VECTORES EN EL PLANO. PRODUCTO ESCALAR.

Transcripción

1 UNIDAD DIDÁCTICA 5 VECTORES EN EL PLANO. PRODUCTO ESCALAR. 1º BACHILLER 97

2 OBJETIVOS DIDÁCTICOS: 1. Operr con vectores utilizndo sus coordends y en form gráfic.. Estudir l dependenci e independenci linel entre vectores. 3. Expresr un vector respecto bses distints. 4. Clculr el producto esclr y el módulo de vectores, utilizándolo pr resolver lgunos problems geométricos en el plno. 5. Hllr el ángulo entre dos vectores. CONCEPTOS: 1. Vectores en el plno. Vector fijo y libre.. Operciones con vectores. 3. Dependenci e independenci linel entre vectores 4. Bses de V. 5. Producto esclr: definición, propieddes y expresión nlític. 6. Ángulo entre dos vectores. 98

3 VECTORES EN EL PLANO 1. INTRODUCCIÓN Recordremos de cursos nteriores l noción de vector, tnto fijo como libre. Sbemos que hy conceptos físicos que quedn determindos sólo con un vlor numérico (tempertur, rozmiento ) y que reciben el nombre de mgnitudes esclres. Sin embrgo, otros conceptos como l fuerz que ctú sobre un cuerpo o l velocidd con que se mueve requieren pr su determinción, no sólo de un vlor numérico que determine su intensidd, sino del conocimiento de l dirección en que se reliz dich fuerz y, dentro de es dirección, en cuál de los dos sentidos (vnce o retroceso) ctú. Son ls mgnitudes vectoriles, que se visulizn o representn esquemáticmente trvés de los vectores. Definición 1 : Se llm vector AB l segmento orientdo desde A ( origen) hst B ( extremo). B A Los vectores pueden utilizrse pr representr conceptos físicos como l fuerz. (Supón que estás situdo en el punto B y que tirs de un crro (A) pr trerlo hci ti. No representrís igul es fuerz si fuers tú el que está situdo en A y B fuer el crro). Cd vector fijo AB, demás de origen y extremo const de: ) MÓDULO: longitud del segmento AB. Se escribe AB b) DIRECCIÓN: l de l rect que lo contiene o culquier de sus prlels. c) SENTIDO: el del recorrido desde A hst B. Lógicmente, no pueden comprrse los sentidos de dos vectores que no tengn previmente l mism dirección. Ejemplo: Estos vectores tienen l mism dirección pero distinto módulo y sentido Dibuj dos vectores del mismo módulo y distint dirección. Compr sus sentidos. 99

4 . DEFINICIONES Definición : Se llmn componentes de un vector AB ls coordends de su extremo menos ls de su origen, es decir, si ls coordends de A y B son respectivmente ( 1, ) y (b 1, b ) se cumple que: AB = B - A = (b 1, b ) - ( 1, ) = ( b 1-1, b - ) Ejemplo: Si A(.-1) y B(1,3), el vector AB = (1-, 3-(-1)) = (-1,4) Se puede justificr est firmción con el siguiente rzonmiento: A( 1, ) b AB B(b 1,b ) Se observ en el dibujo que + AB = b, de donde se deduce que AB = b. Como y b son vectores de posición, sus componentes son ls de su extremo, luego: AB = b - = (b 1, b ) - ( 1, ) = ( b 1-1, b - ) que es lo que querímos demostrr. Llmmos vector nulo 0 quel cuyo extremo y origen coinciden. Definición 3 : Dos vectores se dicen equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Si pensmos en todos los vectores equipolentes uno ddo y los considermos un solo vector que puede desplzrse prlelmente sí mismo, estremos nte lo que llmmos VECTOR LIBRE. Definición 4: Se llm vector libre l conjunto formdo por un vector y todos sus equipolentes. Se representn con un letr minúscul, b puesto que no dependen del origen y el extremo. El conjunto de todos los vectores libres del plno se escribe V. 1 (1,1) (,0) (3,1) b (,0) 1 (,0) 3 100

5 Observ en el gráfico nterior que, unque son distintos los orígenes y extremos, l rest de extremo menos origen coincide cundo son el mismo vector libre. Es decir, ls componentes de un vector son únics. Al igul que con los números, los vectores dmiten ls operciones entre ellos, pero verás que unque se sumn y restn con fcilidd y pueden multiplicrse por un número, l división entre ellos no existe como operción, y el producto puede relizrse de dos mners distints: esclr y vectorilmente. Nosotros sólo estudiremos este curso el producto esclr y dejremos pr º Bchiller el producto vectoril. 3. OPERACIONES CON VECTORES 3.1. SUMA/RESTA Ddos los vectores u (,b) y v (c,d) se define su sum como el vector u + v = (+c, b+d) e igulmente se define su rest como el vector u - v = (-c, b-d). Ejemplo: Si u = ( -3,5) y v = (,-) entonces u + v = (-1,3) y u - v = (-5, 7) Los vectores pueden sumrse tmbién gráficmente trvés de l regl del prlelogrmo. Pr ello, se dibujn los dos vectores con el mismo origen y se trz el prlelogrmo que formn. El vector sum será l digonl de dicho prlelogrmo, teniendo como origen el mismo que los vectores sumdos. Es decir, ddos los vectores b su sum + b será: b Pr simplificr este proceso, se puede colocr el origen del segundo vector en el extremo del primero de l siguiente mner: b + b Es evidente que si fuern vectores fijos en vez de libres l sum no podrí relizrse, porque serí necesrio modificr el origen y el extremo de uno de ellos pr colocrlos con el mismo origen y, por ello, no serín los vectores iniciles sino otros distintos los que se estrín sumndo. Est es l rzón por l que no utilizremos nunc vectores fijos, slvo pr definir los libres que sí son operbles. 101

6 L operción rest -b se reliz sumndo l vector el opuesto de b que es el vector de igul módulo y dirección que b y sentido opuesto. 3.. PRODUCTO POR UN Nº REAL Ddos el vector u (,b) y el nº rel k, se define k u como el vector k u =(k,kb) Ejemplo: Si = (-5,) 3 = (-15,6) Podemos deducir de l definición que: 1) El módulo de k es el módulo de k veces, pero qué ps si k es negtivo? Intent escribir un iguldd que relcione k con. Complet: ) L dirección de k es 3) El sentido de k es Pr yudrte pensr, dibuj un vector culquier y multiplíclo por 3 y por -3. Confirm con lgún compñero lo que hs verigudo. Qué ocurre si lo multiplics por k=0? Actividdes 1.- Observ el rombo de l figur y clcul: ) AB + BC B b) OB + OC c) OA + OD A O C d) AB + CD e) AB + AD f) DB - CA D 10

7 .- Ddos los vectores x, y, z, hemos obtenido con ellos los vectores u, v, w y t l relizr ls siguientes operciones: x + y, y +z+x, y - z, z - x - y. Asoci cd expresión su resultdo. y u x z v w t Pr poder multiplicr vectores introduciremos primero lgunos conceptos nuevos. 4. COMBINACIONES LINEALES De l mism mner que podemos formr nuevos colores prtir de lguno ddo, mezclndo ciert cntidd de cd uno, Verde oscuro = 0g. de zul + 5g. de mrillo tmbién podemos obtener nuevos vectores mezclndo cierts cntiddes de otros conocidos: (3,-5) = 3 (1,-3 ) + (0,) Diremos que el vector (3,-5) es un combinción linel de los vectores (1,-3) y (0,). En generl: Definición 5: Ddos los vectores { u, v }, se dice que el vector w es un combinción linel de u y v si existen dos números reles α y β tles que w = α u + β v Gráficmente, si y b son dos vectores de direcciones distints, sus combinciones lineles serín ls digonles de todos los prlelogrmos que se pudiern formr estirándolos y encogiéndolos, ddo que sus productos por números los estirn o encogen en mbos sentidos, y ls sums producen ls digonles. 103

8 b Podrímos firmr que todos los vectores del plno pueden escribirse como combinción linel de u y v si éstos tienen direcciones distints? Y si tienen l mism dirección? Imgin hor cómo serín ls combinciones lineles de un solo vector u. Qué espcio generrín? NOTA: El vector nulo 0 es combinción linel de culquier conjunto de vectores, ddo que α y β pueden ser 0, es decir, 0 = 0 u + 0 v Actividdes 3.- Expres el vector (1,5) como combinción linel de b (3,-) y c (4, - 1 ). 4.- Escribe un vector combinción linel de los vectores (1,3) y (0,), y un vector combinción linel de (3,-1) Definición 6: Se dice que los vectores u y v son linelmente independientes si ninguno de ellos es combinción linel del otro, es decir, si u α v. En cso contrrio, se dice que u y v son linelmente dependientes. 104

9 Ejemplo: los vectores (3,-) y (1,5) son linelmente independientes ddo que l comprobr si (3,-) = α (1,5) obtendrímos que (3,-) = ( α,5 α ) de donde 3 = α y - = 5 α lo que nos drí un sistem incomptible, pues α no puede ser igul 3 y - 5 l vez. Sin embrgo, los vectores (,-1) y (6,-3) son linelmente dependientes porque (6,-3) = 3 (,-1) Gráficmente, si dos vectores en el plno son linelmente dependientes, tienen l mism dirección. Y si son independientes, tienen direcciones distints. Puede hber tres vectores linelmente independientes en un plno? Rzon tu respuest. 5. BASES EN V Definición 7: Dos vectores { u, v } formn un bse de V si: 1) son linelmente independientes ) son un sistem generdor, es decir, culquier otro vector de V se puede escribir como combinción linel de u y v. Volviendo los colores, y como ejemplo comprtivo, podrímos firmr que los colores {rojo, zul, mrillo} formn un bse del conjunto de colores ( de hecho se llmn básicos) y que sus combinciones, genern el resto de colores y no pueden generrse entre ellos ( son independientes). Podrímos entender por bse, un sistem generdor mínimo. Podemos deducir entonces, que culquier pr de vectores independientes de V form un bse, y que, por tnto, hy un número infinito de ells. Destcremos, de entre tods, l bse cnónic B= { (1,0), (0,1) } que es l más utilizd. (Observrás sus ventjs más delnte). Ejemplo: {(0,5),(-1,3)} formn un bse. Compruéblo. Actividd 5.- Cuáles de los siguientes pres de vectores formn un bse? ) (3,-1), (-3,1) b) (,6), (, ) c) (5,-4), (5,4) 3 Definición 8: Se llmn coordends del vector w respecto l bse {u, v } l pr de números reles α y β tles que: w = α u + β v 105

10 Por supuesto, cd vector tiene diferentes coordends en bses distints. Ejemplo: Hll ls coordends del vector (6,-3) en l bse {(0,5),(-1,3)} (6,-3) = α (0,5) + β (-1,3) 6 = -β β = -6-3 = 5 α +3 β -3 = 5 α -18 α =3 Ls coordends son 3 y -6. Actividd 6.- Clcul ls coordends del mismo vector (6,-3) en l bse {(1,1), (,-4)} y en l bse cnónic. Qué observs en est últim bse? Definición 9: Se llm módulo de un vector u su longitud. Se escribe u y se clcul u = + + b siendo (,b) sus coordends en un bse ortonorml. (Entenderás el concepto de bse ortonorml l finl de est págin). Evidentemente, l fórmul se debe l teorem de Pitágors. u (,b) b Ejemplo: u = ( 3,-) u = (-) = 13 Definición 10: Un vector se dice unitrio si tiene módulo 1. Pr convertir un vector en unitrio, bst con dividirlo entre su módulo. Si u = (3,4) tiene módulo 5 ( u = =5 ), su quint prte u u 3 4 = =, u tiene módulo 1. Compruéblo. 106

11 Definición 11: Definición 1: Dos vectores u y v son ortogonles si son perpendiculres. Un bse { u, v } se dice ortogonl si u y v son ortogonles. Un bse { u, v } se dice norml si u y v son unitrios. Un bse { u, v } se dice ORTONORMAL si u y v son ortogonles y unitrios. El ejemplo más utilizdo de ést últim es l bse cnónic B= {(1,0), (0,1)}. 6. PRODUCTO ESCALAR Definición 13: Se llm producto esclr de u y v l nº rel resultnte de multiplicr sus módulos y el coseno del ángulo que formn, es decir, u v = u v cos(u, v ) NOTA: Se entiende por ángulo entre dos vectores, el que v del primero l segundo por el cmino más corto. c b (,b ) = 90º (b, ) = 70º=-90º (, c ) = 180º ( c,b ) = -90 CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN 1. Se llm producto esclr porque el resultdo de multiplicr dos módulos por un coseno es un nº rel.. Si es perpendiculr b ( b ) entonces b = 0 y que cos{ 90 º,70º} = 0. Por el contrrio, si sbemos que b = 0 podemos deducir que o bien y b son perpendiculres (es 0 el coseno) o lguno de los dos es el vector nulo ( es 0 lgún módulo). Por eso podemos firmr que: Dos vectores no nulos son ortogonles su producto esclr es 0 3. ( ) = un vector l cudrdo es igul su módulo l cudrdo y que: ( ) = cos0º = 1 4. Se cumple l propiedd conmuttiv b = b y que: b = b cos(,b ) b = b cos(b, ) 107

12 como los módulos son números reles, cumplen l conmuttiv y los ángulos, unque son opuestos por tener sentidos contrrios, tienen el mismo coseno como y sbemos por l reducción l primer cudrnte. ( cosb = cos(-b) ) 5. Si y b son ortogonles entonces +b = + b y que +b = ( +b ) = ( ) + b + (b ) = + b Intent comprobr que estás nte el teorem de Pitágors. Investig tmbién lo que ocurrirí en cso de no ser perpendiculres y b Gráficmente, se puede interpretr el producto esclr de dos vectores como el producto del módulo de uno de ellos por l proyección del otro sobre él. v u α proy u v Observmos que cos α = proy u v v proy v u = v cos α Si sustituimos en l definición de producto esclr u v = u v cosα obtenemos: u v = u proy v u que confirm lo que hbímos firmdo en un principio. L definición de producto esclr de dos vectores exige, pr que pued plicrse, que se conozcn o puedn clculrse los módulos de mbos vectores y el ángulo que formn. Pero lo hbitul es que los vectores vengn ddos por sus componentes o coordends en un ciert bse. Es por eso que se hce necesrio encontrr otr mner de clculr el producto esclr de vectores prtir de sus componentes. 108

13 7. EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR Sen dos vectores y b y un bse culquier B = {u, v }. Sbemos que y b son combinción linel de los vectores de l bse y, por tnto, tendrán uns coordends respectivs en dich bse. Supongmos que: = 1 u + v y b = b 1 u + b v entonces se cumplirá: b = ( 1 u + v ) (b 1 u + b v ) = = 1 b 1 ( u ) + 1 b u v + b 1 v u + b ( v ) Pr poder desrrollr est iguldd serí necesrio conocer el módulo de los vectores u y v y el ángulo que formn pr poder clculr el producto u v. Si proponemos que l bse B se ORTOGONAL, fvorecerímos este desrrollo, pues l conocer el ángulo entre u y v (90º) podrímos firmr que tnto u v como v u serín igules 0, por tnto, el producto quedrí: b = 1 b 1 ( u ) + b ( v ) = 1 b 1 u + b v consecuenci 3 Si demás proponemos que l bse se ORTONORMAL (vectores perpendiculres y unitrios) el producto lcnzrí su expresión más fvorble en cunto sencillez, pues l ser 1 los módulos de u y v tendrímos que: b = 1 b 1 + b Est fórmul sólo es ciert si l bse es ortonorml; lo que fvorece l elección, si es posible, de l bse cnónic. Ejemplo: (,-5) (-3,-1) = (-3) + (-5) (-1) = = -1 Actividdes 7.- Ddos los vectores u (,3). ) (3u + v ) w v (-3,1) y w (5,) clcul: b) ( u v ) w 8.- Clcul x, de modo que el producto esclr de u (3,-5) y v (x,) se igul Ddo el vector u (-5, k) clcul k de modo que: ) u se ortogonl v (4,-) b) El módulo de u se

14 8. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES Podemos hor clculr el ángulo formdo por dos vectores sin más que plicr l definición de producto esclr y su expresión nlític. Sbemos que b = b cos α cos α = b b Suponiendo que ( 1, ) y (b 1,b ) son ls coordends respectivs de y b en un bse ortonorml, tendrímos que: cos α = 1 1 b b 1 b +b NOTA: Ten en cuent que est fórmul sólo es válid si ls coordends de los vectores están referids un bse ORTONORMAL. Hbrás observdo y ls ventjs de l bse cnónic. Por ello, slvo que se especifique otr cos, entenderemos que los vectores están expresdos en dich bse. Ejemplo: Clcul el ángulo determindo por los vectores =(,) y b =(3,0) cos α = = = = 8 = 1 = α = 45º Actividdes 10.- Hll el ángulo que formn los siguientes pres de vectores: ) u (3,), v (1,-5) b) (1,6), b ( - 1,-3) 11.- Clcul x pr que los vectores (7,1) y b (1,x) formen un ángulo de 45º. 110

15 VECTORES EN EL PLANO. PRODUCTO ESCALAR. EJERCICIOS y CUESTIONES 1.- Escribe los vectores u, v, w como combinción linel de x e y. Cuáles serán ls coordends de esos vectores respecto l bse B( x, y )? y x v w u.- Si ls coordends de los vectores u y v son (3,-5) y (-,1) obtén ls coordends de : ) - u v b) -u - v Ddos los vectores (3,-), b (-1,) y c (0,-5) clcul m y n de modo que: c = m + nb. 4.- Hll ls coordends de un vector v (x,y) ortogonl u (3,4) y que mid el doble que u. 5.- Ddos (,1) y b (6,) hll un vector v tl que v = 1 y v b. 6.- Siendo u (5,-b) y v (,) hll y b sbiendo que u y v son ortogonles y que v = Ddo el vector u (6,-8), hll: ) Los vectores unitrios de l mism dirección que u. b) Los vectores ortogonles u que tengn el mismo módulo que u. c) Los vectores unitrios y ortogonles u. d) El vector de l mism dirección que u y sentido contrrio, de módulo. 8.- Si u = 3 y ( u + v ) ( u - v ) = -11, hll v. 111

16 9.- Se sbe que c = + b y d = 5-4 b son perpendiculres y que y b son unitrios. Cuál es el ángulo que formn y b? 10.- Hll ls coordends de un vector b sbiendo que form un ángulo de 60º con (,4) y que los módulos de mbos son igules Ddos los vectores (1,-1) y b (,x) clcul x pr que dichos vectores: ) sen perpendiculres b) formen 60º c) sen prlelos 11

17 CUESTIONES 1.- Indic si el resultdo de ls siguientes operciones es un número o un vector: ) b b) ( b ) c c) (3 - b ) c d) ( + b ) ( - b ).- Busc un contrejemplo pr demostrr que si b = c no se deduce que b = c. 3.- Demuestr que todo vector u (,b) se puede expresr como combinción linel de los vectores (0, x) y (t, t) siendo x y t números reles. 4.- Si multiplicmos un vector u por un nº rel k, siendo k>1, hll l relción que existe entre el módulo, dirección y sentido de u y de k u. Qué ocurrirí si -1 < k < 1 o k < -1? 5.- Si el conjunto B = { u, v } es un bse del espcio V, rzon si son verdders o flss ls siguientes firmciones (*): ) El conjunto { u, - v } es un bse de V. b) El conjunto { u, - v } es linelmente dependiente. c) Todos los vectores de V los podemos expresr como un combinción linel del conjunto { u, v, - v }. d) El conjunto { v,- v } es un bse de V. 6.- Rzon si son verdders o flss ls siguientes firmciones(*): ) Existe lgun bse de V formd por tres vectores. b) Dos vectores culesquier son siempre linelmente independientes. c) Si B = { u, v } es un bse del espcio V, entonces todo vector de V se puede expresr como un combinción linel de los vectores del conjunto B = { u, v, w }, siendo w un vector culquier. d) Dos vectores culesquier siempre formn un bse de V. (*) Recuerd que si quieres demostrr que un enuncido es flso, es suficiente con que encuentres un contrejemplo, es decir, un cso concreto en el que no se cumpl. Sin embrgo, si quieres demostrr que es verddero, debes rgumentrlo en todos los csos posibles sin excepción (como será imposible nlizr cd cso uno uno, se puede recurrir letrs genérics pr relizr l demostrción, o bien utilizr definiciones, propieddes o teorems y estblecidos en l prte teóric). 7.- Rzon si son verdders o flss ls siguientes firmciones(*): ) Si el producto esclr de dos vectores es distinto de 0, se cumple que los vectores son linelmente independientes. b) Si el producto esclr de u y v es 0, entonces B = { u, v } es un bse del espcio V. 113

18 c) El vector nulo es ortogonl culquier vector, y que su producto esclr es 0. d) Si u es un vector culquier, se cumple que: u (-u ) = - u 8.- Si el producto esclr de dos vectores es negtivo, se puede segurr que ) esos dos vectores tienen sentidos opuestos b) esos dos vectores formn un ángulo obtuso c) uno de los dos vectores tiene módulo negtivo d) nd de lo nterior. No tiene sentido el plntemiento Si = 3, b = y b =, se puede segurr que ) y b no están ddos en form norml b) el ángulo que formn y b es obtuso c) y b son perpendiculres d) no tiene sentido el plntemiento Los vectores y b tles que =, b = 5 y b = -10: ) formn un bse ortonorml b) formn un bse no ortonorml c) no formn bse d) no tiene sentido el plntemiento L expresión represent ) un vector de l dirección y sentido de y módulo 1 1 b) un vector de l dirección y sentido de y módulo c) el coseno del ángulo que form consigo mismo. d) Nd. No se pueden dividir vectores por números. 1.- Qué vlores hn de drse m pr que los vectores (m,) y b (-6,3m ) expresdos en un bse ortonorml, sen perpendiculres? ) 1 y b) 0 y c) 1 d) 0 y En un cudrdo ABCD ( con los vértices ddos en ese orden) cuyo ldo mide 1, señl cuál de ls siguientes firmciones es FALSA: ) AB CD = 1 b) AB CB = 0 c) CD BA = 1 d) AC BD = 0 114