MATEMÁTICAS III TERCER SEMESTRE

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1 Universidad Autónoma de Guerrero Comisión General de Reforma Universitaria Educación Media Superior Plan de estudios por Competencias 2010 MATEMÁTICAS III TERCER SEMESTRE Programa de estudios de Matemáticas III 1

2 PLAN DE ESTUDIOS POR COMPETENCIAS 2010 PROGRAMA DE ESTUDIO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE MATEMÁTICAS III Índice Identificación y ubicación de la unidad de aprendizaje 3 Tabla de contenido temático... 6 Esquema gráfico de contenidos.. 7 Unidad temática de competencia I Ángulos y Triángulos 8 Unidad temática de competencia II Círculo, Circunferencia y Polígonos. 14 Unidad temática de competencia III Trigonometría. 20 Evaluación de los aprendizajes Referencias Elaboración del programa Programa de estudios de Matemáticas III 2

3 Identificación y ubicación de la unidad de aprendizaje Unidad de Aprendizaje Clave Tipo Semestre Etapa de formación 231 Obligatoria Tercero De Desarrollo Núcleo integrador del semestre Créditos Horas semana T P Horas semestre Conoce tu país Área de formación Descripción del área de formación Matemáticas El área de Matemáticas busca desarrollar en los estudiantes la creatividad y el pensamiento lógico y crítico. Con los cursos que corresponden al área se desarrollan las competencias disciplinares de matemáticas necesarias para que el estudiante argumente y estructure mejor sus ideas y razonamientos; reconociendo que a la solución de cada tipo de problema matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, así como el despliegue de diferentes valores y actitudes. Los contenidos que se estudian en esta área se abordan de manera que el estudiante razone matemáticamente, y no simplemente resuelva ciertos tipos de problemas mediante la repetición de procedimientos establecidos; que aplique las matemáticas más allá del salón de clases y tenga la capacidad de hacer una interpretación matemática del entorno que los rodea. Unidades de aprendizaje antecedentes del área Unidades de aprendizaje simultáneas Unidades de aprendizaje consecuentes del área Matemáticas I y II Física II Química III Filosofía II Historia III Taller de Lectura y Redacción III Inglés I Complementaria III Matemáticas IV, V y VI Programa de estudios de Matemáticas III 3

4 Descripción de la Unidad de Aprendizaje La Geometría como la ciencia del espacio, es una herramienta para describir y medir figuras que nos proporciona métodos mediante los cuales podemos construir y estudiar modelos tanto del mundo físico como de otros fenómenos de la vida cotidiana. Su extraordinaria versatilidad y adaptabilidad, la ha transformado en una de las herramientas más universales y útiles en todas las partes de las matemáticas, más todavía, es una herramienta para el entendimiento, es tal vez la parte de las matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad y nos permite captar los procesos con los cuales, partiendo de la realidad, se conduce gradualmente hacia una percepción más refinada del espacio. La Geometría es un método para las representaciones visuales de conceptos y procesos de otras áreas en matemáticas y en otras ciencias, por ejemplo gráficas y teoría de gráficas, diagramas de varias clases. Es un punto de encuentro entre matemáticas como una teoría y matemáticas como una fuente de modelos. La Geometría es una herramienta en aplicaciones, tanto tradicionales como renovadas. Estas últimas incluyen por ejemplo, gráficas por computadora, procesamiento y manipulación de imágenes, reconocimiento de patrones, robótica, investigación de operaciones. La geometría es el mejor ejemplo de ciencia experimental, para comprender el teorema de Pitágoras que mejor método que dibujar triángulos, medir y comprobar, es decir experimentar! No hay duda de que el paso de lo experimental a lo abstracto es prácticamente inmediato en Geometría e incluso se llega a confundir, se dice que se dibujan rectas, triángulos, aunque los dibujos no corresponden fielmente a los conceptos abstractos. En el momento presente las herramientas informáticas pueden ofrecer simulaciones virtuales de prácticamente todo, se podría pensar en otro tipo de ejemplos para llevar a cabo esta formación, pero sin duda nos alejaríamos de la vida cotidiana, de la proximidad y del interés general que posee la Geometría. Las TIC s han acudido en la ayuda de la enseñanza de la Geometría y la revolución que están causando no ha hecho más que comenzar. La geometría forma parte de la cultura básica de cualquier persona, los conceptos geométricos aparecen en la vida cotidiana de forma muy variada: folletos turísticos, comentarios deportivos, manuales de construcción de muebles o utensilios, además de que la geometría es vital para continuar otros estudios, por ejemplo, arquitectura, ingenierías, física, y un largo etc. Programa de estudios de Matemáticas III 4

5 Propósitos generales de la Unidad de Aprendizaje Categorías de competencias genéricas que se desarrollan Competencias Disciplinares Básicas que se desarrollan Perfil disciplinario de docente Al concluir el curso el alumno habrá desarrollado las competencias relativas a las relaciones métricas de los cuerpos reales desde el punto de vista de la magnitud y de la posición, aplicando las propiedades y operaciones de los triángulos, los ángulo los polígonos, el círculo, la circunferencia, y las propiedades de las funciones trigonométricas; formalizando sus argumentos y resultados al socializar y lograr consensos sobre lo aprendido. Se auto determina y cuida de sí Aprende de forma autónoma 1. Construye e interpreta modelos matemáticos deterministas o aleatorios mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales. 2. Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos buscando diferentes enfoques. 3. Propone explicaciones de los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal y matemático. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente magnitudes del espacio que lo rodea. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Preferentes: Lic. en Matemática Educativa Lic. en Matemáticas Lic. en Física y Matemáticas Ing. Civil Afines: Lic. en Física Ing. Físico Lic. en Arquitectura Ing. Topógrafo y Geodesta Ing. Constructor Ing. en Computación Ing. Arquitecto Ing. Mecánico Ing. en Comunicaciones y Electrónica Ing. Metalúrgico Ing. Petrolero Lic. en Economía Ing. Electricista Ing. Industrial Programa de estudios de Matemáticas III 5

6 Competencias docentes requeridas Ing. Textil Ing. Mecánico Electricista Ing. en Aeronáutica 1. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional. 2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo. 3. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios. 4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional. 5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo. 6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo. 7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano 8. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la gestión institucional. Estructura de la Unidad de Aprendizaje Unidad de Competencia I Unidad de Competencia II Unidad de Competencia III Ángulos y Triángulos Círculo, Circunferencia y Polígonos Trigonometría Programa de estudios de Matemáticas III 6

7 Tabla de contenido temático Competencias disciplinares Proceso de construcción del aprendizaje I. 24 Hrs Unidades de competencia II. 16 Hrs III. 24 Hrs 1. Construye e interpreta modelos matemáticos deterministas mediante la aplicación de procedimientos geométricos para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales. 2. Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos buscando diferentes enfoques. 3. Propone explicaciones de los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos o gráficos, mediante el lenguaje verbal y matemático. Respecto de las figuras y cuerpos geométricos: Identifica Caracteriza Clasifica Conoce sus propiedades Justifica sus propiedades Geometría Definición de punto, línea, línea recta, segmento, rayo, plano, ángulo y triángulo. Clasificación de los ángulos y triángulos. Líneas notables del triángulo Congruencia y semejanza de triángulos. Teorema de Pitágoras y razones trigonométricas. Los polígonos y sus elementos Definición de círculo y circunferencia Líneas notables de la circunferencia Tipos de ángulos en los polígonos y en la circunferencia. Funciones trigonométricas de un ángulo Ley de senos y cosenos Funciones trigonométricas de un número real Identidades trigonométricas Ecuaciones trigonométricas 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente magnitudes del espacio que lo rodea. Programa de estudios de Matemáticas III 7

8 Esquema gráfico de contenidos Representación del espacio Ángulos y triángulos Círculo, Circunferencia y Polígonos Trigonometría Conoce a tu país. Conoce el mundo Programa de estudios de Matemáticas III 8

9 Unidad de competencia I Ángulos y Triángulos Sesiones previstas 24 Propósitos Al finalizar la unidad, el alumno resuelve problemas reales aplicando las propiedades y operaciones de triángulos y ángulos, formalizando sus argumentos y resultados al socializar y lograr consensos sobre lo aprendido en la unidad. Competencias disciplinares 1. Construye e interpreta modelos matemáticos deterministas mediante la aplicación de procedimientos geométricos para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales. 2. Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos buscando diferentes enfoques. 3. Propone explicaciones de los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos o gráficos, mediante el lenguaje verbal y matemático. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente magnitudes del espacio que lo rodea. COMPONENTES DE COMPETENCIA CONCEPTUALES (saber) PROCEDIMENTALES (saber hacer) ACTITUDINALES (saber ser, saber convivir) Geometría Punto, línea, línea recta, segmento, rayo, plano, ángulo y triángulo. Los ángulos y los triángulos. Líneas notables del triángulo Congruencia y semejanza de triángulos. Teorema de Pitágoras y razones trigonométricas. Resuelve problemas generados por una situación real mediante el cálculo de ángulos en distintas figuras geométricas. Representa con un esquema la clasificación de ángulos y triángulos. Resuelve problemas generados por una situación real mediante el cálculo de ángulos y lados de un triángulo utilizando congruencia y semejanza. Resuelve problemas generados por una situación real mediante el cálculo de ángulos y lados de un triángulo rectángulo utilizando Teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas. Comunica y comparte de manera solidaria y respetuosa sus ideas y hallazgos. Valora la importancia de estudiar geometría para una mejor comprensión de su entorno y su aplicación en la arquitectura, ingeniería, artes, etc. Valora de forma crítica su desempeño personal en la interpretación adecuada de problemas matemáticos, reconociendo sus limitaciones y fortalezas. Valora las propiedades de los ángulos y triángulos como herramienta para representar los fenómenos de su entorno. Evalúa las ventajas de utilizar las propiedades de los ángulos y triángulos en la solución de problemas de su entorno inmediato. Situación de aprendizaje Temas transversales Trabajo colaborativo. Aprendizaje basado en problemas Educación para el consumo Educación para la sexualidad Nivel de desempeño esperado Comprensión: Identifica los detalles de la información que son importantes. Ubica la información en la categoría apropiada. Análisis: Utiliza lo que han aprendido para crear nuevos conocimientos y aplicarlo en situaciones nuevas. Programa de estudios de Matemáticas III 9

10 Desarrollo Apertura Momento Función Participació n Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior Plan de Estudios 2010 Evaluación Función Actividades del alumno Estrategias didácticas Recursos didácticos Producto Instrumento 1. Recuperar conocimien to previo. 2. Problematizar 3. Adquirir y organizar nueva información. Observa e identifica las distintas formas geométricas que están en su entorno: el salón de clases, el pizarrón, el plumón, etc. Escribe su conclusión personal acerca del objeto de estudio de la geometría. Observa en láminas presentadas por el docente distintos ángulos. Localiza triángulos rectángulos dentro y fuera del salón de clases. Investiga las definiciones de los conceptos de punto, línea, línea recta, segmento semirrecta, plano y ángulo. Valora la importancia de estudiar geometría para una mejor comprensión de su entorno y su aplicación en la arquitectura, ingeniería, las artes, etc. Investiga la unidad de medición de ángulos llamada radianes. Realiza una búsqueda de diversos tipos de triángulos en internet. Investiga las diferentes definiciones del concepto triángulo. Discute las definiciones encontradas sobre punto, línea, línea recta, segmento semirrecta, plano y ángulo. Describe los ángulos que reconoce y en una lluvia de ideas dice el nombre y explica que caracteriza a esos ángulos. Utilizando el transportador construye ángulos de distinta medida, por ejemplo de 60º, de 90º, de 100º, etc. Cada caso es el inicio de una sesión. Solución de problemas Producción individual Trabajo colaborativo Intercambio por la web Trabajo extra clase Trabajo individual Trabajo en binas Trabajo en equipo Pintarrón Marcadores Cuaderno Lápiz Juego geométrico Cuaderno Lápiz Internet Juego geométrico Cuaderno Lápiz D F F F A C H A C H A C H Figuras geométricas. Definición de geometría. Identificación de ángulos. Identificación de triángulos. Reporte personal Reporte de equipo Producción personal Producción de equipo Rúbrica Rúbrica Rúbrica Rúbrica Lista de cotejo Lista de cotejo Convierte medidas de ángulos de grados a radianes y viceversa. Programa de estudios de Matemáticas III 10

11 Identifica y traza los distintos tipos de ángulos que se observan dentro y fuera del salón de clases. Clasifique los ángulos de acuerdo a: Su medida Su forma Por pares Traza dos rectas paralelas y una transversal e identifica los distintos tipos de ángulos que se generan. Construye un triángulo de lados 4cm, 5cm y 6cm utilizando regla y compás. Deduce que para construir un triángulo con lados de longitudes a, b y c, es necesario que: 1.- a + b > c; 2.- a + c > b; 3.- b + c > a Llama a estas relaciones desigualdad triangular. 4. Procesar nueva información. Realiza un diagrama donde muestra la clasificación de los triángulos. Traza en una hoja de papel, dos triángulos congruentes. Deduce los criterios que sirven para demostrar la congruencia de dos triángulos: 1.- L L L; 2.- A L A 3.- L A L Utilice estos criterios para demostrar algunas propiedades propiedades geométricas. Determina el baricentro, centroide o gravicentro; el circuncentro; el incentroy el ortocentro de un triángulo. Traza un triángulo con lados de longitudes 10cm, 8cm y 4cm con regla y compás en una hoja. Reconoce las características de los triángulos semejantes. Denota la semejanza de triángulos con ΔABC ΔEFG. Deduce los siguientes criterios que sirven para demostrar la semejanza de dos triángulos: 1.- A A A; 2.- L A L; 3.- L L L Programa de estudios de Matemáticas III 11

12 Utiliza estos criterios para demostrar algunas propiedades geométricas. En equipo, discute cómo calcular el ancho de un río; la altura de la torre de la iglesia de la ciudad en que se encuentra, de una torre de luz o de un poste, usando semejanza de triángulos (en alguno de estos casos pueden valerse de la sombra que proyectan). Comparte sus propuestas a sus demás compañeros y obtiene conclusiones. Usa la semejanza de triángulos y que prueba el Teorema de Pitágoras. Dibuja un cuadrado de lado 1 y traza una de sus diagonales. 4. Procesar nueva información. Muestre que el triángulo formado es el siguiente: Prolonga los segmentos AC y AB, traza rectas paralelas al segmento BC. Programa de estudios de Matemáticas III 12

13 Mide los segmentos y comprueba las siguientes proporciones: a) BC EF GH AC AE AG Llama a estas proporciones seno del ángulo de 45 y lo denota con sen(45 ). cateto opuestoal ángulo de 45º sen ( 45º ) hipotenusa b) AB AC AF AE AH AG 4. Procesar nueva información. Llama a estas proporciones coseno del ángulo de 45 y lo denota con cos(45 ). cateto adyacente al ángulo de 45º cos( 45º ) hipotenusa c) BC AB EF AF GH AH Llama a estas proporciones tangente del ángulo de 45 y lo denota con tan(45 ) cateto opuestoal ángulo de 45º tan( 45º ) cateto adyacente al ángulo de 45º Con ayuda del profesor, define cot(45 ), sec(45 ) y csc(45 ) utilizando la figura anterior. Generaliza la actividad anterior y establece las siguientes proporciones para un triángulo rectángulo cualquiera: Programa de estudios de Matemáticas III 13

14 Cierre 5. Aplicar, transferir información. Elabora sus conclusiones sobre la importancia que tiene los ángulos en construcciones y objetos que se observan en el entorno. Valora la importancia de conocer la clasificación de los ángulos para resolver problemas. Reflexiona sobre la importancia de la desigualdad triangular en la construcción de triángulos. Expone sus conclusiones sobre los tipos de triángulos y la relación que tienen con los lados y ángulos y valora la importancia de éstos en la actividad profesional. Utiliza y valora la importancia de la congruencia de triángulos en las siguientes construcciones con regla y compás. a) Punto medio de un segmento dado b) Mediatriz de un segmento. c) Bisectriz de un ángulo dado e) Trazar una recta perpendicular a una recta dada, desde un punto fijo. Comparte sus propuestas a sus demás compañeros de cómo calcular el ancho de un río; la altura de la torre de la iglesia de la ciudad en que se encuentra, de una torre de luz o de un poste, usando semejanza de triángulos y obtiene conclusiones. Exposición individual Exposición de equipo Proyector Pliegos de papel bond F A C H Exposición personal Escala Lickert Lista de cotejo Utiliza las razones trigonométricas para resolver problemas Valora la importancia del uso de las razones trigonométricas en la solución de problemas de la vida cotidiana. 6. Tomar conciencia Responde los siguientes cuestionamientos: Qué complicaciones tuviste para solucionar los problemas anteriores? Qué fue lo que más se te dificultó representar? Hubo alguien de tu equipo que explicó cómo resolver el problema? Te gustó cómo se organizó la actividad en el grupo? Programa de estudios de Matemáticas III 14

15 Evaluación de la unidad de competencia: Actividad: Punto: Instrumento: (Desarrollar el instrumento) Actividad: Punto: Instrumento: (Desarrollar el instrumento) (Añadir las filas necesarias para completar la evaluación de los productos de la unidad de competencia) Registro, evaluación y seguimiento del logro de las competencias genéricas del perfil de egreso Fecha Actividades Competencias genéricas Evidencias Evaluación Programa de estudios de Matemáticas III 15

16 Unidad de competencia II Círculo, Circunferencia y Polígonos Sesiones previstas 16 Propósitos Al finalizar la unidad, el alumno resuelve problemas reales aplicando las propiedades y operaciones de los polígonos, el círculo y la circunferencia, formalizando sus argumentos y resultados al socializar y lograr consensos sobre lo aprendido en la unidad. Competencias disciplinares 1. Construye e interpreta modelos matemáticos deterministas mediante la aplicación de procedimientos geométricos para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales. 2. Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos buscando diferentes enfoques. 3. Propone explicaciones de los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos o gráficos, mediante el lenguaje verbal y matemático. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente magnitudes del espacio que lo rodea. COMPONENTES DE COMPETENCIA CONCEPTUALES (saber) PROCEDIMENTALES (saber hacer) ACTITUDINALES (saber ser, saber convivir) Los polígonos y sus elementos Definición de círculo y circunferencia Líneas notables de la circunferencia Tipos de ángulos en los polígonos y en la circunferencia. Representa en un diagrama la clasificación y propiedades de los polígonos. Representa en un diagrama los ángulos de un polígono. Representa en un diagrama las líneas y ángulos de una circunferencia. Comunica y comparte de manera solidaria y respetuosa sus ideas y hallazgos. Valora de forma crítica su desempeño personal en la interpretación adecuada de problemas matemáticos, reconociendo sus limitaciones y fortalezas. Valora las propiedades del círculo, la circunferencia y los polígonos como herramienta para representar los fenómenos de su entorno. Evalúa las ventajas de utilizar las propiedades del círculo, la circunferencia y los polígonos en la solución de problemas de su entorno inmediato. Situación de aprendizaje Tema(s) transversal(es) Trabajo colaborativo. Aprendizaje basado en problemas Educación para el consumo Educación para la sexualidad. Nivel de desempeño esperado Comprensión: Identifica los detalles de la información que son importantes. Ubica la información en la categoría apropiada. Análisis: Utiliza lo que han aprendido para crear nuevos conocimientos y aplicarlo en situaciones nuevas. Programa de estudios de Matemáticas III 16

17 Desarrollo APERTURA MOMENTO FUNCIÓN PARTICIPACIÓ N Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior Plan de Estudios 2010 FUNCIÓN ACTIVIDADES DEL ALUMNO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS RECURSOS DIDÁCTICOS EVALUACIÓN PRODUCTO INSTRUMENTO 1. Recuperar conocimiento previo. Utilizando una regla dibuja, una figura cerrada cuyos lados son segmentos. Cada caso es el inicio de una sesión. Solución de problemas Pintarrón Marcadores Cuaderno Lápiz Juego geométrico D F A C H Polígonos Identificación de polígonos Rúbrica Rúbrica 2. Problematizar Asigna un nombre a esta figura. Identifica distintos polígonos que están en su entorno. En una hoja dibuja el contorno de un disco compacto. Producción individual Trabajo colaborativo Intercambio por la web Identificación de circunferencias y círculos Rúbrica 3. Adquirir y organizar nueva información. Asigna un nombre a la figura resultante y a su contorno o perímetro. Realiza una búsqueda de información acerca de las características de los polígonos. Investiga los tipos de ángulos que se definen en el círculo. Trabajo extraclase Cuaderno Lápiz Internet F A C H Reporte personal Reporte de equipo Lista de cotejo Programa de estudios de Matemáticas III 17

18 4. Procesar nueva información. Clasifica estos polígonos en convexos y no convexos, regulares e irregulares, y según el número de lados. Identifica los elementos básicos de un polígono regular: centro, apotema, lado, vértices, diagonales. Analiza cuál de los elementos anteriores están presentes en los polígonos irregulares. Elabora un mapa conceptual de la definición, elementos y clasificación de los polígonos. Traza polígonos regulares, cada vez de mayor número de lados para observar el comportamiento de estos. Concluye que para los polígonos regulares, existen ángulos central, interior y exterior. Trabajo individual Trabajo en binas Trabajo en equipo Juego geométrico Cuaderno Lápiz F A C H Producción personal Producción de equipo Lista de cotejo Analiza cuál de los ángulos anteriores están presentes en los polígonos irregulares. Elabora un mapa conceptual de la clasificación de los ángulos de un polígono. Conjetura las fórmulas que permitan calcular: a) Ángulo central en función del número de lados del polígono. b) Ángulo interior en función del número de lados del polígono. c) Suma de los ángulos interiores en función Programa de estudios de Matemáticas III 18

19 del número de lados del polígono. d) Ángulo exterior en función del número de lados del polígono. e) Suma de los ángulos exteriores en función del número de lados del polígono. f) Número de diagonales en función del número de lados del polígono. Traza una circunferencia con todas sus líneas y puntos notables (centro, radio, diámetro, cuerda, secante y tangente) Traza una circunferencia con todos los ángulos de esta. Elabora un mapa conceptual con el tema: Líneas, puntos y ángulos de la circunferencia. 4. Procesar nueva información. Con ayuda del profesor verifique las siguientes propiedades: a) El ángulo central AOB se mide por su arco AB, es decir está formado por dos radios. AOC AB a) Todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del central que comprende el mismo arco. Programa de estudios de Matemáticas III 19

20 Cierre Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior Plan de Estudios ABC 1 AOC AC 2 2 b) Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. 5. Aplicar, transferir información. 1 ABC 1 2 BOC 2 BC Valora cuál de las fórmulas conjeturadas es válida para polígonos irregulares. Resuelve problemas como los siguientes: Encontrar el valor del ángulo externo (e) de un pentágono regular: Exposición individual Exposición de equipo Proyector Pliegos de papel bond F A C H Exposición personal Escala Lickert Lista de cotejo 360º e n 360º 5 72º Calcular el valor de los ángulos internos de un decágono. 180º n 2 i n 180º 10 2 i 10 i 144º Programa de estudios de Matemáticas III 20

21 6. Tomar conciencia Responde los siguientes cuestionamientos: Qué complicaciones tuviste para solucionar los problemas anteriores? Qué fue lo que más se te dificultó representar? Hubo alguien de tu equipo que explicó cómo resolver el problema? Te gustó cómo se organizó la actividad en el grupo? Evaluación de la unidad de competencia: Actividad: Punto: Instrumento: (Desarrollar el instrumento) Actividad: Punto: Instrumento: (Desarrollar el instrumento) (Añadir las filas necesarias para completar la evaluación de los productos de la unidad de competencia) Registro, evaluación y seguimiento del logro de las competencias genéricas del perfil de egreso Fecha Actividades Competencias genéricas Evidencias Evaluación Programa de estudios de Matemáticas III 21

22 Unidad de competencia III Trigonometría Sesiones previstas 24 Propósitos Al finalizar la unidad, el alumno resuelve problemas reales aplicando las relaciones y propiedades de las funciones trigonométricas. Competencias disciplinares 1. Construye e interpreta modelos matemáticos deterministas mediante la aplicación de procedimientos geométricos para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales. 2. Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos buscando diferentes enfoques. 3. Propone explicaciones de los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos o gráficos, mediante el lenguaje verbal y matemático. COMPONENTES DE COMPETENCIA CONCEPTUALES (saber) PROCEDIMENTALES (saber hacer) ACTITUDINALES (saber ser, saber convivir) Funciones trigonométrica de un ángulo. Ley de senos y cosenos Funciones trigonométrica de un número real. Identidades trigonométricas Ecuaciones trigonométricas Aplica las reglas de las funciones trigonométricas. Resuelve problemas utilizando ley de senos y cosenos Representa en un diagrama a la trigonometría. Resuelve problemas aplicando las funciones trigonométricas. Comunica y comparte de manera solidaria y respetuosa sus ideas y hallazgos. Valora de forma crítica su desempeño personal en la interpretación adecuada de problemas matemáticos, reconociendo sus limitaciones y fortalezas. Valora la trigonometría como herramienta para representar los fenómenos de su entorno. Evalúa las ventajas de utilizar la trigonometría en la solución de problemas de su entorno inmediato. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente magnitudes del espacio que lo rodea. Situación de aprendizaje Temas transversales Trabajo colaborativo. Aprendizaje basado en problemas Educación para el consumo Educación para la sexualidad Nivel de desempeño esperado Comprensión: Identifica los detalles de la información que son importantes. Ubica la información en la categoría apropiada. Análisis: Utiliza lo que han aprendido para crear nuevos conocimientos y aplicarlo en situaciones nuevas. Programa de estudios de Matemáticas III 22

23 DESARROLLO APERTURA MOMENTO FUNCIÓN PARTICIPACI ÓN Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior Plan de Estudios 2010 FUNCIÓN ACTIVIDADES DEL ALUMNO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS RECURSOS DIDÁCTICOS EVALUACIÓN PRODUCTO INSTRUMENTO 1. Recuperar conocimiento previo. 2. Problematizar Dibuja dos rectas que se cortan perpendicularmente. Llama a esta construcción plano cartesiano. Observa las cuatro regiones que se forman. Las numera con romanos en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Pone nombre a las regiones anteriores. Considera la igualdad ( x 2)( x + 2) = 0. Nota que la igualdad solo se satisface cuando x = 2 ó x = 2. Cada caso es el inicio de una sesión. Solución de problemas Producción individual Pintarrón Marcadores Cuaderno Lápiz Juego geométrico D F A C H Plano cartesiano Funciones trigonométricas Ecuaciones trigonométricas Rúbrica Rúbrica Rúbrica 3. Adquirir y organizar nueva información. Considera la igualdad (x 2) (x + 2) x 2 4 y da valores cualesquiera a x. Para qué valores de x se satisface esta igualdad? Nota que la igualdad se cumple para cualquier valor de x. Asigna nombre a este tipo de igualdad. Investiga la definición de función y razón. Realiza una búsqueda de información acerca de la ley de los senos y la ley de los cosenos. En una figura identifica con base en la definición de función y razón, seis nuevos tipos de funciones, llamadas funciones trigonométricas de un ángulo y obtiene la definición de las mismas, siendo α un ángulo que se forma entre el radio vector r y el eje X. Usa las definiciones de las funciones trigonométricas para establecer el signo de cada una de ellas en función del cuadrante en el que se encuentre α. Observa las definiciones de las funciones anteriores por pares, de la siguiente manera: sen(α) y csc(α), cos(α) y sec(α), tan(α) y cot(α), y llámelas funciones Trabajo colaborativo Intercambio por la web Trabajo extraclase Trabajo individual Trabajo en binas Trabajo en equipo Cuaderno Lápiz Internet Juego geométrico Cuaderno Lápiz F F A C H A C H Identidades trigonométricas Reporte personal Reporte de equipo Producción personal Producción de equipo Rúbrica Lista de cotejo Lista de cotejo Programa de estudios de Matemáticas III 23

24 trigonométricas recíprocas. 4. Procesar nueva información. Calcula los valores de las funciones trigonométricas para ángulos agudos utilizando calculadora. Grafica las funciones seno coseno y tangente. Observa los elementos de las gráficas: periodo, amplitud, rango, dominio. Calcula los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud, utilizando calculadora. Enuncia la ley de los senos y especifica los casos en los que se puede utilizar para resolver triángulos oblicuángulos. Enuncia la ley de los cosenos y especifica los casos en los que se puede utilizar para resolver triángulos oblicuángulos Analiza los casos cuando se puede resolver un triángulo oblicuángulo. Nota que la diferencia principal entre las funciones trigonométricas de un ángulo y las funciones trigonométricas de un número real radica en la terminología del argumento. Considera ahora un círculo de radio r = 1 y lo llama círculo unitario o círculo trigonométrico. Considera que el centro de un círculo unitario coincide con el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Usa la fórmula para la distancia entre dos puntos, para obtener x 2 + y 2 = 1. Recuerda que la longitud de la circunferencia está dada por C = 2πr; en consecuencia, la longitud de la circunferencia unitaria es 2π unidades. Observa el arco del círculo unitario que parte del punto (1,0) y termina en el punto P o punto terminal y lo llama arco asociado al número real que representa; usa el símbolo u para el número real cuyo arco asociado parte del punto (1,0). Programa de estudios de Matemáticas III 24

25 Llama también u para representar este arco. Considera que para cualquier número real u, existe un par de coordenadas, y solamente uno (x, y), para el punto terminal del arco asociado u. En un diagrama como el siguiente: 4. Procesar nueva información. Considera nuevamente el círculo de radio 1, y α un ángulo en posición normal. Traza diagramas como el siguiente: Obtiene a partir de este círculo y de la definición de las funciones seno y coseno, las siguientes relaciones: y sen( ) y 1 x cos( ) 1 x A partir de las relaciones anteriores establece las Programa de estudios de Matemáticas III 25

26 definiciones de las funciones tangente y cotangente, como sigue: tan( ) cot( ) y x x y sen( ) cos( ) cos( ) sen( ) Llama a las relaciones anteriores Identidades trigonométricas de división o de cociente y las expresa de la siguiente manera: tan( ) sen( ) cos( ) 4. Procesar nueva información. cos( ) cot( ) sen( ) Utiliza la definición de funciones recíprocas para deducir las expresiones siguientes: sen ( ) csc( ) 1 cos( ) sec( ) 1 tan( ) cot( ) 1 Y las llama Identidades trigonométricas de recíprocos. Utiliza el conocimiento del Teorema de Pitágoras para expresar a la hipotenusa en términos de los catetos, sabiendo que y = sen(α) y x = cos(α), para obtener: a) sen 2 (α) + cos 2 (α) 1 Programa de estudios de Matemáticas III 26

27 Sustituye a continuación cuando sea pertinente en lugar de sen(α) y cos(α); y y x, respectivamente para obtener: b) 1+ tan 2 (α) sec 2 (α) c) 1+ cot 2 (α) csc 2 (α) Llama a a), b) y c), Identidades trigonométricas de cuadrados o pitagóricas. Aplica las ocho identidades trigonométricas anteriores para resolver ejercicios como los siguientes: Verifica las identidades siguientes: cot( ) a) c sc( ) cos( ) 2 b) s en ( ) 2 1 cot ( ) 1 Delibera la importancia que tienen las identidades trigonométricas en las sustituciones, para simplificar expresiones algebraicas como las anteriores. CIERRE 5. Aplicar, transferir información. Comprueba la relación que existe entre las funciones trigonométricas de un ángulo, Resuelve ejercicios como los siguientes: Halle las funciones trigonométricas del ángulo que satisface las condiciones dadas: 3 a) tan( ), en el primer cuadrante 4 Exposición individual Exposición de equipo Proyector Pliegos de papel bond F A C H Exposición personal Escala Lickert Lista de cotejo 4 b) sen( ), en el segundo cuadrante 5 Programa de estudios de Matemáticas III 27

28 13 b) s ec( ), en el tercer cuadrante 12 Utiliza la calculadora para encontrar ángulos cuyas medidas de las funciones se conocen. 5. Aplicar, transferir información. Con la ayuda del profesor resuelve problemas como los siguientes: a) El ángulo de elevación de la parte más alta de una lámpara de alumbrado público es de 32º respecto a un punto situado a 20 m de su base; halle su altura. Propone un diagrama para el problema anterior: Establece una función trigonométrica que relacione la incógnita con algún dato conocido: Resuelve triángulos oblicuángulos que impliquen el uso de la ley de los senos. Aplica la ley de los senos y cosenos para resolver problemas de la vida cotidiana como los siguientes: Dos aviones salen de un aeropuerto al mismo tiempo, yendo uno hacia el noreste a 400 mph y el otro directamente hacia el oeste a 300 mph. Qué tan alejados están dos horas después de salir? El lado mayor de un terreno triangular mide 1700 metros, los otros dos lados forman ángulos de 56 y 71 grados, respectivamente, con ese lado. Cuál es el área del terreno? Diga con sus propias palabras la importancia que tienen las leyes de los senos y cosenos y la trigonometría en general para la vida y para su futuro profesional. Analiza el enunciado del siguiente problema: Programa de estudios de Matemáticas III 28

29 Define las funciones trigonométricas del número real u. Determina para qué ángulos están definidas estas funciones. Resuelve problemas con apoyo del profesor como los siguientes: 5. Aplicar, transferir información. Dada una coordenada y el cuadrante del punto terminal del arco asociado al número real u, halle las funciones trigonométricas de u. Resuelve ecuaciones trigonométricas. CIERRE 6. Tomar conciencia Verifica si todos los valores obtenidos son soluciones de la ecuación. Observa que no existe un método general para la resolución de las ecuaciones trigonométricas. Valora la importancia de resolver ecuaciones trigonométricas en la solución de problemas de distinta índole. Responde los siguientes cuestionamientos: Qué complicaciones tuviste para solucionar los problemas anteriores? Qué fue lo que más se te dificultó representar? Hubo alguien de tu equipo que explicó cómo resolver el problema? Te gustó cómo se organizó la actividad en el grupo? Programa de estudios de Matemáticas III 29

30 Evaluación de la unidad de competencia: Actividad: Punto: Instrumento: (Desarrollar el instrumento) Actividad: Punto: Instrumento: (Desarrollar el instrumento) (Añadir las filas necesarias para completar la evaluación de los productos de la unidad de competencia) Registro, evaluación y seguimiento del logro de las competencias genéricas del perfil de egreso Fecha Actividades Competencias genéricas Evidencias Evaluación Programa de estudios de Matemáticas III 30

31 Evaluación de los aprendizajes Ponderación de calificaciones sugerida para los subproductos de las unidades de competencia y para la unidad de aprendizaje Actividad: Punto: Subproducto Instrumento* Unidad de competencia I Ponderación parcial sugerida Ponderación final sugerida Total para la unidad de competencia 100% Unidad de competencia II Total para la unidad de competencia 100% Unidad de competencia III Total para la unidad de competencia 100% Total de la unidad de aprendizaje 100% Programa de estudios de Matemáticas III 31

32 Referencias Bibliografía básica para el estudiante: Cuellar, A. (2006). Geometría y Trigonometría. Mc-Graw Hill. México Clemens, S. R. et. al. (2001). Geometría. Con Aplicaciones y Solución de Problemas. Addison-Wesley Iberoamericana. USA. García, J. (1995). Geometría y Experiencias, México, Alambra Mexicana. Bibliografía complementaria para el estudiante: Barnett, Ziegler & Byleen. (2003). Analytic Trigonomety. With Applications. Jhon Wiley & Sons, Inc. USA. Existe edición en español. Rodríguez, M. (2005). Geometría y trigonometría de bachillerato. Editorial Publicaciones Cultural. México. Niles, N. O. (1991). Trigonometría plana. Noriega Limusa. México. Acevedo S. V./ Valadez S. M. (2000) Geometría y Trigonometría, Ed. McGraw Hill. Baldor, J. A. (1967). Geometría plana y del espacio y trigonometría. (Primera Edición). Bilbao, España: Cultural Centroamericana. Clemens, S. (1998). Geometría. (Primera Edición). México D. F., México: Prentice Hall. Clemens S. R,/ O Daffer P. G. (1998) Geometría, Ed. Pearson Educacion Fuenlabrada, T. S. (2000) Geometría y Trigonometría, Ed. McGraw Hill. Geltner, P../Peterson D. J. (1999) Geometría, Ed. Thomson Editores. Guzmán H. A. (2000) Geometría y Trigonometría, Ed. Publicaciones Cultural Guzmán A. (2004). Geometría y Trigonometría. (Cuarta Edición). México D. F., México: Publicaciones Cultural. Hemmerling, E. (1988). Geometría Elemental. (Primera Edición). México D. F., México: Editorial Limusa Ortiz F. (2005). Geometría y Trigonometría. (Segunda Edición). México D. F., México: Publicaciones Cultural. Perelman, Ya.I. (1965) Problemas y Experimentos Recreativos, Ed.Mir, Moscú. Perelman, Ya.I.,(1967) Geometría Recreativa, Ed.Mir, Moscú. Swokowski E. W/ Cole, J. A. (1993) Trigonometría, Ed. Thomson. Zubieta, F. (1989). Geometría razonada y trigonometría. (26ª Edición). México D. F., México: Editorial Porrúa. Salazar, P. (2002). Matemáticas II. (Segunda Edición). México D. F., México: Compañía Editorial Nueva Imagen, S.A. de C.V. Mesografía de consulta para el estudiante: Programa de estudios de Matemáticas III 32

33 Elaboración del programa Coordinación General: Coordinación del Programa: Raúl Javier Carmona, Flavio Manrique Godoy, Efraín Mejía Cazapa, Edilberto Meza Fitz, Samuel Hernández Calzada, Confesor Díaz Terrones. Elaboración: Colaboración: Asesoría metodológica: Diseño y apoyo técnico: Revisión de estilo y redacción: Sara Griselda Sánchez Mercado Hugo Enrique Mateos Serrano Samuel Hernández Calzada Jesús López Vega Arturo Díaz Cárdenas Programa de estudios de Matemáticas III 33

34 Programa de estudios de Matemáticas III 34

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