Relaciones recursivas lineales homogéneas de segundo orden y formas de Jordan

Transcripción

1 Nots Relcioes recursivs lieles homogées de segudo orde forms de Jord A mis lumos Resume Se deduce ls fórmuls de l solució de u relció recursiv liel homogée de segudo orde co coeficietes costtes usdo coceptos de Álgebr Liel Plbrs clve Relció recursiv de segudo orde, form cóic de Jord Itroducció E los cursos de Mtemátics Discrets que se imprte e est uiversidd se hbl de ls relcioes de recurreci de segudo primer orde Nos efocremos e l de segudo orde e este trbjo, pues queremos dr u respuest l pregut que csi ivriblemete u lumo hce cudo se imprte el tem, cómo se les ocurrió que ls solucioes so precismete ess? U respuest está e mostrr l relció que h etre este tem del curso de Mtemátics Discrets el tem de ls forms cóics de mtrices de los cursos de Álgebr Liel Etremos e mteri: Por u relció recursiv liel homogée de segudo orde co coeficietes costtes etederemos u epresió defiid pr todo úmero turl positivo de l form = + b, + + dode b so dos úmeros reles o ulos pr l que está ddos dos vlores reles iiciles Est epresió os permite obteer u sucesió de úmeros reles Tiee el icoveiete de que pr coocer el vlor de l fució e u úmero turl k rbitrrio h que coocer cudo meos los dos teriores Por esto es deseble ecotrr u regl de correspodeci que os idique cómo clculr el -ésimo vlor de l sucesió si ecesidd de coocer los vlores previos A est regl de correspodeci se le llm form cerrd de l relció de recurreci E l litertur est form cerrd se describe de l siguiete mer: Dd l relció de recurreci co coeficietes costtes b = + b, + + co codicioes iiciles, su form cerrd tiee u sólo u de ls siguietes forms depediedo de l turlez de ls ríces λ de su λ ecució crcterístic λ λ b = A sber: Cso, si so = cλ + cλ distits Cso, si so = cλ + cλ λ igules E mbos csos ls costtes se determi prtir de ls codicioes iiciles Sólo se mecio de psd que l ecució crcterístic puede teer ríces complejs que e este cso l solució se puede epresr e l form del cso o e u combició liel de seos coseos [4] Se demuestr que e cd cso ls solucioes propuests efectivmete lo so, pero uc (hst dode l utor le cost) se justific l estrtegi de cosiderr l ecució crcterístic Por ejemplo, revise [] [4] Por otr prte, e lguos libros de Álgebr Liel se mecio u plicció de est mteri e l solució de ests relcioes de recurreci, se euci el resultdo úicmete e el cso más secillo o se mecio d cerc de los otros csos [5] λ λ λ Tems de Cieci Tecologí Tems vol de úmero Cieci 33 Tecologí septiembre - septiembre-diciembre 7 pp

2 Lo que se pretede quí es mostrr l relció que eiste etre estos tems de ls Mtemátics Cso II 3 Si + 4b=, Recordemos que dd u mtriz A, su form de Jord J es l mtriz más secill que l represet Se stisfce demás que mtriz ivertible P JP = A, dode P es u, pr cd úmero etero o egtivo Cso III 4 Si + 4b<, Ls posibles forms de Jord pr u mtriz co etrds reles o complejs so:, dode ), dode c d so úmeros reles o complejos; b), dode c es u úmero rel o complejo Observe que l mtriz J es u mtriz l que es fácil clculr su -ésim poteci L lectur de est ot requiere coocimietos previos (básicos) de Álgebr Liel como los coteidos e [3] Ls relcioes recursivs lieles homogées de segudo orde co coeficietes costtes sus solucioes El resultdo que cotiució deduciremos es el siguiete: Teorem Cosideremos l relció recursiv liel homogée de segudo orde co coeficietes costtes defiid pr cd úmero etero o egtivo por = + b + +, dode b so dos úmeros reles o ulos pr l que está ddos dos vlores reles iiciles Su form cerrd es: Cso I 3 Si + 4b>, es su cojugdo 5 E cd cso, l solució es úic Demostrció A l relció + + covertiremos e u sistem de dos relcioes: como: = + b + + = + + = + b l Ests igulddes se puede escribir mtricilmete Si deotmos por A l mtriz por Observemos que, teemos u = + Au 3 L codició es equivlete firmr que ls ríces de l ecució crcterístic so (reles) distits 4 L codició es equivlete firmr que h u ríz de l ecució crcterístic de multiplicidd 5 L codició es equivlete firmr que ls ríces de l ecució crcterístic so complejs 6 L solució e este cso se puede llevr l form:, pr Aquí 48 pr cd úmero etero o egtivo A cd mtriz A le correspode u úic form cóic de Jord, slvo similridd De A de J se dice que so mtrices similres Tems de Cieci Tecologí septiembre-diciembre 7 c d so úmeros reles L form que presetmos, l elegimos porque pesmos que es l más eficiete uque requiere de l implemetció de l multiplicció complej por ede de más espcio e memori Nots

3 () Pr clculr A costruiremos primero su form de Jord Pr esto ecesitmos clculr su poliomio crcterístico ecotrr sus ríces, los vlores propios de A como: Luego l -ésim poteci de A puede epresrse Su poliomio crcterístico es el determite de l mtriz, sber, Observe que este poliomio es el mismo que el de l ecució crcterístic de l relció de recurreci Sus ríces so De () teemos que Ests ríces puede ser: Cso I Ls dos so reles distits Cso II U úic ríz rel co multiplicidd Cso III U ríz complej su cojugdo A cotiució hremos l deducció de l solució correspodiete e cd cso, cosiderdo A como u trsformció de e e los dos primeros, mietrs que e el tercero como u trsformció de e, o bie Más detlldmete, pr cd úmero etero o egtivo Cso I Dos ríces reles distits Esto sucede si se cumple + 4b> Ests ríces tiee ls siguietes propieddes: () (3) Cso II H u ríz rel de multiplicidd Es decir, + 4b= E este cso l úic ríz del poliomio crcterístico es, λ = L mtriz cosiderr es, e este cso, Se sbe de l Teorí del Álgebr Liel que l mtriz A es similr l mtriz D, l mtriz L mtriz A es similr l mtriz Es decir, se stisfce Observe que l mtriz ivertible que ls relcio es l mtriz Pr comprobr esto, observe que l mtriz Relcioes recursivs lieles homogées Tems de Cieci Tecologí septiembre-diciembre 7 49

4 es ivertible, su ivers es Cso III No h igu ríz rel Es decir, se cumple + 4b< demás stisfce E este cso, el poliomio crcterístico tiee (4) su cojugdo, De est relció se puede observr que l -ésim poteci de A puede clculrse fácilmete prtir de l -ésim poteci de D ʹ Puede demostrrse, usdo iducció mtemátic, que se cumple como sus ríces Aquí, Note que, e este cso, b es u úmero rel egtivo el módulo λ de es b Se cumple, pr tod > Hciedo los cálculos (ve (4)) obteemos, Etoces, si >, Por () se tiee que (4) Por lo tto, E prticulr,, > Ms detlldmete, Por último, o es difícil demostrr l uicidd de ls solucioes usdo iducció mtemátic Los csos flttes Hemos dejdo fuer e l secció terior los siguietes csos: ) = b = E este cso l solució tiee l form, > b) L solució tiee l form 5 Tems de Cieci Tecologí septiembre-diciembre 7 = = ; Nots

5 c) L solució tiee l form pr (Se puede demostrr por iducció mtemátic) Por lo tto l solució tom l siguiete form: Demostrció, Cso ) Dode, Aquí l mtriz A tom l form Observe que etoces Geerlizció de estos resultdos pr > Por lo tto, l solució de l relció de recurreci es Observemos que este método es geerlizble relcioes de recurreci de orde k,, sociádole l mtriz de orde k k Cso b) Aquí l mtriz A tom l form demostrr por iducció mtemátic que pr > E este cso l solució es de l form Aálisis del cso c) Aquí l mtriz A tom l form Se puede Ob Si hcemos los cálculos e los csos k = 3 4 veremos que el poliomio crcterístico de est mtriz l ecució crcterístic de l relció coicide L deducció de l correspodiete solució de l relció de recurreci es álog l del cso k = Y que los poliomios de grdo mor o igul 5 o so solubles por rdicles, se debe de implemetr otros métodos pr ecotrr ls ríces de los poliomios crcterísticos Ecotrds ésts, se puede hcer u deducció álog l presetd Nótese que ls diferetes forms que puede tomr l solució de est relció depede uevmete de l turlez de ls ríces Ls posibiliddes se icremet medid que se icremet k serve que etoces Relcioes recursivs lieles homogées Tems de Cieci Tecologí septiembre-diciembre 7 5

6 Coclusioes Est ot preset u plicció de coceptos del Álgebr Liel ls Mtemátics Discrets que o se ecuetr co este detlle e l litertur dispoible e uestr bibliotec Se deduce l solució de u mer direct, o simplemete estbleciédol como sucede e l morí de los libros de Mtemátics Discrets Est deducció tiee l vetj de que prece de mer turl l ecució crcterístic El lector fmilirizdo co l técic de ls fucioes geertrices puede usrls pr deducir l solució; deberá otr que o prece l ecució crcterístic (de mer t turl) e l deducció 6 L solució e sus diferetes forms está clculd co el suficiete detlle como pr poder implemetrse fácilmete e u progrm de computdor, lo que será de utilidd pr los prticiptes e los cocursos de progrmció de l ACM U implemetció de ests fórmuls se puede descrgr de l siguiete direcció: wwwmitecoutmm/~berro/fibocci_setupzip E est plicció se puede clculr u térmio ddo de u relció de recurreci del tipo quí estudido usdo u progrm itertivo, uo recursivo el que implemet l fórmul cerrd Puede ser itereste usrlo pr teer u eperieci co ls diferetes complejiddes de los lgoritmos usdos e este softwre T Referecis Bibliográfics Frzier Michel, Meer Spsche R 4 A Itroductio to Wvelets Through Lier Algebr (Udergrdute Tets i Mthemtics), editoril Spriger, USA, pp7- Grimldi Rlph P 998 Mtemátics Discret Combitori, Tercer Edició, editoril PEARSON EDU- CACIÓN, Méico, pp Ho f f m Ke e t h, Ku z e r 973 Álgebr Liel, editoril PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, Méico, pp8-68 Ross Keeth A, Wright Chrles RB 99 Mtemátics Discrets, Segud Edició, editoril PRENTICE-HALL HISPANOAMERI- CANA, SA, Méico, pp49-53 Torregros Sáchez ju Rmó, jord Lluch Cristi 987 Álgebr Liel sus pliccioes Teorí problems, Mc Grw-Hill, Espñ, pp Virgii Berró Lr Divisió de Estudios de Postgrdo Uiversidd Tecológic de l Mitec 6 Auque o prezc l ecució crcterístic, ls solucioes vuelve depeder del discrimite que prece e el teorem quí demostrdo 5 Tems de Cieci Tecologí septiembre-diciembre 7 Nots