2. EL DISEÑO UNIFACTORIAL (COMPARACION DE TRATAMIENTOS)

Transcripción

1 2. EL DISEÑO UNIFACTORIAL (COMPARACION DE TRATAMIENTOS) La idea principal en este capitulo es el inicio a planear los diseño experimentales y su correspondiente análisis estadístico. En este caso iniciaremos con el diseño de un solo factor, que como su nombre lo indica es el estudio de un solo factor con respecto a una variable de respuesta. 2.1 EJEMPLO DE UN DISEÑO DE UN SOLO FACTOR En el desarrollo de un nuevo producto alimenticio se desea comparar el efecto del tipo de envase sobre la vida de anaquel del producto. Para ello existen tres tipos de envases: Envase A, Envase B, y Envase C. En el experimento se realizaron 10 replicas en cada tipo de envase y al final se mide los días de duración del producto. Los datos obtenidos se muestran en la tabla No Respuesta: Días de duración Media Factor: Tipo de envase A B C Tabla No.2.1 Resultados del experimento de la comparación de envases En el ejemplo, podemos ver que: LA VARIABLE DE RESPUESTA: Días de duración del producto alimenticio. EL FACTOR CONTROLADO: Tipo de envase (se tienen tres variantes). LOS NIVELES DEL FACTOR: 3 Tipos de envase 21

2 2.2 MODELO MATEMÁTICO O MODELO ESTADÍSTICO El modelo matemático del diseño unifactorial se expresa así, yij i ij Donde es días de duración; media global o media general; i efecto del factor o y ij efecto del tipo de envase; ij error aleatorio. 2.3 HIPOTESIS DEL EXPERIMENTO El planteamiento estadístico corresponde al contrastar las siguientes Hipótesis: Hipótesis Nula: H : No influye el tipo de envase en la duración de un producto alimenticio 0 Hipótesis Alternativa: H a : El tipo de envase influye en la duración de un producto alimenticio 2.4 ANALISIS ESTADISTICO DEL DISEÑO DE UN SOLO FACTOR (ANOVA) El Análisis de Varianza (ANOVA) es una técnica estadística muy poderosa para el estudio del efecto de uno o más factores sobre la media de una variable (y la varianza de la variable). La Idea básica es Descomponer la variabilidad total observada de los datos en dos partes; una debido a las diferencias de los tratamientos y otra debido a un error aleatorio. 22

3 2.4.1 DESCOMPOSICION DE LA SUMA TOTAL DE CUADRADOS (DESCOMPOSICION DE LA VARIABILIDAD) La variabilidad total de los datos se obtiene mediante la Suma de Cuadrados Totales (SC TOTALES ), el cual a su vez se descompone en dos elementos: 1. La Suma de Cuadrados de Tratamientos (SC TRATAMIENTOS ), 2. La Suma de Cuadrados del Error (SC error ). Considerando los datos del ejemplo, Suma de Cuadrados Total (SC TOTAL ): mide la variabilidad total en los datos, y matemáticamente se obtiene así, ( ) 2 +( ) ( ) 2 = Donde el es el promedio general de los treinta datos. Los Grados de libertad totales, se obtienen restándole uno al total de los datos (30-1=29). Suma de Cuadrados de Tratamientos (SC TRATAMIENTOS ): mide la variabilidad en los datos asociada a los tratamientos, que en este caso seria asociada a cada tipo de envase, su cálculo se efectúa de la siguiente manera: 10x( ) 2 +10x( ) 2 +10x( ) 2 = Donde el 10 representa el numero de replicas por tratamiento (o tipo de envase); el 31 es el promedio del envase A, el 41.3 es el promedio del envase B y el 43.3 es el promedio del envase C. Los grados de libertad son el numero de tratamientos menos uno, es decir cada tipo de envase es un tratamiento por consiguiente son 3 le restamos uno y obtenemos dos grados de libertad (3-1=2). Suma de Cuadrados Del Error (SC ERROR ): mide la variabilidad que no es debida a las diferencias entre tipo de envase o tratamientos es la variabilidad interna en los tratamientos o envases, en esta variabilidad se incluye la variabilidad de errores de medición, de experimentador o cualquier fuente externa al experimento. Los cálculos se efectúan de la siguiente manera, (23-31) 2 +.+(36-31) 2 +( ) 2 + +( ) 2 +( ) ( ) 2 =

4 El calculo de sus grados de libertad son el total de datos menos el numero de tratamientos, en este caso, es 30-3=27. Finamente, notemos que SC TOTAL = SC TRATAMIENTO + SC RESIDUAL, es decir = CUADRADOS MEDIOS Una vez obtenidos las sumas de cuadrados se procede a obtener los cuadrados medios, el primero es el Cuadrado Medio de los Tratamientos (CM TRATAMIENTOS ), el cual se obtiene dividiendo la SC TRATAMIENTOS entre sus grados de libertad, como se muestra a continuación CM TRATAMIENT OS SC TRATAMIENTOS a Donde a es el numero de tratamientos o envases. El segundo es el Cuadrado Medio del Error (CM error ), que se obtiene dividiendo la suma de cuadrados del error entre sus grados de libertad, su cálculo se efectúa así, CM ERROR SC ERROR N a Donde N es el total de datos y a es el numero de tratamientos OBTENCION DE LA F CALCULADA O DE LA La F-calculada o la F 0, se obtiene al dividir el cuadrado medio del tratamiento en tre el cuadrado medio del error, como se muestra a continuación, F CM CM TRATAMIENT O 0 ERROR F

5 2.4.4 OBTENCION DE LA F DE TABLAS F(tablas) En las tablas de la distribución F de Fisher (apéndice) podemos ver que para un 0.05 con 2 grados de libertad en el numerador y 27 grados de libertad en el denominador se tiene que el valor de la F(tablas) es COMPARACION DE LA Fo CON LA F(tablas) Si el valor de la Fo es mayor que el valor de la F(tablas) entonces se rechaza la hipótesis nula, en los resultados se puede ver que Fo=7.647>F(tablas)=3.35, entonces podemos concluir que si existen diferencias en los tipos de envase. En otras palabras el tipo de envase si influye en la duración de un producto alimenticio. Todos los resultados anteriores se pueden ver en la tabla 2.2, llamada Tabla de Análisis de Varianza. Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P EFECTOS PRINCIPALES P(F=7.65) A:ENVASE RESIDUOS TOTAL (CORREGIDO) Tabla 2.2 Tabla de Análisis de Varianza, usando el programa Statgraphics Centurion XV Nótese que el análisis de varianza (Tabla 2.2) solo indica que si existen diferencias entre los envases, pero no establece, ni propone, cual es mejor envase de los tres. Para ello se requiere hacer un análisis complementario conocido como Prueba de Rangos Múltiples. La prueba de rangos múltiples, es un conjunto de métodos, los cuales consisten en comparación de pares de medias de los tratamientos. Entre esos métodos, se pueden mencionar, el Método de la Mínima Diferencia Significativa (LSD), el método de la Máxima Diferencia significativa (HSD), y el método de Duncan, entre otros. 2.5 COMPARACIÓN DE PAREJAS DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS Existen varios métodos de comparación de tratamientos, los cuales consisten en comparar todas las medias de tratamientos, uno de los más usuales es Método de la Mínima Diferencia Significativa 25

6 (LSD, del inglés least significant difference). Supongamos que después de haber rechazado la hipótesis nula, con base en una prueba F de análisis de varianza, se desea probar todas las posibles comparaciones de medias de los tratamientos. Para ello se realizan el siguiente procedimiento 1. Se calcula el valor del LSD mediante la siguiente formula, cuando el numero de replicas por nivel o tratamiento es el mismo, es decir n 1 =n 2 = n LSD= t /2,N-a 2 CM ERROR n Donde t /2 (N-a) es la t-student con un nivel de confianza y N-a grados de libertad; CM error es el cuadrado medio del error del análisis de varianza. En el ejemplo el valor del LSD es, t CM 2( ) n 10 Error LSD= (, ). 2 2 N a Donde el valor de t /2 (N-a) se obtuvo analizando las tablas de la distribución t-student, para un nivel de confianza =0.05 y 27 grados de libertad. 2. Se calculan las medias de los tratamientos Tipo de envase Media A 31 B 41.3 C Se calculan el valor absoluto de las diferencias de medias de todos los tratamientos El envase A con el envase B El envase A con el envase C El envase B con el envase C 26

7 Comparación del valor absoluto de la diferencia las medias de los tratamientos con el valor del LSD * > 6.92, por lo tanto el tipo de envase A es diferente al tipo de envase B * >6.92, por lo tanto el tipo de envase A es diferente al tipo de envase C * <6.92, por consiguiente no hay diferencias entre los envases B y el C 5. Conclusión: De acuerdo a los resultados anteriores podemos concluir que el tipo de envase A es el menos recomendable, ya que presenta menor promedio que los otros dos, por consiguiente se puede decidir por cualquiera de los dos tipos de envase restantes, es decir el tipo B o el tipo C, ya que en ellos no se encontraron diferencias. La salida de los resultados usando el programa de estadística Statgraphics versión Centurion, se puede ver en la tabla 2.3, ENVASE Casos Media Grupos Homogéneos A X B X C X Contraste Sig. Diferencia +/- Límites A - B * A - C * B - C * indica una diferencia significativa. Tabla 2.3 Prueba de comparación LSD Una gráfica representativa de esto resultados es la gráfica de medias. En la figura 2.1 se puede ver la grafica de medias de ejemplo del tipo de envase. Nótese que esta gráfica, se puede establecer que no hay diferencias entre el tipo de envase B y el envase C. De hecho, si se opta por usar el envase C se esperarían promedios entre y 46.76, mientras que si se decide por el envase B se esperarían promedios entre y (ver tabla 2.4). 27

8 DIAS Medias y 95.0% de Fisher LSD A B C ENVASE Figura 2.1 Graficas de medias, método LSD Error Est. ENVASE Casos Media (s agrupada) Límite Inferior Límite Superior A B C Total Tabla 2.4 Tabla de medias 2.6 SUPUESTOS Algo fundamental en el análisis de varianza son los supuestos de los residuales, los cuales deben cumplir con tres: 1.- Los residuales deben ser independientes 2.- Los residuales deben tener varianza constante 3.- Los residuales se distribuyen normal. Si alguno de esos tres no se cumple es suficiente para invalidar el Análisis de Varianza. Para checar estos tres supuestos se deben calcular primeramente los residuales mediante la siguiente formula: e ij y ij y i. Donde y i. y i. n es el promedio del i-ésimo tratamiento. Los residuales para el ejemplo de los envases están en la tabla 2.5, 28

9 residual Envase A Envase B Envase C 23-31= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =-9.3 Tabla 2.5 Residuales para el ejemplo de los envases SUPUESTO DE VARIANZA CONSTANTE (PRUEBA GRAFICA) Para checar el supuesto de varianza constante, es necesario realizar una grafica tipo x-y, en la cual en el eje x se colocan los niveles o tratamientos y en el eje y los residuales correspondientes a cada tratamiento como se ilustra en la grafica de la figura 2.2, Residual Plot for DURACION A B C ENVASE Figura 2.2 Grafica de verificación de la varianza constante En la figura 2.2 se presentan gráficamente los niveles del factor contra los residuales. La interpretación de esta gráfica consiste en analizar los patrones o tendencias de comportamiento en los puntos graficados. La variación de los puntos para cada uno de los niveles A, B y C no debe presentarse diferencias. No se debe distinguir la presencia de un embudo. En la figura 2.2 no se 29

10 presenta patrón inusual por lo que podemos concluir que si se cumple el supuesto de varianza constante VERIFICACION DE VARIANZA CONSTANTE (PRUEBA ESTADISTICA) Existen varias pruebas estadísticas para verificar la igualdad de varianzas, en el statgraphics podemos encontrar 4 pruebas, entre las que destacan las siguientes: Prueba de Cochran: Compara la varianza máxima dentro de la muestra a la varianza promedio dentro de la muestra. Prueba de Bartlett: Compara un promedio ponderado de las varianzas dentro de la muestra a su media geométrica. Prueba de Harley: Calcula la proporción de la varianza muestral más grande a la varianza muestral más pequeña. Prueba de Levene: Ejecuta un análisis de varianza en desviaciones absolutas de las observaciones de sus medias muestrales. Los resultados usando la Prueba de Levene, se pueden observar en la tabla 2.6, donde se puede ver que el valor de p= es menor que un valor de significancia dado 0.05, indicando con esto, que no existen diferencias significativas entre las varianzas, con lo que comprobamos la varianza constante. Verificación de Varianza Prueba Valor-P Levene's Tabla 2.6 Verificación de la varianza de los tratamientos 30

11 2.6.2 SUPUESTO DE INDEPENDENCIA Para checar el supuesto de independencia se requiere tener el orden de corrida experimental, como se muestra a continuación: ORDEN DE ENVASE RESIDUAL CORRIDA 1 A -8 2 B C A -3 5 B B C A C B B A C A 4 15 B C C A C B A 6 22 C B A C B A 1 28 C B A 5 Y en seguida graficarlos como se muestra a continuación: 31

12 residual Residual Plot for DIAS row number RESIDUALES VS ORDEN DE CORRIDA (O SECUENCIA DE TIEMPO) Figura 2.3 Verificación de la independencia de los residuales En la figura 2.3 se presenta gráficamente el número de corrida contra el valor del residual. En esta gráfica no se debe presentar ningún tipo de patrón de comportamiento, los puntos deben verse completamente dispersos. De acuerdo a esta gráfica se puede concluir que si se cumple el supuesto de independencia SUPUESTO DE NORMALIDAD Un procedimiento útil consiste en construir una gráfica de probabilidad normal de los residuos. Una gráfica de este tipo es la representación de la distribución acumulada de los residuos sobre papel de probabilidad normal, en otras palabras, es papel para gráficas cuya escala de ordenadas es tal que la distribución normal acumulada sea una recta. Para construir una gráfica de probabilidad normal se hace el siguiente procedimiento: 1. Se ordenan los residuos en orden ascendente: RESIDUALES ORDENADOS

13 percentage A cada residuo se le calcula su punto de probabilidad acumulada mediante la siguiente formula: K e ( k 0. 5 ) K K ij P k e ( k 0. 5 ) ij P k ( k 0. 5 ) P k N eij P k ( k 0. 5 ) 3. Se grafican en el eje de las X's y los ( k 0. 5 ) en el eje de las Y's, como se muestra la figura 2.4 e ij P k 30 Normal Probability Plot for RESIDUALS RESIDUALS Figura 2.4 Grafico de probabilidad normal para los residuos En está gráfica se puede ver que la mayoría de los puntos se ajustan a la línea recta, lo que significa que los residuales si cumplen el supuesto de normalidad. 33