Funciones Exponenciales MATE 3012

Transcripción

1 Funciones Exponenciales MATE 3012

2 Definición de Función Se define una función, f, de un conjunto D a otro conjunto, R, como una correspondencia que asigna a cada elemento x de D exactamente un elemento de R : x 1 x 2 x 3 y 2 y 1

3 Funciones en Matemáticas En matemáticas representamos las reglas de correspondencia con ecuaciones. En este curso estudiamos ecuaciones en dos variables, normalmente x, y, donde x variable independiente y variable dependiente Ej. y = 2x 2 + 3x 9, es una ecuación cuadrática Cuando estamos seguros que cada valor que se le asigna a x produce un solo valor para y, entonces escribimos f x = 2x 2 + 3x 9

4 Terminología D, llamado el dominio de la función, consiste de todos los valores que puede asumir la variable independiente La variable independiente puede asumir un valor, si ese valor produce un resultado real. Por ejemplo: si f x = 2x2 3x 9 f(3) = 2(3)2 = 2(9) = 18 3(3) No está definido Por lo tanto, x = 3 NO está en el dominio de la función. El dominio de f(x) son todos los reales excepto el 3. El dominio es, 3 3,.

5 Terminología R, llamado el campo de valores, rango, o alcance de la función, consiste de todos los valores producidos al evaluar la variable independiente para cada valor de su dominio (imágenes) Por ejemplo, si f x = 2x 2 + 3x 9, entonces f(3) implica remplazar x con 3 y simplificar la expresión f 3 = 2(3) 2 +3(3) 9 f 3 = 18 3 está en el dominio de f(x) y 18 está en el campo de valores de f(x)

6 Nombre el dominio y el campo de valores a) b) Dominio: Dominio: Campo de valores: Campo de valores:

7 Funciones exponenciales En este curso estudiaremos funciones exponenciales que siguen el siguiente modelo: f x = b a x + c, donde a, b, c son números reales tales que a >0 y a 1, y b 0

8 Resumen de comportamiento La función exponencial, f(x) = ba x, (para a, un número positivo diferente de 1, b > 0 y x cualquier número real) tiene las siguientes características

9 Gráficas Tracemos las gráficas de f(x) = 3 y h(x) = 1 x 3 x Nota que esta gráfica es una reflexión sobre el eje de y de la gráfica de y = 3 x. También, y = 1 = 3 1 x = 3 x 3 x

10 Gráficas (cont.) Comparemos las gráficas de f(x) = 3 y h(x) = 1 x 3 x Nota que estas funciones exponenciales tienen en común: 1. el int-y es (0,1) 2. la asíntota horizontal es eje de x o sea y=0 3. el dominio: todos los reales, campo de valores: y>0

11 Tracemos la gráfica de y = 3 x-2 Comparemos las tablas de valores de 3 x y 3 x-2 : Gráficas (cont.)

12 Gráficas (cont.) Tracemos la gráfica de y = 3 x - 2 Comparemos tablas de valores de 3 x y 3 x 2 : x y = 3 x

13 La constante e DEFINICION: Llamamos la constante e la base natural. e es un número irracional. f(x) = e x una función que utiliza la base natural se denomina una función natural Por ejemplo: f x = 2e x+1 g x = 1 2 e2x h x =3e x 5

14 La constante e (continuación) Ej. Utilice su calculadora para aproximar los valores siguientes a 4 lugares decimales: a) e 2 b) e 3.55 c) 3e 0.5 d) e 1

15 La función de la base natural: e Se define la función exponencial natural por f(x) = e x para cada número real x. Aquí se presenta la gráfica de e x, al lado de 2 x y 3 x. Note: dominio: (-, ) campo de valores y > 0

16 La función exponencial natural Ejemplo 5: Graficar f x = e x, g x = e x, h x = e x 3 Notamos: f(x) y h(x) son crecientes en todo su dominio, g(x) es decreciente Dominio de todos: (, ) Campo de valores de f(x) y g(x) es (0, ), de h(x) es (-3, ) f(x) y g(x) tienen el eje de x como asíntota horizontal, la asíntota horizontal de h(x) es y=3.

17 Interés Compuesto Continuamente Una aplicación de la base natural, e, es la fórmula de interés compuesto: donde P = el principal (la inversión original) r = tasa de interés anual expresado como un decimal t = número de años que P se invierte A = valor de la inversión después de t años

18 Ejemplo Suponer que $20,000 se depositan en una cuenta que paga interés compuesto continuamente a una razón de 8% por año. Determine el balance en la cuenta luego de 5 años.

19 Fórmula de crecimiento La fórmula de interés compuesto es un caso particular de la formula de crecimiento. q = q 0 e rt, donde q es la cantidad final, q 0, es la cantidad inicial, r es la razon de crecimiento (en decimal) y t la cantidad de años. Ejemplo: La población de una ciudad en 1970 era 153,800. Asumiendo que la población crece continuamente a una razón de 5% por año, determine en qué año la población de la ciudad alcanza 1 millón primera vez. Para la solución aplicamos la fórmula de crecimiento.

20 Ejemplo (cont.) Usando la calculadora gráfica 153,800e (0.05)(t) = 1,000,000.

21 Ejemplo (cont.) Usando la calculadora gráfica 153,800e (0.05)(t) = 1,000,000.

22 Teorema Las funciones exponenciales son crecientes o decrecientes en todo su dominio (monotónicas). Una función monotónica es una función uno-a-uno. Si f(x) = a x para 0 < a < 1 ó a >1 se cumplen las siguientes condiciones: 1. Si x 1 x 2, entonces a x 1 a x 2 2. Si a x 1 a x 2, entonces x 1 x 2. (cada valor de dominio tiene una imagen única, las y s NO se repiten.) La propiedad uno-a-uno de las funciones exponenciales nos permite resolver ecuaciones exponenciales sencillas.

23 Ejemplos Hallar x tal que 7 3x = 7 2x + 5.

24 Ejemplos Resolver para x, 3 5x 8 = 9 x + 2

25 Resolver para x, 1 2 Ejemplos x 3 = 4 2 x