EJERCICIOS DE RECURRENCIA

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1 EJERCICIOS DE RECURRENCIA (co alguas solucioes) Resolver la recurrecia = 5 6 =, = y tambié ésta: = =, = Resolvamos la primera E primer lugar otamos que es ua recurrecia lieal, pues pasado todos los térmios co algua al primer miembro os queda ua combiació lieal de los mismos: = Ahora observamos tambié que el segudo miembro es, por lo que la recurrecia es homogéea Por tato, podemos resolverla supoiedo que las solucioes va a ser del tipo = r, dode r es u úmero todavía descoocido Sustituyedo e la ecuació de la recurrecia obteemos la ecuació característica r 5r + 6r =, que tras dividir por r se reduce á r 5r+ 6= Resolviedo se obtiee que r puede valer ó Por tato, hay dos solucioes posibles: = y = Dada la liealidad de la recurrecia, la solució geeral es del tipo: = a + b, y determiaremos las costates a y b usado las codicioes iiciales =, = : = = a + b a+ b= = = a + b a+ b= Luego a=, b= Por tato, la solució geeral de la recurrecia es = NOTA : Tambié puede resolverse usado la fució geeratriz NOTA : Comprobar uméricamete el resultado obteido, costruyedo alguos térmios de la sucesió recurrete Resolvamos ahora la seguda Todo es igual al caso aterior, hasta obteer la correspodiete ecuació característica r r+ = Las solucioes de esta ecuació so dos úmeros complejos cojugados, ± i El hecho de que las solucioes sea complejas o platea igua dificultad (además, coviee recordar que este tipo de solucioes siempre aparece e pares cojugados si los coeficietes de la ecuació so úmeros reales) Para trabajar os quedaremos sólo co ua de ellas, p ej + i, que os provee la solució = ( + i) NOTEMOS ahora que tato la parte imagiaria de esta solució como la parte real so tambié solucioes de la recurrecia (esto puede demostrarse si dificultad) Operemos ahora, escribiedo el complejo e forma trigoométrica: π π π π ( + i) = (cos + i se ) ( ) (cos i se ) = + π π Luego la solució geeral es de la forma = a( ) cos + b( ) se, dode determiaremos las costates a y b usado las codicioes iicales =, = :

2 π π = = a + b a= π π = = a + b a+ b= Luego a=, b= Por tato, la solució geeral de la recurrecia es: ( ) cos ( ) se ( ) cos ( ) se π π = ( ) cos + ( ) se NOTA: Comprobar uméricamete el resultado obteido, costruyedo alguos térmios de la sucesió recurrete Cosideramos los úmeros de iboacci dados por la siguiete recurrecia: = + + = = Demostrar que = + y que = + Haremos sólo la primera Es u caso claro de demostració por iducció, así que damos los pasos correspodietes: a) Comprobació para = : + = + = =, pues por defiició se tiee que = + = + = b) Hipótesis de iducció: Supogamos cierto el caso =k, esto es: k = k + c) Coclusió E efecto: k = ( k ) + k = [usado la hipótesis de iducció] = k+ + k = [por la defiició de la recurrecia] = NOTA: Tambié puede demostrarse usado el método de desceso : Este procedimieto cosiste e supoer cierto lo que se va a probar e ir rebajado el úmero de sumados hasta llegar a ua expresió de la que se sabe si duda algua que es cierta E efecto: k = = [por la defiició de la recurrecia] = + = = [ha desaparecido los ] + + Reiterado el proceso, lo cual sólo puede hacerse u úmero fiito de veces, se llegará fialmete a la expresió, evidetemete cierta, + =

3 = 4 + Resolver la recurrecia y tambié ésta: = + + = = Resolvamos la primera Nos ecotramos ate ua recurrecia lieal y o homogéea, debido a la presecia del térmio Por tato, la solució geeral se compodrá de dos partes: = +, procedetes, respectivamete, de la recurrecia ( p) homogéea y de la parte o homogéea recibe el ombre de solució particular a) Solució de la parte homogéea = 4 Usado la hipótesis = r se obtiee ( h) imediatamete que = 4 b) Como es u poliomio de primer grado e, buscaremos ua solució particular e ( ) forma de poliomio, tambié de primer grado: p = a+ b Sustituyedo esta forma e la ecuació origial completa quedará: a + b = 4( a( ) + b) + o bie, pasádolo todo al primer miembro: ( a ) + ( b+ 4 a) =, lo cual os da el siguiete sistema: a = a= 4a 8 b+ 4a= b= = 9 ( p) 8 Luego la solució particular es: =, y la solució geeral será: 9 8 = + = k Dode, usado la codició iicial = quedará = = k4 = k k = Así pues, = + = Resolvamos la seguda Nos ecotramos tambié ate ua recurrecia lieal y o homogéea, debido a la presecia del térmio + Por tato, la solució geeral se compodrá de dos partes: = + Si embargo, la ecuació característica resulta ser e este caso r =, lo cual o os permite utilizar el método del ejercicio aterior PREGUNTA: POR QUÉ? E lugar de ello, costruyamos ua tabla: 4 5 k ( k + ) k E ella observamos imediatamete que iducció: = ( + ), lo cual os pide ua demostració por

4 a) Comprobació para = : = ( + ) = = b) Hipótesis de iducció: Supogamos cierto el caso =k, esto es: k = ( k+ ) c) Coclusió: ( ) ( ) ( ) k ( ) k+ = k + k+ = k + k+ + k+ = + k+ = + k NOTA: Observar que e la tabla de más arriba los elemetos de la tercera fila so las diferecias de los que se halla ecima de ellos y forma ua progresió aritmética de diferecia Si repitiéramos el proceso de hallar las diferecias, tedríamos ua cuarta fila toda de s, y la quita sería toda de s Por ello se dice a veces que la solució obteida es ua progresió aritmética de segudo grado 4 Dado el alfabeto { abc,, }, se defie como el úmero de ristras, listas o palabras de letras formadas co ese alfabeto que posee exactamete dos letras b que, además, aparece cosecutivas Hallar la relació de recurrecia correspodiete y resolverla Costruyamos ua tabla para haceros ua idea del problema: 4 5 k 4 ( k ) k Aalicemos co algú detalle el caso k=5, por ejemplo Ua palabra de logitud 5 que satifsaga las codicioes del problema se compoe de la pareja bb y de tres letra que puede ser a ó c k El úmero de grupos formados co a s y c s es VR = ( = VRk = si k = 5) = 8 Ahora bie, elegida ua de la 8 variacioes, por ejemplo aca, el grupo bb puede ubicarse e cuatro posicioes diferetes: *aca, a*ca, ac*a y aca* Luego, por el Pricipio udametal de la Combiatoria: Nº de palabras de 5 letras que satisface las codicioes del ejercicio = (8 grupos de tres letras a, c) x (4 ubicacioes posibles) = Por tato, la tabla sugiere que ( ) k k = k Para aseguraros, es ecesaria ua demostració por iducció: EJERCICIO!! Tal como está, teemos ya la recurrecia resuelta Podemos ecotrar ua fórmula recurrete simplemete restado dos térmios cosecutivos de la misma: ( ) ( ) (( ) ( )) = = = Por tato: = + 5 E muchos procesos iformáticos se utiliza algoritmos coocidos como de divide y vecerás 4

5 El más simple de todos origia la recurrecia siguiete: = / +, co = Resolverla SUGERENCIA: Libro de Rose, págs 97 y siguietes Tal como se advierte, la solució se puede leer e el texto de Rose Si embargo, daremos ua pista razoable: divide y vecerás quiere decir que para resolver u problema, se divide éste e varios subproblemas más secillos y después se combia las solucioes parciales obteidas El caso más simple correspode a dividir el problema e dos (auque puede hacerse e varios más, claro está), y después cotiuar dividiedo cada subproblema e otros dos, etc etc Por tato, e este caso el ídice recorrerá las potecias de, esto es,,, 4, 8, 6, así que podemos costruir ua tabla para haceros ua idea: = = + = + = = + 4= + 4= 8 4 = + 8= 8+ 8= = = = 64 Termie el proceso!! 5

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