1. Relaciones de recurrencia homogéneas con coeficiente

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1 1. Relacioes de recurrecia homogéeas co coeficiete costate 1. Demuestra que la sucesió {a } es ua solució de la recurrecia a = a 1 + 2a si a) a = + 2 b) a = 5( 1) + 2 c) a = 3( 1) d) a = Es la sucesió {a } solució de la recurrecia a = 8a 1 16a 2 si a) a = 0 b) a = 2 c) a = 4 d) a = e) a = ( 4) f ) a = 2 4 g) a = 4 3. Supogamos que el úmero de bacterias e ua coloia se triplica cada hora. a) Determia ua relació de recurrecia para el úmero de bacterias después de trascurridos horas. b) Si se utiliza 100 bacterias para empezar ua ueva coloia, cuátas bacterias habrá e la coloia depués de 10 horas? 4. Ecuetra ua relació de recurrecia para C, el úmero de formas de poer parétesis al producto de +1 úmeros, x 0 x 1 x 2 x, para especificar el orde de multiplicació. Por ejemplo C 3 = 5, ya que hay cico formas de poer parétesis a la expresió x 0 x 1 x 2 x 3 para determiar el orde de multiplicació: 1

2 a) ((x 0 x 1 ) x 2 ) x 3 b) (x 0 (x 1 x 2 )) x 3 c) (x 0 x 1 ) (x 2 x 3 ) d) x 0 ((x 1 x 2 ) x 3 ) e) x 0 (x 1 (x 2 x 3 )) La sucesió {C } es la sucesió de los úmeros de Catala. 5. Ua máquia expededora de sellos acepta sólo moedas y billetes de 1 y 5 euros. a) Determia ua relació de recuerrecia para el úmero de formas de depositar euros e la máquia expededora si se tiee e cueta el orde e que se deposita las moedas y billetes. 6. a) Determia ua relació de recuerrecia para el úmero de cadeas de bits que cotiee dos ceros cosecutivos. 7. a) Determia ua relació de recurrecia para el úmero de formas de subir escaloes si e cada paso se puede subir uo o dos escaloes. c) De cuátas formas se puede subir u tramo de ocho escaloes? 8. Ua cadea que cotiee sólo ceros, uos y doses se llama ua cadea teraria. a) Determia ua relació de recurrecia para el úmero de cadeas terarias que o cotiee dos ceros cosecutivos. c) Cuátas cadeas terarias de logitud 6 o cotiee dos ceros cosecutivos? 9. a) Determia ua relació de recurrecia para el úmero de cadeas de bits que o cotiee a) Determia ua relació de recurrecia para el úmero de cadeas de bits que o cotiee Resuelva las siguietes relacioes de recurrecia juto co las codicioes iiciales dadas: a) a = 2a 1 para 1, a 0 = 3 2

3 b) a = a 1 para 1, a 0 = 2 c) a = 4a 2 para 2, a 0 = 0, a 1 = 4 d) a = 6a 1 9a 2 para 2, a 0 = 3, a 1 = Resuelva la relació de recurrecia a = 7a 2 + 6a 3 co a 0 = 9, a 1 = 10, a 2 = Resuelva la relació de recurrecia a = 2a 1 + 5a 2 6a 3 co a 0 = 7, a 1 = 4, a 2 = Resuelva la relació de recurrecia a = 3a 1 3a 2 a 3 co a 0 = 5, a 1 = 9, a 2 = Cuál es la forma geeral de las solucioes de ua relació de recurrecia lieal homogéea si las raíces de su ecuació característica so 1,1,1,1,-2,-2,-2,3,3,-4? 2. Relacioes de recuerrecia o homogéeas co coeficiete costate Sea a = c 1 a 1 + c 2 a c k a k + F(), dode F() o es ula y a = c 1 a 1 + c 2 a c k a k es la relació de recurrecia homogéea asociada. Ejemplo 1. a = 2a es ua r.r o homogéea dode F()=1 Ejemplo 2. a = a es ua r.r o homogéea dode F()=2 Ejemplo 3. a = a 1 + a es ua r.r o homogéea dode F()= Teorema 1. Si {a (p) } es ua solució particular de a = c 1 a 1 + c 2 a c k a k + F() etoces toda la solució {a (p) + a (h) } dode {a (h) } es solució de la homogéea asociada a = c 1 a 1 + c 2 a c k a k. Ejercicio 1. Determiar todas las solucioes de a = 2a para a 1 = 1 (esta es la relació de recurrecia de las torres de Haoi) sol. La solució de la relació de recurrecia es a = {a (p) + a (h) } dode a (h) es la solució de la homogéea asociada y a (p) es la solució poliómica. Dada la recurrecia a = 2a 1 + 1, F()=1 estos so los pasos para resolverla: a) Calculamos a (h) resolviedo la ecuació homogéea asociada a = 2a 1, como hay u coeficiete, el de a 1 la ecuació caraterística es r 2 = 0 por tato la raíz r=2. Etoces {a (h) } = α2 b) Ahora resolvemos a (p) igualado F()=1 co u poliomio de igual grado. etoces a (p) = A se iguala co la costate A por que F() es igual a ua costate 1. 3

4 c) El siguiete paso es el de reemplazar a (p) = A e la recurrecia origial (la o homogéea). Si reemplazamos a = A etoces os queda: A = 2A + 1 resolvemos ésta ecuació y etoces A=-1. d) Etoces como a = {a (p) + a (h) } y a (p) = 1 y a (h) = α2 por lo tato a = α2 1 Esta es ua solució geeral pero faltaría calcular el valor de α e) Ahora por último usamos el valor iicial para calcular el valor de α. Tomamos la solució geeral a = α2 1, Si a 1 = 1, =1 etoces 1 = α2 1, despejado α = 1 y por tato ua solució particular a = 2 1. Ejercicio 2. Determiar todas las solucioes de la relació de recurrecia a = 5a 1 6a Sol. Hay que teer e cueta que a veces e las relacioes de recurrecias o homogéeas o hay muchas codicioes iiciales y por lo tato se debe recurrir al úmero de coeficietes de la homogéea asociada. La solució de la relació de recurrecia es a = {a (p) asociada y a (p) + a (h) es la solució poliómica. } dode a (h) es la solució de la homogéea Dada la recurrecia a = 5a 1 6a 2 + 7, F () = 7 estos so los pasos para resolverla: a) Calculamos a (h) resolviedo la ecuació homogéea asociada a = 5a 1 6a 2 como hay dos coeficietes, el de a 1 y el de a 2 la ecuació caraterística es r 2 5r + 6 = 0 por tato la raíces so r 1 = 3 y r 2 = 2. Etoces } = α α 2 2 {a (h) b) Ahora resolvemos a (p) igualado F () = 7 co u poliomio de igual grado. Etoces a (p) = C7 se iguala co la costate C7 por que F() es igual a la costate elevada a la, esto tambié co el fi de costruir poliomios semejates y así poder calcular los coefietes. c) El siguiete paso es el de reemplazar a (p) = C7 e la recurrecia origial (la o homogéea). Si reemplazamos a = C7 etoces os queda: C7 = 5(C7 1 ) 6(C7 2 ) + 7 resolvemos ésta ecuació: C7 = 5/7(C7 ) 6/49(C7 ) + 7 C7 = 7 (5/7C 6/49C + 1) C = 5/7C 6/49C C = 35C 6C C = 29C + 49 C = 49/20 d) Etoces como a = {a (p) + a (h) } y a (p) = (49/20)7 y a (h) = α α 2 2 por lo tato a = α α (49/20)7 Esta es la solució geeral de {a } El teorema 2 que viee a cotiuació, agiliza los tipo de solució de la homogéeas o lieales y permite obteer las solucioes particulares de u recurrecia o homogéea. 4

5 Teorema 2. Supogamos que {a } es solució de la relació de recurrecia lieal o homogéea a = c 1 a 1 + c 2 a c k a k + F (), dode c 1, c 2,... c k so úmeros reales y F () = (b t t + b t 1 t b 1 + b 0 )S esto es cuado F() es u poliomio multiplicado a S dode S es ua costate. Etoces existe dos tipos de solució: a) Si S o es ua raíz de la ecuació característica de la homogéea asociada, etoces existe ua solució particular de la forma: (p t t + p t 1 t p 1 + p 0 )S b) Cuado S es raíz de dicha ecuació característica y tiee multiplicidad m, existe ua solució particular de la forma m (p t t + p t 1 t p 1 + p 0 )S Ejemplo 1. Sea la relació de recurrecia lieal o homogéea a = 6a 1 9a 2 + F () obteer la solució particular cuado: a) F () = 3 b) F () = 2 2 c) F () = ( 2 + 1)3 Primero se obtiee la solució de la ecuació característica de la recurrecia homogéea a = 6a 1 9a 2. La ecuació característica r 2 6r + 9 = 0 tiee como úica raíz 3 co multiplicidad 2. a) Si F () = 3 etoces S=3, se revisa si cumple co el primer o segudo criterio del teorema 2, viedo si 3 es ua raíz de la homogéea asociada a = 6a 1 9a 2 y como vemos S=3 si es raíz de la homogéea asociada, por tato se aplica el segudo criterio dado ua solució particular de la forma 2 (p 1 + p 0 )3. b) Si F () = 2 2 etoces S=2 y por tato o es raíz de la homogéea asociada a = 6a 1 9a 2 etoces se aplica el primer criterio del teorema 2 y por tato la solució particular es (p p 1 + p 0 )2. c) Si F () = ( 2 + 1)3 vemos que S=3 por lo tato como S es raíz de la homogéea asociada etoces la solució particular es: 2 (p 2 + p 1 + p 0 )3 16. Cosidere la relació de recurrecia lieal o homogéea a = 3a a) Determie todas las solucioes de la relació de recurrecia. b) obtega ua solució particular si a 0 = 1 c) Demuestre que a = 2 +1 es ua solució de la relació de recurrecia 17. Cosidere la relació de recurrecia lieal a = 2a a) Determie todas las solucioes de la relació de recurrecia. 5

6 b) obtega ua solució particular si a 0 = 2 c) Demuestre que a = 2 es ua solució de la relació de recurrecia 18. a) Determie los valores de las costates A y B tales que a = A + B es solució de la relació de recurrecia a = 2a b) Determiar todas las solucioes. c) Determiar ua solució particular si a 0 = Cuál es la forma geeral de ua solució particular de la relació de recurrecia lieal o homogéea a = 8a 2 16a 4 + F () si: a) F () = 3 b) F () = 2 c) F () = 4 2 d) F () = ( 2) e) F () = a) Determiar todas las solucioes de la relació de recurrecia a = 2a b) Determia la solució de la relació de recurrecia bajo la codsició iicial a 1 = Determie todas las solucioes de la relació de recurrecia a = 5a 1 6a (sugerecia: busca primero ua solució particular de la forma q2 + p 1 + p 2 por el teorema a) Determia todas las solucioes de la relació de recurrecia a = 5a 1 6a b) Determia la solució co las codicioes iiciales de a 1 = 56 y a 2 = Determie todas las solucioes de la relació de recurrecia a = 2a Determie todas las solucioes de la relació de recurrecia 4a = 4a 2 + ( + 1) Determie todas las solucioes de la relació de recurrecia a = 7a 1 16a a co las codicioes iiciales a 0 = 2, a 1 = 0 y a 2 = Determie todas las solucioes de la relació de recurrecia a = 4a 1 3a co las codicioes iiciales a 0 = 1 y a 1 = Sea a la suma de los pimeros eteros positivos, es decir: a = k por tato satisface la recurrecia lieal o homogéea a = a 1 + determiar todas las solucioes la geeral y particular para a. 6 k=1

7 28. Determie todas las solucioes de la relació de recurrecia a = 2a 1 2a Determie todas las solucioes de la relació de recurrecia a = a para a 0 = Para 2, supogamos que hay persoas e ua fiesta y que cada ua de ellas toma de la mao (exactamete ua vez) a todas las demás persoas (y adie se estrecha su propia mao). Obtega ua solució particular para a que es el total de saludos de mao. 7

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