open green road Guía Matemática VECTORES tutora: Jacky Moreno .co

Transcripción

1 Guía Matemática VECTORES tutora: Jacky Moreno.co

2 open green 1. Cantidades vectoriales y escalares En general, dentro de las matem aticas, estamos acostumbrados a trabajar con magnitudes que quedan conocidas tan s olo especificando su valor num erico y/o su unidad de medici on. Por ejemplo, al decir que el volumen de un cubo es 100 [m3 ] o que el area de un tri angulo es de 12 [cm2 ] nos basta para poder describir y entender el problema con el cual estamos trabajando. Pues bien, este tipo de cantidades que quedan definidas u nicamente por su magnitud se conocen como magnitudes escalares. Una cantidad escalar es aquella que queda determinada s olo cuando se conoce su magnitud. Sin embargo, existen algunas magnitudes que no quedan completamente determinadas si u nicamente se proporciona su magnitud. Por ejemplo, al decir que un auto se desplaza a 80 [km/h] no me basta para describir el movimiento que est a realizando, ya que desconozco la direcci on de su movimiento y el sentido en que se est a desplazando. Este tipo de cantidades que requieren de una mayor informaci on para ser descritas se conocen como magnitudes vectoriales, puesto que se pueden representar a trav es de vectores. Una cantidad vectorial es aquella que queda determinada por su magnitud, su direcci on y su sentido. 2. Vectores Como ya mencionamos anteriormente un vector queda definido cuando se especifica su magnitud, direcci on y sentido. Gr aficamente estas tres caracter ısticas se pueden representar por medio de una flecha. 2

3 En la figura, la flecha rosada representa al vector AB, en donde A es el punto inicial u origen y B es el punto final o extremo. También podemos designar a un vector usando una letra minúscula, por ejemplo, v representa el vector v. En base a la representación gráfica de los vectores podemos identificar sus elementos de la siguiente manera: Magnitud: Corresponde a la longitud del segmento AB y se representa por v. Dirección: Corresponde a la recta que pasa por el origen y el extremo del vector. Sentido: Está indicado por la punta de la flecha, partiendo desde el origen A trasladándose hacia el extremo B. Desafío 1 Respuesta Por cuántas flechas puede ser representado el vector v = (3, 2)? Como vimos, cualquier vector se puede representar geométricamente por medio de una flecha, sin embargo, también podemos describir un vector de forma analítica por medio de sus coordenadas cartesianas. Así entonces, el vector v de la figura se puede representar en el plano en forma de un par ordenado, indicando en la primera coordenada las unidades horizontales que nos debemos desplazar para ir desde el origen al extremo del vector y en la segunda coordenada las unidades verticales que nos debemos desplazar para realizar el mismo movimiento. v = (x, y) En general, la forma analítica de un vector cuyo origen es el punto A(x 1, y 1 ) y cuyo extremo es el punto B(x 2, y 2 ) es: v = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) 3

4 Basándonos en la representación analítica de los vectores podemos decir que la magnitud de un vector cualquiera v = (x, y) se puede determinar, usando el teorema de Pitágoras, de la siguiente forma: v = x 2 + y 2 Ejercicios 1 1. Representa gráficamente y calcula la magnitud de los siguientes vectores en el plano cartesiano cuyos puntos de origen y extremo se señalan a continuación: a) A(0, 0) y B(5, 3) b) C(2, 2) y D(2, 2) c) X(7, 3) y Y ( 5, 2) d) A (5, 2) y B (4, 1) e) M(0, 1) y N(8, 9) f ) P (4, 0) y Q(5, 12) 3. Operaciones básicas con vectores 3.1. Adición Gráficamente, para sumar dos vectores arbitrarios v y u, debemos primeramente dibujar el vector v y luego el vector u con su origen empezando desde el extremo de v tal como lo muestra la figura. El vector resultante p es el dibujado desde el origen de v hasta el extremo de u. Es conmutativa la suma entre vectores? 4

5 Regla del paralelogramo Esta regla es un método gráfico alternativo para sumar dos vectores. Si queremos sumar el vector u al vector v debemos dibujar los dos vectores de manera tal que sus orígenes coincidan en un mismo punto, el vector resultante p es la diagonal del paralelogramo formado por los vectores u y v con la proyección de sus lados, tal como lo muestra la siguiente figura. Ahora bien, si queremos sumar dos vectores cualesquiera v = (x 1, y 1 ) y u = (x 2, y 2 ) de forma analítica, debemos sumar sus respectivos componentes: Desafío 2 v + u = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) Cómo realizarías de forma gráfica la suma de 4 vectores cualesquiera? Respuesta 3.2. Vector negativo El negativo de un vector v corresponde a otro vector que al sumarse con v da como resultado cero para la suma vectorial, es decir: v + ( v) = 0 Por lo tanto, el negativo de un vector, corresponde al mismo vector pero con el sentido contrario, es decir, poseen la misma dirección y magnitud pero la punta de la flecha va hacia el otro lado Sustracción Para restar dos vectores cualesquiera u y v debemos entender la sustracción de vectores como la adición del v con el negativo del u, es decir: v u = v + ( u) 5

6 Luego, para realizar esta operación de forma gráfica basta realizar la construcción geométrica de la adición antes vista, tal como se muestra en la siguiente figura. Ahora bien, si queremos restar dos vectores cualesquiera v = (x 1, y 1 ) y u = (x 2, y 2 ) de forma analítica, debemos restar sus respectivos componentes: v u = (x 1 x 2, y 1 y 2 ) 3.4. Multiplicación de un vector por un escalar Si multiplicamos un vector v por un escalar positivo k, el producto k v es un vector con la misma dirección y sentido que v, pero con magnitud kv. Si ahora multiplicamos el v por una magnitud negativa t, el producto t v es un vector con la misma dirección que v pero que apunta en el sentido contrario y tiene una magnitud igual a tv. Ahora bien, si queremos multiplicar un vector arbitrario v = (x 1, y 1 ) en su forma analítica por un número real k, debemos multiplicar cada componente del vector por el número k: k v = (kx 1, ky 1 ) con k R 6

7 Desafío 3 Comprueba la siguiente afirmación: k ( p + q) = k p + k q con k R Respuesta Desafío 4 Qué ocurre si multiplicamos un vector v con un escalar k ( 1, 1)? Respuesta Ejemplo Determinar el valor de x en la siguiente operación: 6(x, 1) + (4x, 6) = 8(1, 1) ( 9, 4) Solución: Resolvamos la operación anterior de forma analítica utilizando las propiedades antes vistas: 6(x, 1) + (4x, 6) = 8(1, 1) ( 9, 4) (6x, 6) + (4x, 6) = (8, 8) ( 9, 4) (6x + 4x, 6 + 6) = (8 9, 8 4) (10x, 12) = (17, 12) Por lo tanto tenemos que la primera coordenada de los pares ordenados deben ser iguales, es decir: 10x = 17 x = Ejercicios 2 1. Comprueba gráfica y analíticamente las siguientes propiedades para la adición de vectores: a) p + q = q + p b) p + ( q + m) = ( p + q) + m c) p + q = q + p 2. Efectúa las siguientes operaciones de manera gráfica y analítica: a) (12, 5) + (1, 0) b) ( 3, 3) ( 4, 2) c) 2( 5, 6) + 5(7, 2) d) 9(2, 2) 6(7, 3) + 3( 3, 5) 7

8 3. Determina el valor de x e y en las siguientes operaciones: a) 5(2x, 3) + (6, 11y) = (1, 1) b) (x, 25) + (12, y) (3, 7) = (4, 9) c) 3(3x, 5) 4(x, 6) 2(0, y) = 3(x, 3) + (2, 5y) 4. Resuelve las siguientes operaciones de manera analítica y gráfica de acuerdo a los datos entregados por el paralelepípedo de la figura: a) AB + AE b) HA + HG c) 1 F E + F G 3 d) F C + GC AB 5. Un triángulo de vértices A(2, 5), B(6, 5) y C(3, 3) se traslada de acuerdo al vector t = (4, 2). a) Dibuje y calcule la magnitud del vector traslación cuyo origen es el punto O(0, 0). b) Dibuje la imagen que se obtiene al realizar la traslación. c) Cuáles son los nuevos vértices del triángulo trasladado? 6. Una circunferencia de radio 5 y centro O( 4, 4) se traslada respecto al vector t = ( 3, 2). a) Dibuje y calcule la magnitud del vector traslación cuyo origen es el punto O(0, 0). b) Dibuje la imagen que se obtiene al realizar la traslación. c) Cuál es el nuevo centro de la circunferencia trasladada? 8

9 Desafíos resueltos Desafío 1: Si bien los vectores se identifican por medio de una flecha determinada, representan una dirección, un sentido y una magnitud, por lo tanto pueden ser representados por infinitas flechas con distinto origen. A continuación se muestran algunas flechas que representan el mismo vector v = (3, 2). Volver Desafío 2: Para encontrar el vector resultante de más de dos vectores, en este caso 4, se trazan los vectores de modo que la extremidad del primero coincida con el origen del siguiente. Así entonces, para sumar q con p con v con u se debe proceder como muestra la siguiente imagen. a = q + p + v + u Volver 9

10 Desafío 3: Sea p = (x 1, y 1 ) y q = (x 2, y 2 ) tenemos lo siguiente: Por lo tanto k( p + q) = k p + k q. Volver k( p + q) = k(x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) = (kx 1 + kx 2, ky 1 + ky 2 ) = (kx 1, ky 1 ) + (kx 2, ky 2 ) = k(x 1, y 1 ) + k(x 2, y 2 ) = k p + k q Desafío 4: Cuando multiplicamos un vector arbitrario v con un escalar mayor que cero, éste conserva su dirección y sentido pero sufre un estiramiento, mientras que si el escalar es menor que cero la dirección se conserva, pero el sentido cambia y también podemos observar que el vector se estira o prolonga. Pero si ahora el escalar se encuentra en el intervalo ( 1, 1) no ocurre lo mismo, puesto que ahora lo estamos multiplicando por números menores que la unidad, es decir, el vector se contrae, si el escalar es negativo el vector cambiará de sentido pero será más pequeño, tal como se aprecia en la figura. Volver Bibliografía [1 ] Manual de preparación PSU Matemática, Quinta Edición, Oscar Tapía Rojas, Miguel Ormazábal Díaz-Muñoz, David López, Jorge Olivares Sepúlveda. 10