Equivalencia de Tasas Compuestas MATEMÁTICA FINANCIERA. Equivalencia de Tasas Compuestas. Equivalencia de Tasas Compuestas. Ejemplo (1) Proposición

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1 Equivalencia de Tasas Compuestas MATEMÁTICA FINANCIERA SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Luis Alcalá UNSL Segundo Cuatrimeste 2016 Deduciremos la ecuación fundamental de equivalencia de tasas en el sistema de capitalización compuesta Dado un capital inicial C 0 impuesto durante t años La tasa p-períodica i p) y la tasa q-períodica i q), con p, q Z +, son equivalentes si producen idéntico capital final, es decir C i p)) pt Cf C i q)) qt Al simplificar nos queda 1 + i p)) p 1 + i q)) q Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Equivalencia de Tasas Compuestas Equivalencia de Tasas Compuestas Proposición Dados p, q Z +, en el sistema de capitalización compuesta dos tasas i p) y i q), son financieramente equivalentes si cumplen la siguiente relación: 1 + i p)) p 1 + i q)) q 1) Ejemplo 1) Cuál es la tasa mensual equivalente a una tasa trimestral del 7%? Usando la ecuación 1) de equivalencia de tasas en capitalización compuesta para i 12) y i 4) : 1 + i 12)) i 4)) 4 i p) despejando i 12) C 0 t años i q) C f i 12) i 4) ) 4 1 i 12) , 07) 4 1 i 12) 0, Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28

2 Equivalencia de Tasas Compuestas Equivalencia de Tasas Compuestas Esto nos dice que es lo mismo colocar $1.000 durante 6 meses a una tasa trimestral del 7%, que a una tasa del 2,28% mensual , 07) , , ) 6 O que es lo mismo poner $500 o cualquier otra suma) durante 8 meses o cualquier otro intervalo de tiempo) con cualquiera de estas dos tasas: , 07) , , ) 8 Observación Como muestra el ejemplo anterior y como puede concluirse de la propia deducción de 1), la equivalencia de tasas en capitalización compuesta es independiente del intervalo de tiempo considerado: Si dos tasas producen igual capital final al cabo de t 1 años, serán equivalentes y verificarán 1). Por lo tanto, para cualquier t 2 t 1 : C i p)) pt 2 C0 [ 1 + i p)) p] t2 C 0 [ 1 + i q)) q] t2 C i q)) qt 2 Similarmente, la equivalencia de tasas en capitalización compuesta es independiente del monto inicial usado. Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Tasas Nominales y Efectivas Las entidades financieras acostumbran informar las tasas de forma anual, multipicando la tasa por las veces que capitaliza en un año pseudo-anualización) Esto ha dado origen a las tasas nominales que son de carácter meramente informativo y deben ser convertidas a tasas efectivas Definición Dada una tasa efectiva k-períodica i k), con k > 1, la tasa nominal de capitalización k-periódica correspondiente es J k) ki k). 2) Observación En Argentina, una de las tasas nominales más usadas es la de capitalización mensual J 12), que recibe el nombre de tasa nominal anual o TNA. Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Tasas Nominales y Efectivas Ejemplo 2) Hallar la tasa efectiva anual asociada a una TNA mensual del 21,5%. 1 Dado que la TNA es una J 12), tenemos que la tasa efectiva asociada a esta TNA es i 12). Usando la fórmula 2), TNA J 12) 12i 12), de donde i 12) J12) 0, 215 0, La TEA que corresponde a esta TNA es entonces TEA 1 + 0, ) , La TEA asociada a una TNA mensual del 21,5% es del 23,75%. Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28

3 Tasas Nominales y Efectivas Equivalencia entre Tasas Nominales y Efectivas Ejemplo 3) Hallar la TNA mensual equivalente a una tasa efectiva trimestral del 18%. J p) Deseamos hallar J q) 1 Hallar la tasa efectiva mensual i 12) 1 + i 12)) i 4)) 4 i 12) 1 + 0, 18) , Hallar la TNA mensual J 12) equivalente a la tasa efectiva i 12). J 12) 12 0, , Nótese que la TEA es TEA 1 + 0, ) , i p) 2 Del ejemplo anterior es fácil deducir dos tasas nominales J p) y J q) son equivalentes si ) p ) q 1 + Jp) 1 + Jq) 3) p q i q) Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Tasas Nominales y Tasas Efectivas Una ventaja para los acreedores) de informar la tasa nominal es que siempre es un número menor que la tasa efectiva equivalente. Ejemplo 4) Un comercio cobra una TNA del 18%. Cúal es la TEA que realmente estamos pagando? Primero calculamos la TEM asociada a la TNA: i 12) J12) 12 0, , 015 luego calculamos la TEA equivalente a la TEM 1 + i) 1 + i 12)) 12, entonces i 1 + i 12)) , 015) , Tasas Nominales y Tasas Efectivas Dada una tasa nominal J k), la tasa efectiva equivalente es i eq J k)) 1 + Jk) k ) k 1 Para un k > 0 fijo, i eq es una función de J k). Ahora, verificar que i eq J k) ) > J k), es equivalente a comprobar que Consideremos la función f : R 2 R, i eq J k)) J k) > 0 4) f x, k) : 1 + x k ) k 1 x. Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28

4 Tasas Nominales y Tasas Efectivas Para k > 1, f 0, k) 0, f 1 x x, k) + x ) k 1 1 > 0, x > 0, k dado que todas las funciones de la forma x α para α > 0, son estrictamente crecientes. Como x k > 0, tenemos que 1 + x k > 1. Por lo tanto, si k > 1, tenemos que f x, k) de donde podemos concluir 4). 1 + x k ) k 1 x > 0 x > 0, Definición Una serie A 1, A 2,..., A n de capitales disponibles en los momentos t a 1, ta 2,..., ta n, es equivalente a la serie de capitales B 1, B 2,..., B m disponibles en los momentos t b 1, tb 2,..., tb m, para una fecha focal f y una tasa dada, bajo una ley financiera dada si al momento f m B j al momento f El equivalente financiero de un capital dado, a la fecha focal f y a una tasa p-períodica i p) en el sistema de capitalización compuesto es al momento t 1 + i p)) f t a j donde el intervalo de tiempo entre t y t a j es medido en p-períodos., Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Si f t a j, entonces debemos capitalizar el capital desde t a j al momento t 1 + i p)) f t a j hasta f Pero si f < t a j, entonces debemos actualizar el capital desde desde t a j hacia f al momento t 1 + i p)) f t a j 1 + i p) ) t a j f capitalización actualización t a j 1 + i p) ) f t a j f 1+i p) ) ta j f f t a j Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28

5 Proposición Dada una tasa p-periódica i p), la serie de capitales A 1, A 2,..., A n disponibles en t a 1, ta 2,..., ta n es financieramente equivalente a la serie de capitales B 1, B 2,..., B m disponibles en t b 1, tb 2,..., tb m, a la fecha focal f en el sistema de capitalización compuesta si 1 + i p)) f t a j m B j 1 + i p)) f t b j donde todos los datos temporales deben ser expresados en p-períodos. 5) Ejemplo 5) Se desea sustituir el siguiente esquema de pagos: $ hoy, $ a los dos años y $ a los 4 años, por dos pagos iguales, el primero al año, y el segundo a los 3 años. Hallar el valor nominal de los montos a pagar usando una tasa anual i 0, 35, y como fecha focal el origen. C $ $ $ C años Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Usando como fecha focal el origen, f , 35) , 35) 4 C 1 + 0, 35 + C 1 + 0, 35) 3 Consideremos el siguiente ejemplo Ejemplo 6) Ud. tiene $ invertidos al 18% anual, $ al 8% semestral y $ al 2% mensual por el término de 2 años. Qué tasa diaria durante 2 años) debería ofrecerle una entidad financiera para que ud. coloque todo su capital, $ , en la misma? luego , 76 1, C, C , 20. Este no es más que un problema de equivalencia financiera de capitales, donde la incognita es una tasa. Al cabo de 2 años, las inversiones originales generan el siguiente monto , 18) , 08) , 02) , 7451 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28

6 La operación nueva genera al cabo de 2 años i 365) ) 730 Si queremos que ambas operaciones sean equivalentes, tenemos que de donde , i ) 365) 730, i 365) , , Por lo que la tasa que buscamos, conocida como la tasa diaria de la operación es del 0, % o 20,617% anual. En general, dada una operación consistente en colocar una serie de capitales, con j 1,..., n, a las tasas q j -periódicas i q j) durante t años, deseamos sustituir este conjunto de inversiones por una única inversión por la suma total de los capitales involucrados C que produzca el mismo rendimiento en t-años. Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 C n C n 1 + i q n) ) q nt C 2 C i q 2 ) ) q 2 t C 1 C i q 1 ) ) q 1 t tiempo hoy dentro de t años ) ) ) 1 + i p) pt La tasa equivalente p-periódica i p) es la tasa que produce la equivalencia financiera entre estas operaciones 1 + i q j) ) tq j C ) 1 + i p) tp de donde podemos despejar la tasa equivalente i p) 1 C ) 1 + i q q j ) j t Observación La tasa de una serie de capitales en el sistema compuesto depende del tiempo t, los capitales y de las tasas q j -periódicas i q j), j 1,..., n. 1 pt 1 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28

7 Vencimiento Medio El vencimiento medio es un caso particular de la equivalencia financiera, en el que sustituimos una serie de capitales por un único pago igual a la suma algebraica de los capitales involucrados. Definición Dada una tasa p-periódica i p), la fecha m a la cual la serie de capitales C 1, C 2,..., C n disponibles en los momentos t 1, t 2,..., t n es equivalente a la suma algebraica, C, de dichos capitales C, se llama vencimiento medio de la serie considerada. ji Vencimiento Medio Como en el sistema compuesto la equivalencia financiera puede realizarse a cualquier fecha focal sin alterar el resultado, tomando f 0 tenemos 1 + i p)) t j C 1 + i p)) m Aplicamos logaritmo en ambos miembros log 1 + i p)) t j log C m log 1 + i p)) Luego, despejamos m m log C log log 1 + i p)) 1 + i p) ) t j Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Vencimiento Medio Vencimiento Medio Ejemplo 7) La señorita Valeria desea sustituir tres pagos, el primero de $400, el segundo de $300 y el último también de $300, con vencimientos hoy, dentro de 6 meses y dentro de un año, respectivamente, por un único pago de $ Hallar el vencimiento medio para los siguientes casos a) TEM del 4% b) TEA del 18,5% c) TNA mensual) del 14,8% d) J 3) 0, 14 e) i 3) 0, 045 f) 0,1% efectiva diaria comercial 360) g) 0,1% efectiva diaria civil 365) a) TEM del 4% ) 300 log log , 04) , 04) 12 m a 4 log 1 + 0, 04) c) TNA del 14,8%. La tasa efectiva i 12) 0, , ) 300 log log , 01233) , 01233) 12 m c log 1 + 0, 01233) Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28 Luis Alcalá UNSL) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA II Mat. Financiera / 28