Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia. PAIEP, Universidad de Santiago

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1 Guía de vectores. Vectores En matemática, un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo (o longitud) y una dirección (u orientación). Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos en el plano R 2 o en el espacio R 3. Magnitudes escalares Son aquellas magnitudes físicas, fundamentales o derivadas, que quedan completamente definidas con números y una unidad de medida. Entre este tipo de magnitudes se encuentran: masa, tiempo, temperatura, energía, etc. Magnitudes vectoriales Son todas aquellas magnitudes físicas, fundamentales o derivadas, que para quedar completamente definidas necesitan de una magnitud, de una dirección y un sentido, como también de una unidad de medida. Ejemplo de estas magnitudes son: Desplazamiento, velocidad, fuerza, momentum, entre otras. Características de los vectores 1. Origen: Punto donde nace el vector. 2. Módulo o magnitud: Corresponde al tamaño del vector, y se denota como v 3. Dirección: Línea recta en la cual el vector está contenido. 4. Sentido: Es el indicado por la punta de la flecha Todo vector puede ser expresado como: V = V x + V y + V z Es decir, definido por sus componentes en los ejes coordenados. 1

2 Figure 1: Representación gráfica de un vector. Vector unitario Todo vector tiene asociado a él un vector unitario que indica la dirección del vector, el cual queda definido por: ˆV = V V = V x V + V y V + V z V Se tiene también que los ejes coordenados x, y, y z cuentan con sus respectivos vectores unitarios, î, ĵ, ˆk, respectivamente; los que están dados por î = (1, 0, 0) ĵ = (0, 1, 0) ˆk = (0, 0, 1) De esa forma, utilizando los vectores unitarios de los ejes coordenados, el vector V puede ser representado como: V = V x î + V y ĵ + V zˆk Finalmente, la magnitud de cualquier vector unitario es ˆN = 1 2

3 Vectores en el espacio R 3 Todo punto (x 0, y 0, z 0 ) del espacio tridimensional representa un vector que tiene por origen, el origen del sistema de referencia y por extremo el punto de coordenadas (x 0, y 0, z 0 ). Figure 2: Representación de un vector en tres dimensiones. Para determinar la dirección del vector, dada por los ángulos α, β y γ, en la figura 2, nos valemos de la identidad trigonométrica coseno, lo que considera las siguientes relaciones: cos α = V x V î cos β = V y V ĵ cos γ = V z V ˆk Donde V corresponde al módulo o magnitud del vector y se obtiene haciendo: V = V 2 x + V 2 y + V 2 z 3

4 Operaciones entre vectores Producto punto o Producto escalar Es una multiplicación entre dos vectores, cuyo resultado es un escalar. Si se tienen dos vectores a = a x + a y + a z y b = b x + b y + b z, el producto punto entre ellos se define como: a b = a b cos θ Donde θ es el ángulo formado entre a y b. Si a b entonces a b = 0, mientras que si θ = 0, a b = 1. Luego, desarrollando el producto punto como la multiplicación término a término entre ambos vectores se tiene a b = a x b x + a x b y + a x b z + a y b x + a y b y + a y b z + a z b x + a z b y + a z b z Donde, como se tiene que las componentes de cada vector pueden ser escritas como a x = a x î, solo sobreviven los productos entre las mismas componentes de ambos vectores, y se obtiene Producto cruz o producto vectorial a b = a x b x + a y b y + a z b z Es una multiplicación entre dos vectores, cuyo resultado es un vector. Si los vectores son a y b, el producto cruz entre ambos vectores se denota: a b y su módulo se define por: Donde θ es el ángulo formado entre a y b. a b = a b sin θ La dirección de a b es perpendicular al plano formado entre a y b. Su sentido se determina por la regla de la mano derecha o regla del tornillo. Luego, el producto cruz entre a = a x + a y + a z y b = b x + b y + b z queda determinado por: a b = î ĵ ˆk a x a y a z b x b y b z = (a y b z a z b y )î (a x b z a z b x )ĵ + (a x b y a y b x )ˆk 4

5 Figure 3: Representación producto cruz. Problemas resueltos Problema 1 Mostrar que los vectores A = 3î, B = 7ĵ, C = 7ˆk, forman un triángulo isósceles acutángulo. Solución: En primer lugar se identifican las coordenadas asociadas a cada uno de los vectores, que corresponderán a los vértices del triángulo, así se tiene: A = 3î = 3(1, 0, 0) = (3, 0, 0) (1.1) B = 7ĵ = 7(0, 1, 0) = (0, 7, 0) (1.2) C = 7ˆk = 7(0, 0, 1) = (0, 0, 7) (1.3) Figure 4 Luego, las aristas del triángulo estarán formadas por los vectores que unen los vértices antes determinados AB, AC, BC 5

6 AB = (0, 7, 0) (3, 0, 0) = ( 3, 7, 0) (1.4) AC = (0, 0, 7) (3, 0, 0) = ( 3, 0, 7) (1.5) BC = (0, 0, 7) (0, 7, 0) = (0, 7, 7) (1.6) La longitud de cada una de las aristas se determina calculando el módulo del vector asociado AB = ( 3, 7, 0) = ( 3) = 58 = 7, 616[m] (1.7) AC = ( 3, 0, 7) = ( 3) = 58 = 7, 616[m] (1.8) BC = (0, 7, 7) = ( 7) = 98 = 9, 899[m] (1.9) Luego las aristas AB y AC son iguales, por lo que el triángulo ABC es isósceles. Figure 5 Por otro lado se realiza el análisis de los ángulos: AB AC cos α = ( 3, 7, 0) ( 3, 0, 7) = AB AC ( 58)( 58) = 9 58 = α = 81, 073 (1.10) BA BC cos β = (3, 7, 0) (0, 7, 7) = BA BC ( 58)( = 49 98) = β = 49, 463 (1.11) CA CB cos γ = CA (3, 0, 7) (0, 7, 7) = CB ( 58)( = 49 98) = γ = 49, 463 (1.12) Se verifica que la suma de los ángulos internos da como resultado , , , 463 = 179, (1.13) Finalmente, el triángulo presenta todos sus ángulos internos agudos, dos de ellos iguales, lo que confirma que se trata de un triángulo isósceles acutángulo. 6

7 Problema 2 Se sabe que A = (5, 0, 0)[m] y B = (0, 4, 0)[m] corresponden a puntos en los que un plano ϕ intercepta a los ejes X e Y respectivamente. Si el punto C = (7, 2, 1)[m] pertenece al plano ϕ, determine: a. Un vector perpendicular al plano ϕ b. La ecuación del plano c. Las coordenadas del punto donde el plano intercepta al eje Z d. La distancia entre el punto P = (10, 5, 2)[m] y el plano ϕ Solución: Figure 6 A partir de la información otorgada por el ejercicio se sabe que los puntos A, B y C, pertenecen al plano ϕ, estos a su vez, si se unen forman un triángulo en un espacio tridimensional, como se muestra en la figura 6. La figura 7 muestra la gráfica de los puntos en un espacio bidimensional. Figure 7 a. Se determinan los vectores que forman los lados del triángulo BC = (7, 2, 1) (0, 4, 0) = (7, 6, 1) (2.1) AC = (7, 2, 1) (5, 0, 0) = (2, 2, 1) (2.2) BA = (5, 0, 0) (0, 4, 0) = (5, 4, 0) (2.3) 7

8 Para encontrar un vector perpendicular al plano ϕ se calcula el producto cruz entre un par de los vectores recién calculados. Luego el producto cruz entre BC y BA está dado por N = BC BA = î ĵ ˆk b. La ecuación general que define un plano tiene la forma (2.4) = ((6 0) (4 1))î ((7 0) (5 1))ĵ + ((7 4) (5 6))ˆk (2.5) = (4î 5ĵ 2ˆk)[m 2 ] (2.6) r ˆN = d (2.7) Donde r = (x, y, z) y la variable d corresponde a la distancia al origen desde un plano perpendicular a la dirección ˆN. Para determinarla se hace: d = A N N = (5, 0, 0) (4, 5, 2) 42 + ( 5) 2 + ( 2) 2 = [m] (2.8) Reemplazando en (2.7) se obtiene la ecuación del plano ( 4 (x, y, z), , ) 2 = 20 (2.9) x 5y 2z 20 = 0 (2.10) c. Si se intersecta el plano ϕ con el eje z en un punto E, se tiene que éste tendrá la forma: E = (0, 0, E z ) (2.11) El valor E z, se determina a partir de la ecuación del plano obtenida en el punto anterior E z 20 = 0 (2.12) = E z = 20 = 10 2 (2.13) Luego, las coordenadas del punto E, donde el plano ϕ corta al eje z corresponden a E = (0, 0, 10) (2.14) d. Para la realización de este punto es recomendable graficar la vista lateral de la situación, lo que se representa en la figura 8 Se calcula en primera instancia D P, correspondiente a la distancia entre el origen y el punto P 8

9 Figure 8 P D P = N N = Finalmente la distancia entre el punto P y el plano ϕ está dada por = (10, 5, 2) (4, 5, 2) 42 + ( 5) 2 + ( 2) 2 (2.15) = (2.16) D P d = = = 6, 11[m] (2.17) Así el entre plano ϕ y el punto P existe una distancia de 6, 11[m] Problema 3 Considerando un plano cuya ecuación cartesiana corresponde a 4x 2y + z = 4. Determinar: a. Un vector unitario perpendicular al plano b. La distancia del plano al origen, si las unidades que se trabajan son metros. c. El área del triángulo cuyos vértices son las intersecciones del plano con los ejes OX, OY, OZ. Solución: a. Como el ejercicio entrega la ecuación del plano es posible establecer el vector normal al plano: 4x 2y + z = 4 (3.1) (x, y, z) (4, 2, 1) = 4 (3.2) = N = (4, 2, 1) (3.3) 9

10 Se calcula el módulo de N para luego determinar el vector unitario perpendicular al plano Luego, el vector unitario estará dado por N = ( 2) = 21 (3.4) ˆN = N N = 4 21 î 2 21 ĵ ˆk (3.5) b. Para determinar la distancia que existe desde el origen al plano consideremos la ecuación general del plano: Con ˆN el vector calculado en a. y r = (x, y, z) r ˆN = d (3.6) ( r ˆN 4 = (x, y, z), , 1 21 ) = d (3.7) Se toma en particular r = (1, 0, 0) que corresponde a la intersección con el eje x y la ecuación (3.7) queda como ( 4 d = (1, 0, 0), , ) 1 = 4 = 0, 873[m] (3.8) c. Para la determinación de lo requerido es necesario determinar las intersecciones del plano con los ejes OX, OY, OZ, lo cual se realiza a partir de la ecuación del plano dada por el ejercicio: A = (x, 0, 0) 4 x = 4 x = 1 (3.9) B = (0, y, 0) y + 0 = 4 y = 2 (3.10) C = (0, 0, z) z = 4 z = 4 (3.11) En base a los cálculos realizados, se obtiene que los vértices corresponden a: En seguida, se determinan los vectores BA y BC A = (1, 0, 0) B = (0, 2, 0) C = (0, 0, 4) BA = (1, 0, 0) (0, 2, 0) = (1, 2, 0) (3.12) BC = (0, 0, 4) (0, 2, 0) = (0, 2, 4) (3.13) 10

11 Luego, se determina el producto cruz entre BA y BC N = BA BC = î ĵ ˆk Finalmente, el área del triángulo estará dado por: = ((2 4) (0 2))î ((1 4) (0 0))ĵ + ((1 2) (2 0))ˆk = (8î 4ĵ + 2ˆk) (3.14) Problema 4 A = BA BC = 82 + ( 4) = 4, 583[m 2 ] (3.15) Un plano determinado intersecta los ejes cartesianos OX, OY y OZ en los siguientes puntos: A = (3, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = (0, 0, 5). Si dichas coordenadas están en metros, determinar: a. Un vector unitario perpendicular al plano. b. La distancia del plano al origen. c. El área del triángulo ABC. Solución: a. Lo primero será construir los vectores con respecto al origen: AB = (0, 2, 0) (3, 0, 0) = ( 3, 2, 0) (4.1) AC = (0, 0, 5) (3, 0, 0) = ( 3, 0, 5) (4.2) Se calcula el producto cruz entre los vectores calculados para determinar un vector normal al plano N = AB AC = î ĵ ˆk = ((2 5) (0 0))î (( 3 5) (0 3))ĵ + (( 3 0) (2 3))ˆk = (10î + 15ĵ + 6ˆk) (4.3) Luego el vector unitario normal al plano corresponde a N ˆN = N = 10î + 15ĵ + 6ˆk = 10 19î ĵ ˆk (4.4) 11

12 b. Luego, se expresa la ecuación del plano ( r ˆN 10 = (x, y, z) 19, 15 19, 6 ) = d (4.5) 19 Inmediatamente se establece la distancia del plano al origen, lo cual se determina a partir del vector A, obteniendo: c. Finalmente, el área del triángulo ABC estará dado por: ( 10 d = (3, 0, 0) 19, 15 19, 6 ) = 30 = 1, 579[m] (4.6) Problema 5 A = 1 2 N = = 19 2 = 9, 500[m2 ] (4.7) Considere un triángulo, donde sus coordenadas son los siguientes puntos: A = (3, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = (0, 4, 3). Si las coordenadas están dadas en metros, determinar: a) La magnitud de cada arista del triángulo. b) Los ángulos internos del triángulo. c) El tipo de triángulo en base a la información obtenida. d) La ecuación del plano ABC. e) La distancia de ese plano al origen. Solución: En primer lugar se realiza un diagrama del triángulo para orientas de mejor forma los cálculos. (a) Vectores en el plano cartesiano (b) Triángulo en vista bidimensional Figure 9 12

13 a. Se determinan los vectores que corresponden a las aristas del triángulo: Se calcula ahora la magnitud de cada arista, haciendo: AB = (0, 2, 0) (3, 0, 0) = ( 3, 2, 0) (5.1) AC = (0, 4, 3) (3, 0, 0) = ( 3, 4, 3) (5.2) BC = (0, 4, 3) (0, 2, 0) = (0, 2, 3) (5.3) AB = ( 3) = 13 = 3, 606[m] (5.4) AC = ( 3) = 34 = 5, 831[m] (5.5) BC = = 13 = 3, 606[m] (5.6) b. A partir de los productos punto se obtienen los ángulos del triángulo AB AC cos α = ( 3, 2, 0) ( 3, 4, 3) = AB AC ( 13)( 34) = = α = 36, 040 (5.7) BA BC cos β = (3, 2, 0) (0, 2, 3) = BA BC ( 13)( = 4 13) 13 = β = 107, 920 (5.8) CA CB cos γ = CA (3, 4, 3) (0, 2, 3) = CB ( 34)( = 17 13) 442 = γ = 36, 040 (5.9) Se verifica que la suma de los ángulos internos de como resultado180 36, , , 040 = 180, 000 (5.10) c. De los resultado obtenidos en los puntos a. y b. se concluye que la figura en cuestión corresponde a un triángulo isósceles, ya que tiene dos lados y dos ángulos iguales; mientras que, respecto a sus ángulos internos, se clasifica como un triángulo obtusángulo, por poseer un ángulo mayor a 90, es decir obtuso. d. Se busca un vector normal al plano ABC a partir del producto cruz, como se ve a continuación: N = AB AC = î ĵ ˆk = ((2 3) (0 4))î (( 3 3) (0 3))ĵ + (( 3 4) (2 3))ˆk = (6î + 9ĵ 6ˆk) (5.11) El vector unitario perpendicular al plano será entonces: 13

14 N ˆN = N Por lo que la ecuación del plano toma la forma = (6î + 9ĵ 6ˆk) ( 6) 2 = î ĵ ˆk (5.12) ( r ˆN 6 = (x, y, z), , ) = d (5.13) Como se busca determinar la distancia entre el plano y el origen, se establece r = A = (3, 0, 0), lo que da como resultado Así la ecuación del plano viene dada por ( 6 d = (3, 0, 0), , ) 6 = 18 (5.14) d. Finalmente, la distancia al plano desde el origen corresponde a: 6 x + 9 y 6 z = 18 (5.15) x + 9y 6z = 18 (5.16) d = = 1, 455[m] (5.17) Problema 6 Los vértices de un triángulo corresponden a los puntos A = (0, 0, 0), B = (2, 0, 2) y C = (0, 2, 2), donde las coordenadas están expresadas en metros. Determinar: a. Las longitudes de las aristas del triángulo. b. Los ángulos del triángulo. c. El tipo de triángulo. d. El área del triángulo. e. Las longitudes de las simetrales del triángulo, las cuales son rectas de un vértice al punto medio del lado opuesto. Solución: a. Se determinan los vectores que corresponden a las aristas del triángulo: AB = (2, 0, 2) (0, 0, 0) = (2, 0, 2) (6.1) AC = (0, 2, 2) (0, 0, 0) = (0, 2, 2) (6.2) BC = (0, 2, 2) (2, 0, 2) = ( 2, 2, 0) (6.3) 14

15 Figure 10 De inmediato se determinan las longitudes de las aristas calculando la magnitud de los vectores recién obtenidos AB = = 2 2 = 2, 828[m] (6.4) AC = = 2 2 = 2, 828[m] (6.5) BC = ( 2) = 2 2 = 2, 828[m] (6.6) b. A partir de los productos punto se obtienen los ángulos del triángulo AB AC cos α = (2, 0, 2) (0, 2, 2) = AB AC (2 2)(2 = 4 2) 8 = 1 2 = α = 60 (6.7) BA BC cos β = ( 2, 0, 2) ( 2, 2, 0) = BA BC (2 2)(2 = 4 2) 8 = 1 2 = β = 60 (6.8) CA CB cos γ = CA (0, 2, 2) (2, 2, 0) = CB (2 2)(2 = 4 2) 8 = 1 2 = γ = 60 (6.9) Por último se verifica que la suma de los ángulos internos del triángulo de como resultado = 180 (6.10) c. De la información obtenida en los puntos anteriores, es posible concluir que la figura en estudio se trata de un triángulo equilátero, ya que cuenta con tres lados de igual longitud y sus ángulos internos son agudos con medida 60 cada uno. 15

16 d. Para este punto se busca un vector normal a partir del producto cruz, como se ve a continuación: N = AB AC = î ĵ ˆk = ((0 2) (2 2))î ((2 2) (2 0))ĵ + ((2 2) (0 0))ˆk = 4î 4ĵ + 4ˆk) (6.11) A continuación se calcula el área del triángulo ABC, que está dada por: A = 1 2 N = 1 ( 4)2 + ( 4) = 4 3 = 2 3 = 3, 464[m 2 ] (6.12) 2 e. En primer lugar se determinará la posición del punto medio entre el vértice A y el vértice B, para ello se hace Luego, la simetral estará dada por: P M AB = 1 AB = 1 (2, 0, 2) = (1, 0, 1) (6.13) 2 2 P M AB AC = (1, 0, 1) (0, 2, 2) = (1, 2, 1) = ( 2) 2 + ( 1) 2 = 6 = 2, 450[m] (6.14) Problema 7 Los vértices del triángulo ABC se indican en la figura 11, donde las distancias se encuentran en metros. Determinar: a. La distancia más corta desde el punto C a la recta AB. b. La ecuación del plano que contiene al triángulo. c. La distancia de ese plano al origen. Solución: a. Lo primero será definir, con ayuda de la figura, los vértices de forma vectorial: A = (3, 0, 0); B = (0, 5, 0); C = (0, 0, 4). Luego se definen las aristas de dicho triángulo Figure 11 AB = (0, 5, 0) (3, 0, 0) = ( 3, 5, 0) (7.1) AC = (0, 0, 4) (3, 0, 0) = ( 3, 0, 4) (7.2) BC = (0, 0, 4) (0, 5, 0) = (0, 5, 4) (7.3) 16

17 Se sabe que sin α = AC AB AC = AB ( 3, 0, 4) ( 3, 5, 0) ( 3, 0, 4) ( 3, 5, 0) = ( 20, 12, 15 ( 3, 0, 4) ( 3, 5, 0) (7.4) = ( 20) ( 15) ( ( 3) )( ( 3) ) = 5 34 (7.5) Además, la distancia más corta desde C hasta la recta AB, corresponde a la altura dada por la siguiente fórmula d = 769 AC sin α = ( 3, 0, 4) 5 34 (7.6) = ( 3) = = 4, 756[m] (7.7) 34 b. Enseguida, se determina el vector unitario perpendicular al plano ˆN = Luego, se expresa la ecuación del plano N N = AC AB = 20 î + 12 ĵ 15 ˆk (7.8) N ( r ˆN 20 = (x, y, z), , ) = d (7.9) Inmediatamente se establece la distancia del plano al origen, lo cual se determina a partir del vector A, obteniendo: ( 20 d = (3, 0, 0), , ) 15 = 60 (7.10) Por lo tanto, la ecuación del plano esta dada por: Finalmente, la distancia del plano al origen previamente calculada es: x y z = (7.11) 20x + 12y 15z = 60 (7.12) d = = 2, 164[m] (7.13) 17

18 Problema 8 Un plano pasa por dos puntos cuyas posiciones están en A = (1, 3, 5) y B = (0, 3, 5). Si las coordenadas están en metros, determinar: a. La posición de un tercer punto C sobre el eje OZ positivo (0, 0, z C ) de tal manera que el plano que contiene ABC esté a una distancia de 13 /7 del origen. b. El área del triángulo. Solución: a. Primero se definen las aristas de dicho triángulo AB = (0, 3, 5) (1, 3, 5) = ( 1, 0, 0) (8.1) AC = (0, 0, z C ) (1, 3, 5) = ( 1, 3, z C 5) (8.2) BC = (0, 0, z C ) (0, 3, 5) = (0, 3, z C 5) (8.3) Se busca un vector normal a partir del producto cruz, como se ve a continuación: N = AC BC = î ĵ ˆk 1 3 z C z C 5 = ( 3(z C 5) ( 3(z C 5)))î ( 1(z C 5) (0(z C 5)))ĵ + (( 1 3) (0 3))ˆk = (z C 5)ĵ + 3ˆk (8.4) Enseguida se determina el vector unitario perpendicular al plano ˆN = Luego, se expresa la ecuación del plano, con d = 13 7 N N = (z C 5)ĵ + 3ˆk (zc 5) (8.5) r ˆN = (x, y, z) ( 0, ) z C 5 (zc 5) 2 + 3, 3 = 13 2 (zc 5) (8.6) Para determinar la distancia del plano al origen se considera r = A = (1, 3, 5), con lo que se obtiene una ecuación para z C de la forma 18

19 3(z C 5) (zc 5) = z C (zc 5) = z C (zc 5) = z C = (z C 5) ) 2 zc 2 = zc 2 10z C + 34 ( ( ) zc z C 34 = z2 C + 10z C 34 = 0 = z + C = 2, 441 z C = 8, 654 (8.7) Luego, como se explicita que el punto C debe estar en el eje z positivo, se descarta la solución z C. De esta manera el tercer punto C del plano, que se encuentra a una distancia 13 /7 del origen, tiene coordenadas C = (0, 0, 2.441) (8.8) b. Para este punto se busca un vector normal a partir del producto cruz entre dos vectores del plano, en este caso se considera AC y BC, se tiene entonces N = AC BC = (0, zc 5, 3) = (0, , 3) = (0, 2.559, 3) (8.9) Finalmente, el área del triángulo ABC estará dada por: A = 1 2 N = ( 2.559) = 1, 972[m 2 ] (8.10) Problema 9 Un plano pasa a una distancia de 4[m] del origen y un vector unitario perpendicular al plano es ˆN = 1 6 î+ 1 6 ĵ+ 2 6 ˆk. Determinar: a. Los puntos A, B y C donde el plano intersecta los ejes cartesianos. b. El área del triángulo ABC. c. Los ángulos del triángulo ABC. 19

20 Solución: a. A partir de la información dada por el ejercicio es posible determinar la ecuación del plano ( 1 (x, y, z) 6, 1 6, r ˆN = d 2 6 ) = 4 x + y + 2 z = 4 6 (9.1) Se calculan las intersecciones del plano con los ejes OX, OY, OZ, los cuales se realizan a partir de la ecuación del plano: A = (x, 0, 0) 1 x = 4 6 x = 4 6 (9.2) B = (0, y, 0) y = 4 6 y = 4 6 (9.3) C = (0, 0, z) z = 4 6 z = 2 6 (9.4) Así se obtiene que los puntos donde el plano intersecta a los ejes cartesianos son: A = (4 6, 0, 0); B = (0, 4 6, 0); C = (0, 0, 2 6). b. Se procede a definir las aristas del triángulo (9.5) AB = (0, 4 6, 0) (4 6, 0, 0) = ( 4 6, 4 6, 0) (9.6) AC = (0, 0, 2 6) (4 6, 0, 0) = ( 4 6, 0, 2 6) (9.7) BC = (0, 0, 2 6) (0, 4 6, 0) = (0, 4 6, 2 6) (9.8) Se busca un vector normal a partir del producto cruz, como se ve a continuación: (9.9) N = AB AC = î ĵ ˆk = (( ) (0 0))î (( ) (0 4 6))ĵ + (( 4 6 0) ( ))ˆk = 48î + 48ĵ 96ˆk (9.10) Luego, el área del triángulo ABC estará dado por: A = 1 2 N = ( 96) 2 = = = 58, 788[m 2 ] (9.11)

21 c. A partir de los productos punto se obtienen los ángulos del triángulo AB AC cos α = = ( 4 6, 4 6, 0) ( 4 6, 0, 2 6) AB AC (8 3)(2 30) = = α = 50, 768 (9.12) BA BC cos β = = (4 6, 4 6, 0) (0, 4 6, 2 6) BA BC (8 3)(2 = 96 30) = β = 50, 768 (9.13) CA CB cos γ = CA = (4 6, 0, 2 6) (0, 4 6, 2 6) CB (2 30)(2 = 24 30) 120 = 1 5 = γ = 78, 463 (9.14) Por último se verifica que la suma de los ángulos recién calculados de como resultado 180 Problema 10 50, , , 463 = 179, (9.15) Un plano intersecta a los ejes cartesianos en los puntos A, B y C donde los puntos de la intersección son x A = 1, y B = 1, z C = 3. Si las coordenadas se encuentran expresadas en metros, determinar: a. La ecuación cartesiana de ese plano. b. Las aristas del triángulo. c. Tipo de triángulo según aristas. Solución: a. Lo primero será definir los vértices de forma vectorial, siendo estos: A = (1, 0, 0); B = (0, 1, 0); C = (0, 0, 3). Luego, se definen las aristas de dicho triángulo AB = (0, 1, 0) (1, 0, 0) = ( 1, 1, 0) (10.1) AC = (0, 0, 3) (1, 0, 0) = ( 1, 0, 3) (10.2) BC = (0, 0, 3) (0, 1, 0) = (0, 1, 3) (10.3) Se busca un vector normal a partir del producto cruz, como se ve a continuación: N = AB AC = î ĵ ˆk = ((1 3) (0 0))î (( 1 3) (0 1))ĵ + (( 1 0) (1 1))ˆk = 3î + 3ĵ + ˆk (10.4) 21

22 El vector unitario perpendicular al plano corresponderá a N ˆN = N Luego, se expresa la ecuación del plano = 3î + 3ĵ + ˆk = 3 19 î ĵ ˆk (10.5) ( r ˆN 3 = (x, y, z), , 1 19 ) = d (10.6) Inmediatamente se establece la distancia d del plano al origen, lo cual se determina tomando r = A = (1, 0, 0), obteniendo: ( 3 d = (1, 0, 0), 19 Por lo tanto, la ecuación del plano está dada por: 3 19, ) 1 = 3 (10.7) b. Se calcula la magnitud de cada arista: 3 x + 3 y + 1 z = 3 (10.8) x + 3y + z = 3 (10.9) AB = ( 1) = 2 = 1, 414[m] (10.10) AC = ( 1) = 10 = 3, 162[m] (10.11) BC = 02 + ( 1) = 10 = 3, 162[m] (10.12) c. En base a la información obtenida en los puntos anteriores, es posible concluir que se trata de un triángulo isósceles, pues posee dos lados y dos ángulos iguales. Problema 11 Los vértices de un cuadrilátero corresponden a los puntos A = (0, 0, 2), B = (1, 2, 2), C = (6, 2, 2) y D = (5, 0, 2). Si las coordenadas se encuentran en metros, determinar: a. El área del cuadrilátero. b. Los ángulos del cuadrilátero. c. Las magnitudes de los lados del cuadrilátero. d. El tipo de cuadrilátero. 22

23 Solución: a. Se determinan los vectores que corresponde a las aristas del cuadrilátero: AB = (1, 2, 2) (0, 0, 2) = (1, 2, 0) (11.1) BC = (6, 2, 2) (1, 2, 2) = (5, 0, 0) (11.2) CD = (5, 0, 2) (6, 2, 2) = ( 1, 2, 0) (11.3) AD = (5, 0, 2) (0, 0, 2) = (5, 0, 0) (11.4) Se busca un vector normal a partir del producto cruz, como se ve a continuación: (11.5) N = AB AD = î ĵ ˆk = ((2 0) (0 0))î ((1 0) (5 0))ĵ + ((1 0) (5 2))ˆk = 10ˆk (11.6) Luego como se trata de un cuadrilátero solo basta determinar la norma b. A partir de los productos punto se obtienen los ángulos del cuadrilátero Por propiedades del complemento, se tiene N = ( 10) 2 = 10[m 2 ] (11.7) AB AD cos α = (1, 2, 0) (5, 0, 0) = AB AD ( 5)( 25) = = 1 5 = α = 63, 435 (11.8) (11.9) β = , 435 = 116, 565 (11.10) c. Por otro lado, las magnitudes de los lados del cuadrilátero están dadas por: AB = = 5 = 2, 236[m] (11.11) AD = = 25 = 5, 000[m] (11.12) d. Finalmente el cuadrilátero corresponde a un romboide, ya que posee dos pares de lados iguales y dos pares de ángulos no rectos e iguales. 23

24 Problema 12 Considere la figura 12, donde ABCD es un paralelogramo cuyos vértices corresponden a los puntos A = (0, 0, 3), B = (2, 4, 1), C = ( 2, 4, 4). Si las distancias se encuentras dimensionadas en metros, determinar: 1. Las coordenadas del cuarto vértice del paralelogramo. 2. La longitud de las diagonales del paralelogramo. 3. La ecuación del plano ABCD. Figure La distancia de ese plano al origen. Solución: a. Lo primero será construir los vectores con respecto al origen AB = (2, 4, 1) (0, 0, 3) = (2, 4, 2) (12.1) AC = ( 2, 4, 4) (0, 0, 3) = ( 2, 4, 1) (12.2) OD = OB + BD = OB + AC = OB + OC OA (12.3) = (2, 4, 1) + ( 2, 4, 4) (0, 0, 3) = (0, 8, 2) (12.4) Luego las coordenadas del cuarto vértice corresponden a x D = 0; y D = 8; z D = 2. b. En seguida se determinan los vectores de las diagonales del paralelogramo Luego, se calcula las longitudes de las diagonales: AD = (0, 8, 2) (0, 0, 3) = (0, 8, 1) (12.5) BC = ( 2, 4, 4) (2, 4, 1) = ( 4, 0, 3) (12.6) AD = ( 1) 2 = 65 = 8, 062[m] (12.7) BC = ( 4) = 25 = 5[m] (12.8) c. Se busca un vector normal a partir del producto cruz, como se ve a continuación: 24

25 N = AB AC = î ĵ ˆk = ((4 1) ( 2 4))î ((2 1) ( 2 2))ĵ + (( 2 4) (4 2))ˆk = 12î + 2ĵ + 16ˆk (12.9) Luego, se determina el vector unitario normal N ˆN = N La ecuación del plano estará dada por: ( r ˆN 6 = (x, y, z), î + 2ĵ + 16ˆk = = î ĵ ˆk (12.10) , Al usar las coordenadas del vector A = (0, 0, 3), se tiene: ) 8 = 6 x + 1 y + 8 z = d (12.11) Por lo tanto, la ecuación del plano es d = = (12.12) x y z = (12.13) d. Finalmente, la distancia del plano al origen previamente calculada es: 6x + y + 8z = 24 (12.14) d = = 2, 388[m] (12.15) Problema 13 En la figura 13, OABC es un paralelogramo con coordenadas O = (0, 0, 0); A = (4, 0, 2); C = (3, 3, 0). Determinar 1. Las coordenadas del punto B. 2. El ángulo θ. 3. El ángulo δ. 4. La longitud de las diagonales. 5. Tipo de paralelogramo. 25 Figure 13

26 Solución: a. Por propiedades de suma de vectores, se tiene: OB = OA + OC = (4, 0, 2) + (3, 3, 0) = (7, 3, 2) (13.1) Es decir, las coordenadas del punto B están dadas por x B = 7; y B = 3; z B = 2. b. Para la determinación del ángulo θ, el cual está comprendido desde el eje x al vector OC, se utiliza la siguiente fórmula OC î cos θ = = OC î = θ = arccos (3, 3, 0) (1, 0, 0) ( )( ) = = 1 2 ( 1 2 ) = 45 (13.2) c. Para el caso del ángulo δ, el cual está comprendido desde un vector paralelo al eje z con dirección negativa y el vector CB cos δ = = δ = arccos CB ( ˆk) = CB ˆk OA ( ˆk) = OA ˆk (4, 0, 2) (0, 0, 1) ( ( 2) 2 )( ( 1) 2 ) = = 1 5 ( 1 5 ) = 63, 435 (13.3) d. Por otro lado, las magnitudes de las diagonales del paralelogramo están dadas por: OB = (7, 3, 2) (0, 0, 0) = ( 2) 2 = 62 = 7, 874[m] (13.4) AC = (3, 3, 0) (4, 0, 2) = ( 1) = 14 = 3, 742[m] (13.5) e. Basándose en la información obtenida, es posible concluir que el paralelogramo corresponde a un romboide, ya que presenta dos pares de lados iguales. 26

27 Problema 14 La figura 14 muestra un paralelepípedo, el cual se encuentra formado por los vectores de posición de los vértices A, B y C, siendo estos: r A = ( 3, 2, 2); r B = (1, 1, 1) y r C = (0, 4, 0). Si se sabe que las coordenadas están en metros, determinar: a. La magnitud de las aristas. b. La magnitud de las diagonales del paralelepípedo. c. El volumen del paralelepípedo. Figure 14 Solución: a. A partir de los vectores dados por el ejercicio es posible determinar la magnitud de las aristas, lo cual se muestra a continuación: r A = ( 3) = 17 = 4, 123[m] (14.1) r B = ( 1) 2 + ( 1) 2 = 3 = 1, 732[m] (14.2) r C = = 16 = 4, 000[m] (14.3) b. Para calcular las magnitudes de las diagonales del paralelepípedo, es necesario determinar el vector D y F, lo cual se logra con operaciones vectoriales r D = r B + r C = (1, 1, 1) + (0, 4, 0) = (1, 3, 1) (14.4) r F = r D + r A = (1, 3, 1) + ( 3, 2, 2) = ( 2, 5, 1) (14.5) Luego se definen las diagonales, las que corresponden a los vectores OF y AD 27

28 AD = (1, 3, 1) ( 3, 2, 2) = (4, 1, 3) (14.6) AD = = 26 = 5, 099[m] (14.7) OF = ( 2, 5, 1) (0, 0, 0) = ( 2, 5, 1) (14.8) OF = ( 2) = 30 = 5, 477[m] (14.9) (14.10) c. Para calcular el volumen del paralelepípedo se emplea la fórmula del producto caja o producto mixto y se tiene î ĵ ˆk V = ( r A r B ) r C = (0, 4, 0) = (0, 1, 1) (0, 4, 0) (14.11) = (0, 4, 0) = ( 4) = 4[m 3 ] (14.12) 28

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