1º BACH MATEMÁTICAS I

Transcripción

1 1º BACH MATEMÁTICAS I Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Trigonometría Vectores Nº complejos Geometría Funciones. Límites. Continuidad. Derivadas Repaso en casa Potencias Radicales. Racionalización. (pag ) Polinomios. Operaciones. Identidades notables. Ruffini. Raíces y factorización de un polinomio (pag ) Fracciones algebraicas (pag. 4-43) Ejercicios para repasar. 1

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3 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Definiciones Resolución de ecuaciones polinómicas: 1º grado º grado bicuadradas grado > º Ecuaciones racionales Ecuaciones radicales Ecuaciones logarítmicas Ecuaciones exponenciales Sistemas lineales De ecuaciones con incógnitas De 3 ecuaciones con 3 incógnitas (Gauss) Sistemas no lineales Inecuaciones Sistemas de inecuaciones Resolución de problemas Definiciones Una expresión algebraica es una combinación de números y letras relacionadas entre sí por las operaciones aritméticas. Un monomio es una expresión algebraica en la que solo aparecen multiplicaciones y potencias de exponente natural. Un polinomio es la suma de varios monomios no semejantes. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Solución de una ecuación es cualquier conjunto de valores de las incógnitas que al sustituirlo en la ecuación hace cierta la igualdad. Una ecuación polinómica es aquella en que las expresiones algebraicas que contiene son polinomios. Resolver una ecuación es dar todas sus soluciones Expresión algebraica Monomio Polinomio grado 3 ab y Sí No 4 No No y xy 4xy Sí No 3 y x y No Sí 3 3 5x 1 6x No Sí 3 3 ab x 5 1 x 1 3 a b x 1 5 x x 1 1 x 0 x x 1 3 5x 1 6x 50 log( x ) log x 3 log Ecuación Ecuación exponencial Ecuación Radical Ecuación racional Ecuación polinómica Ecuación logarítmica 3

4 Resolución de ecuaciones polinómicas (1º grado) Resolución de ecuaciones polinómicas(º grado) x 3 x 1 x x x 1 0x x x 1 0x x 1x 0x x x Resolución de la ecuación completa b x ax c 0 b 4ac a Resolución de la ecuación incompleta ax bx c 0 b 4ac > 0 b 4ac b 4ac <0 =0 soluciones reales 1 solución real No existe solución real Resolución de ecuaciones polinómicas (Bicuadradas) 4 ax bx c 0 Cambio de variable : at bt c 0 x t Ecuación de º grado despejamos la x al cuadrado Tomamos la raíz cuadrada de ambos miembros( cuidado (+ -). ax bx 0 Extraemos factor común Igualamos a cero cada factor. 4

5 Resolución de ecuaciones polinómicas grado> x 6 x 1 x x 3 x x 1/ Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Definiciones Resolución de ecuaciones polinómicas: 1º grado º grado bicuadradas grado > º Ecuaciones racionales Ecuaciones radicales Ecuaciones logarítmicas Ecuaciones exponenciales Sistemas lineales De ecuaciones con incógnitas De 3 ecuaciones con 3 incógnitas (Gauss) Sistemas no lineales Inecuaciones Sistemas de inecuaciones Resolución de problemas Ecuaciones racionales Ecuaciones radicales 5

6 Aislamos una raíz Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación Operamos Aislamos la otra raíz Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación Operamos Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Definiciones Resolución de ecuaciones polinómicas: 1º grado º grado bicuadradas grado > º Ecuaciones racionales Ecuaciones radicales Ecuaciones logarítmicas (repaso logaritmos) Ecuaciones exponenciales Sistemas lineales De ecuaciones con incógnitas De 3 ecuaciones con 3 incógnitas (Gauss) Sistemas no lineales Inecuaciones Sistemas de inecuaciones Resolución de problemas Repaso Logaritmo de un número real Si b es un número positivo y distinto de 1, el logaritmo en base b de un número N es el exponente al que hay que elevar la base b para obtener N Ejemplo log N x b x N b log

7 Si la base es 10, el logaritmo se llama decimal y se escribe omitiendo la base; log 10 N logn Si la base es el número e, el logaritmo se llama neperiano y se escribe; log N ln N Propiedades de los logaritmo de un número real logb b 1 log 1 0 b log b (M N) log b M log b N M log b log N b M log b N log b (M r ) r log b M log b (A) log a A log a b Cambio de base Propiedades de los logaritmos decimales Ecuaciones logarítmicas log1 0 log10 log100 1 log log 10 1 log log log log log Tenemos que aplicar las propiedades de los logaritmos Tenemos que llegar hasta que haya un solo logaritmo en cada miembro de la ecuación Ahora podemos aplicar la propiedad anterior 7

8 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Definiciones Resolución de ecuaciones polinómicas: 1º grado º grado bicuadradas grado > º Ecuaciones racionales Ecuaciones radicales Ecuaciones logarítmicas (repaso logaritmos) Ecuaciones exponenciales Sistemas lineales De ecuaciones con incógnitas De 3 ecuaciones con 3 incógnitas (Gauss) Sistemas no lineales Inecuaciones Sistemas de inecuaciones Resolución de problemas Ecuaciones exponenciales x = x +1 +x = 4x + + x = 4x + log3 x 3 = log (x 3)log3 = log (x 3) = log log3 x 3 = log 3 x = 3 + log 3 x = 3 + log 3 3 x + = x = t t + t Cambio de variable =11 3 t + t 9 =11 9t + t = 99 11t = 99 t = 9 c.v t = 3 x 3 x = 9 = 3 x = 8

9 x 4 5 x 3 = 9 x 4 5 x 3 = 9 x = t Cambio de variable t 4 5 t 3 = 9 t 16 5 t 8 = 9 Prueba( ecuaciones) Nombre: nº Lista: Fecha: t = 9 4 t = x x = 9 4 t = 1 4 t = x x = t 40t = 9 16t 40t + 9 = 0 t = 9 4 t = 1 4 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Definiciones Resolución de ecuaciones polinómicas: 1º grado º grado bicuadradas grado > º Ecuaciones racionales Ecuaciones radicales Ecuaciones logarítmicas Ecuaciones exponenciales Sistemas lineales De ecuaciones con incógnitas De 3 ecuaciones con 3 incógnitas (Gauss) Sistemas no lineales Inecuaciones Sistemas de inecuaciones Resolución de problemas Sistemas lineales De ecuaciones con incógnitas Repasar en casa 9

10 Sistemas de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Método de Gauss Ejemplo PROBLEMAS DE SISTEMAS LIBRO 10

11 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Definiciones Resolución de ecuaciones polinómicas: 1º grado º grado bicuadradas grado > º Ecuaciones racionales Ecuaciones radicales Ecuaciones logarítmicas (repaso logaritmos) Ecuaciones exponenciales Sistemas lineales De ecuaciones con incógnitas De 3 ecuaciones con 3 incógnitas (Gauss) Sistemas no lineales Inecuaciones Sistemas de inecuaciones Resolución de problemas Sistemas no lineales casa 3 x 3 7y 7 = x + 7 y = 16 3 x y = 340 t+w = 16 t 49w = x = t 7 y = w t = 9 w = 7 casa t = 9 w = 7 3 x = 9 7 y = 7 3 x = t 7 y = w casa x= y= 1 11

12 Inecuaciones Repaso Desigualdades e inecuaciones Desigualdades a b a es menor que b a b a es menor o igual que b Inecuaciones a b a es mayor que b a b a es mayor o igual que b Las relaciones algebraicas con desigualdades se llaman inecuaciones Ecuaciones 1 5x 1 Inecuaciones x 1 5x 1 5x 1 5x 1 Inecuaciones polinómicas de 1º grado 8 Sumar Restar Multiplicar por Multiplicar por (-) Dividir por Dividir por (-) 8 : : 8: : 8: : 1

13 Para resolver una inecuación polinómica de 1º grado, se resuelve igual que las ecuaciones de 1º grado, excepto 15x 1 si tenemos que: 4 6 x 3 15x x Multiplicar por nº negativo Dividir por nº negativo Cambia la desigualdad en una inecuación Inecuaciones 1º grado 15x 1 36x 7 6x 15x 36x 6x x 60 x x 4 Ecuaciones 1º grado 15x x 3 15x x 15x 1 36x 7 6x 15x 36x 6x 7 1 Divides por un nº negativo ] 4, [ 15x 60 x x 4 Inecuaciones polinómicas de grado superior x 4 3 1x x 8x x 4 x 3 8x 1x 0 xx 0 3º Estudio del signo de los factores Menor que cero x x ,0 + 13

14 INECUACIONES POLINÓMICASDE 1º GRADO x x 15 0 x x 15 0 (x + 3) (x 5) 0 Descomposición de p x = x x 15 p x = (x + 3) (x 5) MAYOR O IGUAL QUE CERO (x + 3) (x 5) INECUACIONES POLINÓMICAS GRADO SUPERIOR (x + 3) (x 5), 3 5, Inecuaciones racionales Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita x 0 x 3 x 1 x 3 7 x 7 x x 7 x 5 x 1 x 3 x x 31 x 4, 3 14

15 Sistemas de inecuaciones de primer grado con DOS incógnita y x 4 y x r 1 : y x 4 (0,4) r : y x (, 0) A(x,y) (1,1) (0,0) 6 x 5y 30 r 1 :6x 5y 30 4x 3y 0 Para calcular el punto A (0,4) r : 4x 3y 0 R 1 Calculamos el sistema de ecuaciones y x 4 y x 4 x A, y 3 A(x,y) Calculamos el punto A 6 x 5y 30 4x 3y A, A(x,y) R 15

16 x y 0 y 0 x y 10 y 0 r 1 : x y y 0 r : x y 10 y 0 y y x y 3 r 1 : x y 0 x 0 y 0 x 0 y 0 A(,) R 1 B(4,) R 1 y x 0 A(0,) B(1,) y R R 1 O(0,0) C(5,0) y 0 O(0,0) C(3,0) y 0 Ejercicio 35 x y 6 a ) y x x 0 r 1 : x y 6 r : y x x 0 Ejercicio 35 1 x b ) 0 y 3 x 1 x y 0 y 3 R A(4,) y 3 R 1 y 0 x -1 x 16

17 Ejercicio 35 x 4 0 x 6 0 c ) 3 y y 5 x 4 x 6 y 3 y 5 Ejercicio 35 4 y 1 d ) 4 y 4 x 4 0 r 1 : 4y 1 r : 4y 4 R x 4 B(4,4) A(4/3, ) C(4,0) R 1 Ejercicio 35 x 4 0 x 6 0 c ) 3 y y 5 x 4 x 6 y 3 y 5 Ejercicio 35 1 x b ) 0 y 3 x 1 x y 0 y 3 y 3 y 0 x -1 x 17

18 Ejercicio 35 4 y 1 d ) 4 y 4 x 4 0 r 1 : 4y 1 r : 4y 4 x 4 R A(4/3, ) B(4,4) Región factible C(4,0) R 1 Función objetivo ( máximo) x y 80 y 10 x 0 y 0 C(0,40) A(0,30) Región factible Región factible Función objetivo ( máximo) Función objetivo ( máximo) x y 80 y 10 x 0 y 0 C(0,40) O(0,0) A(0,30) B(40,0) A(0,30) B(40,0) C(0,40) O(0,0) O(0,0) B(40,0) B( 0,30 ) 00* 0 150* B( 40,0 ) 00* * B(0,40 ) 00* 0 150* B(0,0 ) 00* 0 150*

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