MÉTODO GRÁFICO. PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO

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1 MÉTODO GRÁFICO PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO

2 Este método grafica las restricciones y la función objetivo del modelo en un plano cartesiano. Para poder representar gráficamente las rectas que representan las restricciones y la función objetivo, se requiere tantos ejes como variables de decisión haya en el modelo a solucionar. Lo anterior supone que este método se emplea para modelos con dos variables de decisión, pues un número mayor a este complicaría la representación gráfica espacial del modelo.

3 Resolver el siguiente modelo de programación lineal mediante el método gráfico.

4 PROCEDIMIENTO: 1. Dibujar un plano cartesiano con tantos ejes como variables de decisión haya en el modelo a solucionar(dos variables). 2. Convertir las restricciones de desigualdad a igualdades para conocer las ecuaciones de línea recta que cada una representa. 3. Graficar en el plano las ecuaciones de línea recta de las restricciones. 4. Representar a región delimitada derivada de cada recta. Dirección de crecimiento de cada ecuación. 5. Representar la región factible del modelo. Intersección de las regiones delimitadas por cada recta de restricciones.

5 PROCEDIMIENTO: 6. Se traza la recta de la función objetivo para un valor arbitrario, se traza nuevamente la recta de la función objetivo para un valor mayor si se maximiza (menor, si se minimiza) y se observa la dirección de crecimiento de la función objetivo. Si se conoce la dirección de crecimiento de la función objetivo, se puede seguir esta dirección por rectas paralelas hasta encontrar el último vértice que se toca al abandonar la región factible. Esta será la solución óptima del modelo de programación lineal.(vidal, 2005)

6 1. Dibujar un plano cartesiano con tantos ejes como variables de decisión haya en el modelo a solucionar(dos variables).

7 2. Convertir las restricciones de desigualdad a igualdades para conocer las ecuaciones de línea recta que cada una representa.

8 3. Graficarenelplano lasecuaciones de línea rectade las restricciones. 4. Representar a región delimitada derivada de cada recta. Dirección de crecimiento de cada ecuación

9 3. Graficarenelplano lasecuaciones de línea rectade las restricciones. 4. Representar a región delimitada derivada de cada recta. Dirección de crecimiento de cada ecuación Υ 2 = χ

10 3. Graficarenelplano lasecuaciones de línea rectade las restricciones. 4. Representar a región delimitada derivada de cada recta. Dirección de crecimiento de cada ecuación

11 5. Representar la región factible del modelo. Intersección de las regiones delimitadas por cada recta de restricciones.(polígono convexo O-F-H-G-C)

12 Al determinar la REGION FACTIBLE de un modelo de PL, la figura geométrica resultante se le conoce como poliedro convexo, y por tanto se dice que un conjunto de restricciones forman un conjunto poliédrico. La convexidad es un concepto de gran importancia en optimización. Un conjunto C es un conjunto convexo si el segmento rectilíneo que une cualquier par de puntos de C se encuentra completamente en C. Conjunto Convexo Conjunto No - Convexo Si la Región Factible es Convexa, la solución optima del problema de PL se encontrará en uno de los vértices.

13 6. Primera Posibilidad: Evaluar en la función objetivo las coordenadas de los vértices de la figura formada por la región factible y definir el valor objetivo (máximo si la función objetivo es de maximización o mínimo si la función objetivo es de minimización) como el óptimo.

14 6. Se traza la recta de la función objetivo para un valor arbitrario, se traza nuevamente la recta de la función objetivo para un valor mayor si se maximiza (menor, si se minimiza) y se observa la dirección de crecimiento de la función objetivo. Si se conoce la dirección de crecimiento de la función objetivo, se puede seguir esta dirección por rectas paralelas hasta encontrar el último vértice que se toca al abandonar la región factible. Esta será la solución óptima del modelo de programación lineal.(vidal, 2005) FO = 24 FO =

15 Problema de la Dieta: En Granjas Modelo se usa diariamente un mínimo de 800 libras (Ib) de un alimento especial, que es una mezcla de maíz y soya, con las composiciones siguientes: Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteínas y un máximo de 5% de Fibras. Granjas Modelo desea determinar las proporciones de alimento que produzcan un costo diario mínimo. Solucionar el siguiente problema mediante el método gráfico:

16 Solución Problema de la Dieta:

17 Solución Problema de la Dieta: Problema de la Dieta Problema de la Dieta Restricción Restricción La coordenada (0,0) pertenece a la región factible? La coordenada (500,1000) pertenece a la región factible?

18 Solución Problema de la Dieta: 1200 Problema de la Dieta Restricción La coordenada (1000,0) pertenece a la región factible?

19 Solución Problema de la Dieta: Z = 1350 X X 1 2 = = X X 1 2 = = Z = 900 X X 1 2 = = X X 1 2 = =

20 Ejercicio en Clase Problema de producción Función objetivo Restricciones MAX U = 400X X , 2 0 1, 2!"#$

21 X2 Z Múltiples soluciones Si la función objetivo coincide con una restricción Restricción 1 Restricción 2 Restricción 3 X1

22 X2 Z Múltiples soluciones Si la función objetivo coincide con una restricción Restricción 1 Restricción 2 Restricción 3 X1

23 Ejercicio en Clase Función objetivo MAX Z = 3X 1 + 2X 2 Restricciones

24 X2 Solución no acotada Si la función objetivo crece sin limite X1

25 X2 Solución no acotada Si la función objetivo crece sin limite X1

26 Ejercicio en Clase Función objetivo MAX Z = 3X 1 + 2X 2 + 3X 3 Restricciones , 2, 3 0

27 Sin solución X2 X1

28 Ejercicio en Clase Problema de mezcla de productos. Un fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos: mesas y sillas. Se cuenta con 96 unidadesdematerialycon72horasdemanodeobra.cadamesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material cada una y requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen de contribución es el mismo para las mesas que para las sillas: $5.00 por unidad. El fabricante prometió construir por lo menos dos mesas.

29 Problema de mezcla de productos. Modelo de Programación Lineal

30 x 1 2 Análisis de la Maximización de la Función Objetivo: Z = 5X 1 + 5X 2 12x 1 + 8x 2 96 a 6x x 2 72 a c c b d b d Punto Optimo El punto que maximiza la Función Objetivo es el punto c. Calculando el punto c como el punto de intersección de las dos rectas se obtiene que X 1 =6, X 2 =3, Z= 45

31 Fuentes: 1. Vidal, Carlos Julio (2005). Introducción A La Modelación Matemática Y Optimización. 2. Bravo, Juan José. Notas de Clase: Solución de Modelos de Programación Lineal. Método Gráfico. 3. Ramirez, Luis Felipe(2009). Notas de Clase: Método de Solución Gráfico. 4. Copyright PHPSimplex.

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