TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1.- INTRODUCCIÓN

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1 TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1- INTRODUCCIÓN Llamamos capializació compuesa a la ley fiaciera segú la cual los iereses producidos por u capial e cada periodo se agrega al capial para calcular los iereses del periodo siguiee, y así sucesivamee, hasa el momeo de cierre de la operació fiaciera E la prácica fiaciera, la capializació y la acualizació compuesa, se usa, sobre odo, e aquellas operacioes fiacieras co ua duració superior a u año 2- CÁLCULO DEL CAPITAL FINAL O MONTANTE Pariedo de la defiició aerior, la capializació compuesa cosise e u proceso de acumulació de los iereses al capial para producir cojuamee uevos iereses Si llamamos: C 0 : Capial iicial : Duració de la operació i : Tipo de ierés aual e ao por uo C : Capial fial o moae Año que rascurre Capial al prcpio del periodo Ierés del año Capial fial al cabo de los años rascurridos 1 C 0 C 0 i C 0 + C 0 i C i C i + C i i 2 C i C i i 3 C i 2 C i 2 i Sacamos facor comú a C i C i 1 + i C i 2 + C i 2 i Sacamos facor comú a C i 2 C i 2 C i 3 C i i C i 1 + C i 1 i C i 1 C i 1 i Sacamos facor comú a C i 1 C i i C i 1

2 El capial fial o moae e capializació compuesa es: C = C i Siedo 1 + i el facor de capializació compueso, que os permie rasladar capiales a u momeo poserior e el iempo Gráficamee, podemos represear el cálculo del moae: 3- CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DEL MONTANTE C = C i CAPITAL INICIAL C 0 = C 1 + i Que ambié podemos expresar C 0 = C 1 + i 1 Siedo: 1 + i 1 el facor de acualizació compueso que permie rasladar capiales a u momeo aeriore el iempo C = C i TIEMPO C C 0 = 1 + i ; log C C 0 = log 1 + i log C log C 0 = log 1 + i = log C log C 0 log 1 + i TANTO C = C i ; C C 0 = 1 + i ; C C0 = 1 + i i = C C 1 2

3 4- CÁLCULO DEL INTERÉS I = C C o I = C i C 0 I = C i 1 5- COMPARACIÓN ENTRE LA CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTA Vamos a comparar el moae e capializació simple, co el moae e capializació compuesa, para el caso paricular e que C 0 = 1: Para = 0 E cap simple: C = i C = 1 E cap compuesa: C = 1 + i 0 C = 1 Para = 1 C 1+i C = C i C = C i E cap simple: C = i C = 1 + i 1 E cap compuesa: C = 1 + i 1 C = 1 + i 0 1 Nº de periodos E el siguiee ejemplo se calcula el moae para res periodos disios Observa cómo el moae obeido e capializació simple es superior al obeido e capializació compuesa para periodos de iempo iferiores al año (6 meses), para periodos iguales al año, ambos moaes coicide y, si embargo para periodos de iempo superiores al año (5 años) el moae obeido e capializació compuesa es superior al obeido e capializació simple Tiempo 6 meses 1 año 5 años Capializació simple C = C i C = ,5 0,05 C = C = ,05 C = C = ,05 C = Capializació compuesa C = C o 1 + i C = ,05 0,5 C = ,51 C = ,05 1 C = C = ,05 5 C = ,15 3

4 6- TANTOS EQUIVALENTES EN INTERÉS COMPUESTO Al realizar los cálculos maemáicos e las operacioes fiacieras, el ipo de ierésy la duració de la operació fiaciera debe esar medidos e la misma uidad de iempo Recuerda el cocepo de aos equivalees que se vio e referecia al ierés simple: so aos equivalees aquellos que aplicados a u mismo capial iicial durae el mismo periodo de iempo produce los mismos iereses o geera el mismo moae Imagiemos ua operació e capializació compuesa e años, siedo: = iempo e años i = ipo de ierés aual Imagiemos ahora la misma operació durae el mismo período de iempo, pero e ua uidad emporal meor (meses, rimesres, ), siedo: m = años expresados e ua uidad emporal disia al año i m = ipo de ierés expresado e la uidad de frecuecia m Igualemos ambos moaes: C i = C i m m C = C i C = C i m m 1 + i = 1 + i m m 1 + i = 1 + i m m 1 + i = 1 + i m m Esa es la ECUACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES, que permie deducir el valor de i e fució de i m y viceversa: i = 1 + i m 1 Para calcular i m sólo hemos de operar e la ecuació de aos equivalees: m 1 + i m = 1 + i m m 1 + i 1 m 1 = i m E capializació compuesa los aos equivalees o so proporcioales, como ocurría e la capializació simple Calcula el moae de um al 8% de ierés semesral al cabo de 2 años: i 2 = 0,08 C = C i m m , = u m i = 0,16 C = C i ,16 2 = u m Por ao el 0,08 semesral o equivale al 0,16 aual Cálculo del ao aual equivalee al semesral: i = 1 + i m 1 = 1 + 0, = 0,1664 C = C i C = , = ,49 u m 4

5 7- TANTOS NOMINALES Dada la fala de proporcioalidad co que e el ierés compueso se relacioa los aos equivalees, surge u uevo cocepo: el ao omial Se raa de u ao eórico que se obiee muliplicado la frecuecia de capializació (m) por el ao de frecuecia o equivalee (i m ): j m = m i m De al forma que e la prácica comercial, hablar de u 8% omial capializable por semesres, es lo mismo que decir que capializamos al 4% semesral La palabra omial o es idispesable, eederíamos lo mismo diciedo simplemee: u 8% capializable por semesres De forma que: U j m = 0, 08, sería lo mismo que u i 2 = 0, 04 y ese sería equivalee al i = 0, 0816, al como podemos comprobar si aplicamos la ecuació de aos equivalees: 1 + i = 1 + i m m i = 1 + i m 1 = 1 + 0, = 0, 0816 Podemos calcular i e fució de j m Tambié podemos obeer j m e fució de i Recordemos que i = 1 + i m m 1 Si susiuimos i m por su valor: i m = j m m Recordemos que j m = m i m Si susiuimos i m por su valor: i m = 1 + i 1 m 1 i = 1 + j m m m 1 j m = m 1 + i 1 m 1 8- LA TAE La TAE iea ser ua uidad homogéea de medida para que, pricipalmee los pequeños iversores pueda comparar operacioes fiacieras Esa asa icluye el efeco que deermiados gasos como las comisioes, ere oros, produce e el cose o redimieo fial de la operació El objeivo de la TAE es mosrar el verdadero cose o redimieo de ua operació, eiedo e cuea los gasos asociados a la misma La asa aual equivalee se expresará e ao por cieo y referida al año Cuado e ua operació o exise gasos, la TAE coicidiría co el ierés efecivo aual i 5

6 TANTO ANUAL EFECTIVO (TAE) i TANTOS EQUIVALENTES DE FRECUENCIA m i m TANTOS REALES Esá regulado por el baco de España Es el ierés efecivo aual e ao por cie, que iguala las disposicioes co los pagos (por amorizacioes, comisioes, gasos, ec) Cuado e ua operació fiaciera o exise gasos la TAE coicidirá co el ierés efecivo aual i Es u ao real referido a disios periodos del año y equivalee al ao aual: i m = 1 + i 1 m 1 i = 1 + i m 1 Que podemos obeer a ravés de la ecuació de aos equivalees: 1 + i = 1 + i m m TANTO NOMINAL j m TANTO TEÓRICO Eseórico porque o se usa para el cálculo, si embargo es de gra uilidad pues permie obeer u ao fraccioado co gra facilidad y rapidez, pues se defie como: Es decir: i m = j m m j m = m i m, lo cual os resula para calcular el ao aual i = 1 + j m m m 1 COMPARACIÓN ENTRE LOS TRES TIPOS DE INTERÉS: Si relacioas bie odo lo viso o e será difícil comprobar que: i m j m i TAE 6

7 EJEMPLO: U iversor ha deposiado 5000 e u ovedoso isrumeo fiaciero que le ha ofrecido su baco, segú el cual la eidad le asegura u ierés del 3% aual e ua iversió de 600 días Calcular: 1 Cuáo obedrá al fial de la operació? 2 Cuál será la TAE de ese produco si NO se cobra igua comisió? 3 Cuál será la TAE de ese produco si se cobra u 1% de comisió e la amorizació? 1 Para calcular el efecivo que obedrá ese iversor, lo primero que debemos hacer es calcular el ipo de ierés diario y después calcular el moae de la iversió durae 600 días i 365 = 1 + i = 1 + 0, = 0, C = C i 365 = , = 5248,95 2 El cálculo de la TAE se reduce a calcular el redimieo o cose de la operació fiaciera Si o hay pagos por comisioes u oros cocepos, la TAE es el ierés efecivo aual e ao por cieo: Capial iicial: 5000 e el momeo 0 Capial fial: 5248,95 dero de 600 días Calculemos ahora el ipo de ierés de esa operació 5248,95 = i , = 1 + i ; , = 1 + i i 365 = 5248, = Que e érmios auales, al como debe expresarse la TAE, será: i = 1 + i = 1, = 0, % 3 Al exisir ua comisió, NO coicidirá la TAE y el ierés efecivo aual: Capial iicial 5000 e el momeo 0 Capial fial: 5248, ,95 0,01 = 5196,47 e el momeo 600 Calculemos ahora el ipo de ierési 365 = 5196, = 0, que e érmios 5000 auales será: i = 1, = 0,02372 = 2, 37% 7

8 A coiuació, os rascribo u exraco de u aiguo úmero de la Revisa Diero y Derechos (OCU), que me pareció ieresae Qué es?, qué icluye? Aparece cuado os habla del redimieo de ua iversió o de lo que va a cosar u présamo Pero, e qué cosise? El Baco de España obliga a las eidades fiacieras a que iforme de la TAE e la publicidad que hace de sus producos, porque la TAE es el úico dao que iee el cosumidor para poder comparar y valorar diferees iversioes o diferees présamos a u mismo plazo Al corario que el ipo de ierés omial, que ambié suele aparecer e la publicidad, la TAE iee e cuea las comisioes y alguos gasos que os va a cobrar, así como la frecuecia de los pagos (cada mes, al rimesre, cada año ) por lo ao, es u dao más exaco que el ipo de ierés omial (recuerda que el omial es u ao eórico que os sirve para calcular los aos fraccioados e capializació compuesa) Veamos alguos ejemplos: Do Prósperoiee uos igresos bruos al año de euros Le sobra algo de diero para iverir y ha viso la publicidad de u depósio mesual de ING co ua TAE del 7% Próspero echa cueas y se dice: si iviero 1000, al fial del año me va a dar 1070 No esá mal como redimieo, voy a iverir Pero las cosas o so a secillas como las ve él: 1 E la lera pequeña de la publicidad se idica que el depósio o es reovable, es decir, el diero de los iereses o se reiviere e el mismo depósio sio e ua cuea co ua TAE del 4% 2 E realidad, la TAE de ua iversió iforma del redimieo que se obiee pasado u año Si eer e cuea i las reecioes i los impuesos Las cueas que Próspero debería echar so: Tras el primer mes de la iversió, descoada la reeció: I = , = 5,65 Caidad a la que habrá que reirar el 19% de reeció: 5,65 0,19 5,65 = 4,58, caidad que será la que pase a la ora cuea, cuya TAE es del 4% Si iees paciecia para efecuar el reso de los cálculos podrás observar que los redimieos que D Próspero va a recibir o será 70, sio basae meos, lo cual o se correspode co ua TAE del 7%, realmee A D Foruaa, ambié le sobra algú diero para iverir Se decaa por el depósio semaal reovable de PATAGON, que iee ua TAE del 7% E lo que NO se ha fijado Foruaa es e que el carácer reovable del depósio iee ua paricularidad: rascurrida ua semaa, el diero se saca del depósio y se deposia e ua cuea asociada durae u día; si, e ese día, el diero o se uiliza, el depósio se reueva por ora semaa, y así sucesivamee Pero, durae ese día el diero o recibe iereses del depósio Por lo ao, de maeerse las codicioes del depósio durae u año eero, cosa que o suele ser así, habría, al meos 52 días, durae los cuales, la iversió de Foruaa o habría sido remuerada Resulado: la TAE real será más baja del 7% auciado Eso os lleva a pesar que al decidir e qué produco iverir uesro diero, o os debemos dejar llevar, si más, por el aucio de ua TAE ala Debemos comprobar si lascodicioes de la iversió se va a maeer e el iempo, así como el raamieo fiscal que iee dicha iversió 8

9 CONCLUSIÓN:que la TAE sólo sirve para comparar diferees iversioes que sea a u mismo plazo, que ega el mismo raamieo fiscal y uas codicioes que se vaya a maeer durae el plazo previso D Feliciao, ha decidido comprarse u piso Mirado los ahorros que iee, piesa que odavía va a ecesiar uos Su baco le ofrece u présamo hipoecario a 10 años co las siguiees codicioes: ipo de ierés omial del 5% y TAE del 5,46% Como o le parece mal la TAE decide aceparlo Lo que o sabe Feliciao es que e el cálculo de la TAE de los présamos, segú esablece el Baco de España, sólo se icluye los gasos que el cosumidor paga a la eidad fiaciera, pero o TODOS los demás que ifluye, y mucho, e el cose real de présamo, a saber: la asació de la vivieda, las miuas del oario y del regisrador, la gesoría, los seguros que exige las eidades (icedio, amorizació de présamos), si le añadimos odos esos gasos (puede llegar a sumar uos 1900 ) Co odo ello, la TAE será casi medio puo más de lo auciado CONCLUSIÓN: Uiliza la TAE sólo para comparar présamos que sea a u mismo plazo: las comisioes hace que la TAE sea diferee segú el plazo para el que se calcula Tampoco podemos comparar la TAE de u présamo fijo co la de u présamo variable, ya que esa úlima será siempre ua TAE eórica, porque o hay maera de saber, a priori, cuál va a ser la evolució del ídice de referecia Tampoco es comparable la TAE de u présamo persoal co la de uo hipoecario El hipoecario iee muchos más gasos que o se icluye e el cálculo de la TAE legal Los siguiees daos se ha exraído de ua publicidad real de CCM (Caja Casilla La Macha) de hace uos años, cuado los bacos aú cocedía présamos CRÉDITOFÁCIL CCM Para lo que quieras Todo a Cie Co Crédio Fácil CCM por sólo 100 al mes podrá dispoer de hasa 6000 euros para lo que quiera La forma más rápida y secilla de hacer realidad odos sus deseos EJEMPLO PARA UN PRÉSTAMO DE 6000 EN 12 CUOTAS ANUALES TAE icluye comisió de aperura 2% y comisió de esudio 0,5% EJEMPLO: IMPORTE 6000 PLAZO 1 AÑO 2 AÑOS 3 AÑOS 4 AÑOS 5 AÑOS 6 AÑOS INTERÉS NOMINAL 6,20% 6,20% 6,20% 6,20% 6,20% 6,20% TAE 11,54% 9,06% 8,20% 7,77% 7,51% 7,33% CUOTA MENSUAL 516,95 266,46 183,08 141,46 116, Observa cómo la TAE va dismiuyedo a medida que se alarga la fecha de devolució del présamo, ello es porque los gasos que icluye se repare ere más iempo 9

10 8- CAPITALIZACIÓN COMPUESTA EN TIEMPO FRACCIONARIO Hasa ahora hemos esudiado la capializació compuesa para el supueso de que el iempo fuera u úmero exaco de años o m pares del mismo: C = C i ó C m = C i m m Pero, qué ocurre cuado el iempo comprede u úmero eero de años más ua fracció o úmero deermiado de fraccioes más ora fracció disia? E esos casos hay varias solucioes posibles: 81- CONVENIO EXPONENCIAL: Segú el cual se acuerda uilizar la capializació compuesa para el periodo eero y para el fraccioario De esa forma si supoemos que h es la pare fraccioaria y el úmero eero de años: C (Expo ) = C i +h 82- CONVENIO LINEAL: Segú el cual se acuerda uilizar la capializació compuesa para el periodo eero y la capializació simple para el periodo fraccioario, de forma que: C (lieal ) = C i 1 + i m h EJEMPLOS RESUELTOS: 1-CÁLCULO DEL MONTANTE: Calcula el moae que se obiee al iverir um al 6% de ierés compueso aual durae 4 años y 3 meses Coveio expoecial: C = C i +h = , = 19215,03 u m Coveio lieal: C = C i 1 + i m h = , , = 19221,21 u m Si e fijas, observarás que el C lieal > C expoecial Lo cual es perfecamee lógico si eemos e cuea lo dicho co aerioridad, que para periodos iferiores al año el ierés simple es mayor que el compueso 10

11 2-CÁLCULO DEL TIEMPO: Durae cuáo iempo se ha iverido u capial de para obeer u moae de 15286,32, siedo el ierés del 9% CONVENIO EXPONENCIAL: C (expo ) = C i +h C (expo ) +h = 1 + i C o log C (expo ) log C 0 = + h log 1 + i + h = log C expo log C 0 log 1 + i + h = log 15286,32 log log 1,09 + h = 2, Es decir: 2 años y 190 días CONVENIO LINEAL: C (lieal ) = C i 1 + i m h Primero calculamos el iempo segú el coveio expoecial y luego susiuimos la pare eera del iempo e la expresió aerior para calcular los días E uesro caso, la pare eera era 2 años: 15286,32 = , , h 15286, , = 0, h h = 186,68 días Es decir: 2 años y 186 días 11

12 3-CÁLCULO DEL TANTO: Calcular el ipo de ierés, al que se colocó u capial de euros, si e 15 años, 3 meses y 11 días se covirió e u moae de CONVENIO EXPONENCIAL: C (expo ) = C i +h 15 años más 3 meses y 11 días, so: 15 años más 101 días = i = 1 + i = i CONVENIO LINEAL: C (lieal ) = C i 1 + i m h No podemos despejar la i, pueso que exise ua fució lieal y ora expoecial Lo que haremos será: Iremos aeado hasa ecorar u i 1 iferior al i que buscamos que os proporcioará u moae M 1 meor al que resula de aplicar i Luego ecoraremos u i 2, superioral i buscado y que os proporcioará u moae M 2 superior al que resula de aplicar i i = 0, M 1 = C (li ) C a i1 M 2 = C (li ) C a i2 i 1 i i 2 Queremos calcular la caidad que hay que sumar a i 1 para llegar hasa i Para i 1 = 8%: C 1 = , ,08 = Para i 2 = 8,5%: < La diferecia M 1 = 1280 C 1 = , ,085 = 44989, ,563 > La diferecia M 2 = -1789,563 Llegados a ese puo podemos proceder usado la ierpolació lieal, que o es ora cosa que aplicar la ecuació de ua reca que pasa por dos puos y que e uesro caso supodría usar la siguiee fórmula: i = i 1 + i 2 i 1 M 1 C 2 C 1 0, = , = 8,2084% 12

13 Ó ambié podemos hacer ua simple regla de res, como la siguiee: Si para 0,5 puos de diferecia Los moaes obeidos se Diferecia e: 44989, = 3069,563 X será la caidad a añadir al La diferecia ere el moae que 8% para calcular el i que buscamos buscamos y el obeido co el 8%: = 1280 De maera que X = 1280 o,5 3069,563 = 0,2084% Por ao i= 8+0,2084 = 8,2084% 9- TANTO MEDIO EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Sea los capiales C 1, C 2,, C, iveridos a los aos de ierés simple aual i 1, i 2,, i, durae periodos Llamamos TANTO MEDIO i a aquel que aplicado sobre ese cojuo de capiales durae esos periodos produce el mismo moae o el mismo ierés Si rasladamos ese cocepo eórico a ua expresió maemáica lo que debemos hacer es igualar los moaes o los iereses de ese cojuo de capiales y, pueso podemos elegir, vamos a hacer la demosració igualado los moaes que hace odo el proceso más simple C i 1 + C i C 1 + i = C i + C i + + C 1 + i C h 1 + i h = 1 + i C h 1 + i = C h 1 + i h C h 1 + i = C h 1 + i h C h i = C h 1 + i h 1 C h 13

14 EJEMPLO: Ua persoa iee res iversioes e diferees eidades fiacieras a ierés compueso durae dos años y desea saber cuál es la reabilidad media de las mismas: 8700 al 4% aual, al 5% aual y al 6% aual , , ,06 2 = i i i ,20 = 1 + i , = 1 + i , = i = 0,05119 i = 5,11% 9- EQUIVALENCIA DE CAPITALES Dos capiales C 1 y C 2, que vece e 1 y 2 respecivamee so equivalees, cuado valorados a u mismo ao, e u mismo momeo, iee la misma cuaía Puede plaearse muchos casos, veamos los siguiees ejemplos: 1 Caso e que < 1 < 2 Averiguad si al 12% de ierés compueso aual, so equivalees u capial de um co vecimieo dero de 4 años y oro de um co vecimieo dero de 10 años, e el momeo acual: C C Sabemos que: C = C i de dode: C 0 = C 1 + i = C 1 + i 0 4 años 10 años C = ,12 4 = u m C = ,12 10 = u m Ambos capiales so equivalees e el momeo acual 14

15 2 Caso e que 1 < < 2 Usado los daos del ejemplo aerior, será equivalees los capiales e el momeo 5? C C años 5 años 10 años C = ,12 1 = ,28 u m C = ,12 5 = ,28 u m Ambos capiales so equivalees e el momeo cico 1 Caso e que 1 < 2 < Usado los daos del primer ejemplo, será equivalees los capiales e el momeo 13? C C 0 4 años 10 años 13 años C = ,12 9 = u m C = ,12 3 = u m Ambos capiales so equivalees e el momeo rece Vemos que e los res casos ocurre que C y C so equivalees Eso sucede porque: E capializació compuesa, si dos capiales so equivalees e u momeo, lo so e cualquier oro 15

16 10- SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Queremos susiuir: C 1, C 2,, C, co vecimieos e 1, 2,, por u cojuo de capiialesc 1, C 2,, C, co vecimieos e 1, 2,,, siedo i el ao de ierés Esos dos cojuo de capiales será susiuibles, si so equivalees e momeo acual GRAFICAMENTE: C 0 C 02 C 01 C 0 C 02 C 01 C C 2 C C 1 C 2 C Siedo C 01, C 02,, C 0, los valores acuales de C 1, C 2 y C 3 Siedo C 01, C 02,, C 0, los valores acuales de C 1, C 2 y C 3 La aerior igualdad de valores acuales la podemos expresar de la siguiee forma: C i 1 + C i C 1 + i = C i 1 + C i C 1 + i Que ambié podemos escribir: C i 1 + C i C 1 + i = C i 1 + C i C 1 + i Esa será la ecuació fiaciera que deberá cumplir los capiales reemplazados y los reemplazaes Pariedo de esa ecuació, podemos respoder a preguas como: 1 Capial úico equivalee 2 Vecimieo comú 3 Vecimieo medio Pero debemos eer e cuea lo dicho aeriormee: que, e capializació compuesa si dos capiales so equivalees e u momeo lo so e cualquier oro De ahí que dé lo mismo usar el momeo cero que cualquier oro para efecuar las comparacioes: 16

17 EJEMPLO: Comprueba que los capiales 10000, 5000 y 3300 euros, cuyos vecimieos se produce dero de 1,5, 2 y 4 años respecivamee, so equivalees a los capiales 3500, 4000 y 14280,31 euros, co vecimieo dero de 1, 3 y 5 años si se valora al 10% aual de capializació compuesa Efecúa la comprobació e los momeos cero y cico MOMENTO CERO: Valor acual del PRIMER cojuo de capiales: ,1 1, , ,1 4 = 15054,02 Valor acual del SEGUNDO cojuo de capiales: , , ,31 1,1 5 = 15054,02 Vemos que sus valores acuales coicide, luego so equivalees MOMENTO CINCO: Valor del primer cojuo de capiales e el momeo 5: ,1 3, , ,1 1 = 24244,6 Valor del segudo cojuo de capiales e el momeo 5: , , ,31 1,1 0 = 24244,60 Vemos que sus valores acuales coicide, luego so equivalees 17

18 101- CAPITAL ÚNICO EQUIVALENTE: Podemos expresarlo de la siguiee forma: C k 1 + i k = C i 1 + C i C 1 + i C k 1 + i k = C h 1 + i h C k = C h 1 + i h 1 + i k Que e la prácica, se raduce e lo siguiee: EJEMPLO: Calcula el capial equivalee al cojuo de capiales 2000, 5000 y 3300 euros, co vecimieo dero de 18 meses, 25 meses y 12 meses, sidesea susiuirlos por u capial co vecimieo dero de 14 meses Tao de valoració, el 12% aual C k = , , , = 9795,4267 Que ambié podríamos haber resuelo, pasado el ao aual al mesual y hubiéramos rabajado de la siguiee forma: i 12 = 1 + i = 1, = 0,00948 C k = , , , = 9795,

19 102- VENCIMIENTO COMÚN: El vecimieo comú es el momeo e que u capial es equivalee a oro cojuo de capiales Pariedo de: C k 1 + i k = C h 1 + i h Que ya vimos e el aparado aerior, vamos a calcular k,para ello puedes usar logarimos eperiaos o e base 10, como prefieras: log C k 1 + i k = log log C k k log 1 + i = log C h 1 + i h C h 1 + i h k log 1 + i = log C h 1 + i h log C k k = log C k log C h 1 + i h log 1 + i EJEMPLO: Calcula cuádo será equivalee u capial de euros si se desea que susiuya a res capiales de cuaía 24000, y euros, co vecimieos a los cuaro, cico y seis años, respecivamee Tao de valoració el 5% aual ,05 k = , , ,05 6 (1,05) k = 92873, k log 1,05 = log 0, k = log 0, log 1,05 k = 7,8173 años = 7,

20 Efecivamee puedes comprobar que si valoras TODOS los capiales que queremos susiuir e el momeo 7,8173 años, el valor de los mismos es de euros ,055 3, ,05 2, ,05 1,8173 = , Siedo: 3,8173 = 7, años 2,8173 = 7, años 1,8173 = 7, años 103- VENCIMIENTO MEDIO: Se raa de u caso especial del vecimieo comú dode ocurre que el capial susiuivo coicide co la suma de los capiales a susiuir: C k = C h E cuyo caso: k = log C h log C h 1 + i h log 1 + i 20

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