ANEJO 9: CÁLCULO CUANTITATIVO DE FLUJOS

Transcripción

1 Anejo 9: cálculo cuantitativo de flujos ANEJO 9: CÁLCULO CUANTITATIVO DE FLUJOS I

2 Anejo 9: cálculo cuantitativo de flujos Para el cálculo cuantitativo de los flujos a partir de los datos experimentales se han seguido dos métodos que se describen a continuación: uno, a partir de los balances temporales de masa, y otro, a partir del cálculo de los gradientes. 1. Balances temporales de masa Se han utilizado las ocho columnas de evolución temporal de la solución de halita, las cuales se han desmontado en parejas a 0.75, 0.5, 0.4 i 0.32 de grado de saturación,tabla 6. Grado de Saturación Columna Tabla 6: grado de saturación de las parejas de columnas de evolución temporal. Los datos con los que se ha trabajado son una media de las parejas repetidas, desestimando algunos datos ya que se considera que existen errores o de medida o de heterogeneidades puntuales. Como las curvas de evaporación son similares se ha escogido una y se ha ajustado a una función polinómica de grado de cuatro. y = x x x x R2= donde y es el tiempo y x el grado de saturación. Se tienen cinco flujos a compatibilizar: el de vapor de salida (evaporación), vapor hacia abajo, líquido, sal, y calor. II

3 Ecuaciones de variación de masa Para la muestra j y para un tiempo determinado i, las ecuaciones de flujo y transporte se expresan: M Lj i - M Lj i-1 = ( (q Lj-1 q Lj ) + (q vj-1 q vj ) ) S t M sj i - M sj i-1 = ( (q Lj-1 C f i j-1 q Lj C f i j ) + (q DSj-1 q DSj ) ) S t Interfície j+1 Celda j+1 Interfície j Celda j Interfície j-1 Donde M L i i es la masa de líquido en la muestra, M s es la masa de sal y C i n j es la concentración en la interfície de la muestra, mesurables las tres. q Lj es el flujo de líquido, y q vj el flujo de vapor, que son les incógnitas del problema, y q DSj es el flujo de sal por difusión, el cual se puede calcular por la Ley de Fick haciendo la hipótesis de que no existe variación de almacenamiento (o es despreciable) de vapor en cada celda, y de que, por tanto, (q vj-1 q vj ) S t es igual a la evaporación o condensación en cada celda. Es necesario decidir un criterio para el valor de C i f j que se quiere tomar. La concentración que transporta el flujo de la interfície j-1 en el momento i será una media de la concentración de la celda j-1 y de la celda j, y en los tiempos i-1 e i, es a decir lo que llamamos C i-1/2 j-1/2. Así: C f i j-1 = C i-1/2 j-1/2 = (C c i-1 j + C c i j + C c i-1 j-1 + C c i j-1 ) / 4 y también : C n i j = C i+1/2 j+1/2 = (C e i-1 j+1 + C e i j+1 + C e i-1 j + C e i j ) / 4 III

4 donde C e 0 j es siempre la concentración inicial de la columna, y C e i 0 es igual a C e i-1 0. Finalmente, el flujo difusivo de sal se calcula por la Ley de Fick: q DSj = - Φ τ ρ L S L D grad C Donde D = 1.1 x 10-4 exp (-24530/ (R T)) m 2 /s se calcula para cada elemento de la columna. La tortuosidad se calcula como τ = τ 0 (S L ) m, con τ 0 = 0.2 y m = 3. τ 0 es la tortuosidad máxima, lo que significa que el camino de la sal difusa en el agua es extraordinariamente tortuoso, y cuando la saturación es muy pequeña, incluso llegando a niveles de agua pelicular, la difusión de sal aún existe, aunque su camino aún es más tortuoso. El grad C j lo calculamos como: C = j C + C C + C 2 2 z z i i 1 i i 1 e j+ 1 e j+ 1 e j e j j+ 1 j que es el gradiente de las concentraciones promediadas en los tiempos i e i-1, en las celdas. Debido a que las muestras no se han extraído a igual profundidad, se ha uniformizado la posición de los elementos interpolando los datos. Para proceder al cálculo se empieza por el anillo inferior. Las condiciones de contorno son: q L0 = 0, q v0 = 0 y q DS0 = 0, y en el último nudo q Ln = 0 y q DSn = 0 Si substituimos todo lo que es conocido quedan dos ecuaciones y dos incógnitas que son q L1 y q v1, las cuales se calcularan. Cuando se desarrolla el cálculo para al segundo anillo y sucesivos, sucederá lo mismo, conociendo q Lj y q vj-1 del paso anterior. IV

5 2. Cálculo de los gradientes Se calcula el flujo de líquido por la Ley de Darcy y el flujo de vapor por la Ley de Fick. Como se ha visto anteriormente, el cálculo se hace sobre cada una de las muestras. k k µ ( T ) rl Ley de Darcy: q = ( P + ρ g z) L L L siguiente: La viscosidad depende de la temperatura y de la concentración de la forma µ = µ ( T) (1 + z( C)) l 0 l µ l = exp ( C 4.10 C C ) T + La temperatura se toma casi lineal dividiéndola en dos tramos. El primero describe un descenso más brusco que se da en superficie. La permeabilidad relativa depende del grado de saturación. Se usa la fórmula de Mualem deducida del modelo de Van Genuchten para su cálculo: 1/ ( 1 (1 ) ) 2 k = S S λ λ rl L L Se toma 5 x como valor de permeabilidad intrínseca del medio. La densidad depende de la temperatura, de la concentración y de la presión de líquido, de la forma: ρ = + l exp( ( Pl 0.1) ( T ) C) Cálculo del gradiente de presión: La presión de líquido se obtiene aplicando la curva de Van Genuchten con un grado de saturación medido y unos parámetros también medidos (P 0 = Mpa i λ=0.68). Los gradientes se calculan con incrementos entre dos puntos, considerándolos constantes entre estos puntos. V

6 Se utiliza el mismo convenio de signos que en los cálculos anteriores. Ley de Fick:, i = Φρ S τd ω vap vap dif vap gas gas gas gas La porosidad (0.33) es un dato experimental. La densidad del gas se considera la del aire y dependiente de la temperatura. La tortuosidad se calcula a partir de la ley: τ = τ 0 (S g ) m, con τ 0 = 10 i m = 3 El coeficiente de dispersión se calcula: T = 2.3 v Dm D P g donde D = 5.6 x 10-6 m 2 s -1 K -2.3 Pa La fracción másica de vapor se calcula como: P PM ω = w v v g ρg R T y la presión de vapor: P( T, C) = P( T) F( T, C) La actividad del agua se calcula coma: v v Pc PM Pv ( TC, ) = exp exp awpa T + R T ρl a mol mol w w w = = moll molw + molsal Los gradientes se calculan por elementos del mismo modo que en el caso anterior. 4. Balance energético El balance energético viene dado por: Radiación Entrante = Calor Saliente + Variación de energía interna + Calor latente Radiación de entrada La radiación de la lámpara a 40 cm de la superficie es de 900 J/s. La radiación que entra en la columna se calcula a través de: Radiación entrada = Radiación que emite la lámpara (1-albedo) radiación cuerpo negro. VI

7 La radiación del cuerpo negro se calcula como ε σ (T 4 columna- T 4 exterior), donde ε es un parámetro que depende del tipo de suelo y de si está húmedo o seco, y σ es la constante de Boltzmann. Para temperaturas del interior y exterior de la columna se toma una media. Así, en condiciones de suelo húmedo, se tiene albedo = 0.25 y ε = 0.87, que se supone que se dan durante los cinco primeros días aproximadamente, deducido a partir de las columnas de evolución temporal: 900 (1-0.25) x10-8 (( ) 4 -( ) 4 = J/s J/s 5 días = x 10 6 J En condiciones de suelo seco, se tiene albedo = 0.4 y ε = 0.93, condiciones que dan durante los tres días restantes. 900 (1-0.4) x10-8 (( ) 4 -( ) 4 = J/s J/s 3 días = x 10 6 J Calor de Salida El calor de salida es el calor que sale por conducción en la base de la columna y por convección en la parte superior. A este calor lo llamamos calor sensible y se expresa como: Q s = α T Donde α es la conductividad térmica del metacrilato (0.186 w/m/k) dividida por su espesor (0.34mm) y multiplicada por la superficie de conducción, en el fondo de la columna. El T se toma del medido en la columna donde se introdujo la sonda de medición de temperaturas y de la temperatura que se mide con el termómetro en la base, por fuera de la columna, todo ello promediado. Q s = x10-4 /0.34x k 8 días = 8.91 w/k = x 10 6 J En el caso de convección por encima de la columna α es C c, capacidad calorífica del aire, multiplicada por β, parámetro que depende de la velocidad del viento en la superficie de la columna. β tiene unidades de velocidad másica y está, por tanto relacionado con las turbulencias en el entorno atmosférico de la superficie de la columna. Q s = 1000 β (2.3 días 15.8 º + 2 días 16.5 º días 17.1 º días 18 º ) (datos extraídos de medias en las columnas de evolución temporal) = x 10 6 β J VII

8 Variación de energía interna U = m sz C s (T fz T i ) + m wz C w (T fz T i ) + m sal C salz (T fz T i ) Con T inicial = 20 º C. Como la temperatura y los contenidos de agua y sal dependen de la profundidad, es necesario realizar el cálculo de variación de energía interna por tramos. Tomamos: Masa de arena (kg) = ρ arena volumen arena = ρ arena (1- Φ) π r 2 z = = z (cm) donde ρ arena = 2646kg/m 3. A continuación se suman las masas de arena a lo largo de toda la columna, obtenemos un valor de arena mayor del que realmente, kg frente a 6.1 kg. Concluimos que existe, en la construcción de la columna poros muy grandes llenos de aire. Este defecto se corrige suponiéndolos distribuidos homogéneos a lo largo de la columna. La variación de energía interna de la arena calculada es KJ. Se procede de la misma manera para el agua, la variación de la energía interna del agua es de KJ, y la variación de toda la columna de KJ. Calor latente Calor transportado por el vapor = masa de agua evaporada calor latente = kg 2255 KJ/kg = KJ Balance energético Tal y como se ha indicado: MJ = J MJ = β MJ Con estos valores se puede deducir, para que ajuste el balance, el valor de β, de manera que β = VIII