XVII. CUERPO RÍGIDO. TRABAJO E IMPULSO

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1 XVII. CUERPO RÍGIDO. TRABAJO E IMPULSO Así como en el estudio de la partícula los métodos del trabajo y la energía y del impulso y la cantidad de movimiento nos permitieron abordar ciertos problemas de un modo más eficiente, también esos conceptos nos ayudarán en la resolución de un gran número de problemas del cuerpo rígido. Comenzaremos ampliando para el cuerpo rígido los conceptos sobre trabajo y energía, conforme al tipo de movimiento de que esté dotado. La última parte la dedicaremos al impulso y el moméntum. Trabajo y energía En los capítulos correspondientes, quedaron definidos los conceptos de trabajo, energía cinética, energía potencial gravitacional y energía potencial elástica, que ahora volveremos a utilizar, tal como los conocemos. Asimismo, emplearemos sin cambios las fórmulas del trabajo y la energía cinética y la general del trabajo y la energía: U = T U = T + V g + V e Hemos escrito la fórmula general como la conocíamos. Aunque el último término no se aplica a los cuerpos rígidos, dada su imposibilidad de deformarse, sí se requiere en aquellos sistemas en los que interviene algún

2 cuerpo elástico. Estas fórmulas sirven para resolver problemas en los que hay que relacionar rapideces lineales con desplazamientos, o rapideces angulares con desviaciones angulares. Traslación pura Cuando un cuerpo rígido se mueve con traslación pura, es decir, que todas sus rectas conservan su dirección original durante el movimiento, su estudio se reduce al de una cualquiera de sus partículas. Por tanto, las expresiones T = 1 2 m(v 2 2 v 1 2 ) V g = mg(h 2 h 1 ) V e = 1 2 k(x 2 2 x 1 2 ) se emplean como si se tratara del caso de una partícula. Para el incremento de la energía potencial gravitacional, la diferencia de alturas se refiere particularmente a la correspondiente al centro de gravedad, lo cual hay que tener en cuenta también en los casos de la rotación pura no baricéntrica y del movimiento plano general. Rotación pura Ya hemos visto que para que se produzca la rotación baricéntrica de un cuerpo se requiere un sistema de fuerzas cuya resultante sea un par. Conviene, por tanto, que calculemos el trabajo de un par. Trabajo de un par de fuerzas Consideremos un cuerpo rígido sujeto a la acción de dos fuerzas paralelas de magnitud F cuyas líneas de acción estén separadas una distancia d, como 410

3 se muestra en la figura: se trata de un par de magnitud M = F d. Si tomamos el punto O como punto base, el trabajo del par de fuerzas que desvié el menhir un ángulo dθ será igual a U = F ds pero ds es igual a d dθ. Por tanto U = F ddθ U = M dθ Hemos deducido que el trabajo de un par de fuerzas es igual al producto de la magnitud del par por la desviación angular del cuerpo. Energía cinética La energía cinética de un cuerpo es igual a la suma de las energías cinéticas de todas las partículas que lo conforman. Y la de cada partícula es función de su rapidez v, que puede expresarse como el producto de la rapidez angular del cuerpo, ω, por la distancia r de la partícula al centro de rotación. Podemos escribir, por tanto: T = 1 2 v2 dm = 1 2 (ωr)2 dm = 1 2 ω2 r 2 dm T = 1 2 I 0ω 2 Como es lógico, si la rotación es baricéntrica, el momento de inercia de la masa debe ser el centroidal, como en el siguiente ejemplo. 411

4 Ejemplo. Un volante de inercia se desconecta de la máquina cuando gira a 360 rpm. Se observa que da 520 revoluciones completas hasta detenerse. Determine la magnitud del par que el rodamiento ejerce sobre el volante. La masa del volante es de 240 kg y su radio de giro cantroidal, de 0.6 m. Puesto que el trabajo de frenado lo efectúa exclusivamente el par que ejerce el eje sobre el volante, el trabajo del par es igual a la pérdida de energía cinética: U = T Mdθ = 1 2 I (ω 2 2 ω 1 2 ) Como el par es constante y realiza un trabajo en sentido contrario de la velocidad angular: En donde Por tanto M( θ) = 1 2 I (0 ω 1 2 ) θ = 520rev = 520(2π)rad I = k 2 m = (240) ω 1 = 360 ( 2π 60 ) rad s = 12π rad s 520(2π)M = 1 2 (0.62 )240( 12π) M = 0.18(240)(12π)2 1040π M = N m = 0.18(240)144π2 1040π Resolveremos ahora un problema de rotación pura no baricéntrica, en el que se produce un cambio tanto de la energía cinética como de la potencial gravitacional. 412

5 Ejemplo. Una barra homogénea de 16.1 lb de peso y 3 ft de largo, que se mueve por la sola acción de su peso, tiene una rapidez angular de 8 rad/s en sentido antihorario cuando ϴ = 0. Sabiendo que toda resistencia al movimiento es despreciable, calcule la rapidez angular que tendrá: a) cuando ϴ = 90 ; b) cuando ϴ = 180. Las únicas fuerzas que actúan sobre la barra en cualquier instante del movimiento en estudio, sin el peso, que es una fuerza conservativa, y la reacción de la articulación, que no trabaja, pues no se desplaza. Podemos emplear, por tanto, la siguiente reducción de la fórmula general: T + g = 0 Tomando como posición 1 donde ϴ = 0 y como posición 2 donde ϴ = 90, tenemos: 1 2 I 0(ω 2 2 ω 1 2 ) + mg(h 2 h 1 ) = [1 3 (0.5)32 ] (ω ) ( 1.5) = (ω ) = ω = ω 2 = 9.81 rad s Se puede ver fácilmente que el movimiento de la barra desde ϴ = 0 hasta ϴ = 180 no implica ningún cambio en la energía potencial gravitacional, por lo que la energía cinética tiene que conservar su valor y, por tanto, ω = 8 rad s 413

6 Movimiento plano general Para estudiar el movimiento plano general, partiremos de la consideración de que se trata de la realización simultánea de una traslación y una rotación baricéntrica. La energía cinética correspondiente a la traslación es la del centro de masa, que hará las veces de centro de rotación, y la que corresponde a la rotación, deberá ser la baricéntrica. Para un instante cualquiera la enercía cinética del cuerpo rígido será T = 1 2 mv G I ω 2 en donde v G es la rapidez del centro de masa. Ejemplo. El carrete A de la figura pesa 40 kg y su masa tiene un radio de giro centroidal de 0.4 m. Está unido a un resorte indeformado cuya constante de rigidez es k = 8 kg/m. El cuerpo B pesa 20 kg. La cuerda para por una clavija lisa y es ideal. Si el conjunto se suelta del reposo, qué velocidad angular tendrá el carrete cuando B haya descendido 1.5 m? El carrete rueda sin deslizar. Como ninguna fuerza externa no conservativa interviene en el movimiento del conjunto, podemos emplear la fórmula general del trabajo y la energía igualada a cero: T + V g + V e = 0 (1) Dado que el centro instantáneo de rotación es el punto de contacto entre el carrete y la superficie horizontal, la relación entre las distancias a la cuerda y al centro del carrete es la misma que la del desplazamiento del cuerpo B y el del resorte: = S B ; si S x B = 1.5, x 2 =

7 esa es la misma proporción que guardan la velocidad del centro del cuerpo B y el centro de masa del carrete: vb = 0.6 v (testada). Además la velocidad del centro de masa del carrete será v (testada)= ω r = 0.5 ω. Podemos escribir, por tanto: T = T A + T B = 1 2 m Av I ω m 2 Bv B2 T = 1 2 ( ) (0.5v 2) [0.42 ( )] ω ( ) (0.3ω 2) 2 T = ω = ω = ω 2 V g = 20(1.5) = 30 V e = 1 2 k(x 2 2 x 1 2 ) = 1 2 (8)2.52 = 25 Estos valores en (1) ω = 0 ω 2 2 = ω 2 = 2.4 rad/s Impulso y moméntum Así como los conceptos de impulso y moméntum resultaron útiles en la resolución de problemas de la partícula en que las fuerzas eran función del tiempo, o las acciones mutuas de dos de ellos ocurría en un breve lapso, también en el estudio del cuerpo rígido servirá en casos semejantes. 415

8 Cantidad de movimiento lineal y angular La cantidad de movimiento lineal de una partícula es el producto de la masa por la velocidad. El de un cuerpo rígido será igual a la suma vectorial de las cantidades de movimiento de sus partículas. Consideremos un cuerpo rígido que tenga una rapidez angular ω y tomemos un punto base arbitrario O. La rapidez de una partícula cualquiera se puede expresar como v = ω r, y su cantidad de movimiento lineal como ω r dm. Si integramos, obtendremos el producto de la rapidez angular por el momento estático de la masa del cuerpo, respecto a un eje perpendicular que pasa por el punto base; a su vez, ese momento estático puede expresarse como el producto de la masa por la distancia del eje al centro de masa: ωr dm = ω r dm = ωb 0 m = ωr m = mv G y, como se ve, la cantidad de movimiento lineal del cuerpo resulta ser igual al producto de su masa por la velocidad de su centro de masa. Se trata de una cantidad vectorial. Sabiendo que el impulso es igual al incremento de la cantidad de movimiento, podemos escribir: F dt = m(v G2 v G1) La cantidad de movimiento angular o moméntum angular de un cuerpo será la suma de las cantidades de movimiento angular de sus partículas. De la figura anterior, observamos que la cantidad de movimiento angular de una partícula será igual a ω r 2 dm y, al integrar, obtendremos 416

9 que es igual al producto de la rapidez angular del cuerpo por el momento de inercia de su masa respecto al eje que pasa por O: ωr 2 dm = ω r 2 dm = ωi 0 Y, puesto que el impulso angular es igual al incremento de la cantidad de movimiento angular, podemos escribir: M 0 F dt = I 0 (ω 2 ω 1 ) Cuando dos cuerpos aislados se ejercen fuerzas entre sí, se pueden emplear las expresiones de la conservación tanto del moméntum lineal como del moméntum angular: m A v GA1 + m B v GB1 = m A v GA2 + m B v GB2 I 0A ω A1 + I 0B ω B1 = I 0A ω A2 + I 0B ω B2 Cuando se trata de un solo cuerpo cuya configuración se ve alterada por fuerzas internas, la segunda expresión se reduce a I 01 ω 1 = I 02 ω 2 Ejemplo. Una esfera maciza de 4 kg de peso y 0.12 m de radio, se lanza con una rapidez de 8 m/s, sin velocidad angular, sobre una superficie horizontal, cuyo coeficiente de fricción cinética es 0.2. Determine el tiempo que se requiere para que la esfera comience a rodar sin deslizar, y cuál será entonces su velocidad angular. 417

10 Dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la esfera mientras se desliza sobre la superficie horizontal. Como se trata de un problema en el que se desea investigar un tiempo, las fórmulas del impulso y el aumento de la cantidad de movimiento resultan apropiadas. La esfera recibe un impulso lineal en sentido contrario de la velocidad, y un impulso angular en sentido horario. Igualaremos las ecuaciones, sabiendo que la esfera deja de resbalar cuando la velocidad de su centro de masa es igual al producto de la velocidad angular por el radio, ya que en ese instante, el centro de rotación es el punto de contacto entre la esfera y la superficie. t F x dt = m(v t v 0 ) 0 0.8t = 4 g (v t 8) t = 5 g v t + 40 g (1) M G F dt = I (ω t 0) Igualando (1) y (2) 0.8(0.2)t = 2 5 (4 g ) ω t t (2) 0.24 g ω tt = 5 g v t + 40 g Multiplicando por g y sustituyendo v t por 0.12 ω t 0.24ω t = 5(0.12)ω t + 40 ( )ω t = 40 ω t = 47.6 rad/s t = s 418

11 Ejemplo. Un dispositivo experimental consiste en una cruceta de masa despreciable en cuyos extremos opuestos se pueden colocar sendas esferas de 4 lb. El conjunto gira alrededor de un eje horizontal que pasa por su centro de masa. Cuando las esferas están colocadas en los extremos del vástago largo, el mecanismo gira con rapidez angula constante de 45 rpm. Diga cuál será la rapidez angular del mecanismo si las esferas se colocan en el vástago menor, y si el procedimiento para que adquiera su velocidad es el mismo que se empleó en el caso anterior. Se trata de un problema de conservación de la cantidad de movimiento angular. Calcularemos los momentos de inercia de las dos configuraciones del mecanismo, multiplicando la masa de las esferas por el cuadrado de su distancia al eje de rotación. I 1ω 1 = I 2ω 2 4(1 2 )2(45) = 4(0.1 2 )2ω 2 45 = 0.01ω 2 ω 2 = 4500 rpm 419

12 Serie de ejercicios de Dinámica CUERPO RÍGIDO. TRABAJO E IMPULSO 1. Una columna de sección cuadrada de 40 por 40 cm, tiene una altura de 2.4 m y pesa 920 kg. Diga qué trabajo se requiere para levantarla, si originalmente reposa sobre uno de sus costados. (Sol. 920 kg m ) 2. Para probar la potencia de un motor, sobre el volante A de la figura se coloca una banda. En uno de los extremos se coloca un dinamómetro y en el otro, una carga de 1 kg de peso. El volante gira con velocidad constante de 120 rpm y tiene un diámetro de 0.6 m. Determine el trabajo que el motor realiza en un segundo, si el dinamómetro marca 4 kg. (Sol. 15 kg m ) 3. Una pequeña esfera de 3.22 lb de peso y una pulgada de diámetro se suelta desde el punto A de la superficie de la figura. Calcule la rapidez angular con que pasa por el punto B, el más alto del bucle, sabiendo que la esfera rueda sin deslizar. Cuál es la reacción de la superficie sobre la esfera en ese punto? (Sol. 4.7 lb ) 4. Las dos poleas de la figura son iguales. A gira en sentido horario, B en sentido contrario. Sus centros están separados 40 cm. Sobre ellas se coloca una barra homogénea de 10 kg, de modo que su centro de gravedad quede a 6 cm del eje de simetría de las poleas. Sabiendo que el coeficiente de fricción cinética entre las poleas y la barra es 0.2, diga con qué rapidez 420

13 pasará el centro de gravedad de la barra por el eje de simetría de las poleas. La barra se coloca sin velocidad inicial. (Sol cm/s ) 5. La polea de la figura es un cilindro macizo de 16.1 lb de peso y 2 ft de radio. El cuerpo A pasa 64.4 lb, y el B, En cierto instante, la rapidez de A es de 5 ft/s; cuál será, cuando se haya desplazado un pie más? (Sol ft/s ) 6. Una barra delgada y homogénea de un slug de masa tiene una longitud de 5 ft y está articulada a un pie de uno de sus extremos. Si la barra está originalmente en reposo en la posición mostrada, cuál será la máxima rapidez angular que alcanzará? (Sol rad/s ) 7. El volante de la figura tiene una masa de 100 kg y un radio de giro de 0.4 m respecto a su eje de rotación. A dicho eje se le aplica un par de magnitud M = 5 t, donde si t se da en s, M resulta en kg m. Si el volante originalmente está en reposo, qué velocidad angular tendrá a los tres segundos de haber aplicado el par? (Sol rad/s ) 8. Sobre una superficie inclinada 15 se coloca, sin velocidad inicial, un tubo de pared delgada de 1.5 ft de radio. Sabiendo que el tubo rueda sin desliza, diga cuál será la velocidad de su centro de masa, cuando se haya desplazado 5 ft. (Sol ft/s 15 ) 421

14 9. Las barras AB y BC son homogéneas e iguales; están contenidas en el plano vertical y articuladas. Miden 0.8 m y pesan 12 kg. Calcule la rapidez máxima de la articulación B, si el conjunto se suelta del reposo en la posición mostrada. (Sol m/s ) 10. El cuerpo A de la figura pesa 20 kg; la polea B es un cilindro macizo de 10 kg de peso y 0.3 m de radio; y el cuerpo C es un carrete que pesa 50 kg, tiene un radio exterior de 0.4 m y su núcleo, de 0.2 m, y su radio de giro centroidal es de 0.25 m. Sabiendo que los cuerpos están originalmente en reposo y que el carrete rueda sin deslizar, determine la velocidad angular del carrete C cuando A haya descendido 1 m. (Sol rad/s ) 11. El péndulo cónico de la figura describe una circunferencia horizontal de radio r, y da 80 vueltas completas en un minuto. Paulatinamente se comienza a reducir la longitud de la cuerda, hasta que el radio de la trayectoria del péndulo se reduce a la mitad. Cuántas vueltas completas dará en un minuto? (Sol. 160 vueltas) 12. La figura representa la puerta de una cochera de 300 lb de peso y que tiene 8 ft de altura. En cada lado de la puerta hay un resorte, que no está deformado cuando la puerta está abierta, y que es la posición mostrada. Se desea que, soltando del reposo la puerta abierta, llegue a su posición final sin velocidad: cuál debe ser la constante de rigidez k de cada resorte? (Sol lb/ft) 422

15 13. A un cilindro macizo de 800 kg de peso y 0.5 m de radio, originalmente en reposo, se le aplica una fuerza horizontal de 20 kg durante 10 s. a) Cuál será la velocidad angular del cilindro? b) Qué velocidad lineal tendrá su centro de masa? El cilindro rueda sin deslizar. (Sol rad/s, m/s ) 14. La polea de la figura pesa 32.2 lb, su radio exterior es de 6 in y tiene un radio de giro centroidal de 3 in. El cuerpo que pende de la cuerda pesa 8.05 lb. Inicialmente, la rapidez angular de la polea es de 3 rad/s; diga qué rapidez alcanzará dos segundo después. (Sol. ω 2 = rad/s ) 15. El carrete de la figura está originalmente en reposo y se le aplica una fuerza constante de 20 kg mediante una cuerda enrollada en su núcleo. Sabiendo que el radio de giro centroidal de la masa del carrete es de 0.25 m y que rueda sin deslizar, cuál será su velocidad angular a los tres segundos? (Sol rad/s ) 16. Una barra delgada y homogénea de 16.1 lb de peso y 4 ft de largo está articulada en uno de sus extremos y en reposo. Diga cuál será su rapidez angular inmediatamente después de que una bala de 2 oz, que lleva una velocidad horizontal de 900 ft/s, se incrusta en ella a 3 ft de la articulación. (Sol. 8.9 rad/s ) 17. El volante de la figura está rígidamente unido a la polea B. Las poleas A y B están uni- 423

16 das por una banda ideal, de masa despreciable. El sistema está originalmente en reposo cuando se le aplica un par constante de 2 kg m a la polea A. Cuánto tiempo se requiere para que el volante alcance una rapidez angular de 240 rpm? La masa del conjunto volante-polea B es de 360 kg y su radio de giro centroidal, de 0.8m; la polea A tiene una masa de 12 kg y un radio de giro centroidal de 0.1 m. (Sol. t = s ) 424