EECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE ECUACIONES CUADRATICAS EN UNA VARIABLE APLICACIONES

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2 EECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE ECUACIONES CUADRATICAS EN UNA VARIABLE APLICACIONES

3 RESOLVER ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE RESOLVER ECUACIONES CUADRATICAS EN UNA VARIABLE RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

4 INTRODUCCION A LAS ECUACIONES INTRODUCCIÔN: Las ecuaciones en general, son igualdades entre epresiones algebraicas en las que intervienen una o ás variables. Las ecuaciones constituen una iportante herraienta en el álgebra. Adquirir habilidad para resolverlas resulta de sua iportancia, por cuanto ello facilita la solución a últiples probleas que se presentan en las aplicaciones de ateática. Cuando las epresiones algebraicas de cada iebro de la igualdad son polinoios las ecuaciones resultantes son llaadas Ecuaciones Polinóicas, Eisten otras epresiones algebraicas que no son polinoios, tales coo las epresiones algebraicas racionales.

5 CONCEPTOS BASICOS Definición de Ecuación: Ecuación es una igualdad entre dos epresiones algebraicas donde al enos una de las epresiones involucran variables o incógnitas. Ejeplos Definición En una ecuación las variables reciben el nobre de incógnitas. Definición En una ecuación de una incógnita cualquier núero que esté contenido en el doinio de la incógnita que al ser sustituido en la ecuación hace que la igualdad sea verdadera, es una solución de la ecuación.

6 Conceptos Definición Dada una ecuación de una incógnita, el subconjunto S del doinio de la incógnita que contiene únicaente las soluciones de la ecuación dada recibe el nobre de conjunto solución. Lo anterior afira que si S es el conjunto solución de una ecuación, entonces en S están las soluciones todo eleento de S es una solución de la ecuación dada. Definición Resolver una ecuación significa deterinar su conjunto solución.

7 ECUACIONES LINEALES GRADO DE UNA ECUACIÓN: El grado de una ecuación en una variable es el aor de los grados de sus onoios. Ejeplos = ECUACION DE CUARTO GRADO 0.5 = 8 ECUACION DE SEGUNDO GRADO Una ecuación Polinoial de grado n en la variable, tiene la fora a n n + a n- n- + a n- n- + + a + a + a 0 = 0 Ejeplo: = 0 ES DE QUINTO GRADO

8 ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES Las ecuaciones polinóicas son de la fora P() = 0, donde P() esun polinoio. Sean a, b, c constantes reales con a 0,. Se llaa ecuación lineal o de prier grado con una variable a toda ecuación de la fora a + b = c, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer térinos siplificar adoptan esa epresión. Por ejeplo, son ecuaciones lineales + = = 0 ( + ) = = -

9 Ejeplos Ejeplos: ) Para la ecuación a + b = 0, su conjunto solución consta de un solo valor; = - b / a ) {} 0, S

10 Ejeplos (,).. el ) S c

11 ECUACION DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinóica donde el aor eponente es igual a dos. Noralente, la epresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita que se epresa en la fora canónica: a + b + c = 0 donde a es el coeficiente cuadrático, a 0, b el coeficiente lineal c es el térino independiente. Epresada del odo ás general, una ecuación cuadrática en n es de la fora: con a n + b n + c = 0 con n є N a 0 La ecuación cuadrática es de gran iportancia en diversos capos, a que junto con las ecuaciones lineales, periten odelar un gran núero de relaciones lees.

12 Clasificación de las ec. cuadráticas La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente anera:.- Copleta: Tiene la fora canónica: a + b + c = 0 con a, b. c 0 Se resuelven por factoriación, por el étodo de copletar el cuadrado o por fórula general. La fórula general se deduce ás adelante..- Incopleta pura: Es de la fora: a + c = 0 con a,c 0. Se resuelve despejando con operaciones inversas su solución son dos raíces reales que difieren en el signo..- Incopleta ita: Es de la fora: a + b = 0 con a,b 0. Se resuelve por factoriación de siepre tiene la solución trivial = 0. No tiene solución en núeros iaginarios

13 Solución General Solución general de la ecuación de segundo grado La ecuación copleta de segundo grado tiene siepre dos soluciones, no necesariaente distintas, llaadas raíces, que pueden ser reales o coplejas, dadas por la fórula general: donde el síbolo "±" indica que los dos valores son las soluciones de la ecuación cuadrática.

14 Naturalea de las Raíces Es interesante observar que esta fórula tiene las seis operaciones racionales del álgebra eleental. En la forula general, la epresión b 4ac se llaa DISCRIMINANTE nos perite conocer la naturalea de las soluciones de la ecuación: Valor del Discriinante Naturalea de las soluciones de b 4ac a + b + c = 0 Positivo Cero Negativo Dos soluciones Reales distintas Abas soluciones Reales e iguales Dos soluciones Coplejas conjugadas

15 EJEMPLOS Ejeplos: Resolver cada ecuación dada. ) 8 = 0 (4 ) = 0 ( + )( ) =0 ( + ) = 0 ( ) = 0 = ± /

16 EJEMPLOS }, { (5) ) 4(5)( entonces, ;, 5, Aquí 0 5 ) S c b a

17 EJEMPLOS para resolveos priero donde 0 5 teneos Sustitu endo, tanto, por, Haceos 5 ) 4 4 },,, { tanto, Por ) (,, ) ( tiene, e. Resolviendo p ara ()() ) (4)()( 5 5 5,, i i S qué Por R tiene se Para qué Por s Si c b a

18 Lenguaje coloquial sibólico En el siguiente cuadro se presenta coo podeos pasar epresiones del lenguaje coloquial al lenguaje sibólico. Lenguaje coloquial Lenguaje sibólico La sua de un núero su consecutivo k + (k + ) Un núero par k La sua de tres núeros consecutivos +( + ) + ( + ) La itad de un núero / Un tercio de la diferencia de dos núeros ( ) / Dos núeros consecutivos pares, + Descoponer el 4 en dos partes, 4 - La diferencia de dos núeros es 4 4, 4 + El producto de dos núeros es 4, 4/

19 Ejeplos Ejeplo. En una reunión en una escuela ha el doble núero de ujeres que de hobres el triple núero de niños que de hobres ujeres juntos. Halle el núero de hobres, ujeres niños que ha en la reunión si el total es de 5 personas.. Solución Lenguaje coloquial Lenguaje sibólico Cantidad de hobres h La cantidad de ujeres es el doble del de hobres h La cant de niños es el triplo del no. de hobres las ujeres juntos. ( h + h ) Coo en total ha 5 personas, entonces suaos las tres epresiones anteriores. 5 h h ( h h) 5h h h h 5h 5h Volviendo a la tabla anterior, podeos observar que ha hobres, que ha h = = ujeres ha ( h + h ) = ( + ) = 7 niños.

20 Ejeplos Ejeplo. Dos ciudades A B distan 00 k entre sí. A las 9 de la añana parte de la ciudad A un vehículo hacia la ciudad B con una velocidad de 90 k/h, de la ciudad B parte otro vehículo hacia la ciudad A con una velocidad de 0 k/h. Se pide: a. El tiepo que tardan en encontrarse. b. La hora en laque se encuentran. c. La distancia recorrida por cada uno. Solución. Coo la velocidad es constante, vaos aplicar las fórulas del oviiento rectilíneo unifore, a saber d = vt. A C B Punto deencuentro a. 00 d( A, C) d( C, B) 0090t 0t 0050t 00t Se encuentran 50 b. Coo abos vehículos parten a las 9, se encontrarán a las de la añana. c. Para hallar la distancia recorrida, aplicaos la fórula d = vt. d( A, C) 90t 90* 80k. d( C, B) 0t 0* 0k al cabo de horas

21 POR SU ATENCION GRACIAS POR MUCHAS GRACIAS SU POR SU ATENCION ATENCION FELIZ DIA