1º EDUCACIÓN SECUNDARIA MATEMÁTICAS UNIDAD 2

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1 1º EDUCACIÓN SECUNDARIA MATEMÁTICAS UNIDAD 2 FRACCIONES Qué parte del día dedico a mis actividades personales numéricamente? a) Presentación b) Evaluación Inicial c) Conceptos d) Actividades e) Autoevaluación f) Otros recursos: bibliografía y recursos en red g) Refuerzos Educativos h) Ampliaciones / Propuesta de investigación Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 1

2 A/ PRESENTACIÓN Con los números NATURALES (N) (enteros y positivos) hemos podido contar y numerar objetos. Hemos ampliado este conjunto para poder incluir aquellos casos en los que el cero o los enteros negativos eran necesarios para expresar situaciones de la vida real y hemos obtenido los números ENTEROS (Z) (enteros, positivos y negativos). Ahora nos vamos a enfrentar a nuevas situaciones que requerirán nuevas ampliaciones del conjunto numérico. Qué posibilidades hay entre comerse una tarta entera o no comérsela?. Y entre deber 1 euro o deber 2?. Si la temperatura baja un poco de 0ºC, pero no llega a 1ºC, cuánto puede ser?. Las soluciones se encuentran en el conjunto de los números REALES (Q) que incluye junto a los enteros, positivos y negativos, los números decimales y las fracciones. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 2

3 B) EVALUACIÓN INICIAL MÉTODO DE TRABAJO: Individual 1.- Seis personas quieren comerse, a partes iguales, una tarta. Qué parte le corresponde a cada una? 2.- Expresa que fracción de tarta corresponde a la parte sombreada de cada dibujo. A cuál de las tres le corresponde una parte mayor? A B C 3.- Calcula mentalmente el número de cuadrados que pintarías en la figura de la derecha y expresa la fracción a que corresponde - + = = 4.- Escribe la fracción y calcula mentalmente el número decimal de la cantidad correspondiente Ejemplo: una botella con medio litro = 2 1 = 0,5 a) Una botella con un cuarto de litro = b) Una botella con un quinto de litro = c) Una botella con tres cuartos de litro = 5.- Calcula mentalmente el resultado: a) 640:10= b) 6000:100= c) 2+3.4= d) (2+3).4= 6.- Haz una estimación del número de habitantes de: a) España b) La Comunidad Autónoma donde vives. c) Tu pueblo o ciudad Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 3

4 C) CONCEPTOS 1.- Fracciones Fracciones propias e impropias Representación de fracciones La fracción como operador Fracciones equivalentes Reducción a común denominador Operaciones con fracciones: Suma y resta de fracciones Multiplicación de fracciones División de fracciones Operaciones combinadas. 2.- Números decimales Valor de posición Fracciones decimales Paso de fracción a número decimal: Operaciones con decimales: Suma y resta de números decimales Multiplicación de números decimales División de números decimales Operaciones combinadas Redondeo y estimación. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 4

5 D/ ACTIVIDADES MÉTODO DE TRABAJO: Individual RECURSOS: Libro de Texto, Consultores de aula. 1. FRACCIONES FRACCIONES PROPIAS E IMPROPIAS Antes de empezar a trabajar vamos a hacer un pequeño repaso de algunos conceptos: Una fracción es un par de números ordenados de la forma b a donde a es el numerador y b el denominador Sus usos son: 1º Como parte de un todo o unidad. 2º Como medida. 3º Como operador. 1.- Tomando cada rectángulo como UNIDAD, expresa en forma de fracción la parte rayada: Y ahora completa: En una FRACCIÓN, el DENOMINADOR indica las partes en que se la unidad, y el NUMERADOR indica las partes que. 2.- Completa las frases e inventa ejemplos: a) Si el numerador es menor que el denominador la fracción es menor que la unidad y se llama. Ejemplo: b) Si el numerador es igual al la fracción es igual a la unidad y se llama. Ejemplo: c) Si el es mayor que el, la fracción es que la unidad y se llama. Ejemplo: También se le llama Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 5

6 1.2.- REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES. 3.- Con ayuda del texto de la página 69 de tu libro completa el siguiente recuadro: Para representar fracciones sobre una recta dividimos los espacios entre números enteros en tantas partes como indica el y contamos, desde el 0 u origen, tantas de estas divisiones como indique el. 4.- Realiza ahora el ejercicio 7 de dicha página 69 (dibuja los puntos sobre la recta) er punto: 2º punto: 3 er punto: 5.- Realiza el ejercicio 8 de la misma página LA FRACCIÓN COMO OPERADOR. Una fracción puede actuar como operador de un número al que multiplica el numerador y divide el denominador Ejemplo: de 20 = = = Calcula ahora: a) 3 2 de 75 = b) 12 5 de 156 = c) 10 9 de 100 = d) 9 7 de 720 = e) 8 3 de 160 = f) 9 4 de 108 = FRACCIONES EQUIVALENTES. Dos fracciones son equivalentes cuando expresan el mismo valor numérico, es decir, la misma porción de unidad. Así, por ejemplo: 3/4 = 6/8 = 12/16 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 6

7 Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Ejemplo: 12 4 extremo medio ; = medio extremo 60 = Completa los términos que faltan: a) b) Si multiplicas los dos términos de la fracción por un mismo número, obtienes fracciones equivalentes por amplificación. Si divides los dos términos de la fracción por un mismo número, obtienes fracciones equivalentes por simplificación. 8.- Escribe cinco fracciones equivalentes a cada una de las dadas: a) 5 2 = = = = = b) = 14 8 = = = = c) = = = = = d) = = = = = Simplifica las siguientes fracciones hasta obtener una fracción irreducible (aquella que ya no se puede dividir arriba y abajo por el mismo número). 35 a) b) = c) = d) e) 302 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 7

8 1.5.- REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR. Para poder sumar, restar o comparar fracciones es necesario que todas tengan el mismo denominador. Existen dos métodos para realizar esta reducción a común denominador (página 46 del libro de texto). Nosotros vamos a centrarnos en el método del mínimo común múltiplo. Fíjate en el siguiente ejemplo: Dadas las fracciones,, er paso: Hallar el m.c.m. de los denominadores. 24 = = 3 2 m.c.m. = = = º paso: Divido el m.c.m. obtenido entre cada denominador y el resultado se multiplica por su numerador. 72 : 24 = : 9 = : 18 = Reduce a común denominador las siguientes fracciones: a),, = 25 = m.c.m. = 30 = b) 1 9, , = 14 = m.c.m. = 35 = c) 11, , = 75 = m.c.m.= 18 = Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 8

9 1.6.- OPERACIONES CON FRACCIONES: SUMA Y RESTA DE FRACCIONES. Para realizar estas operaciones se reducen las fracciones a común denominador y, acto seguido, se suman o restan los nuevos numeradores obtenidos Ejemplo: Efectúa las siguientes operaciones: 4 5 a) b) c) d) e) f) MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES. El producto de dos o más fracciones es otra que tiene por el producto de los numeradores y por denominador el. Así: : : SIMPLIFICACIÓN DEL RESULTADO Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 9

10 12.- Resuelve los siguientes productos hasta obtener la FRACCIÓN IRREDUCIBLE de cada uno de ellos: a) b) c) d) e) f) g) = Existe una ESTRATEGIA que facilita los cálculos, la vamos a llamar Regla de Oro y dice así: Antes de multiplicar simplificar! Compruébalo tú resolviendo estos ejercicios aplicando la Regla de Oro según el proceso del modelo siguiente: = = 11 5 a) b) Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 10

11 c) d) e) f) g) h) i) DIVISIÓN DE FRACCIONES Deduce las respuestas de los siguientes ejercicios utilizando la información de la página 74 de tu libro de texto: a) Dibuja las figuras inversas de las siguientes dadas: su inversa su inversa su inversa b) Halla la fracción inversa de los siguientes números: i) 5 9 ii) 2 5 iii) 6 iv) 1 7 v) 9 vi) 13 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 11

12 c) Expresa con tus palabras cuál es la fracción inversa de una dada: Observa atentamente cómo dividimos fracciones: a) : b) : Conclusión: Para dividir fracciones multiplicamos la primera de ellas por la de la segunda fracción: a b c a d : d b c a d b c 15.- Opera y aplica la regla de oro siempre que puedas hasta obtener la fracción más sencilla: a) : b) : 20 c) : 42 8 : 54 d) : 16 9 : e) 75 : : Completa la siguiente tabla (A x B): A B Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 12

13 OPERACIONES COMBINADAS Recuerda: Primero resuelve los paréntesis y luego realiza las operaciones en orden inverso a como te las enseñaron (primero las multiplicaciones y divisiones y al final las sumas y restas). a) b) 18 9 : 12 6 c) : d) : e) f) : : g) : 12 6 h) : = i) 3 = Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 13

14 2.- NÚMEROS DECIMALES VALOR DE POSICIÓN. El uso del euro ( ) en la vida cotidiana nos obliga a manejar números decimales y saber distinguir entre 2,1 y 2,01. La cifra 1 de estos dos ejemplos corresponde a un tipo de moneda distinta según su valor posicional: en el primer caso corresponde a una décima (una moneda de 10 céntimos) y en el segundo, una centésima o lo que es lo mismo una moneda de 1 céntimo. Existen dos formas de leer los números decimales: 1ª) Leyendo la parte entera (la situada delante de la coma) con la palabra unidades y luego la parte decimal, dándole el nombre de la última cifra significativa (cifra distinta de cero). 2ª) Nombramos el número completo como si no existiera la coma terminando con el nombre de la última cifra significativa. Así, 653,28 (valor posicional centésimas) puede nombrarse como seiscientas cincuenta y tres unidades, veintiocho centésimas por el primer método, o como sesenta y cinco mil trescientas veintiocho centésimas Completa la siguiente tabla y nombra, por los dos métodos, los números decimales: unidad de millar centenas decenas unidades décimas centésimas milésimas diezmilésimas cienmilésimas ,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 NÚMEROS DECIMALES a ,728 b c d 0,73 e f 9 g 7850,1 h a) 1ª forma: 2ª forma: b) 1ª forma: 2ª forma: c) 1ª forma: 2ª forma: d) 1ª forma: 2ª forma: e) 1ª forma: 2ª forma: Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 14

15 f) 1ª forma: 2ª forma: g) 1ª forma: 2ª forma: h) 1ª forma: 2ª forma: FRACCIONES DECIMALES Todo número decimal puede transformarse en una fracción en la que el denominador sea el 1 seguido de tantos 0 como cifras tenga la parte decimal. Por ejemplo: ; 54,9 ; o en sentido inverso: 1383 ; Obtén las fracciones decimales de los números decimales del ejercicio anterior: a) 605,728 = 1000 b) c) d) e) f) g) h) i) PASO DE FRACCIÓN A NÚMERO DECIMAL: La raya de fracción equivale a un signo de división, luego bastará dividir el numerador entre el denominador para obtener el número decimal. Puede ocurrir que el resultado de esta operación sea exacto (resto igual a cero) y hablamos entonces de números decimales exactos: En otras ocasiones el resto nunca llega a ser 0 y hablamos, entonces, de números decimales periódicos. A las cifras que se repiten en la parte decimal se las denomina período y se reconocen por un arco que las agrupa: , ,75 0 2, , resto repetido Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 15

16 20.- Transforma en números decimales las siguientes fracciones: a) = b) = c) = d) = e) = f) = OPERACIONES CON DECIMALES SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES. El único secreto para realizar estas operaciones es colocar los números uno debajo de otro haciendo coincidir la posición de las comas. El resto de la operación se efectúa como si fueran números enteros. Ejemplos: 75, , ,274 y 2,9583 4,702 75, , , , 290-4, , , Realiza las siguientes sumas y restas: a) 75, , ,274 b) 4,702 2,9583 c) 0,8 + 0,64 + 0,697 d) 93, ,53 6,798 0,012 e) 0,5 7,425 2,08 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 16

17 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. Se multiplican como si fueran números enteros y, al final se pone la coma separando tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores (recuerda la regla de los signos para el resultado de la multiplicación) Realiza las siguientes operaciones: 38,096 X 5,84-91,0047 X 6,485 75,493 X (- 28,06) - 6,00934 X (- 7,008) 67,503 X ,94 X (- 84) DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Existen distintos casos que pueden presentarse en una división con números decimales (véase la página 92 del libro de texto). En todos ellos se procede a transformar el divisor en un número entero antes de iniciar la división. Explica como se realiza esta modificación y realiza los siguientes ejercicios: Cómo pasa el divisor de ser decimal a ser entero? 7,63 2,9 34,27 0,93 0,523 0,46 20, ,7 0, Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 17

18 125 0,032 6,93 7, OPERACIONES COMBINADAS Practica todo lo aprendido en esta unidad (y las anteriores) sobre el orden de las operaciones y el signo de los resultados: a) 134,5 : 2,5 + (- 12,125) = b) 2,75. (3,05 4,605) + 1,37 = c) 5,7 + 6,225 : (-7,5) 0,39 = d) (4, ,875) : 1,5 + 3,064 = REDONDEO Y ESTIMACIÓN Analiza los textos y ejemplos de la página 94 de tu libro y realiza los siguientes ejercicios de estimación realizando una aproximación a las unidades: a) 132,8 + 97,3 b) 4,6 5,2 c) 64,1. 3,7 d) 84,9 : 9,5 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 18

19 E/ AUTOEVALUACIÓN MÉTODO DE TRABAJO: Individual a) Opera hasta obtener la fracción irreducible. Recuerda simplificar en el momento que puedas: b) : c) d) e) de de 720 coches = f) 45 % de de 1080 libros Lee los números decimales que se te dan a continuación: a) : b) : c) : d) : Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 19

20 3.- Completa la siguiente tabla: x = : 0 1 = x = : = x 1000 = : 0 01 = x = : = Realiza las siguientes operaciones: a) = b) = c) = d) : = 5.- Convierte los siguientes números decimales en fracciones decimales: a) b) c) d) Efectúa las siguientes sumas: (RECUERDA: la colocación es importante) a) = b) = c) = d) = 7.- Efectúa: a) = b) 7 53 : 0 31 = Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 20

21 c) 8,45. 0,012 = d) 0,26 : 2,8 = 8.- Redondea las cifras y estima el resultado aproximado: a) 23,7 : 15,6 = b) ,3 = c) -13, = d) = Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 21

22 F) OTROS RECURSOS: BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS EN RED Existen varios libros de diferentes editoriales que puedes encontrar en tu biblioteca de aula, y a las que puedes recurrir para ampliar conocimientos o consultar tus dudas. Por supuesto, y aunque hasta el momento no se haya reflejado por escrito, el principal recurso al que puedes acudir es tu profesor. Él sabrá resolver tus dudas o dirigirte en la búsqueda de la mejor bibliografía. Además de los ejercicios que encuentras en cada una de estas unidades didácticas, el libro de texto es una fuente de otras posibilidades para practicar y mejorar. Cada lección está dividida en capítulos con sus propios ejercicios (denominados Aplica la teoría), al final de éstos se encuentran las secciones Ejercicios y problemas y Aplica tus competencias. Pero la más interesante y formativa de las opciones que nos ofrece nuestro libro es la de Comprueba lo que sabes: si intentas hacer estos ejercicios puedes corregírtelos después con las soluciones que encontrarás al final del libro (no te hagas trampas a ti También te presentamos una nueva página donde puedes obtener vídeos y presentaciones sobre diversos temas, y para muchos cursos, tanto de matemáticas como de otras asignaturas. La dirección es Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 22

23 G) REFUERZOS EDUCATIVOS MÉTODO DE TRABAJO: Individual 1.- Completa las siguientes tablas: Operaciones: x 1/2 3/4 2/3 1/5 1/3 2/5 3/2 5/7 : 1/3 2/3 3/5 7/2 5/9 4 3/8 6/5 Operaciones: 2.- Escribe el número que corresponda en cada caso: a) Trescientas veinte unidades treinta y ocho milésimas b) Mil doscientas dieciséis diezmilésimas c) Cuatrocientas setenta y seis unidades mil doce cienmilésimas d) Treinta y siete unidades ochenta y dos centésimas 3.- Completa la siguiente tabla: x = : 0 1 = x 1000 = : = 17 x = : 0 01 = x 100 = : = Por qué potencia de 10 debe multiplicarse para obtener 4 24? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 23

24 5.- Por qué potencia de 10 debe dividirse para obtener ? 6.- Realiza las siguientes operaciones: a) = b) = c) : 10 = d) : 1000 = e) = f) = g) 3 24 : = h) : 0 01 = 7.- Transforma en número decimal las siguientes fracciones: a) 9/7 b) 234/100 c) 34/10 d) 37/ Realiza las siguientes operaciones: a) = b) 0 4 : 3 5 = c) = d) 3 24 : = e) = f) ( ) 0 3 = g) ( ) ( ) = h) ( ) : ( ) = Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 24

25 H) AMPLIACIONES / PROPUESTA DE INVESTIGACIÓN MÉTODO DE TRABAJO: Individual o en pequeño grupo (máximo 3 o 4 personas) 1.- Un agricultor ha sembrado de trigo los 5/12 del campo que posee, los 7/18 de remolacha y el resto de cebada. Si el campo es de 720 hectáreas: a) Qué fracción del campo sembró de cebada?: trigo remolacha cebada b) Cuántas hectáreas ha sembrado de trigo?: 2.- Las fuentes de energía que usamos en la actualidad pueden dividirse en convencionales y alternativas. De la producción total de energía de un país europeo, las primeras son: la nuclear, que constituye los 3/20, la hidroeléctrica los 4/9 y la térmica los 4/15. Qué fracción representan las energías alternativas (eólica, solar, biomasa, geotérmica, etc.?: 3.- Un electricista necesita para hacer una instalación un total de metros de cable. Sabiendo que tiene tres trozos: uno de 60 3 m., otro de m. y el último de m., averigua: a) cuánto cable le falta o le sobra. b) el precio de la instalación si cobra por el metro de cable instalado 6, Una persona compró metros de tela por A cuánto le salió el metro de tela?. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 25

26 5.- El paso de Lucas mide cm, y el de Raúl cm. Cuántos pasos da cada uno de ellos hasta llegar a su casa, sabiendo que ésta se encuentra a metros de distancia?. 6.- Una caña de pescar consta de tres piezas, cuyas longitudes son 1 33m., 1 09 m., 0 97 m.. Cuál es la longitud de la caña, si hay una disminución de 7 cm. en las uniones de las tres piezas?. 7.- Colorea el 75% de las siguientes figuras: 8.- En una fiesta, un grupo de amigos deciden hacer guirnaldas de distintas longitudes: Ana: 2 5 metros Miguel: 2 3 metros Luis: la mitad que Ana y Miguel juntos. Teresa: 2 6 metros a) Si querían poner 12 metros de cadeneta, cuánto les falta?. b) Si se reparten a partes iguales el trozo que les queda, cuánto deberá hacer cada uno?. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, unidad 2 26