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1 Finanzas Pública MÓDULO 1: CAPITALIZACION SIMPLE 1) Hallar el interés que produce en 7 años un capital de prestado al 9% simple anual. R: euros 2) Calcular el interés de una capital de colocados al 7% anual durante 8 quincenas. R: 700 3) Calcular el interés de una capital de colocado al 10% durante 9 meses R: ) Averiguar el capital que presté al 8% simple anual durante tres años, si me han pagado de interés R: ) Hallar durante cuántos años presté al 15% anual simple, si el interés total recibido ha sido de R: 1 año 6) Hallar durante cuánto tiempo, expresado en días, presté un capital de al 12% anual simple, si el interés ha sido de año natural. R: 53 días 7) Hallar el tanto unitario anual simple al que presté durante 10 meses un capital de , si me pagaron de interés. R: 4% anual 8) Hallar el montante que alcanzó un capital de invertido al 8% anual durante 3 años. R: E 9) Hallar el capital que se prestó al 9% simple durante 5 años, si se sabe que alcanzó un montante de R: ) Hallar el capital que invertido al 9% anual simple durante 5 semestres alcanzó un capital final de R: ) Hallar el tanto de interés unitario a que se prestó un capital de durante 5 años, si el montante que alcanzó fu de R: 3 12) Hallar durante cuántos años se prestó un capital de , al 10% simple anual, sabiendo que alcanzó un montante de R: 1 año 13) Hallar el interés de un capital de invertido al 2% trimestral durante 2 años. R: ) Hallar el interés de un capital de n invertido de 3% cuatrimestral durante 10 meses. R: ~ 15) Hallar el interés de un capital de invertido al 1 % durante 5 semestres. 1

2 R: ) Determinar el capital final alanzado por un capital de colocado al 7% de interés simple anual durante 2 años, 3 meses y 20 días. R: ) Un capital de invertido al 4,5% de interés simple semestral ha producido un interés de Cuántos días duró la inversión? R: 115 días 19) Qué capital debemos invertir hoy al 6,5% de interés simple anual para que su montante dentro de 6 meses sea ? R: ) Averiguar el tanto de interés simple anual pagadero por semestres que produce un plazo fijo de colocado en una entidad financiera, si ésta paga en concepto de interés al semestre. R: 10 % anual 21) Cierto capital, colocado al 9% de interés simple anual durante 2 años, se convirtió en Cuál fue el interés que produjo? R: ) Prestamos hoy 19/10/04, , al 8% de interés simple anual, y al cabo de cierto tiempo nos devuelven por capital e intereses Por cuánto tiempo lo hemos prestado? R: Día:? (3 años y 3 meses) 23) A qué tanto de interés simple bimestral se invirtió un capital de si al cabo de 3 años y medio alcanzó un capital final de ? R: 1 % bimestral 24) Qué capital hemos de invertir un capital al 6% de interés simple anual para que el interés cuatrimestral sea de 500? R: ) Durante cuánto tiempo hay que invertir un capital "C" al 5% de interés simple anual para que su montante sea el doble de dicho capital? R: 20 años 26) Comprobar que en capitalización simple, el tanto mensual del 1% es equivalente al tanto semestral del 6% considerando que se invierte un capital de durante 2años. R: ) Determinar el tanto de interés simple quincena) equivalente al 6% semestral? R: 0,5 % quincenal 28) Hallar el interés que produjo un capital de invertido al 0,09 simple anual durante 13 cuatrimestres. R: ) Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que los intereses producidos por una capital Co sean iguales a dicho capital, si se invierte el 2% de interés simple semestral? R: 25 años 30) Averiguar el interés simple mensual al que se invirtió un capital durante 5 años y 2 cuatrimestre, sabiendo que alcanzó un capital final al cuádruplo de dicho capital? R: 4,41 % 31) Un capital invertido durante dos años y medio produjo un interés igual al 20% de 2

3 dicho capital. A qué tanto de interés simple semestral se invirtió? R: 4% semestral 32) Calcular durante cuántos trimestres estuvo invertido un capital de que alcanzó un capital final de colocado al 2% de interés simple bimestral. R: 10 trimestres 33) Enunciar y resolver un problema cuyo planteamiento sea: = x (1+0,10*15) R: ) Dos personas invierten cada una durante un cierto tiempo. Una al 4% de interés simple anual y la otra al 10% de interés simple anual. Al cabo de cuánto tiempo el capital final de la segunda es doble de la primera? R: 50 años 35) Hallar el capital que invertido al 1% mensual durante 20 días produjo un interés comercial superior al natural en 273,97 R: ) Si la diferencia entre el interés comercial y el interés natural de un préstamo es de 180 y se sabe que el capital prestado fue de y el tiempo 50 día a qué tanto % anual se prestó? R: 18,92 % 37) Si la diferencia entre el interés comercial y el interés natural de un préstamo realizado durante 300 días a un 9% anual es de & cuál es el capital inicial y cuál el montante? R: Co: y Cn: ) Hallar el tanto % trimestral al que se invirtió un capital durante 15 cuatrimestre si produce un interés igual a su cuarta parte? R: 1,25% trimestral 39) Durante cuántos bimestres se invirtió un capital de al 6% semestral si ~_ alcanzó un montante de ? R: 30 bimestres 40) A qué tanto % cuatrimestral se prestó un capital durante 1 año y 7 meses si se produjo en dicho tiempo un interés igual a la quinta parte de dicho capital? R: 4,21% cuatrimestral 41) Un capital invertido durante 3 meses al 12% simple anual produjo de interés Durante cuánto tiempo habrá que invertirlo al mismo tanto % para que produzca un interés igual a dicho capital? R: 8 años y 4 meses 42) Un capital se invirtió al 5% trimestral simple durante 3 años. Después, el montante obtenido se invirtió durante 22 meses al 3% bimestral simple, y el montante alcanzado fue de Cuál fue el capital invertido al principio? R: ) Un capital de se invierte al 4% bimestral y otro de la misma cantidad al 2% cuatrimestral Cuántos semestres durará la inversión para que el interés obtenido por el segundo sea inferior en al obtenido al principio. R: 8 meses 44) Un capital de se invierte al 3% bimestral, y otro de la misma cuantía al 2% semestral. Cuántos años durará la inversión para que el montante obtenido por el primero sea el doble al obtenido por el segundo? R: 10 años 45) Los intereses producidos por un capital invertido al 4% cuatrimestral son inferiores en a los que produce dicho capital al mismo tanto durante un tiempo supero en un semestre. Hallar 3

4 dicho capital. R: ) Un apersona coloca durante 5 meses los 2/3 de su capital al 1,75% semestral y el resto al 1% trimestral. Si la diferencia de intereses es de 150. cuál es ese capital? R: ) Averiguar el capital que invertido al 3% bimestral durante 7 meses produjo un interés superior en al que habría producido colocado al 3% trimestral durante el mismo tiempo. R: ) La diferencia entre el interés comercial y el natural de un préstamo hecho al 1% mensual durante 350 días fue de 80. Averiguar el interés natural, el interés comercial y la cuantía del préstamo. R: Ic: 5.840, In: y C: ) Averiguar durante cuántos días se prestó un capital de al 14% de interés comercial y el natural es de 115. Determinar, así mismo, dichos intereses. R: n: 120 días, Ic:8.395 y/n: ) Dos capitales se colocan a interés simple durante dos años y medio: - El primero se invierte al 6% semestral - El segundo, que excede al primero en al 8% cuatrimestral Si la suma de los capitales finales al cabo del tiempo señalado alcanza las cuáles fueron los capitales invertidos? R: e y

5 MÓDULO 1: CAPITALIZACION COMPUESTA 1) Calcular el Capital final que se obtiene al invertir al 6% de interés compuesto anual durante 3 años. Cuánto daría en la capitalización simple? R: ) El Ayuntamiento de Coruña compró un participación en un Fondo de inversión por hace 4 años. Si se ha revalorizado en un 8% anual acumulativo, cuánto vale hoy? R: ) Calcular el capital que, invertido al 4% de interé compuesto anual durante 10 años, alcanzó al cabo de los mismos un capital final de euros. R: ) Averiguar el precio que un artículo tenía hace 4 años, si ha crecido a razón de un 6% anual acumulativo y hoy vale R: ) Calcular el tiempo que estuvo invertido un capital de al 6% de interés compuesto anual, si se obtuvo un montante de R: 10 años 6) Un capital de invertido al 7% interés compuesto anual alcanzó un montante de Cuánto tiempo estuvo invertido? R: 5 años 7) Calcular el tanto unitario de interés compuesto anual al que se invirtió un capital de durante 4 años, sabiendo que alcanzó un capital final de R: 0,05 8) Calcular el Capital final que se obtiene al invertir un capital de al 7% de interés compuesto anual durante 8 años R: ) Calcular el capital que invertido al 6% interés compuesto anual durante 9 años, alcanzó al cabo de los mismos un capital final de R: ) Determinar el capital que la Diputación de Cádiz se invirtió hace 5 años en un Fondo de inversión que ha capitalizado al 8% de interés compuesto anual, si su capital final hoy asciende a R: ) Determinar cuánto recibirá en concepto de sueldo dentro de 10 años una persona que cobra hoy al mes, si cada año se le aumenta en un 6% anual acumulativo R: ) Averiguar el sueldo mensual que tenia un funcionario hace 10 años, si hoy cobra mensuales ha capitalizado a razón de un 6% anual 13) Determinar el Capital final de un capital de invertido durante 6 años a los siguientes tipos de interés compuesto: 5

6 a) 8% anual capitalización anual acumulativo. b)4% semestral capitalización semestral Comparar y comentar los resultados obtenidos R: a) y b) AMORTIZACCIÓN DE PRÉSTAMOS 14) UNICAJA concede al Ayuntamiento de Tarifa un préstamo de euros al 9,5% anual de interés, para amortizar junto con los intereses al cabo de 2 años. Averiguar el importe que deberá entregar el Ayuntamiento transcurrido dicho plazo. SELECCIÓN DE INVERSIONES 15) El Ayuntamiento de La Línea desea instalar una piscina cubierta en la Barriada El Junquillo y recibe las dos ofertas siguientes: Proveedor "1 ": Pagar al contado Proveedor "2": Pagar al contado y al cabo de 1, 2 y 4 años , y , respectivamente. Averiguar cuál es la oferta más interesante si la valoración se hace al 10% anual ' S CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL NETO (VAN) DE UNA INVERSIÓN 16) Averiguar el VAN de una inversión de la Diputación de Cádiz en el municipio de Chiclana que supone los siguientes desembolsos: en el momento cero al cabo de un año y medio a los dos años de iniciada la inversión Cobros esperados son: a los dos años del inicio a los tres años y medio Tanto de valoración: 9% anual compuesto 17) La Consejería de Cultura de la Junta de Andalucía decide elegir entre dos posibles inversiones aplicando el criterio del VAN. Dichas inversiones presentan las siguientes características: Inversión "A" Desembolsos: en el momento cero al cabo de 2 años al cabo de 3 años Los cobros esperados son: al cabo de un año al cabo de 3 años al cabo de 4 años al cabo de 7 años Inversión "B" Desembolsos: en el momento cero al cabo de 1 años al cabo de 2 años Los cobros esperados son: al cabo de 2 años al cabo de 3 años al cabo de 5 años 6

7 al cabo de 7 años Tanto de valoración: 9% compuesto anual 18) Averiguar el VAN de una inversión del Ayuntamiento de Los Barrios que supones los siguientes: a) Desembolsos: en el momento cero al cabo de un año y medio a los dos años de iniciada la inversión b) Cobros esperados son: a los dos años del inicio a los tres años y medio Tanto de valoración: 9% anual compuesto 19) El Ayuntamiento de Algeciras tiene tres ofertas para la compra de diverso equipamiento deportivo: Opción A : Pago de euros al contado Opción B : Pago de euros dentro de 3 años Opción C : Pago de euros dentro de 2 años y euros dentro de 3 años Cuál de las tres ofertas es más ventajosa para el comprador? Valoración a interés compuesto del 5 por 100 anual. CÁLCULO DEL TANTO DE RENDIMIENTO INTERNO (TRI) O RENTABILIDAD FINANCIERA DE INVERSIÓN El tanto de rendimiento interno, representado generalmente por las siglas TRI o TIR, es aquel tanto interés compuesto anual que iguala os cobros actualizados a los pagos actualizados de una inversión. En el caso de que la empresa pública pueda elegir entre dos o más ventajosa aquella cuyo tanto de rendimiento interno sea mayor. 20) Averiguar la TIR de una inversión que supone un desembolso de en el momento cero y reportará unos cobros de dentro de 4 años. R: 11,87 % 21) La Empresa Municipal de la Vivienda desea elegir entre dos posibles inversiones aplicando el criterio TRI. Dichas inversiones presentan las siguientes características: - Inversión "A": Desembolso de en el momento cero y un cobro esperado de al cabo de 4 años. - Inversión "B": Desembolso de en el momento cero y un cobro esperado de al cabo de 5,5 años. CÁLCULO DE LA TASA ANUAL EQUIVALENTE (TAE) DE UNA OPERACIÓN FINANCIERA. Las siglas TAE quiere decir Tasa Anual de Equivalente. Generalmente aparece la TAE como información en las operaciones financieras, y pretende dar idea de tanto real o efectivo al que resulta la operación. Es preciso aclarar que una cosa es que un banco conceda un préstamo al Ayuntamiento de Algeciras, por ejemplo de por el que va a exigir la devolución del capital junto con sus intereses al 10% anual compuesto dentro de 2 años por lo que el Ayuntamiento tendrá que devolver: C 2 = (1,10) 2 = euros 7

8 = (1,10) 2 y otra distinta que, para conceder ese préstamo, e cobre, por ejemplo: - Comisión de estudio de Comisión de apertura de 500 Por tanto, a pesar de que el préstamo lo concedan al Ayuntamiento al 10% del millón, si tengo en cuenta los gastos añadidos, será distinta del 10%. 22) La empresa publica "Iniciativa por Jimena" desea elegir entre dos formas de invertir un exceso de tesorería aplicando el criterio de la TAE. Dichas inversiones presentan las siguientes características: - Inversión "A" : Entrega de en Caja S. Fernando en el momento cero, que le devolverá al cabo de 2 años. - Inversión "B": Entrega de en UNICAJA en el momento cero, y ésta le entregará en ese momento una cubertería valorada en y le entregará al cabo de 2 años. EQUIVALENCIA DE TANTOS EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Dos tantos son equivalentes cuando aplicado al mismo capital inicial durante el mismo tiempo, producen el mismo interés o se obtiene el mismo capital final o montante. Partiendo de esa definición, vamos a ver qué relación deben guardar i e i k para que sean equivalentes en capitalización compuesta. E capital final, según lo visto en los apartados anteriores, puede expresarse de la siguiente maneras: C n = C (1+i) n C n = C o (1 + k ) nk Como el capital final ha de ser igual en las dos expresiones, resulta: C (1+i) n = C o (1 + k ) nk Como el capital inicial, según la definición, también es igual en las dos expresiones, simplificando nos queda: (1+i) n = (1 + k ) nk Sacando la raíz n-ésima en ambos miembros, resulta: n n ( 1 + i) = n ( 1 + i) de donde: 1+i - (1+ik) k Despejando obtenemos el valor de i en función de i k de la forma: 1=(1+I k ) k -1 Para determinar el valor de i k en función de i partiendo de [1] calcularemos la raíz k- ésima en ambos miembros de la igualdad, con lo que resulta: ~Í1+i =~(1+ik) k. 8

9 de donde De la observación de las expresiones anteriores nteriores se deduce que en Capitalización compuesta, no se da la proporcionalidad de tantos que se daba en la capitalización simple. Quiere ello decir que no es lo mismo, por ejemplo, hacer una inversión al 5% semestral capitalización semestral que al 10% anual capitalización anual, como puede comprobarse de la comparación de este ejemplo: "Calcular el Capital final que se obtiene al invertir un capital de durante 4 años: a) a un 5% de interés compuesto semestral, capitalización semestral b) a un 10% de interés compuesto anual, capitalización anual. 23) Determinar el tanto de interés compuesto anual equivalente al 5% semestral 24) La Diputación de Huelva dispone de y tiene tres ofertas para invertirlas: a) Al 3% nominal capitalizable trimestral b) Al 12% anual compuesto, capitalizable con año c) Al 1% mensual capitalizable por meses Averiguar razonablemente el orden de preferencia de cada oferta recibida 25) Dentro de 5 años el Ayuntamiento de Coín debe cambiar el camión de la basura y por la evolución del mercado calcula que tendrá que pagar por el camión nuevo , además de entregar el viejo. Si hoy dispone de a qué tanto anual compuesto mínimo tendrá que depositarlas en UNICAJA para que cuando llegue el momento del cambio de camión pueda disponer del importe presupuestado. 26) - La Mancomunidad de Municipios tiene pendiente 3 deudas de , y que vencen dentro de 1, 3 y 5 años respectivamente. Averiguar el capital que deberá pagar la Mancomunidad dentro de 4 años para cancelar las tres deudas conjuntamente, suponiendo que la valoración se realiza al 7% anual compuesto. R: ) El Patronato de Cultura desea comprar unas carpas portátiles para los conciertos de verano. Recibe 2 ofertas que son financieramente equivalentes al 6% anual compuesto Oferta "A": Pago de , y una cantidad x, al cabo de 4, 5 y 7 años respectivamente. Oferta "B": Pago único de al cabo de 6 años Averiguar el importe a pagar en la oferta "A" a los 7 años. 28) La Fundación "Solidaridad" recibe una donación de con el que decide realizar las siguientes oper c ones: a) Deposita en B~~to una determinada cantidad al 8% de interés compuesto anual y al cabo de 5 años, con el capital final obtenido, salda una deuda que tiene con dicho vencimiento, de b) Comprar un inmueble por que vende al cabo de 5 años a un 9

10 precio equivalente al montante de invertir el importe de comprar del inmueble 6% de interés compuesto anual durante esos años. c) Invierte el resto a plazo dijo durante 5 años a un 4% de interés simple semestral. Los intereses los va gastando a medida que los cobra. Determinar: 1 ) Cuánto invirtió en a) 2 ) Cuánto invirtió en c) y qué intereses semestrales obtiene. 3 ) Cuánto dinero tendrá al cabo de 5 años si realiza todas las operaciones descritas y sólo dichas operaciones. R: 1 ): , 2 ): y ): "'" ` 10

11 RENTAS. GENERALIDADES Concepto.- Una renta es un conjunto de capitales financieros con vencimiento equidistantes en el tiempo. El concepto de renta exige, por tanto: - La existencia de varios capitales - Que los vencimientos sean equidistantes, es decir, que los capitales venzan cada año, cada mes, cada trimestre, cada dos años, etc. Pero siempre con la misma periodicidad. - 1) Calcular el valor actual de una renta anual, constante, de 4 términos de 7000 euros cada uno, valorada al 3% de i. compuesto, capitalización smestral 2) El Sr. Pérez debe pagar al Ayuntamiento de Logroño al final de cada año durante 10 años y le propone sustituir dichos pagos por uno sólo. Cuánto deberá pagar hoy para que no exista lesión de intereses para ninguna de las dos partes, si se considera un tanto para la valoración de la renta de 5,25% de i. Compuesto anual? 3) Nos concede hoy Unicaja un préstamo de un millón de euros al 2 % de i. compuesto anual, y nos exige la devolución del mismo en 8 pagos iguales a realizar al final de cada año de los 8 años siguientes a la concesión del préstamo. Cuál será el valor de cada anualidad? 4) La Universidad de Murcia deposita en CajaMurcia al 8% anual compuesto, para recibir al final de cada año y durante 15 años, una cantidad constante. Averiguar el importe de la anualidad que tendrá derecho a percibir. 5) Calcular el tanto de i. compuesto anual al que nos ha prestado un millón de euros si hemos de amortizarlo mediante 5 anualidades vencidas de cada una. 6) Varios coches de bomberos para el Parque de la Mancomunidad del Municipios de Campo de Gibraltar cuestan al contado pero nos dejan pagarlos mediante 10 pagos anuales pospagables de cada uno. Calcular el tanto de i. compuesto anual al que nos resulta la financiación de forma aplazada. R: 8,49 % 7) Una institución financiera concede a la Mancomunidad de Municipios de la Costa del Sol un préstamo de para amortizar mediante una renta anual pospagable de Si el tanto de la operación es el 8% anual compuesto, cuántas anualidades habrá que pagar para amortizar dicho préstamo? R: 15 términos 8) La Fundación Provincial de Deporte deposita hoy en CajaSol un capital de y ésta se compromete a entregarnos al final de cada año euros Si el tipo de interés de la operación es el 4% semestral, capitalización anual, se pide: Cuántas anualidades tendremos derecho a percibir, y en qué momento recibiremos el último pago? 11

12 9) Calcular el capital constituido o valor final que se obtiene haciendo imposiciones constantes anuales postpagables de 5.000, durante 5 años, si capitalizan al 7% de i. compuesto anual. R: ) Si el Ayuntamiento de Castellar deposita en OpenBank al final de cada año, qué cantidad podremos retirar al cabo de 15 años siendo el tipo de interés del 6,5% compuesto anual? R: ) Calcular la cantidad que deberemos depositar al final de cada año en Unicaja, 6% de i. compuesto anual, capitalización trimestral si deseamos reconstruir un capital de en 10 años. 12) Calcular el tanto de interés anual compuesto al que capitaliza una institución financiera en la que, haciendo imposiciones de al final de cada año y durante 15 años, se logra constituir un capital de R: 4,62 % 13) La Diputación de Córdoba tiene vehículos que deberá reemplazar dentro de varios años y ha estimado que el valor de los vehículos en el momento del año serán de Si para hacer frente a dicho pago decide depositar al final de cada año en una institución financiera que capitaliza al 6% compuesto anual cuántas imposiciones deberá hacer para conseguir el importe de la máquina en el momento de reponerla? R: 8 años, 4 meses y 22 días 14) Calcular el valor actual y final de una renta de 12 términos de cada uno si se valora al 8%. 15) Calcular a qué tanto de interés anual se valora una renta contante de euros y 10 términos, si su valor actual es de R: 0,06 14) Un inversor realiza en una institución financiera imposiciones de al final de cada año. Qué tanto de valoración se aplicó a dichas imposiciones si el valor que logró reconstruir en 15 años ha sido: a) b) (42) La Mancomunidad de Municipios compra hoy unas instalaciones de reciclado de basura a pagar de la siguiente forma: al contado - Al cabo de 6 meses, Al cabo de 1 año, en el momento de la puesta en funcionamiento, A partir de la puesta en funcionamiento, y durante 3 años 12

13 consecutivos, al final de cada año. Supuesto un tanto de valoración para todas las operaciones del 10% efectivo anual compuesto, se pide: a) Calcular cuánto costaría la máquina pagada al contado b) Suponiendo que en el momento de pagar el millón de euros de la puesta en funcionamiento quiere cancelar las deudas que quedan pendientes, qué cantidad necesitará para saldarlas? R: (a) , (b) (43) Se desea constituir en 18 años un capital de haciendo imposiciones constantes, anuales, al final de cada año, en un Fondo que ofrece capitalizar. - desde hoy hasta el final del año 4, al 8% - desde el comienzo del 5 hasta el final del 12, al 9% - desde el comienzo del 13 hasta el final del 18, al 10% Cuál será la anualidad de constitución? R: (44) Una entidad pública deposita en una entidad financiera al 8% de interés compuesto anual. Al cabo de 5años, con el montante constituido, compra una finca de la que se obtiene un rendimiento al final de cada año del 20% de su valor. 13

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