaciones financieras. Este segundo tipo de interés se identifica habitualmente como la rentabilidad o el coste de dichas operaciones. El importe de los intereses que un ahorrador o inversor obtiene de una inversión representa el montante de dinero que ha percibido por haber prestado a otros sus recursos financieros. Se mide así en unidades monetarias (por ejemplo, un depósito bancario que abona 250 euros como intereses al vencimiento). Por tanto, el tipo de interés de una inversión es el porcentaje o rentabilidad exigida por renunciar a disponer hoy de ese dinero. En otras palabras, el tipo de interés es el precio del dinero. De esta forma, se puede medir como un porcentaje sobre el valor de la inversión (por ejemplo, para conocer lo que se puede ganar con un interés del 5% hay que precisar cuál es el volumen de la inversión realizada: el 5% de es 50 ; pero el 5% de es 500 ). Por ello, es común escuchar que el éxito Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 7

8 CONSULTOR PARA LA DIRECCIÓN FINANCIERO-ADMINISTRATIVA de un negocio o inversión necesita un buen margen pero también del adecuado volumen. Desde otro punto de vista, el tipo de interés señala el valor del dinero en el tiempo. Es la tasa a la cual se compensará a un individuo al intercambiar dinero en este momento por dinero referido a una fecha posterior. Consecuentemente, por qué valen más o se prefieren- 100 euros de hoy frente a 100 euros el año que viene?. Porque si hoy se dispone de 100 euros, se pueden invertir durante un año a un determinado tipo de interés (incluso libre de riesgo), de forma que dentro de un año su puedan tener los 100 euros iniciales y los intereses ganados (el precio del dinero prestado o invertido). Puede verse, que en este concepto no influye la inflación de ningún modo. Es importante tener en cuenta que la inflación influye en el tipo de interés final, pero no tiene relación directa con el precio del dinero (en sentido estricto). Si hay inflación, los inversores exigirán un mayor tipo de interés tratando de evitar que cuando reciban su capital original éste se vea afectado por la pérdida de poder adquisitivo que supone la existencia de inflación. En otras palabras, la inflación contribuye a elevar el tipo de interés final que realmente observa el inversor. En otras palabras, el tipo de interés, en términos generales, es el dinero pagado por el uso de un capital tomado a préstamo, o lo que es lo mismo, el dinero obtenido por la cesión de un capital en préstamo. La tasa o tipo de interés señala el valor del dinero en el tiempo y representa la tasa estándar de intercambio entre disponer del dinero hoy, en el momento actual, y tener acceso definitivo a él en un momento posterior. Es decir, el tipo de interés es la tasa a la cual se compensará a un individuo al intercambiar dinero en este momento por dinero en una fecha posterior. Como puede verse, el tipo de interés puede definirse desde diferentes puntos de vista; así, también se puede entender como el precio por el uso del dinero (de aquí viene el conocido término de usura, cuando el precio de ese dinero se considera excesivo). El tipo de interés viene determinado fundamentalmente por tres elementos: 1. Por las actitudes de los individuos con respecto a la importancia de los consumos actuales respecto a los futuros. Por ello, el tipo de interés será mayor cuanto más importancia dé el individuo a los consumos actuales respecto a los futuros. 2. Por las oportunidades de inversión en activos reales. Si los recursos financieros pueden aplicarse a un proceso productivo muy rentable, las unidades 8 - III WOLTERS KLUWER

9 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo monetarias de hoy tendrán mayor valor respecto a las futuras y el tipo de interés será elevado. 3. Por la tasa de inflación, pues cuanto mayor sea mayor será el tipo de interés (aparente) que tendrán que abonar los prestatarios. En función de las características de las operaciones financieras se puede aplicar el interés simple o el interés compuesto, lo que da lugar a las denominadas capitalización y actualización simple y compuesta. A este respecto, cuando no se abonan intereses sobre intereses, es decir, cuando los intereses generados no se acumulan a los intereses obtenidos anteriormente sobre el principal, el cálculo del importe absoluto de los intereses devengados o generados en un período de liquidación se efectúa, generalmente, a través de la clásica expresión de del interés simple: Cuando sí se abonan intereses sobre intereses, es decir cuando los intereses generados en cada período se acumulan sobre la suma del capital inicial y de los intereses que se han generado en el período o períodos anteriores, entonces se trata del interés compuesto. Por tanto, hay una diferencia importante entre el interés compuesto y el interés simple. Cuando se invierte a interés compuesto, los intereses devengados son reinvertidos para obtener más intereses en los siguientes períodos. Por el contrario, la oportunidad de obtener intereses sobre intereses no existe en una inversión que produce sólo interés simple. A continuación, se presenta cómo se deduce la fórmula para calcular el valor del dinero aplicando un interés simple o compuesto. Deducción de la fórmula de interés simple y compuesto Interés compuesto: Si se invierten 500 (capital inicial: C 0 ) al 10% de interés compuesto (i), se obtiene en concepto de intereses el 10% sobre la inversión inicial en el primer año, lo que produce al final del año (Capital final: C n ): En el segundo año se obtendría el 10% sobre la cantidad acumulada hasta ese momento, es decir, 550 euros, lo que produce al final del segundo año: Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 9

10 CONSULTOR PARA LA DIRECCIÓN FINANCIERO-ADMINISTRATIVA Y así sucesivamente, de tal modo que al final del año n se tendría acumulado un importe total de: Generalizando, se obtendría un capital Cn invirtiendo Co en el momento 0 (el momento actual) a un tipo de interés compuesto i durante n años: Interés simple: Si la inversión se realizase al 10% de interés simple (donde los intereses se pagan sólo sobre la inversión inicial), al final del primer año se obtendría: Al final del segundo año: En general, si se invierte Co en el momento 0 a un tipo de interés simple i, el capital que se obtiene al final del año n será: Como puede verse, a partir del primer año, los intereses generados mediante capitalización compuesta son cada vez mayores que en la capitalización simple. El lector puede realizar el cálculo y observar la gran diferencia que se obtiene si la operación se realiza, por ejemplo, a 100 años; pues resulta que 500 euros capitalizados durante 100 años al 10% de interés anual compuesto generan un importe final de ,17 euros, mientras que con interés simple generan sólo euros III WOLTERS KLUWER

11 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo EJEMPLO: INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Cuál es el capital final que se obtendrá dentro de 40 años si se invierten hoy euros a un tipo de interés anual del 8% mediante la aplicación de un tipo de interés simple y compuesto?: Interés simple: Interés compuesto: 2. LA EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES EN EL TIEMPO: CAPI- TALIZACIÓN, DESCUENTO Y ACTUALIZACIÓN FINANCIERA Cuando se desea conocer el valor que un capital actual C 0 tendrá en un momento futuro C n será preciso capitalizar su importe teniendo en cuenta el tipo de interés aplicado y el plazo de la operación. Si la operación se pretende realizar de modo inverso; es decir, se desea conocer el valor actual de un capital o una renta esperada situada en un momento futuro habrá que descontar dicho importe considerando el plazo de tiempo entre ambas fechas y el tipo de interés. En este caso, además de descontar se está procediendo a actualizar. Pero también se puede desear conocer el valor actual de un capital situado en un momento del pasado. En este caso se procede a actualizar dicho capital capitalizando su importe en función del plazo y del tipo de interés. Fuente: PALOMO, R.; MATEU, J.L. (2004): Productos financieros y operaciones de inversión, ISTPB, Madrid. Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 11

12 CONSULTOR PARA LA DIRECCIÓN FINANCIERO-ADMINISTRATIVA La aplicación del interés simple y el compuesto a la actualización, capitalización o descuento, da lugar a diversas expresiones matemáticas y a determinadas equivalencias entre ellas. A modo de resumen puede verse el cuadro adjunto que resume estas leyes principales de la matemática financiera. LEYES DE MATEMÁTICA FINANCIERA Capitalización simple: Capitalización compuesta: Leyes financieras de descuento. Descuento racional o simple: Descuento Compuesto; El plazo de capitalización o actualización n puede ser también un número fraccionario, por ejemplo, 1,5 años (un año y medio) aplicándose la fórmula del mismo modo que cuando los períodos son números enteros. UN CASO PRÁCTICO DE EQUIVALENCIA FINANCIERA DE CAPITALES: PROCESO DE CAPITALIZACIÓN, DESCUENTO Y ACTUALIZACIÓN FINANCIERA Un inversor realiza las siguientes imposiciones de capitales en un plan de ahorro durante un horizonte temporal C 2003 C 2004 C 2005 C 2006 C 2007 C Sabiendo que el tipo de interés compuesto acordado por la entidad financiera es del 5% durante todo el horizonte temporal se desea conocer: 1.- Cuál será el valor de todos los capitales en el año 2015? 2.- Cuál sería el valor de todos los capitales en el momento inicial (año 2003)? 3.- Cuál será el valor de todos los capitales en el momento actual (año 2008)? 1.- Valor de los capitales en el año 2015: Proceso de Capitalización financiera La capitalización financiera consiste en homogenizar todos los capitales refiriéndolos al momento final del horizonte temporal de valoración. En el caso de este ejemplo se deben referir todos los capitales aportados al año III WOLTERS KLUWER

13 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo C 2003 C 2015, por tanto, el capital del año 2003 lo tengo que capitalizar 12 años ( = 12). es decir, depositados al 5% durante 12 años, equivalen a 3.591,71.lo q u e implica que a este inversor le resulta indiferente disponer de en el año 2003, que disponer de 3.591,71 en el año 2015 para un interés del 5% dado que se trata de capitales financieros equivalentes. C 2005 C 2015, por tanto, el capital del año 2005 lo tengo que capitalizar 10 años ( = 10).. C 2008 C 2015, por tanto, el capital del año 2008 lo tengo que capitalizar 7 años ( = 7).. C 2010 C 2015, por tanto, el capital del año 2010 lo tengo que capitalizar 5 años ( = 5).. C 2013 C 2015, por tanto, el capital del año 2013 lo tengo que capitalizar 2 años ( = 2). C 2015 C 2015, por tanto, el capital del año 2015 no es necesario capitalizarlo ( = 0). El inversor, durante los años obtendrá los siguientes capitales referidos todos al año Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 13

14 CONSULTOR PARA LA DIRECCIÓN FINANCIERO-ADMINISTRATIVA 2- Valor de los capitales en el año 2003: Proceso de Descuento financiero Con el proceso de descuento financiero se refieren todos los capitales al momento inicial del horizonte temporal. En este segundo apartado el inversor se plantea, por tanto, cuál sería el valor de todas sus imposiciones en el momento inicial dentro de su horizonte temporal , es decir, en el año 2003 por tanto se tendrán que descontar todos los capitales refiriéndolos al año C 2003 C 2003, por tanto, el capital del año 2003 no es necesario descontarlo ( = 0). C 2005 C 2003, por tanto, el capital del año 2005 lo tengo que descontar 2 años ( = 2).. Es decir, los del año 2005 son equivalentes a 3.174,6 del año 2003, por tanto si invierto 3,174,6 durante dos años a un interés compuesto del 5%, obtendré un capital de C 2008 C 2003, por tanto, el capital del año 2008 lo tengo que descontar 5 años ( = 5). C 2010 C 2003, por tanto, el capital del año 2010 lo tengo que descontar 7 años ( = 7). C 2013 C 2003, por tanto, el capital del año 2013 lo tengo que descontar 10 años ( = 10) III WOLTERS KLUWER

15 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo 2015 C 2003, por tanto, el capital del año 2015 lo tengo que descontar 12 años ( = 12). Así, referido al año 2003, el valor de todos los capitales sería: Si el inversor capitaliza esta cantidad durante 12 años (para referir este capital al año 2015) a un tipo de interés compuesto del 5% obtendría el siguiente capital: C 2003 C 2015, por tanto, el capital del año 2003 lo tengo que capitalizar 12 años ( = 12). Esto implica que los ,14 referidos al año 2003 es un capital equivalente a los ,37 referidos al año Valor de los capitales en el año 2008: Proceso de Actualización financiera La actualización financiera consiste en referir todos los capitales al momento actual, para ello será preciso utilizar los procesos de capitalización en el caso de aquellos capitales que han sido generados con anterioridad al momento actual - y descuento financiero para el caso de aquellos capitales que se generan con posterioridad al momento actual. Para la actualización de los capitales financieros generados durante el período se tiene, por tanto, que valorar: por un lado aquellos capitales que se han generado en los años anteriores a 2008, en este caso se trata de los capitales aportados en los años 2003 y Estos capitales será necesario capitalizarlos 5 y 3 años respectivamente. C 2003 C 2008, por tanto, el capital del año 2003 lo tengo que capitalizar 5 años ( = 5). C 2005 C 2008, por tanto, el capital del año 2005 lo tengo que capitalizar 3 años ( = 3). Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 15

16 CONSULTOR PARA LA DIRECCIÓN FINANCIERO-ADMINISTRATIVA C 2008 C 2008, por tanto, el capital del año 2008 no es necesario capitalizarlo ( = 0). Por otro lado es preciso considerar aquellos capitales que se van a generar con posterioridad al año 2008, en este caso se trata de los capitales aportados en los años 2010, 2013 y Estos capitales, para referirlos al año 2008, tendrán que ser descontados 2, 5 y 7 años respectivamente. C 2010 C 2008, por tanto, el capital del año 2010 lo tengo que descontar 2 años ( = 2).. C 2013 C 2008, por tanto, el capital del año 2013 lo tengo que descontar 5 años ( = 5). C 2015 C 2008, por tanto, el capital del año 2015 lo tengo que descontar 7 años ( = 7). Para determinar el valor total de todos los capitales en el momento actual: Se puede comprobar que los ,75 son financieramente equivalentes a los determinados en los apartados anteriores: Así si referimos este total al año 2015 (primer apartado) capitalizándolo 7 años ( = 7) se obtendría: C 2008 C 2015, por tanto, el capital del año 2008 lo tengo que capitalizar 7 años ( = 7). Es el mismo valor que se obtuvo al capitalizar cada una de las cantidades refiriéndolas al momento final. Por tanto se trata de capitales financieros equivalentes III WOLTERS KLUWER

17 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo Ahora, si referimos el total del año 2008 al año 2003 (segundo apartado) descontándolo 5 años ( = 5) se obtendría: C 2008 C 2003, por tanto, el capital del año 2008 lo tengo que descontar 5 años ( = 5). Por tanto al obtener el mismo resultado se puede afirmar que se trata de capitales financieros equivalentes. Como conclusión se puede resaltar que aquellos capitales que se generan antes del período que se toma como referencia para determinar su equivalente financiero siempre será preciso capitalizarlos, mientras que aquellos capitales que se generan después del período de referencia, para determinar su equivalente financiero, siempre será preciso descontarlos. CÁLCULO DEL PLAZO NECESARIO EN UNA OPERACIÓN FINANCIERA Por otra parte, si se conoce el valor del capital inicial, una estimación del interés anual y se desea conocer cuántos años hacen falta para poder llegar a constituir un capital final determinado, se toman logaritmos en la fórmula de la capitalización y se despeja el valor de n. Ejemplo: Cálculo del plazo necesario en una operación financiera. Cuántos años hacen falta para, con una inversión inicial de 1.000, formar un capital de euros, suponiendo un tipo de interés anual del 10%?. Capital inicial (C 0 ) = Capital final (C n ) = Tipo de interés (i) = 10%. Plazo de la inversión (n) =???? Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 17

18 CONSULTOR PARA LA DIRECCIÓN FINANCIERO-ADMINISTRATIVA CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS EN UNA OPERACIÓN FINANCIERA Otra opción es saber cuál debería ser el tipo de interés que debería aplicarse para obtener en un plazo de n años un capital determinado a partir de una inversión inicial. Para ello se despeja de la fórmula de capitalización financiera el tipo de interés. Ejemplo: Cálculo del tipo de interés en una operación financiera Cuál debería ser el tipo de interés requerido para que una inversión de proporcione en un plazo de 4 años? Capital inicial (C 0 ) = Capital final (C n ) = Plazo de la inversión (n) = 4 años Tipo de interés (i) =?????? 3.- EL TIPO DE INTERÉS PARA PERÍODOS NO ANUALES: LA APLICACIÓN DE LA TASA ANUAL EQUIVALENTE (TAE) Hasta ahora se ha supuesto que cada flujo de tesorería se produce al final del año y, por tanto, que los tipos de interés son anuales. Sin embargo, puede ocurrir que, en cualquier operación financiera, se fije un determinado tanto de interés anual, pero, en cambio, se pague o se cobre (capitalice) en períodos inferiores, (semestralmente, trimestralmente, mensualmente, etc.). Es decir, que los intereses se producen dos, tres, doce veces al año; e incluso diariamente. Normalmente, las entidades financieras expresan la rentabilidad de las operaciones financieras mediante el Tipo o Tasa Anual Equivalente -o Efectivo- (TAE) y mediante el Tipo Nominal Anual (TNA) III WOLTERS KLUWER

19 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo La -o el- TAE viene a ser una forma de resumir en un único dato el tipo de interés nominal (TNA) y la forma de pago de los intereses (mensual, trimestral,...). También puede incluir determinadas comisiones de la operación. A este respecto, la existencia de comisiones en las operaciones de activo (como por ejemplo, en un préstamo hipotecario) hace que el cálculo de la TAE se complique; por ello, el resultado de las sencillas fórmulas que se muestran seguidamente sólo parece útil para analizar operaciones de pasivo o depósito libres de comisiones. Por tanto, la TAE permite comparar entre diferentes ofertas que contemplen diferentes condiciones de tipo nominal y/o de períodos de pago. De hecho, el Banco de España obliga a todas las entidades a expresar sus productos, tanto de activo (ej.: préstamos) como de pasivo (ej.: depósitos), en términos de TAE. Podemos definir la Tasa Anual Equivalente (TAE) como la expresión anual para tipos de interés distintos a un año. También se puede definir como el tipo de interés anual que se obtiene cuando los intereses se producen en períodos distintos al año. Se puede formular la relación entre la TAE, el TNA y el tipo de interés del subperíodo anual t de la siguiente forma: t: tipo de interés para un período inferior a un año (mensual, trimestral, semestral,...). m: Número de veces al año que se obtiene o se paga el tipo t ; es decir, el número de períodos de capitalización dentro del año. Así, una operación con pagos mensuales supone un valor m = 12. TNA: Tipo Nominal Anual o tipo de interés anual capitalizable cada m períodos. Es el resultado de sumar el tipo de interés t tantas veces como se produzcan en un año; es decir, TNA será igual a m veces t. Se cumplirá entonces que es lo mismo capitalizar una cantidad durante un año a un tipo TAE, que capitalizar la misma cantidad m veces al año a un tipo t. La TAE se puede despejar fácilmente de la expresión anterior y será entonces: Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 19

20 CONSULTOR PARA LA DIRECCIÓN FINANCIERO-ADMINISTRATIVA Si se sustituye el valor de t por su equivalente TNA/m, se tiene la fórmula clásica de TAE en función de TNA y de los períodos de capitalización dentro del año. La rentabilidad de las operaciones será mayor cuantas más veces (dentro de cada año) se produzca el pago de los intereses, como puede verse en el siguiente ejemplo, y como se demuestra posteriormente mediante una fórmula muy útil para realizar estos cálculos. EJEMPLO: CÁLCULO DE LA TAE EN EL CÁLCULO FINANCIERO: DEPÓSITO BAN- CARIO Un depósito bancario a dos años con una aportación inicial de que paga un tipo nominal anual (TNA) del 5%, determinar la TAE, así como el capital final en las siguientes situaciones: 1.- Los intereses se abonan al final del año. 2.- Los intereses se abonan semestralmente. 3.- Los intereses se abonan mensualmente. 4.- Los intereses se abonan al final del segundo año. 1.- Interés anual En este caso el valor del tipo nominal anual (TNA) coincide con el valor del TAE dado que únicamente se abonan intereses una vez al año. Aplicando la fórmula anterior se puede comprobar esta afirmación: TNA = 5%. m = 1 Si el inversor aporta en el depósito bancario la cantidad inicial de , transcurrido el plazo de los dos años el capital resultante de la operación sería: 20 - III WOLTERS KLUWER

21 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo 2.- El interés se abona de forma semestral En este caso la entidad financiera abona al inversor los intereses una vez al semestre y por tanto dos veces al año. Aplicando la misma fórmula anterior: TNA = 5%. m = 2 Interés semestral (i 2 ) = TNA/2 = 2,5% Puede verse como la rentabilidad que obtiene el inversor es ligeramente superior. También podría plantearse el cálculo del TAE en términos de equivalencia financiera, es decir, a un inversor le debe resultar indiferente percibir una vez al año el TAE a dos veces el tipo de interés semestral:. Siguiendo con la misma aportación que en el caso anterior, el capital resultante al finalizar el plazo de dos años sería: O también se puede expresar en función del interés semestral: número de semestres que hay en dos años = 2 2 = El interés se abona de forma mensual. TNA = 5%. m = 12. Interés mensual (i 12 ) = TNA/12 = 0, Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 21

22 CONSULTOR PARA LA DIRECCIÓN FINANCIERO-ADMINISTRATIVA O bien: Si se aplica este interés al depósito inicial de , el capital resultante transcurridos los dos años sería: O bien: 4.- Interés se abona al finalizar el segundo año. TNA = 5%. m = 0,5. Interés bianual (i 2 ) = TNA/0,5 = 0,1. O bien a un inversor le debe resultar equivalente recibir el TAE dos veces en el período de dos años a una vez el interés bianual: Si se aplica este interés al depósito inicial de , el capital resultante transcurridos los dos años sería: O bien: Puede verse como la rentabilidad disminuye sensiblemente al espaciar en el tiempo el abono de los intereses por parte de la entidad financiera. De forma equivalente, un préstamo con un tipo nominal anual del 12% supone una TAE o tipo efectivo del 12% si los pagos se realizan una vez al año, del 12,36% si se realizan semestralmente; del 12,68% si se realizan mensualmente y del 11,36% si se realizan una vez cada dos años III WOLTERS KLUWER

23 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo OTRAS APLICACIONES DE LA TAE EN EL CÁLCULO FINANCIERO: 1.- Calcular el valor final de una inversión. 2.- Comparativa de dos productos financieros bancarios. 3.- Capitalización continua. 4.- Cálculo del Tanto Nominal Anual (TNA) a partir del valor de la TAE. 1.- Aplicación de la TAE para calcular el valor final de una inversión Calcular el capital final que se puede constituir en un plazo de 10 años con un capital inicial de , capitalizados a un 7% de interés compuesto trimestral nominal. En la expresión se toma i como valor de la TAE. Para determinar el valor final de la inversión primero es necesario determinar su TAE a partir del TNA del 7% capitalizable de forma trimestral, por lo tanto: TNA = 7%. m = 4 trimestres en un año. Interés trimestral (i 4 ) = TNA / m = 7/4 = 1,75%. Aplicando la fórmula de la TAE: O bien: Una vez determinado la TAE, el valor final de la inversión transcurridos diez años sería: 2.- Aplicación de la TAE para comparar dos productos bancarios Si un Banco A ofrece a sus clientes una inversión con un tipo nominal anual del 7% capitalizable de forma mensual a un plazo de 2 años; y un Banco B ofrece a un plazo de dos años una TAE del 7,19%. Cuál es la mejor oferta?: Para el Banco A se tiene: TNA = 7%. Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 23

24 CONSULTOR PARA LA DIRECCIÓN FINANCIERO-ADMINISTRATIVA m = 12 meses. Mientras que la TAE del Banco B es del 7,19%, por tanto es ligeramente mejor la oferta del Banco A. 3.- Capitalización continua Evidentemente, puede pensarse en la posibilidad de que los intereses se pagasen diariamente, o minuto a minuto, aumentando así el valor de la TAE. Sin embargo, aunque hubiese infinitos períodos de pago la TAE no crecería significativamente. Este es el caso de la llamada capitalización continua. En la capitalización continua se puede suponer que el número de períodos dentro del año es muy grande, de forma que la frecuencia de capitalización m tiende a infinito, y en ese caso se aplica el conocido número e = 2,71828: m TNA (si m es muy elevado o tiende a infinito). 1 TNA TAE 1 e m Así, si en una operación financiera el TNA es del 7% con capitalización continua, el valor de la TAE sería: En conclusión, cuando dos o más operaciones tienen períodos de capitalización distintos, para poder comparar sus tipos de interés es necesario homogeneizarlos utilizando los tipos de interés efectivos, sabiendo que: La Tasa Anual Equivalente (TAE), o Tasa Anual Efectiva es el tipo de interés de referencia que se utiliza para homogeneizar distintos tipos y condiciones de operaciones de crédito y depósito cuando hay diferentes períodos de liquidación, gastos, comisiones, etc. En otras palabras, es el tipo de interés anual que corresponde a las operaciones de activo o de pasivo cuando los intereses se producen o devengan en períodos inferiores a un año y se acumulan al principal de la operación. Consecuentemente, un interés efectivo o TAE es un interés anual que genera el mismo beneficio por intereses que el interés nominal capitalizado varias veces al año. La Tasa Nominal Anual (TNA) es el tipo o tasa nominal anual de una operación que se capitaliza m veces al año y que paga un interés t para cada uno de esos subperíodos del año III WOLTERS KLUWER

25 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo Una crítica habitual sobre la TAE es su dificultad de cálculo exacto por parte de los clientes; pues ya se ha referido anteriormente que la TAE integra el tipo nominal de la operación y las subcapitalizaciones que se producen dentro de cada año, como contempla la fórmula anterior. Pero también la TAE debe incluir, en su caso, las comisiones de estudio, apertura y otras comisiones inherentes a la operación (como ocurre en las operaciones de préstamo o de activo) y en tal caso la fórmula anterior ya no es válida para calcular la TAE final incluyendo las comisiones, sino que se aplican otras fórmulas o bien se calcula la Tasa Interna de Retorno (TIR) de la operación, mediante calculadora financiera, hoja de cálculo o programa informático adecuado. Están excluidas de la TAE las posibles comisiones por incumplimiento del contrato por parte del cliente, las comisiones de transferencia de fondos, los gastos de tasación, los de notaría y registros, los de seguros y garantías, los impuestos, etc. Teniendo en cuenta los conceptos anteriores, es fácil entender ahora que, por ejemplo, los beneficios que proporciona un depósito con interés anual nominal (TNA) del 18% capitalizado mensualmente y con acumulación de los intereses sobre el principal equivalen a los beneficios que genera el mismo depósito con un interés anual efectivo (TAE) del 19,56%. Como puede verse, la TAE siempre es algo mayor que la TNA en operaciones con plazos de capitalización menores de un año. 4.- APLICACIÓN DE LA TAE PARA DETERMINAR LA RENTABILIDAD DE UN DEPÓSITO A UN MES Frecuentemente las entidades financieras ofrecen productos de depósito a plazos inferiores a un año, por ejemplo, a un mes y con un 5% TAE. Esta operación significa la constitución de un depósito mensual que sólo llegaría a proporcionar realmente un 5% anual si los intereses que se pagaran cada mes se añadiesen al capital invertido para generar nuevos intereses, pues el tipo de interés realmente pagado por la entidad al inversor será el Tipo Nominal Anual (durante el mes que dura la operación) que se puede obtener sustituyendo los datos en la fórmula correspondiente: TNA m m TNA 12 1 TAE 1 1 0,05 1 TNA 4,8889% Es decir, que la entidad está ofreciendo realmente un 4,8889%, en base anual. Si el inversor impone un capital de euros, recibirá 40,74 euros de intereses en el plazo de un mes, en lugar de los 41,67 euros que podría esperar obtener si se hubiese aplicado el 5%. I = , = 40, Junio 2011 E - 34 ESPECIAL DIRECTIVOS - III - 25

26 CONSULTOR PARA LA DIRECCIÓN FINANCIERO-ADMINISTRATIVA 4. LA VALORACIÓN DE RENTAS PERIÓDICAS Hasta ahora hemos visto como el tipo de interés es capaz de transportar el valor del dinero. Nuestra peculiar máquina del tiempo nos ha permitido «llevar» dinero actual hacia el futuro y «traer» dinero del futuro al presente. No obstante nuestros viajes son todavía sin escalas intermedias. Cómo calcular el valor actual o futuro cuando, en lugar de una sola cantidad de dinero, tenemos unas entradas de fondos que se repiten a intervalos de tiempo regulares? Por ejemplo, qué es mejor, colocar a tres años en una inversión al 10% o hacerlo en otra que nos produzca 3.000, y cada uno de esos años? La comparación podemos realizarla utilizando nuestros conocimientos para el cálculo del valor futuro. FINAL AÑO TOTAL (10.000) (1,1) (10.000) (1,1) (1,1) (1,1) En la Tabla se muestran los resultados de ambas alternativas. El transporte a valor futuro de una inversión a tres años se hace de un solo viaje; mientras que la que produce rentas periódicamente, exige paradas intermedias para recoger el dinero y llevarlo al futuro. (Estamos suponiendo que cuando disponemos de las rentas, las podemos colocar, al 10%, en nuestra inversión original. De ahí que los que recibimos el primer año estén produciendo el 10% los dos siguientes; los que recibimos el segundo lo estén haciendo durante uno y los que recibimos en el tercero no producen nada adicional). En nuestro ejemplo, el valor de la inversión a tres años es ligeramente superior que el de la que produce rentas periódicas, pues su valor futuro es 280 mayor. Generalizando podríamos decir que el valor futuro de una renta periódica es igual a la suma de los valores futuros de esas rentas, teniendo en cuenta el año en que se reciben y el tipo de interés al que las podemos invertir, es decir: donde R n representa el valor de la renta que se recibe en el período n e i el tipo de interés de la inversión alternativa III WOLTERS KLUWER

27 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo También podríamos haber realizado nuestra comparación en términos de valor actual en lugar del valor futuro. Recuerde que la pregunta que nos hacíamos cuan do queríamos calcular el valor actual estaba relacionada con el tipo de interés: cuánto valen hoy una serie de rentas futuras si tenemos la oportunidad de invertir nuestro dinero a una tasa i? Apliquémoslo a nuestro ejemplo anterior. TOTAL VALOR ACTUAL Valor actual final del año , /1, , /1, , /1, ,63 TOTAL Por rentas de 3.000, y anuales no puede pagarse más de 9.789,63, si tenemos la oportunidad de invertir al 10%. Este resultado parece lógico, porque si la inversión original daba un valor futuro a nuestros mayor que la alternativa de las rentas, el valor actual de las rentas debe ser menor que esos La expresión general del valor actual de una serie de rentas periódicas sería por tanto: Ya sabemos como valorar un conjunto de flujos de dinero que se producirán a intervalos regulares en el futuro, en función del tipo de interés al que podemos colocar dinero en el presente. Este es uno de los conceptos más importantes de las finanzas y una herramienta de utilidad básica en el análisis de inversiones(1) APLICACIÓN PRÁCTICA VALOR ACTUAL DE RENTAS PERÍODICAS Vamos a aplicar la expresión general para determinar el valor actual de las siguientes rentas periódicas: 3.000, 2.000, y para un tipo de interés del 10%. (1) Esta fórmula es la herramienta fundamental en el análisis de inversiones, concretamente en la aplicación del criterio del Valor Actual Neto (VAN) en la valoración y selección de proyectos de inversiónfinanciación. Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 27

28 CONSULTOR PARA LA DIRECCIÓN FINANCIERO-ADMINISTRATIVA Vamos a analizar ahora algunos casos especiales de rentas periódicas a los que se pueden aplicar procedimientos matemáticos que facilitan el cálculo del valor futuro y del valor actual. EL CASO DE RENTAS PERIÓDICAS IGUALES Supongamos que queremos saber el valor futuro de una serie de rentas iguales que se producirán a intervalos regulares. Podemos utilizar la expresión matemática del valor futuro, sustituyendo los distintos flujos de dinero, R 1, R 2,..., R n por una misma R: Si sacamos factor común de R: lo que queda dentro de los corchetes es la suma de una serie geométrica cuya razón es igual a (1+i), considerando como primer término de la misma al más pequeño, (1+i) 0, y como último al más grande, (1+i) n 1. Muchos matemáticos dedicaron sus vidas a trabajar este tipo de conjuntos algebraicos, cosa que hay que agradecerles. Alguno descubrió que la suma de una serie de este tipo es igual a su último término multiplicado por la razón, menos el primero y, todo ello, dividido por la razón menos uno. Si me lo permite le ahorro los cálculos. El valor futuro de una serie de rentas periódicas iguales es: También podemos reducir la expresión del Valor Actual de una serie de rentas periódicas iguales, utilizando el mismo método: Sacando factor común de R: La razón es ahora y el resultado final: 28 - III WOLTERS KLUWER

29 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo EL CASO DE LAS RENTAS PERIÓDICAS CRECIENTES Puede darse la posibilidad de que, aunque las rentas periódicas sean distintas, éstas estén relacionadas entre sí en función de una tasa de crecimiento constante, es decir, que R 2 = R 1 (1+c); R 3 = R 1 (1+c) 2 y así sucesivamente, siendo c la tasa de crecimiento. En este caso, los numeradores de la fórmula del valor actual neto estarían relacionados exclusivamente con R 1 y c quedando la expresión de la siguiente forma: Ésta es una serie de razón cuya suma, si el tipo de interés es mayor que la tasa de crecimiento, puede expresarse como: EL CASO DE LAS RENTAS PERIÓDICAS PERPETUAS Nos resta por analizar el caso de rentas periódicas iguales (o que crecen a una tasa) que se producen indefinidamente a lo largo del tiempo. No le extrañe esta posibilidad. A principios de siglo eran corrientes las emisiones de deuda pública que no tenían fecha para la devolución del principal y por tanto pagarían intereses eternamente. El cálculo del valor actual de este tipo de rentas puede hacerse, utilizando las fórmulas anteriores con otro enfoque. Nuestra fórmula para el Valor Actual de rentas igual es: Vamos a suprimir el factor común y a expresar la relación como una diferencia entre dos divisiones: Eliminemos ahora, donde se puede, el (1+i) n del numerador y del denominador: Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 29

30 CONSULTOR PARA LA DIRECCIÓN FINANCIERO-ADMINISTRATIVA Introduzcamos ahora la posibilidad de que el número de rentas periódicas n tienda a infinito. Entonces el término tenderá a ser cero y, por tanto, el valor actual de infinitas rentas periódicas será: El mismo planteamiento se puede aplicar a las rentas periódicas que crecen indefinidamente a una tasa constante. Permítanme una vez más que les exhorte a confiar en que los cálculos se han realizado correctamente. El valor actual de rentas periódicas crecientes perpetuas, cuya tasa de crecimiento es inferior al tipo de interés, se expresa como sigue: APLICACIÓN PRÁCTICA: VALORACIÓN DE RENTAS PERÍÓDICAS PERPETUAS Y CRECIENTES Vamos aplicar estos conceptos para determinar el valor actual de las acciones de una empresa de la cual se tiene la siguiente información: Valor de la renta periódica e infinita: 25 por acción. Tipo de interés de referencia: 7%. Aplicando los conceptos anteriores tendríamos: En el caso de que esta renta periódica creciese de forma indefinida a una tasa constante «c» de un 3%, el valor actual de la misma sería: 5. LOS TIPOS DE INTERÉS DE REFERENCIA EN EL MERCADO FINAN- CIERO El tipo de interés de las operaciones financieras puede ser fijo, variable o mixto: El tipo de interés fijo no varía a lo largo de la vida de la operación y permite conocer con certeza los intereses que se van a pagar en cada período. Se puede 30 - III WOLTERS KLUWER

31 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo aplicar tanto a préstamos como a depósitos. A este respecto, mientras que en España se considera una operación de préstamo a tipo fijo a aquella cuyo tipo de interés es constante hasta el vencimiento; en otros países europeos se denomina igualmente a tipo fijo cuando éste se mantiene constante durante los 2 o 3 primeros años del préstamo, aunque posteriormente sea variable. El tipo de interés variable depende de la variación del tipo de referencia sobre el que se haya establecido -al que suele añadirse un diferencial- y, por tanto, supone una revisión periódica según se contemple en el contrato. Cuando se aplica en operaciones de préstamo no permite conocer cuál va a ser el valor futuro de los pagos, ya que la variación del índice de referencia tiene el efecto de que el prestatario ve reducidos sus pagos cuando el índice baja, pero aumentan cuando éste sube. La principal ventaja de este tipo de interés es su adaptación a las condiciones de los tipos de mercado. El tipo de interés mixto consiste en que los primeros años, o sólo el primer año del préstamo se aplica un tipo fijo, mientras que, posteriormente, se aplica un tipo variable. Como se ha indicado anteriormente, en algunos países esto se considera una operación a tipo fijo. Las modalidades de tipos de interés de referencia son los siguientes: El Indice del Mercado Interbancario Europeo (EURIBOR) o European Inter- Bank Offered Rate se consagra como la principal referencia interbancaria a un año, definido legalmente como la media aritmética simple de los valores diarios de los días con mercado de cada mes del tipo de interés de contado publicado por la Federación Bancaria Europea para las operaciones de depósito en euros a plazo de un año. Se calcula a partir de los precios de oferta de los préstamos de dinero que se dan entre aproximadamente 58 principales bancos europeos. El Índice del Mercado Interbancario de Madrid (MIBOR)(2) o Madrid Inter- Bank Offered Rate, en su base anual (MIBOR a un año), se definió originalmente como la media simple de los tipos de interés diarios a los que se cruzaban operaciones a plazo en un año en el mercado interbancario de depósitos de Madrid durante los días hábiles del mes legal correspondiente. La aparición del EURIBOR no supone la desaparición del MIBOR para los contratos vigentes que hubiesen recogido este índice, pero su calculo varía desde el año 2000 al obtenerse por la media ponderada (y no simple, como antes) del precio del cierre del mercado interbancario español los días que se publique, precio que (2) El MIBOR a un año sigue siendo publicado por el Banco de España, aunque la Orden Ministerial de 1 de diciembre de 1999 modificó su fórmula de cálculo. Ha dejado de tener la consideración de tipo oficial de referencia del mercado hipotecario desde el 1 de enero de 2000, pero mantiene su carácter oficial para las operaciones formalizadas antes de esa fecha. Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 31

32 CONSULTOR PARA LA DIRECCIÓN FINANCIERO-ADMINISTRATIVA será sustituido por el Euribor los días que no exista referencia en el mercado español. Los tipos diarios son los tipos medios ponderados por el importe de las operaciones realizadas a plazo de un año ese día. El Índice de la Confederación Española de Cajas de Ahorros (CECA) se define como el 90%, redondeado a octavos de punto, de la media simple de dos magnitudes que son: a) la media aritmética de los préstamos personales formalizados mensualmente por plazos superiores a un año e inferiores a tres años; y b) la media aritmética de los préstamos con garantía hipotecaria para la adquisición de vivienda libre formalizados mensualmente por plazos de tres o más años. Los datos utilizados para elaborar estas medias son las tasas anuales equivalentes (TAE) ponderadas por sus principales, comunicadas al Banco de España mensualmente. El Índice de la deuda pública viene dado por el tipo de rendimiento interno de la deuda pública de dos a seis años negociada en el mercado secundario. Este tipo es el resultado de la media simple de los rendimientos internos medios diarios registrados en los seis meses que preceden a la publicación del índice. Esta deuda pública debe ser emitida por el Estado, y debe tratarse de valores con tipo de interés fijo contratados a tipos de mercado (sin considerar operaciones cruzadas). El Índice de Referencia de los Préstamos Hipotecarios de Bancos (IRPHB) resulta de la media de los tipos de interés medios ponderados éstos por los principales de las operaciones de préstamo con garantía hipotecaria de plazo igual o superior a tres años, para adquisición de vivienda libre, que hayan sido contratadas o renovadas por el conjunto de bancos en el mes a que se refiere el tipo publicado. Los referidos tipos de interés medios que se utilizan son las tasas anuales equivalentes (TAE) declaradas al Banco de España por el conjunto de los bancos, e incluyen las comisiones aplicadas. El Índice de Referencia de Préstamos Hipotecarios de Cajas (IRPHC) se determina de forma equivalente al anterior, pero en este caso considerando a las cajas de ahorro y no a los bancos. El Índice de Referencia de Préstamos Hipotecarios del conjunto de Entidades (IRPHE) se determina también de forma equivalente a los índices anteriores, pero considerando tanto a los bancos como a las cajas y a las sociedades de crédito hipotecario. Utilizando alguno de estos índices como referencia, las entidades que conceden los préstamos añaden lo que se denomina un diferencial, que puede ser positivo, negativo o nulo y que se expresa en puntos o fracciones de puntos (así, por ejemplo, una préstamo cuyo tipo de interés se obtiene anualmente mediante el EURIBOR + 0,85%) III WOLTERS KLUWER

33 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo GLOSARIO Interés simple Es la aplicación del tipo de interés al principal durante cada período considerado Esto quiere decir que sólo el principal produce intereses y no los intereses generados en cada período. Interés compuesto Es la aplicación del tipo de interés al principal durante cada período considerado y a los intereses que se van produciendo en esos períodos. Esto quiere decir que no sólo el principal produce intereses, también lo hacen los propios intereses. Tasa Anual Equivalente (TAE) Es el resultado de convertir una tasa no anual en una anual equivalente aplicando el tipo de interés compuesto. Tipos de interés de referencia o tipo de interés original Tipo de interés al que se puede realizar inversiones y que sirve para comparar los rendimientos de oportunidades de negocio alternativas. Capitalización. Proceso financiero a través del cual todos los capitales generados en distintos momentos en un período de tiempo determinado se refieren a una misma base temporal, concretamente se refieren al último período fijado en dicho horizonte temporal. Actualización Proceso financiero a través del cual todos los capitales generados en distintos momentos en un período de tiempo determinado se refieren a una misma base temporal, concretamente se refieren momento actual, al presente. Descuento financiero Proceso financiero a través del cual todos los capitales generados en distintos momentos en un período de tiempo determinado se refieren a una misma base temporal, concretamente se refieren al inicio del período fijado en dicho horizonte temporal. Valor actual Es el valor en el momento presente de una renta futura si le aplicamos el tipo de interés de referencia. También podríamos definirlo como el inverso del valor futuro. Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 33

34 CONSULTOR PARA LA DIRECCIÓN FINANCIERO-ADMINISTRATIVA Valor futuro Valor que tendrá en el futuro una cantidad determinada de dinero si la invertimos hoy a un tipo de interés compuesto. Renta Es una sucesión de capitales que han de hacerse efectivos en sucesivos periodos de tiempo III WOLTERS KLUWER

35 Capítulo III. El valor del dinero en el tiempo CHECK - LIST La combinación entre el tipo y la tasa de interés produce uno de los más importantes descubrimientos matemáticos de todos los tiempos: el tipo de interés compuesto. La diferencia entre el interés simple y el compuesto es que los réditos del primero no producen intereses adicionales y los del segundo sí. Esta aparente sutileza influye poderosamente sobre el valor futuro de una cantidad presente como podemos ver en el siguiente ejemplo. Supongamos que podemos colocar una cantidad de 100, durante 50 años al 10%. El valor futuro dependerá de si los intereses se reinvierten o no. Veamos el resultado. Con interés simple VF = 100 x (1 + 0,1 x 50) = 600 Con interés compuesto VF = 100 x (1 + 0,1)50 = ,08 Esto significa que la composición de intereses multiplica el dinero más de cien veces, mientras el interés simple sólo lo hace por seis. Diferencia notable podríamos decir. El Valor Futuro aumenta, sin límite, si incrementamos el tipo de interés y el número de años de la inversión. Pero, cuando incrementamos el número de períodos de composición manteniendo el número de años, el Valor Futuro crece hacia un límite. Hace unos años los bancos norteamericanos entraron en una guerra de captación de pasivo con el señuelo de que componían los intereses en un período más corto que sus competidores y que, por tanto pagaban más intereses. Se empezó componiendo los intereses de un año cada seis meses, luego trimestralmente, más tarde diariamente. Todo acabó cuando todos los bancos pagaban intereses compuestos continuamente, puesto que nadie podía ya incrementar la riqueza de los depositantes por esa vía. El Valor Actual es un concepto abstracto que proviene de otro más intuitivo que es el valor futuro. Entendemos fácilmente que una cantidad invertida hoy será mayor en el futuro dependiendo del tipo de interés y del tiempo transcurrido. Pero no es tan evidente que de hoy tenga un Valor Actual de 9.000, por que las hemos invertido mal. Si nos ofrecen las opciones de invertir al 10% o al 15% todos escogeremos la que nos hace más ricos. Esto significa que la alternativa del 10%nos hace más pobres, puesto que en el futuro tendremos menos dinero y, consecuentemente, seremos más pobres hoy si nos decidimos por ella. Lo que determina el Valor Actual es cuánto más pobres somos hoy por haber tomado esa decisión. Cuando hablamos de tipo de interés nos referimos normalmente a tipos de interés anuales. No obstante, sabemos que un 5% pagadero semestralmente es más que un 10% pagadero anualmente por la composición de intereses. Julio 2009 E - 28 WOLTERS KLUWER - III - 35

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