EXAMEN DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Transcripción

1 EXAMEN DE PROGRAMACIÓN LINEAL Se recomienda: a) Antes de hacer algo, leer todo el eamen. b) Resolver antes las preguntas que se te den mejor. c) Responde a cada parte del eamen en una hoja distinta. d) Es una hoja de eamen por las dos caras sobre la que no se escribe nada. Elegir uno de los dos siguientes problemas. PROBLEMA 1 (7 p) 1. Representar la región del plano definida por el siguiente sistema de inecuaciones: y 60 y 11 3y 2 Maimizar la función f, y 10 y en la región obtenida. 3 Minimizar la función g, y 10y en la región obtenida. PROBLEMA 2 (10 p) En un depósito se almacenan bidones de petróleo y de gasolina. Para poder atender la demanda se han de tener almacenados un mìnimo de 10 bidones de petròleo y 20 de gasolina. Siempre debe haber màs bidones de gasolina que de petróleo, siendo la capacidad del depósito de 200 bidones. Por razones comerciales, deben mantenerse en inventario al menos 50 bidones. El gasto de almacenaje de un bidón de petróleo es de 20 céntimos y el de uno de gasolina es de 30 céntimos. Se desea saber cuántos bidones de cada clase han de almacenarse para que el gasto de almacenaje sea mínimo. 1. Eprésense la función objetivo y las restricciones del problema. 2. Represéntese gráficamente la región factible y calcúlense los vértices de la misma. 3. Resuélvase el problema. FJSP CURSO 2012/13 BHCS2 EXAMEN DE PROGRAMACIÓN LINEAL 1

2 SOLUCIÓN PROBLEMA 1 (7 p) 1. Representar la región del plano definida por el siguiente sistema de inecuaciones: 11 Hemos de representar 1.1 y 60 Pintamos la recta de ecuación y. y y 60 3y que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente y , : cierto. Entonces la región es el semiplano que está por debajo de la recta y 60 incluída esta P 1.2 y Pintamos la recta de ecuación y que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente y , : cierto. Entonces la región es el semiplano que está por encima de la recta y incluída esta P y Pintamos la recta de ecuación 3y que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente y 0 3 0, : cierto. Entonces la región es el semiplano que está por debajo de la recta 3y 11 incluída esta P FJSP CURSO 2012/13 BHCS2 EXAMEN DE PROGRAMACIÓN LINEAL 2

3 y P Calculamos los vértices de la región factible, pues en esos puntos se alcanzan los óptimos de las funciones objetivo. A y y Aplicamos el método de sustitución: De la primera ecuación: y 60 Sustituimos este valor en la segunda ecuación: Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente de y: y Entonces A 10, P B y 60 y Aplicamos el método de reducción, sumando en columna para obtener: 2y 20 y Sustituimos este valor de y en una de las dos ecuaciones para hallar el correspondiente valor de : Entonces B 50, P C y 11 3y Aplicamos el método de igualación: Despejamos en ambas ecuaciones la incógnita : y 11 3y y y 3y 11 3y 11 Igualamos las dos epresiones en para obtener una ecuación de primer grado en y: 3y y y 11 3y 11y 4 3y 4 11y 3y 8y y Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de : Entonces C 20, P FJSP CURSO 2012/13 BHCS2 EXAMEN DE PROGRAMACIÓN LINEAL 3

4 2 Maimizar la función f, y 10 y f A 10, P f B 50, P f C 20, P El máimo se alcanza en el punto C 0.15 P 3 Minimizar la función g, y 10y g A 10, P g B 50, P g C 20, P El mínino se alcanza en el punto A 0.15 P PROBLEMA 2 (10 p) En un depósito se almacenan bidones de petróleo y de gasolina. Para poder atender la demanda se han de tener almacenados un mìnimo de 10 bidones de petròleo y 20 de gasolina. Siempre debe haber màs bidones de gasolina que de petróleo, siendo la capacidad del depósito de 200 bidones. Por razones comerciales, deben mantenerse en inventario al menos 50 bidones. El gasto de almacenaje de un bidón de petróleo es de 20 céntimos y el de uno de gasolina es de 30 céntimos. Se desea saber cuántos bidones de cada clase han de almacenarse para que el gasto de almacenaje sea mínimo. 1. LLamamos Las restricciones son: al número de bidones de petróleo y al número de bidones de gasolina 10 y 20 y y y 0.35 P La función objetivo es z, y 20 30y. 2. Hemos de representar: Pintamos la recta vertical de ecuación 10, y se trata de todo el semiplano que queda a la derecha de esta recta incluída ella P 2.2 y 20 Pintamos la recta horizontal de ecuación y 20, y se trata de todo el semiplano que queda por encima de esta recta incluída ella P 2.3 y Pintamos la recta de ecuación y que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente y , : falso. Entonces la región es el semiplano que está por encima de la recta y sin incluir a esta P 2.4 y 200 Pintamos la recta de ecuación y que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente y FJSP CURSO 2012/13 BHCS2 EXAMEN DE PROGRAMACIÓN LINEAL 4

5 0, : cierto. Entonces la región es el semiplano que está por debajo de la recta y 200 incluyendo a esta P y Pintamos la recta de ecuación y que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente y , : falso. Entonces la región es el semiplano que está por encima de la recta y 50 incluyendo a esta P y P Claramente hay una restricción redundante: y 20 Los vértices vienen dados por los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: A 10 y 200 A 10, P B 10 y 50 B 10, 0.55 P FJSP CURSO 2012/13 BHCS2 EXAMEN DE PROGRAMACIÓN LINEAL 5

6 C y y 50 C 25, P D y y 200 D 100, P 3. La función objetivo alcanza sus óptimos en los vértices de la región factible, por lo que hemos de evaluarla sobre dichos vértices: 3.1 z A 10, céntimos 0.25 P 3.2 z B 10, céntimos 0.25 P 3.3 z C 25, céntimos 0.25 P 3.4 z D 100, céntimos 0.25 P El mínimo se alcanza en el punto C 25, P Por lo tanto se deben almacenar 25 bidones de petróleo 25 bidones de gasolina Pero no es vàlida, ya que tiene que haber más bidones de gasolina que de petróleo. Buscamos una solución próima a esta en el punto (25, 26) en el que z25, céntimos que sigue 25 bidones de petróleo siendo una solución mínima y que corresponde a 0.75 P 26 bidones de gasolina FJSP CURSO 2012/13 BHCS2 EXAMEN DE PROGRAMACIÓN LINEAL 6