RELACIONES DE RECURRENCIA

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1 Uidad 3 RELACIONES DE RECURRENCIA 60

2 Capítulo 5 RECURSIÓN Objetivo geeral Coocer e forma itroductoria los coceptos propios de la recurrecia e relació co matemática discreta. Objetivos específicos Coocer y eteder las reglas básicas de la recurrecia. Compreder el cocepto de recurrecia lieal homogéea y o homogéea. Resolver problemas que ivolucre recursió lieal. Cometario iicial Para muchos la recursió es expresar algo sobre sí mismo. Detro de la matemática discreta y e geeral e la computació, ciertos algoritmos y programas de cálculo se ha facilitado cuado se usa la recursió. Lo que sigue es ua itroducció a u vasto tema como lo es la recursió, así como su relació co la matemática discreta. 61

3 Es probable que el lector ya esté familiarizado co el coteido de este capítulo visto e curso ateriores, por eso o se va etrar co el debido detalle e alguos temas. Lecció No. 19: Relació de recurrecia Defiició de relació de recurrecia Diremos que ua relació de recurrecia para ua sucesió a 0, a 1, a 2,..., a,... es ua expresió que relacioa a co uo o más térmios precedetes a 0, a 1, a 2,..., a 1, para cualquier etero mayor o igual que u etero iicial k. Las codicioes iiciales so los primeros térmios ecesarios para empezar a calcular e ua relació de recurrecia. Ejemplo 1: La relació a 1 1 y a a para todo atural mayor que 1, es u ejemplo de relació de recurrecia. Ejemplo 2: La sucesió de Fiboacci es otro ejemplo de relació de recurrecia defiido como sigue: a 1 1, a 2 1 y a a 1 a 2 para todo atural mayor que 2. Ejemplo 3: La relació a 0 2 y a a para todo atural mayor que 0, es otro ejemplo de relació de recurrecia. Ejemplo 4: La relació a 0 0, a 1 2 y a 4a 1 4a 2 2 para todo atural mayor que 1, es tambié ejemplo de relació de recurrecia. Ejercicios Ejercicio1: Propoga dos ejemplos más de relació de recurrecia. 62

4 Ejercicio 2: Propoga e implemete e MAPLE o e u leguaje de programació las relacioes de recurrecia dados e los ejemplos ateriores. Lecció No. 20: Relació de recurrecia lieal E matemática discreta es usual trabajar co relacioes de recurrecia de tipo lieal de coeficietes costates. Ua relació de recurrecia es de tipo lieal de coeficietes costates de orde m, si la relació de recurrecia es de la forma a c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 c m a m g, dode c 1, c 2,..., c m so costates. Ejemplo 5: La relació a 1 1 y a a para todo atural mayor que 1, del ejemplo es ua relació de recurrecia lieal de coeficietes costates de orde 1. Ejemplo 6: La sucesió de Fiboacci (ejemplo 2) es otro ejemplo de relació de recurrecia de coeficietes costates de orde 2. Ejercicios Ejercicio 3: Ve rifique si las relacioes dadas por los ejemplos y so relacioes de recurrecia lieal de coeficietes costates y si es así, diga de qué orde so. Ejercicio 4: Propoga u ejemplo de recurrecia lieal de coeficietes costates de orde 3. 63

5 Lecció No. 21: Recurrecia lieal homogéea Diremos que ua relació de recurrecia lieal de coeficietes costates de orde m es homogéea, si g 0. Ua ecuació característica de ua relació de recurrecia lieal de coeficietes costates homogéea de orde es ua ecuació de la forma t c 1t 1 c 2t 2 c 3 t 3 c m t m y las raíces de esta ecuació se llama raíces características Teorema Sea a ua sucesió defiida por recurrecia lieal homogéea como e la defiició 4.3, y sea b 1, b 2,..., b s las raíces características co multiplicidades r 1, r 2,..., r s, etoces: a P b P b P b P b Dode cada P i A 0 A 1 A r 1 r i 1 i, co i 1,..., s. s s Ejemplo 1: Retomado la sucesió de Fiboacci a 0 0, a 1 1 y a a 1 + a 2 para todo atural mayor que 2, podemos decir que es ua relació lieal homogéea, cuya ecuació característica es t 2 t 1 0, cuyas raíces so a y 1 5 2, y usado las codicioes iiciales juto co procedimietos algebraicos de simplificació teemos que para todo atural mayor que 1., 64

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