Tema 1: movimiento oscilatorio

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1 ema 1: movimiento oscilatorio Oscilaciones y Ondas Fundamentos físicos de la ingeniería Ingeniería Industrial Primer Curso Curso 007/008 1 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 007/008

2 Movimiento oscilatorio Movimiento periódico Ejemplos: Barcas sobre el agua Bandera al viento Péndulo de un reloj Moléculas en un sólido V e I en circuitos de corriente alterna En general, cualquier objeto desplazado ligeramente de su posición de equilibrio Curso 007/008 3 Movimiento oscilatorio Forma más básica de movimiento oscilatorio: movimiento armónico simple (MAS) Por qué estudiar el MAS? Ejemplo de movimiento oscilatorio Aproimación válida en muchos casos de movimiento oscilatorio Componente básico de la ecuación del desplazamiento de movimientos oscilatorios más complejos Curso 007/008 4

3 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 007/008 5 Representación matemática del MAS: dinámica del MAS Cuerpo unido a un muelle 0 = 0 F Segunda ley de Newton: F = ma = k a F = k k : constante del muelle Signo: fuerza restauradora k m = Condición de MAS para la aceleración Curso 007/008 6

4 Representación matemática del MAS Segunda ley de Newton: d F = ma = k m + k= dt d +ω = 0 con: ω = dt Curso 007/008 0 Solución: () t = Acos( ω t+δ) d Comprobación: A sen( t ) dt = ω ω +δ d = Aω cos( ω t+δ ) = ω dt k m 7 Representación matemática del MAS Significado físico de las constantes: () t = Acos( ω t+δ) A Amplitud (m) ω Frecuencia angular (rad/s) δ Constante de fase (rad) Determinación de A y δ: (0) = Acos( δ) Dos ecuaciones v(0) = Aωsen( δ) con dos incógnitas Curso 007/008 8

5 Representación matemática del MAS: Ejemplo t = 0 (0) = Acos( δ ) = A0 v(0) = Aωsen( δ ) = 0 A 0 A 0 A 0 Solución: A= A0 δ = 0 () t = A cos( ωt) 0 t A 0 Curso 007/008 9 Representación matemática del MAS: Resumen Fuerza que provoca un MAS: F = k Ecuación diferencial del MAS Ecuación del MAS d +ω = 0 dt () t = Acos( ω t+δ) Ley de Hooke Curso 007/008 10

6 Representación del MAS: periodo y frecuencia Periodo (): iempo necesario para cumplir un ciclo completo () t = ( t+ ) ( t+ ) = Acos( ω t+ω +δ) ω = π π = ω t Unidades: segundos Curso 007/ Representación del MAS: periodo y frecuencia Frecuencia ( f ): Número de oscilaciones por unidad de tiempo (ciclos por segundo) 1 ω -1 f = = Unidades: s Hz π Para el resorte: π m = = π k ω k ω= m 1 1 k f = = π m Curso 007/008 La frecuencia no depende de la amplitud 1

7 Representación del MAS: aplicaciones El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependa de la amplitud tiene interesantes aplicaciones: Medida de masas a partir de periodo de oscilación El astronauta Alan L. Bean midiendo su masa durante el segundo viaje del Skylab (1973) Curso 007/ Representación del MAS: aplicaciones El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependan de la amplitud tiene interesantes aplicaciones: Medida de masas a partir de periodo de oscilación Instrumentos musicales: la frecuencia del sonido no depende de la fuerza con que se pulse la cuerda del instrumento o la tecla de un piano. Curso 007/008 14

8 Representación del MAS: velocidad y aceleración Posición: () t = Acos( ω t+δ) Velocidad: vt () = d = Aωsen( ω t+δ) dt k v = Aω= A (para el resorte) Aceleración: ma m () = d = ω cos( ω +δ ) = ω () El signo indica el sentido El signo indica el sentido at A t t dt k ama = Aω = A (para el resorte) m Curso 007/ Representación del MAS: velocidad y aceleración A -A Aω -Aω Aω vt () at () () t = Acos( ωt) Suponemos δ=0 vt () = Aωsen( ωt) Desfase π/ con (t) at A t () = ω cos( ω ) Desfase π/ con v(t) Desfase π con (t) π = Aωcos( ω t+ ) = Aω cos( ω t+π) -AωJoaquín Bernal Méndez Curso 007/008 16

9 Representación del MAS: velocidad y aceleración A 3 t = 0 v = 0 a = ω A -A Aω vt () 3 t = 4 v = ωa a = 0 -Aω Aω at () 3 t = v = 0 a =ω A -AωJoaquín Bernal Méndez Curso 007/ Representación del MAS: velocidad y aceleración A 3 t = v = 0 a =ω A -A Aω vt () 3 t = 3 4 v =ωa a = 0 -Aω Aω at () 3 t = v = 0 a = ω A -AωJoaquín Bernal Méndez Curso 007/008 18

10 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 007/ Energía del MAS Si no hay rozamiento: energía mecánica constante E = Ec + U = cte Energía cinética: 1 Ec = mv Energía potencial: 1 U( ) U(0) = Wmuelle = Fd = K d = k Curso 007/ U( ) = k 0 0

11 Energía del MAS Energía mecánica: Curso 007/ E = mv + k con: t () = Acos( ω t+δ) vt () = Aωsen( ω t+δ) 1 1 = ω sen ( ω +δ ) + cos ( ω +δ) E ma t ka t Usando: mω = k (para un resorte) 1 1 E = ka (sen ( ω t +δ ) + cos ( ω t +δ )) = ka = 1 1 Energía del MAS E = 1 ka No depende de la masa! La energía se trasvasa continuamente de cinética a potencial y viceversa 1 =± A E = Uma = ka 1 1 = 0 E = Ec,ma = mvma = ka Curso 007/008 E c E = 1 ka

12 Energía del MAS Cualquier partícula que se desplaza ligeramente de su equilibrio sufre un MAS ya que cualquier curva puede aproimarse cerca del mínimo con una parábola: U() para una partícula en el fondo de un cuenco esférico Curso 007/008 3 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 007/008 4

13 Sistemas oscilantes: muelle vertical Supongamos muelle vertical Definimos eje y hacia abajo Fuerza del muelle F = kyu y y Curso 007/008 5 Sistemas oscilantes: muelle vertical Añadimos una masa m P = mgu y Aparece una fuerza adicional, el peso: Se puede hallar el alargamiento del muelle ( y 0 ): Condición de equilibrio: mg = ky 0 F + P = 0 y 0 = mg k Puede usarse para medir k Curso 007/008 6

14 Sistemas oscilantes: muelle vertical Hacemos oscilar el sistema: mg ky = ma y = y y 0 mg y = y + y0 = y + k mg ky = ky d y d y ma = m = m dt dt d y m = ky dt Definimos: Curso 007/008 7 Sistemas oscilantes: muelle vertical d y dt k = y m Ecuación diferencial de un MAS Solución: y = Acos( ω t+δ) ω= k m π ; = = π ω m k El único efecto de m es desplazar la posición de equilibrio Curso 007/008 8

15 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 007/008 9 Sistemas oscilantes: péndulo simple Objeto de masa m Suspendido de una cuerda ligera (m c <<m) de longitud L Etremo superior fijo Si lo desplazamos del equilibrio y lo soltamos: oscilaciones Es un M.A.S.? Curso 007/008 30

16 Sistemas oscilantes: péndulo simple Segunda Ley de Newton: mg sen φ= ma ds mg sen φ= m usando: s = Lφ dt d φ gsen φ= L dt Si φ sen φ φ d φ g = φ dt L Ecuación diferencial de un MAS Curso 007/ Sistemas oscilantes: péndulo simple Curso 007/008 d φ g = φ dt L Solución: φ=φ cos( ω t +δ) con: g 0 ω= L Periodo del péndulo simple: π = = π ω L g no depende de m! no depende de φ 0! 3

17 Péndulo simple: aplicaciones El hecho de que el periodo de oscilación de un péndulo simple no dependa de la masa ni de la amplitud (para amplitudes pequeñas) resulta llamativo y tiene interesantes aplicaciones: écnica sencilla para calcular la aceleración de la gravedad. Medida del tiempo: péndulo de un reloj Curso 007/ Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 007/008 34

18 Sistemas oscilantes: péndulo físico Eje Objeto rígido de masa m Oscila alrededor de un eje fijo Si lo desplazamos del equilibrio y lo soltamos: oscilaciones Es un M.A.S.? Curso 007/ Sistemas oscilantes: péndulo físico Eje M = D P Segunda Ley de Newton para una rotación: M Si i = d φ I dt M = mgdsen φ = mgdsen φ φ sen φ φ d φ mgd = φ dt I Ecuación diferencial de un MAS Curso 007/008 36

19 Sistemas oscilantes: péndulo físico Eje Curso 007/008 d φ mgd = φ dt I Solución: φ=φ cos( ω t +δ) con: mgd 0 ω= I Periodo del péndulo simple: π = = π ω I mgd Puede usarse para medir I SiI=mD : del pendulo simple 37 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 007/008 38

20 Oscilaciones amortiguadas Las oscilaciones en sistemas oscilantes reales no son permanentes: rozamiento Este efecto puede incluirse en los cálculos: Fuerza resistiva: b constante R= bv con: v velocidad Amortiguamiento lineal (muy habitual) Segunda Ley de Newton: d k bv = ma k b = m dt dt d k Curso 007/ Oscilaciones amortiguadas Ecuación: d d + + = 0 m b k dt dt Solución: b t m t () = Ae cos( ω t+δ) 0 ; k b b ω= = ω m m m ω = ω ω 0 El sistema oscila con frecuencia menor que si no hubiera rozamiento (b=0) 0 k m Frecuencia natural (corresponde a b=0) Curso 007/008 40

21 Oscilaciones amortiguadas b t m () = cos( ω +δ) t Ae t La amplitud decrece eponencialmente decrece más rápido cuanto mayor es b Curso 007/ Oscilaciones amortiguadas La solución propuesta es válida para Si : el sistema no oscila b< mω b ω= ω0 Sistema subamortiguado m b mω 0 Críticamente amortiguado Sobreamortiguado ( b= mω0 ) ( b> mω ) 0 Cuanto mayor sea b más tarda en alcanzar el equilibrio 0 Curso 007/008 4

22 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 007/ Oscilaciones forzadas En un sistema amortiguado la energía decrece con el tiempo Para mantener las oscilaciones es preciso suministrar energía de forma continua Esto precisa la acción de una fuerza eterna F = F cos( ) 0 ωet Curso 007/008 44

23 Oscilaciones forzadas: resonancia Movimiento del oscilador forzado: Estado inicial transitorio Estado estacionario: Oscila con ω e y A(ω e ) Energía es constante (suministrada=disipada) Resonancia: ocurre cuando ωe ω0 El sistema oscila con amplitud y energía máimas Curso 007/ Resonancia: ejemplo Puente de acoma Narrows El 7 de noviembre de 1940, se derrumbó el puente colgante de acoma Narrows (Washington, USA) debido a las vibraciones provocadas por el viento. El puente llevaba abierto al tráfico unos pocos meses. Curso 007/008 46

24 Resonancia: ejemplo Puente de acoma Narrows Curso 007/ Resonancia: ejemplo Bahía de Fundy La bahía de Fundy se conoce por registrar la máima diferencia en el nivel del agua entre la marea alta y la bajamar (alrededor de 17 metros). Se cree que el nombre Fundy data del siglo XVI, cuando eploradores portugueses llamaron a la bahía "Rio Fundo (río profundo). El folklore popular afirma que las mareas son causadas por una ballena gigante que chapotea en el agua. Los oceanógrafos atribuyen el fenómeno a la resonancia, como resultado de la coincidencia entre el tiempo que necesita una gran ola para penetrar hasta el fondo de la bahía y regresar y el tiempo entre mareas altas (1.4 horas). Curso 007/008 48

25 Resonancia: ejemplo Bahía de Fundy Curso 007/ Resumen del tema El MAS tiene lugar cuando una partícula está sometida a una fuerza restauradora de valor proporcional al desplazamiento desde el equilibrio. La posición de una partícula que eperimenta un MAS varia con el tiempo de forma sinusoidal La energía total de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento. Las oscilaciones amortiguadas tienen lugar en un sistema en que hay una fuerza resistiva que se opone al movimiento del cuerpo oscilante. Para compensar la disminución de energía con el tiempo en un oscilador amortiguado debe emplearse una fuerza eterna: oscilaciones forzadas. Cuando la frecuencia de la fuerza eterna es similar a la frecuencia natural del oscilador no amortiguado la amplitud de las oscilaciones es máima: resonancia Curso 007/008 50

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