Comportamiento del nivel de líquido en un sistema de dos tanques en serie

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1 Comportamiento del nivel de líquido en un itema de do tanque en erie Marcela Echavarria R., Gloria Lucía Orozco C., Alan Didier Pérez Á. Abtract Se deea conocer el comportamiento del nivel de un itema de do tanque en erie donde el ujo de alida del primer tanque entra al egundo tanque. Para ello e planteó un modelo matemático, el cual e reolvió por do camino en Matlab, a aber: analíticamente utilizando Simulink y numéricamente empleando el comando ode23 el cual e baa en un Runge Kutta. Luego de obtenido lo reultado e compararon ambo reultado para diferente tipo de entrada (perturbacione) y e obervaron y analizaron cierta diferencia en la olucione. 1 Introducción Un modelo matemático e implemente una imitación de la realidad, con el cual e buca uualmente ganar perpicacia obre el comportamiento de itema, probándolo, controlándolo u optimizándolo. En el proceo de contrucción de modelo, el principal objetivo e dar una equivalencia matemática de nuetro problema de la vida real para luego reolver y nalmente interpretar. En lo problema de ingeniería, tratamo de capturar eto en forma de ecuacione de cierta caracterítica, haciendo énfai en cierto apecto y omitiendo aquello que aunque hagan parte de la realidad, u contribución en ella ea mínima para implicar nuetro modelo y u olución. [1] Para nuetro modelo matemático, no baamo en primera etancia de lo principio fundamentale de conervación de maa, energía y/o movimiento egún el cao. Nuetro problema e centra en la obtención del comportamiento de nivel del líquido a travé del tiempo, t de do tanque conectado en erie donde el ujo de alida del primero entra al egundo tanque, dado el ujo de entrada f 0 (t). Se aume que el ujo de alida de cada tanque e una función lineal de la altura de líquido en el tanque(f 1 = k 1 h 1 y f 2 = k 2 h 2 ) y que cada tanque tiene un área de ección tranveral contante. Se aume también que la denidad e contante y el ujo de entrada f 0 (t). 1

2 2 Modelo matemático El itema de proceo e encuentra conformado por do tanque en erie de área de ección tranveral contante, por donde uye un líquido (una utancia pura) que paa del primer tanque al egundo tanque como e muetra en la gura 1. El objetivo e modelar el itema para predecir la variación de la altura del egundo tanque de acuerdo a la alimentación del primer tanque f 0 (t) Se aume que el ujo de alida de cada tanque e una función lineal de la altura de líquido en el repectivo tanque (f 1 = k 1 h 1 y f 2 = k 2 h 2 ). Figure 1: Equema del proceo 2.1 Contrucción del modelo matemático Epecicacione ˆ El ujo de alimentación e función del tiempo (lineal, inuoidal entre otro). ˆ El ujo de alida del primer tanque e una función lineal de la altura del tanque 1. ˆ El ujo de alida del egundo tanque e una función lineal de la altura del tanque2. ˆ Por lo tanque tranita un líquido puro. ˆ Tanque de àrea de ección tranveral contante. ˆ Variable fundamental: Maa ˆ Variable de caracterizaciòn: Denidad (ρ i ), àrea (A j ), altura (h j ) 2

3 2.1.1 Objetivo del modelamiento ˆ Predecir el comportamiento dinámico del nivel en el primer y egundo tanque, de acuerdo al ujo de entrada en el primer tanque Denición de lo volúmene de control Para el dearrollo del modelo matemático e trabajaran do volúmene de control como e obervan en la gura 2 (línea punteada azul y roja). Como e pretende obtener la dinámica del nivel del tanque, entonce e debe aber cuál e la acumulación en el tanque y eta depende del ujo de entrada y de alida en el tanque. La dinámica del primer volumen de control (línea punteada azul) determinara el ujo de entrada en el egundo tanque, por lo que e hizo neceario tomar ete primer volumen de control. El egundo volumen de control (línea punteada roja) e plantea para realizar obre el modelo matemático que determine la dinámica del tanque 2 y aí predecir el nivel del tanque. Figure 2: Equema del volumene de control del itema Volumen de control 1 ˆ Sitema: Tanque 1. ˆ Límite: Parede interna del tanque 1. ˆ Entrada: Flujo de alimentación Fo(t). ˆ Salida: Flujo de alida F1. 3

4 Volumen de control 2 ˆ Sitema: Tanque 2. ˆ Límite: Parede interna del tanque 2. ˆ Entrada: Flujo de alimentación F1. ˆ Salida: Flujo de alida F Ecuacione del modelo Balance de maa (volumen de control 1): Balance de maa (volumen de control 2): Ecuacione conecutiva m 0 m 1 = d (m 1) (1) m 1 m 2 = d (m 2) (2) ρ i = m i V i (3) m i = ρ i F i (4) Variable V = A j h j (5) t: Tiempo [] ṁ:flujo máico en el punto i [kg/] ρ i :Denidad del líquido en el punto i [kg/m 3 ] V :Volumen [m3] : Altura del tanque j [m] A j :Área de ección tranveral del tanque j [m 2 ] m i : Maa del líquido en el punto i [kg] F i: Flujo volumétrico del líquido en el pinto i [m 3 /] Supoicione: ˆ El proceo e realiza a propiedade fíico-quimica contante. ρ i = cte ˆ Variación lineal con la altura de lo ujo de alida en cada tanque. 4

5 f 1 = k 1 h 1 (6) f 2 = k 2 h 2 (7) ˆ El ujo de entrada e una función del tiempo. F 0 = F 0 (T ) ˆ Sitema homogéneo. Parámetro Lo parámetro on la contante k 1, k 2, A 1 y A 2 Modelo a reolver d maa acumulada = i maa de entrada i=1 j maa de alida (8) Reemplazando la ecuacione conecutiva(3),(5) y (6) en la ecuación (8), y aplicando la upoicione mencionada e obtiene que: d ρa 1 h 1 (t) d ρa 1 h 1 (t) dh 1 (t) j=1 = f 0 (t)ρ f 1 ρ (9) = f 0 (t)ρ k 1 h 1 ρ (10) = f 0(t) k 1 h 1 A 1 (11) Reemplazando la ecuacione conecutiva(3),(5) y (7) en la ecuación (8), y aplicando la upoicione mencionada e obtiene que: d ρa 2 h 2 (t) d ρa 2 h 2 (t) dh 2 (t) = f 1 ρ f 2 ρ (12) = k 1 h 1 ρ k 2 h 2 ρ (13) = k 1h 1 k 2 h 2 A 2 (14) Evaluando la ecuacione diferenciale ordinaria (11) y (14 ) en etado etable e obtiene: d h 1 (0) = f 0 (0) k 1 h1 (0) A 1 (15) 5

6 Grado de Libertad dh 2 (0) = k 1 h 1 (0) k 2 h2 (0) (16) A 2 Variable independiente: t Variable dependiente: h 1, h 2 Parámetro: k 1, k 2, A 1 y A 2 Número de ecuacione: 2 Edo'. Numero de variable a reolver: 2 h 1, h 2 Análii de unidade de la ecuacione diferenciale ordinaria de primer orden (11) y (14) m m 3 [k 1 ] m = m 2 Para que la unidade ean conitente, la unidade de la contante k 1 y k 2 deben er: m 2 [k 1 ] y [k 2 ] = Para reolver el itema de Edo' e implementara Simulink, utilizando el ode45 en el cual e encuentra implementado un Runge-Kutta de 4to orden. Luego, retando (11)-(15) y (14)-(16) e obtiene que: d ( h 1 (t) h 1 (0) ) ( A 1 = (f 0 (t) f 0 (0)) k 1 h1 (t) h 1 (0) ) (17) A 2 d ( h 2 (t) h 2 (0) ) Deniendo la variable de deviación: = k 1 ( h1 (t) h 1 (0) ) k 2 ( h2 (t) h 2 (0) ) (18) H 1 = h 1 (t) h 1 (0) (19) H 2 = h 2 (t) h 2 (0) (20) F 0 (t) = f 0 (t) f 0 (0) (21) Reemplazando (19) y (21) en (17), (19) y (20) en (18) e obtiene: A 1 dh 1 (t) = F 0 (t) k 1 H 1 (t) (22) 6

7 dh 2 (t) A 2 = k 1 H 1 (t) k 2 H 2 (t) (23) Reordenando la ecuacione (22) y (23) A 1 dh 1 (t) + k 1 H 1 (t) = F 0 (t) (24) dh 2 (t) A 2 + k 2 H 2 (t) = k 1 H 1 (t) (25) Dividiendo por el término que acompaña la variable dependiente, k 1 en la ecuaciòn (24) y k 2 en la ecuaciòn (25) e obtiene: A 1 dh 1 (t) + H 1 (t) = 1 F 0 (t) (26) k 1 k 1 A 2 dh 2 (t) + H 2 (t) = k 1 H 1 (t) (27) k 2 k 2 Agrupando y realizando el análii dimenional τ 1 = A 1 (28) k 1 = m 2 m 2 K 1 = 1 k 1 (29) 1 m 2 = m 2 τ 2 = A 2 (30) k 2 = m 2 m 2 K 2 = k 1 (31) k 2 adimenional = m 2 Reemplazando (28) y (29) en (26) y (30)y (31) en (27) e obtiene que: τ 1 dh 1 (t) m 2 + H 1 (t) = K 1 F 0 (t) (32) 7

8 dh 2 (t) τ 2 + H 2 (t) = K 2 H 1 (t) (33) Aplicando la tranformada de Laplace en la ecuacione (32) y (33) e obtiene que: τ 1 H 1 () + H 1 () = K 1 F 0 () (34) Factor común τ 2 H 2 () + H 2 () = K 2 H 1 () (35) H 1 () (τ 1 + 1) = K 1 F 0 () (36) H 2 () (τ 2 + 1) = K 2 H 1 () (37) Depejando de tal forma que e obtenga la función de tranferencia que decribe el comportamiento de el primer tanque e obtiene que: H 1 () F 0 () = G 1 () = K 1 τ Aimimo depejando de tal forma que e obtenga la función de tranferencia que decribe el comportamiento del egundo tanque e obtiene que: H 2 () H 1 () = G 2 () = K 2 τ (38) (39) La ecuacione (38) y (39) on la F.T.1 y la F.T.2 repectivamente manejando algebraicamente eta e obtiene una tercera función de tranferencia F.T.3 la cual determina la variación en el nivel del egundo tanque repecto a cualquier tipo de entrada e: Depejando de (38) y (39) H 1 ()y H 2 ()repectivamente e obtiene: Reemplazando (40) en (41) H 1 () = K 1 τ F 0 () (40) H 2 () = K 2 τ H 1 () (41) H 2 () = K 2 τ K 1 τ F 0 () (42) H 2 () F 0 () = G K 1 K 2 3 () = τ 1 τ (τ 1 + τ 2 ) + 1 (43) 8

9 3 Dieño del tanque Ete dieño e realizò egùn la epecicacione dada en el ejemplo 2.3 [2] la altura del lìquido con repecto al tiempo para el experimento del vaciado de un tanque de diàmetro 10,75 plg (0,27305 m), altura del tanque =12 plg (0,3048 m), diàmetro del oricio=0,609 plg (0,01547 m). 3.1 Dimenionamiento Area de ección tranveral del tanque en m 2 : Area eccional del oricio en m 2 : A = πr 2 = π(0, 1365) 2 = 0, 0586 m 2 (44) A = πr 2 = π(0, ) 2 = 0, m 2 (45) El itema conta de do tanque en erie, que tendran la mima dimenione que e acabaron de epecicar. 3.2 Epecicación de ujo de entrada y alida Flujo de alimentación al primer tanque Lo do tanque tienen caracterítica de dieño iguale, aimimo tienen un diámetro del oricio=0,609 plg (0,01547 m),para una tuberia con eta caracterítica e tiene una velocidad promedio de V= 0,1404 m y un caudal = 4 m3 2,1567*1010 por lo tanto e aume un ujo de entrada de: f o = 0, 0001 m3 (46) Flujo de alida del primer tanque (ujo de entrada al egundo tanque) El ujo de alida del primer tanque e una relación lineal de la altura del tanque, y para que haya una acumulación, el ujo de alida debe er menor al de entrada, al realizare una regreión lineal de lo dato de la TABLA 2.1 [2] e llega a una ecuación donde el caudal etá en función de la altura. Se debe entonce determinar cuánto e el valor de la contante k 1 preente en dicha ecuación, para el ujo de alida del primer tanque trabajándoe con la altura máxima (0,3048 m, como i etuviera lleno completamente). q = k 1 h 1 (47) k1 A = 0,0145 m 2 9

10 k 1 = 0,0145 0, 0586 m 2 = 8, m 2 m k 1 = 8, (48) Flujo de alida del egundo tanque Para determinar el ujo de alida que e también una función lineal de la altura del egundo tanque, y queriendo tener acumulación dentro de él, e ja un ujo de alida que ea 25 % má que el de entrada. m k 2 = 1,25 k 1 = 10, (49) Evalución de parámetro de la función de tranferencia Para la ecuación (38) G 1 () Entada F 0 (t) y alida h 1 τ 1 = A 1 0, 056 = = 69, 0167 k 1 8, (50) K 1 = 1 1 = k 1 8, = 1177, 76 m 2 (51) Para la ecuación (39) G 2 () Entada h 1 y alida h 2 τ 2 = A 2 0, 056 = = 55, 2132 (52) k 2 10, K 2 = k 1 8, = = 0, 8 adimenional (53) k 2 10, Condicione iniciale Se quiere obervar el comportamiento del itema repecto al nivel del tanque 2, para encontrar lo valore de la altura en etado etable e reemplazan lo valore encontrado de k 1 y k 2 en la ecuacione (48) y (49) repectivamente, y la ecuaciòn (46), en la ecuacione (15) y (16), obteniendoe ai lo iguiente valore de altura en etado etable: h 1 (0) = 0, 1177 m h 2 (0) = 0, 094 m 10

11 4 Reultado y análii 4.1 Perturbación ecalón unitario Solución analítica uando una función de tranferencia para comportamiento del nivel de cada tanque. La funcione de tranferencia que decriben el comportamiento del nivel de lo tanque uno y do on la ecuacione (38) y (43) repectivamente. Uando imulink con una entrada función ecalón unitario e obtuvo el comportamiento decrito por la gura 3. Eta demuetra que la perturbación ecalón unitario al iniciar en lo valore de etado etable tanto el primer tanque como el egundo alcanzan valore óptimo de nivel al mantenere ujo contante hata aproximadamente lo 380 egundo, al variar ete ujo la altura alcanzada por el líquido e la adecuado para la altura total del tanque. Cuando la altura de lo tanque e baja el modelo no e aproxima bien dado que e aleja de la linealidad de la ecuación predicha por la regreión nombrada anteriormente. Figure 3: Comportamiento del nivel de lo tanque uando la olución analítica tipo ecalón unitario 11

12 4.1.2 Solución numérica uando un integrador (ode23) para el comportamiento del nivel de lo tanque. La ecuacione que modelan matemáticamente el itema, on la ecuacione (38) y (43) que forman un itema acoplado de ecuacione diferenciale ordinaria reuelta por el ode23 y decriben el nivel de cada tanque a lo largo del tiempo. En la Figura 4 e preenta el comportamiento del nivel de líquido de lo tanque uando el método numérico. Figure 4: Comportamiento del nivel de líquido de lo tanque uando un método numérico 12

13 4.1.3 Comparación entre la olución analítica y la olución numérica. Figure 5: Comparación gráca para una perturbación de ecalón unitario para ambo método En la Figura 5 e oberva cómo la olución numérica y analítica no coinciden en u comportamiento, eto e debido a el cambio que ocurre en el ujo inicial ante de alcanzar el etado etable. En la olución numérica e oberva que para el valor inicial de la perturbación ecalón unitario la pendiente de la curva altura dentro de lo tanque e negativa, e decir que e vacían, lo que no debería ocurrir debido a que el dieño del tanque y u ujo, e hizo para que e mantenga una acumulación dentro de ello, e decir que la altura aumente mientra haya ujo, in embargo como ete valor inicial etá por debajo del valor obtenido para el etado etable el integrador numérico preenta problema en cuanto a u pendiente, obteniéndoe un error de cálculo pueto que cambia de igno la pendiente para valore por debajo del etado etable. Ya determinado lo valore de τ para ambo tanque, lo cuale no indican la rapidez para alcanzar la etabilidad del itema eto e puede reejar en todo lo cao donde el primer tanque iempre alcanza primero la etabilidad, aunque no e muy notoria la diferencia. Sin embargo e puede obervar con mayor claridad la rapidez de lo tanque en la pendiente que e preenta en el momento de la perturbación, eta etabilidad e logra alrededor del 63 % para el ecalón unitario 13

14 4.2 Perturbación ecalonada o tipo ecalera Solución analítica uando una función de tranferencia para comportamiento del nivel de cada tanque. En la gura 6 e preentan do gráca, la primera muetra la perturbación de la entrada ( Flujo de alimentación al primer tanque),una perturbación ecalonada con variacione iguale para todo lo intante de tiempo. En la egunda gráca de la gura 6 e preenta el comportamiento del nivel de lo tanque de acuerdo al modelo dearrollado para la olución analítica (aplicando la tranformada de Laplace). Figure 6: Comportamiento de nivel de líquido uando la olución analítica ante una pertubación tipo ecalonada En la egunda gráca de la gura 6 e puede obervar el comportamiento lineal del líquido en lo do tanque,ádema de obervar cómo inuye el valor de tao para la rapidez al alcanzar la velocidad pue el tanque do tiene un comportamiento amortiguado frente a lo cambio pudiendolo imular como una linealidad. Se oberva en la gura 6 que para cada valor de perturbación ecalera la altura tiende a etabilizare a un valor y eto ocurre paado un poco má de 166 egundo depué de cada perturbación. 14

15 4.2.2 Solución numérica para comportamiento del nivel de cada tanque. En la gura 7 e preenta la mima perturbación decrita que para la gura 6, con la diferencia que el reultado obtenido (alida) e el reultado de el integrador ode23 en el imulink. Figure 7: Comportamiento del nivel de líquido de lo tanque uando un método numérico En eta olución numérica vuelve a ocurrir un cambio de igno de la pendiente para cuando el valor de la perturbación etá por debajo del valor de etado etable. Se oberva q el nivel del tanque 1 iempre e mayor al del tanque 2 alvo ante de la primera perturbación. Eta alvedad no e conitente con la epecicacione del problema pue el ujo q ale del egundo tanque e 25% mayor al que ale del primer tanque, teniendo ademá en cuenta que ambo tanque tienen la mima dimenione Comparación entre la olución analítica y la olución numérica. En la gura 8 e preenta la comparación de la olucione analítica y numérica para la perturbación ecalonada. Al igual que al comparar la olucione analítica y numérica para la perturbación ecalón unitario ocurre que con la perturbación ecalera la do olucione 15

16 dieren debido al valor de la perturbación (e encuentra por debajo del valor de etado etable). Excepto en el primer tramo, ante de la primera perturbación que e da alrededor de lo 170 egundo el nivel para ambo tanque e obrepondrían para lo do método empleado (analítico y numérico). Figure 8: Comparación gráca para una perturbación de ecalonada para ambo método 4.3 Perturbaciòn inuoidal creciente Solución analítica uando una función de tranferencia para comportamiento del nivel de cada tanque. En la gura 9 e muetra en la parte uperior, la entrada a la que e ometido el itema, y en la parte inferior la repueta obtenida a medida que trancurre el tiempo, mediante una olución analítica. Se oberva en la gura 9 que el ujo de entrada al primer tanque varia de forma ocilatoria creciente hata alcanzar un nivel cai contante en el primer tanque, y un nivel creciente cai contante para el egundo tanque. 16

17 Figure 9: Comportamiento de nivel de líquido uando la olución analítica ante una pertubación tipo inuoidal Solución numérica para comportamiento del nivel de cada tanque. En la gura 10 e encuentra a la mima condicione de la gura 9 pero dearrollada con una olución numérica. En la gura 10 y 11 e oberva claramente que el primer tanque e batante enible a la condicione de entrada del ujo de alimentación, preentandoe caracterítica imilare en el comportamiento del nivel del primer tanque a la del ujo de alimentación del mimo, in embargo el nivel del egundo tanque e poco enible a eta entrada, lo cual indicaría que la ganancia del primer tanque debe er ignicativamente alta comparada con la del egundo tanque,vericándoe eto en la ecuacione (51) y (53). 17

18 Figure 10: Comportamiento del nivel de líquido de lo tanque uando un método numérico Comparación entre la olución analítica y la olución numérica. En la gura 11 e preenta la comparación de la olución numérica y analítica para el itema ometido a una perturbación ocilatoria creciente. En la gura 11 e puede obervar el gran ditanciamiento entre la olución numérica y analítica, y eto e pueda deber a la complejidad de la función del tiempo (inuoidal creciente) a la que e ometió el itema. La olución numérica e aleja de la realidad en todo lo cao de perturbación debido a que dede el momento inicial la olución tiene una pendiente opueta a la que debería tener al comparare con la olución analítica, cuando ucede eto e porque el valor del ujo de alimentación al primer tanque Fo, e perturba etando por debajo del valor de etado etable, in embargo cuando ete valor de la perturbación etá por encima del valor de etado etable la pendiente e la mima que la de la olución analítica y eo e debe a problema en el cambio del pendiente del integrador (método numérico uado), en ete cao un runge-kutta (ode23 de Matlab ). 18

19 Figure 11: Comparación gráca para una perturbación de inuoidal para ambo método 5 Concluione ˆ La inuencia del ujo de entrada obre lo nivele de lo tanque e mayor en el tanque uno, debido a que el ujo de entrada (quien lleva la perturbación) entra directamente al primer tanque, paando un tiempo el líquido en ete tanque, lo que hace que e etabilice el ujo a la hora de alir y no alga con la mima caracterítica del ujo de entrada. ˆ A medida que la función del tiempo del ujo de entrada Fo(t) e má compleja, la olución numérica e aleja de la olución analítica, y eto debido a la dicultade del método para olución itema complejo. ˆ Se aprecia como el dearrollo de un modelo, no irve a lo ingeniero para entender lo itema y poder tomar deciione futura correcta. ˆ La perturbación tipo ecalón unitario e la má empleada en lo proceo químico dado que e aquella donde lo método de olución on má imilare, por lo cual e puede aumir que hay un mejor ajute del modelo matemático. ˆ La implementacione de oftware como imulink facilitan el dearrollo de modelo matemático para una poterior interpretación de quien lo ejecuta. 19

20 ˆ La primera función de tranferencia (que decribe el comportamiento del nivel del primer tanque) tiene un valor de τ mayor que el de la egunda función de tranferencia (que decribe el nivel del egundo tanque), entonce como τ 1 > τ 2 la repueta del nivel del primer tanque e demora má que el del primer tanque tal y como e obervó en la tre diferente perturbacione motrada. Sin embargo τ 1 y τ 2 on valore imilare (69,0167 y 55,2132 repectivamente) haciendo que no ea tan demarada la repueta del egundo tanque repecto al primero. ˆ El valor de K (ganancia) permite aber que tan enible e el itema y en nuetro itema K 1 >> K 2 indicando que la primera función de tranferencia e mucho má enible a la perturbacione de entrada que la egunda función de tranferencia, y eto e oberva claramente en la tre perturbacione realizada pero e má notorio en la tercera perturbación (ocilatoria creciente) pueto que el nivel del liquido en el primer tanque preenta ocilacione como lo preenta el ujo de entrada (muy enible), caracterítica que no preenta el nivel del liquido en el egundo tanque (poco enible). 6 Referencia [1] Univeridad nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería y Arquitectura, Departamento de Ingeniería Química, Control automático de proceo, Traduccione capitulo 1. [2] Ruell, T.W.F. y Denn, M.M., Introducción al análii en ingeniería químicalimua, México, D.F.,

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