TEMA. Leyes de capitalización. [3.1] Cómo estudiar este tema? [3.2] Introducción a las finanzas. [3.3] Operaciones de capitalización
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- Carmelo Cabrera Salas
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1 Leyes de capitalización [3.1] Cómo estudiar este tema? [3.2] Introducción a las finanzas [3.3] Operaciones de capitalización [3.4] Tipo nominal y TAE TEMA
2 Esquema TEMA 3 Esquema
3 Ideas clave 3.1. Cómo estudiar este tema? Para estudiar este tema debes leer los capítulos 1 y 2 (páginas 11-46) del manual de la asignatura Fundamentos y Práctica de las Matemáticas Financieras de Miguel Córdoba Bueno. El objetivo principal de este capítulo es introducirnos en los conceptos básicos de las matemáticas financieras a través de los fundamentos de valoración de los activos financieros, incluyendo conceptos financieros fundamentales tales como el valor temporal del dinero, las operaciones financieras y los tipos de interés. Una vez adquiridos estos conceptos iniciales, analizaremos las operaciones de capitalización simple y compuesta así como la conceptualización y obtención de las tasas anuales nominales y equivalentes. El presente tema se estructura en tres apartados fundamentales: Introducción a las finanzas Operaciones de capitalización Tipo nominal y TAE 3.2. Introducción a las finanzas Cuando hablamos de finanzas pensamos en hechos referidos al dinero: préstamos, intereses, inversiones, planes de pensiones, etc. En todos estos elementos financieros siempre existen dos variables comunes: El capital, que indica el importe de los fondos que intervienen en una operación y están sujetos a derechos y obligaciones. El tiempo, durante el cual el capital anterior es objeto de los derechos y obligaciones anteriormente indicados. Por lo tanto, cuando hablamos de fenómenos financieros nos estamos refiriendo a fenómenos en los que el capital y el tiempo interactúan dentro del mismo hecho. TEMA 3 Ideas clave
4 Matemáticamente representaremos ambas magnitudes en un eje de coordenadas en el que el tiempo se representará en el eje de las abscisas y el capital en el de ordenadas: C i (C i, t i ) t i Pudiendo simplificarse su representación sobre la recta real: C 0 C 1 C 2 C n t 0 t 1 t 2 t n Magnitudes básicas Como hemos indicado anteriormente, el tiempo es un factor fundamental al comparar capitales. No es lo mismo disponer de un determinado capital ahora que dentro de un año, ya que de disponer del capital hoy mismo, podríamos invertirlo y obtener un rendimiento durante un periodo determinado. Para definir el valor temporal del capital recurriremos a su coste de oportunidad de mantenerlo ocioso. Y dicho coste vendrá determinado por el tipo de inversión y por el periodo de la misma. Para poder cuantificarlo recurriremos a las leyes financieras, las cuales tendrán en consideración dos reglas básicas: En un mismo instante temporal, tendrá mayor valor el capital más elevado. Ante capitales iguales, es más rentable el más próximo. De donde se deriva que: Los capitales no iguales en distintos momentos temporales no son directamente comparables. TEMA 3 Ideas clave
5 Operaciones financieras Cuando hablamos de finanzas nos referimos a conceptos relacionados con el dinero y en la que dos sujetos económicos lo intercambian. El sujeto que cede el capital adquirirá el carácter de acreedor y el sujeto que lo recibe el de deudor. Asimismo, denominaremos prestación a la aportación del capital mientras que a su devolución se le denominará contraprestación. A todos estos intercambios monetarios les denominaremos operaciones financieras. Pero, cómo se comporta el capital a lo largo del tiempo? Para analizar este comportamiento estudiaremos las leyes financieras, las cuales nos permitirán analizar la evolución de los capitales en función del tiempo, o lo que es lo mismo, entenderemos por ley financiera la función matemática que nos permitirá valorar capitales en diferentes instantes de tiempo. Es decir, para un determinado capital, valorado en un tiempo, la ley financiera, nos permitirá estimar su proyección en otro instante temporal. Pudiendo representarlo gráficamente como: C t P s Observemos que el punto de valoración temporal puede ser tanto mayor como menor que el instante. Esto nos llevará a dos casuísticas diferenciadas: En el caso particular en el que, la ley financiera se denominará Ley Financiera de Capitalización. C t P s En el caso contrario en el que, la ley financiera se denominará Ley Financiera de Descuento. P s C t TEMA 3 Ideas clave
6 Las operaciones financieras las clasificaremos de acuerdo a diferentes criterios: A la naturaleza de los capitales. Al número de capitales. A los derechos y obligaciones derivados. Al plazo de la operación. Tipos de interés Cuando se realiza una inversión es porque se considera que se va a obtener un determinado beneficio. Pero, cómo se estipula ese beneficio? Como indicábamos anteriormente, denominamos coste de oportunidad al valor de mantener un capital ocioso durante un periodo determinado de tiempo. Pero este coste de oportunidad variará en función de la situación específica del mercado en el que se realiza la inversión y de la situación financiera del sujeto inversor. Como punto de referencia, consideraremos que tanto la rentabilidad como el riesgo de la inversión son variables directamente proporcionales. Es decir, a mayor riesgo de la inversión, mayor rentabilidad. Si consideramos que la menor rentabilidad la proporciona un mercado totalmente líquido y sin riesgo, será este mercado el que nos proporcione un tipo de interés mínimo que usaremos como punto de referencia para el resto de las inversiones. De este modo, una determinada inversión ofrecerá un interés real que será la diferencia entre el interés obtenido y el interés mínimo de referencia Operaciones de capitalización Como hemos estudiado anteriormente, todas las Leyes Financieras de Capitalización proyectan capitales financieros hacia el futuro obteniendo cuantías superiores que difieren de la inicial en los intereses generados en el periodo de cálculo. C F C 0 t 0 t TEMA 3 Ideas clave
7 Veremos que según el sistema de capitalización utilizado, dichos intereses variarán y darán lugar a distintas proyecciones financieras de un mismo capital inicial. Por lo que partimos de la idea de que el capital final o proyección financiera será igual al capital inicial más los intereses generados. Pasemos al análisis de las distintas Leyes. Capitalización simple El sistema de Capitalización simple se usa principalmente para operaciones con duraciones menores a un año. Este sistema no capitaliza los intereses generados durante el periodo de cálculo y no integra al capital final la reinversión de dichos intereses. Estudiaremos esta ley aplicada a un solo periodo de duración inferior al año. Expresando gráficamente el esquema anterior en formato lineal tendremos: C 0 t 0 C F t Definimos como el interés total obtenido en la operación de capitalización simple: Considerando que el interés total se incrementa de forma lineal a lo largo del periodo de tiempo, podemos calcular la pendiente de la curva, por el cociente: Identificamos dicha pendiente como el tipo de interés unitario para la capitalización simple. De este modo, podemos expresar el interés total obtenido,, en función de dicho interés unitario,, del capital inicial,, y del período de la inversión: Hemos definido como el tipo de interés unitario, con lo que podemos interpretar la diferencia temporal como un número determinado,, de periodos idénticos normalizados con respecto a la unidad temporal en la que está expresado el interés unitario. Es decir: TEMA 3 Ideas clave
8 Con lo que obtenemos: Y substituyendo en la expresión del interés total obtenemos la expresión de cálculo de la capitalización simple: O lo que es lo mismo: Capitalización compuesta El sistema de capitalización compuesta, a diferencia del de capitalización simple, se utiliza principalmente en operaciones con un plazo de inversión superior al año. Este sistema contempla la capitalización de los intereses generados durante los periodos que componen el plazo de la operación. Los intereses generados se van acumulando al capital existente al inicio de cada periodo y se capitalizarán hasta el inicio del periodo siguiente a la tasa o tipo de interés correspondiente en cada uno de los periodos. C m C m-1 C 2 C 1 C 0 t 0 t 1 t 2 t m-1 t m En este esquema se muestra la evolución del capital inicial durante la vida de la operación, en el que vemos cómo va aumentando dicha cuantía en los distintos puntos de valoración,,,... respecto del anterior. C 0 C 1 C 2 C m-1 C m t 0 t 1 t 2 t m-1 t m i 1 i 2 i m TEMA 3 Ideas clave
9 Para ver cómo se produce la evolución del capital en el caso de la capitalización compuesta aplicaremos la expresión de la capitalización simple para cada uno de los periodos temporales, de manera que el capital inicial de cada periodo sea igual al capital final del anterior. De este modo obtendremos: Y substituyendo los sucesivos valores intermedios del capital en la fórmula del capital final obtendremos una expresión del tipo: Con lo que se obtendría la expresión matemática generalizada para el cálculo de la capitalización compuesta de una determinada operación: La expresión anterior puede simplificarse si consideramos diversos escenarios. En primer lugar, consideremos que los periodos temporales son homogéneos, es decir,, con lo que la fórmula sería: TEMA 3 Ideas clave
10 Igualmente podemos considerar que el tipo de interés va a permanecer constante durante todo el periodo de la operación,, con lo que el productorio quedaría sustituido por un exponencial: Finalmente, en el caso más particular en el que los periodos temporales representen una anualidad, : Que representa la expresión matemática para el cálculo de la capitalización compuesta más utilizada en el día a día financiero. Al igual que en la capitalización simple, podemos calcular los intereses generados por la operación como la diferencia del capital resultante menos el capital inicial: En donde substituyendo se obtiene la expresión general del interés compuesto: Asumiendo todos los supuestos anteriormente expuestos la expresión se simplifica en: TEMA 3 Ideas clave
11 3.4. Tipo nominal y TAE Vamos a realizar una comparación de las dos leyes de capitalización, en su versión más comúnmente utilizada, igualando ambas expresiones: Y para un número de periodos idénticos,, se obtiene: La anterior igualdad tan sólo se verifica para los valores de y. O lo que es lo mismo, coinciden en el origen y en la finalización del primer periodo. Sin embargo, podemos comprobar que para valores de 1 la ley de capitalización simple genera más intereses que la ley de capitalización compuesta, invirtiéndose la diferencia para valores de 1. Es por este motivo que habitualmente se aplica la ley de capitalización simple para periodos impositivos inferiores al año y la ley de capitalización compuesta para periodos superiores. Si dividimos un periodo determinado en subperíodos y pretendemos obtener un mismo capital final, tendremos que calcular cuál es el interés compuesto que genera el mismo capital que el interés simple durante ese determinado periodo: De donde se obtiene que: Y: TEMA 3 Ideas clave
12 Denominamos al interés como el tipo de interés equivalente para dicho periodo y cuyo tipo de interés nominal vendrá definido por: Basado en estos conceptos y a través de una normativa del Banco de España, circular 8/90 de 1990 (apartado 10, norma octava), aparece la Tasa Anual Equivalente (T.A.E.). En esta circular el Banco de España pretende dotar de homogeneidad y transparencia a las relaciones entre los clientes y las entidades bancarias estableciendo una formulación matemática homogénea para el cálculo del tipo de interés de las inversiones financieras. La Tasa Anual Equivalente representa el interés efectivo de un producto financiero en forma de tanto por ciento anual, considerando no sólo el interés nominal del producto sino también los gastos y/o comisiones bancarias y el plazo de dicha operación. En otras palabras, la Tasa Anual Equivalente es un tipo de interés que en capitalización simple generaría los mismos intereses que la operación original en un periodo anual. TEMA 3 Ideas clave
13 Lo + recomendado Lecciones magistrales El valor temporal del dinero En esta lección magistral, el profesor Ruíz Cueva realiza una definición de valores actual y futuro de rentas, préstamos, etc. El vídeo está disponible en el aula virtual No dejes de leer Operaciones financieras: leyes de capitalización Muy recomendable la lectura de la introducción y la parte correspondiente a las leyes de capitalización de los capítulos 1 y 2. Aquí podrás encontrar conceptos básicos de finanzas e información sobre los tipos de interés. Aparecen descripciones básicas sobre los tipos de interés simple y compuesto, fijo y variable, nominal y efectivo, así como T.I.R y T.A.E. La lectura está disponible en el aula virtual o en la siguiente dirección web: TEMA 3 Lo + recomendado
14 No dejes de ver Matemáticas financieras Serie de clases magistrales sobre matemáticas financieras impartidas por el profesor Xavier Puig, de la Universitat Pompeu Fabra de Barcelona. Los vídeos están disponibles en el aula virtual o en las siguientes direcciones web: Introducción a las finanzas: Operaciones financieras: Tasa interna de rentabilidad: Tasa Anual Equivalente: TEMA 3 Lo + recomendado
15 + Información A fondo Interés simple e interés compuesto Artículo de César Aching Guzmán en el que explica las aplicaciones de los intereses simples y compuestos para el cálculo de los valores actuales, tasas equivalentes y descuentos comerciales. El artículo está disponible en el aula virtual o en la siguiente dirección web: Webgrafía Guía de matemáticas financieras Esta web te ofrece información sobre lo que es una operación financiera, capitalización simple y descuento comercial, constitución, préstamo y amortización de capitales y los tipos de interés equivalentes. TEMA 3 + Información
16 Introducción a las matemáticas financieras Página web en la que encontrarás explicaciones muy sencillas sobre las matemáticas financieras (interés, rédito y capital, amortización de préstamos, anualidad de capitalización, etc.). Aquí también tienes información sobre matemáticas básicas, determinantes y matrices, trigonometría, estadística, etc. Proyecto Descartes: aritmética financiera Información sobre capitalización simple y compuesta, préstamos, hipotecas y planes de pensiones. tm#intro TEMA 3 + Información
17 Curso de matemáticas financieras Temario sobre un curso de matemáticas financieras. Diccionario de economía Diccionario sobre términos y conceptos económicos. TEMA 3 + Información
18 Diccionario financiero Aquí podrás encontrar definiciones de distintos términos financieros. Curso de capitalización financiera Temario sobre un curso de finanzas y capitalización compuesta de la editorial McGraw- Hill. Bibliografía ÁLVAREZ, A. Matemáticas financieras. Editorial McGraw-Hill Interamericana BONILLA, M., IVARS, A., MOYA, I. Matemática de las operaciones financieras. Editorial Internacional Thomson Editores CANTÚ, J. Matemáticas financieras. Editorial Limusa TEMA 3 + Información
19 DÍAZ, A., AGUILERA, V. Matemáticas financieras. Editorial McGraw-Hill Interamericana MINER, J. Curso de matemática financiera. Editorial McGraw-Hill Interamericana VALLA, M.C., CRUZ, S. Introducción a las matemáticas financieras. Ediciones Pirámide VIDAURRI, H.M. Matemáticas financieras. Editorial Thomson Learning TEMA 3 + Información
20 Actividades Lectura: Tratos y contratos de mercaderes y tratantes El autor Tomás de Mercado, uno de los pilares fundamentales de la llamada Escuela de Salamanca, plantea en esta obra Suma de tratos y contratos una aproximación moral, ética, filosófica y razonada a través de la ley natural de la incipiente actividad económica en la España del siglo XVI. En esta actividad debes leer el libro Suma de tratos y contratos y realizar un trabajo de elaboración propia en el que contextualices tanto al autor como a su obra investigando sobre el entorno socio-económico de la época, así como la importancia de la llamada Escuela de Salamanca, y deberás resumir además la opinión del autor en los siguientes aspectos: Valor de los bienes Teoría cuantitativa Cambios, préstamos y usuras Arrendamientos Monopolios Restitución Extensión del trabajo: entre 10 y 15 folios a doble espacio. El libro Suma de tratos y contratos se encuentra en el aula virtual o en la siguiente dirección web: Suma-de-tratos-y-contratos1.pdf Trabajo: T.A.E. En esta actividad deberás investigar la normativa del Banco de España referente a la T.A.E., explicar sus principales características, exponer la fórmula para su obtención y realizar algún ejemplo práctico de libre elección de cálculo de T.A.E. TEMA 3 Actividades
21 Test 1. Para un determinado capital, valorado en un tiempo, del que se obtiene un rendimiento en otro instante. Qué ley financiera se aplica si? A. Ley Financiera de Capitalización B. Ley Financiera de Descuento C. Ley de Capitalización simple D. Depende del plazo de la operación 2. Para un determinado capital, se obtendrá un mismo rendimiento bajo las Leyes de Capitalización Simple y de Capitalización Compuesta cuando: A. El periodo de la inversión sea inferior a dos años B. El periodo de la inversión sea superior a un año C. El periodo de la inversión sea de un año D. Nunca 3. Para una determinada inversión de 9.000,00 al 3,00% anual durante 3 meses, qué intereses generará? A. 66,57 B. 66,75 C. 67,50 D. Faltan datos 4. Si se invierten 1.000,00 a un año a un interés simple anual del 2,50%, y la tasa de interés libre de riesgo es del 2,25% con un IPC acumulado durante el periodo del 1,8%, de qué capital se dispondrá al final del periodo? A ,00 B ,00 C ,50 D ,50 TEMA 3 Test
22 5. Si invertimos un capital de 3.000,00 a 3 años, con un tipo de interés del 4%, qué diferencia obtendremos aplicando las leyes de capitalización simple y compuesta? A. No hay diferencia B. 14,59 mayor con la Ley de Capitalización Simple C. 374,59 mayor con la Ley de Capitalización Compuesta D. 14,59 mayor con la Ley de Capitalización Compuesta 6. Cuál es el valor futuro de 900,00 dentro de 620 días a un interés del 3,50%? A. 954,16 B. 954,28 C. 953,51 D. 963,00 7. Si invertimos ,00 a un tipo de interés anual del 3% durante 2 años: A. Obtengo ,00 usando capitalización compuesta B. Obtengo más beneficio si no reinvierto los intereses C. Obtengo ,00 al final de los dos años, reinvirtiendo los intereses D. El beneficio depende de la T.A.E. de la operación y no se nos ha facilitado 8. Según la normativa del Banco de España de 1989, la Tasa Anual Equivalente: A. Incluye los gastos de la operación que el cliente pueda evitar B. Se basa en un cálculo anualizado del interés simple C. Incluye los gastos por seguros o garantías D. Ninguna de las anteriores 9. Qué es más rentable, recibir los intereses devengados al 3% de forma trimestral o recibirlos de forma anual, siempre y cuando pueda reinvertirlos al mismo tipo en ambos supuestos? A. Es mejor recibirlo de una forma anual B. Es indiferente C. Dependerá del periodo de la inversión D. Es mejor recibirlo trimestralmente TEMA 3 Test
23 10. La T.A.E. es una rentabilidad que: A. Supone siempre un plazo anual B. Supone reinversión de los intereses C. Es comparable entre inversiones de distintos plazos D. Todas las anteriores TEMA 3 Test
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