GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA

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1 PÁGINA: 1 de 8 Nombres y Apellidos del Estudiante: Docente: Área: Matemáticas Grado:9º Periodo: 3º GUIA # 2 Duración: 10 HORAS Asignatura: Matemáticas ESTÁNDAR: Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la aritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas. Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, eponenciales y arítmicas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Formula y soluciona problemas utilizando procedimientos de funciones eponenciales y arítmicas. EJE(S) TEMÁTICO(S): FUNCIÓN EXPONENCIAL. *Definición *Análisis gráfica de las funciones eponenciales *Ecuaciones eponenciales FUNCIÓN LOGARÍTMICA *Concepto de aritmo *Definición de función arítmica *Análisis gráfico de la función arítmica *Propiedades de los aritmos *Ecuaciones arítmicas *Sistemas de ecuaciones arítmicas René Descartes ( ) Filósofo y matemático francés. ORIENTACIONES 1) Observaciones sobre el desarrollo de la guía 2)Lectura teto guía (seguir correctamente las instrucciones dadas, 3)Eplicación por parte del docente atención y concentración durante las eplicaciones, 4)Desarrollo del taller asignado en grupo o individual. leer comprensivamente, orden y pulcritud 5)Socialización del trabajo desarrollado. en el desarrollo de la guía ). 6) Se valorarán todos los momentos de la guía. EXPLORACIÓN Determine la alternativa que continúa en la secuencia de figuras mostradas. CONCEPTUALIZACIÓN

2 PÁGINA: 2 de 8 FUNCIÓN EXPONENCIAL La función eponencial se define con una base constante cuyo eponente es el valor variable, es decir: f() = a Con a > 0 y a 1, R Se llama función eponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función f:r R f() = a Esta función se escribe también como f() = ep a y se lee «eponencial en base a de». Recordemos las propiedades de la potenciación 1. a = 1, 2.-, Características de la función eponencial Son de la forma y=a, con a>0. Su dominio es R y el rango es R + Es continua. Si a>1 es creciente y decreciente si 0<a<1. Corta al eje OY en (0,1),porque a 0 = 1, y no tiene intercepto en el eje,pasa por (1,a) El eje OX es asíntota horizontal. 7) 6) a -n = 1/a n, 5.-, GRÁFICA FUNCIÓN EXPONENCIAL a) Si a > 0, la función es creciente en R Ejemplos de funciones eponenciales 1. La función y = 2 es una función eponencial de base 2. Algunos de los valores que toma esta función, f:r R f(-3) = 2 - ³ = 1/2³ = 1/8, f(-1/2) = 2-1/2 = 1/2 1/2 = 1/ 2 f(1) = 2¹ = 2, En este caso, para = 0, y = a = 1 para = 1, y = a¹ = a Para cualquier, la función es creciente y siempre positiva Como caso particular se representa la función y = 2. b) Si la función 0 < a < 1, es decreciente en R,; 2. La función y = 1/2 es una función eponencial de base 1/2. Alguno de los valores que toma esta función, f: R R, son: f(-4) = 2-4 = 1/2 4 = 1/16 f(0) = (1/2) = 1 f(2) = (1/2) ² = ¼ PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Para = 0, y = a = 1 Para = 1, y = a¹ = a Para cualquier la función es decreciente y siempre positiva. Como caso particular se representa la función y = (1/2). RELACIONANDO LAS DOS FUNCIONES y = a 1.- para = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a = para = 1, la función toma el valor a: f(1) = a¹ = a

3 PÁGINA: 3 de la función es positiva para cualquier valor de : f( ) > 0.Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo. 4.- Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente. 5.- Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente. Crecimiento eponencial La función eponencial se presenta en multitud de fenómenos de crecimiento animal, vegetal, económico, etc. En todos ellos la variable es el tiempo. En el crecimiento eponencial, cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a. Donde k es el valor inicial (para t=0), t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempo. Si 0<a<1 se trata de un decrecimiento eponencial. Ejemplo. En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano, si su peso se multiplica por 2 cada día, cuál es su crecimiento si el peso inicial es 3 gr? Peso inicial: 3 gr Crecimiento: por =12 Aplicaciones La función eponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo. A continuación se ven tres aplicaciones: Crecimiento de poblaciones. Interés del dinero acumulado. Desintegración radioactiva. Ejemplo. Un pueblo tiene 600 habitantes y su población crece anualmente un 3%. Cuántos habitantes habrá al cabo de 8 años? P = ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES. Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como eponente son ecuaciones eponenciales. No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación eponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar. f() 0 3 1= =6 7) 8) ( ) 9) Ejercicio: solución de ecuaciones eponenciales 1) Resolver = 1/8 SOLUCIÓN: Epresando 1/8 como potencia de 2: = 1/2 3 = ² = -3 Basta ahora con resolver esta ecuación de segundo grado. 1 - ² = - 2)Resolver = 320 SOLUCIÓN: En algunas ecuaciones es necesario hacer un cambio de variable para su resolución. Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, la ecuación puede escribirse: ³ 2 = = 320 Epresando 4 como potencia de dos, 4.2 ² = 320 Se hace el cambio de variable 2 = y, (por tanto 2 ². = y ²) y se obtiene: 4 y ² + 8 y = 320 Basta ahora con resolver esta ecuación: y ² + 2 y - 80 = 0 Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos

4 PÁGINA: 4 de 8 resultados y propiedades: 1) a = a y = y 2) 3) a m.a n = a m+ n 4) 5) 6) Se deshace ahora el cambio y = 2 y 1 = -10 = 2. No es posible encontrar un que verifique esta condición (2 es siempre positivo) y 2 = 8 = 2 La solución es, por tanto, = 3 Resolver FUNCIÓN LOGARÍTMICA La función inversa de la eponencial La función arítmica en base a es la función inversa de la eponencial en base a. ( ) con En la figura se puede ver la inversa de la función eponencial. Resolución: Al observar estas gráficas podemos concluir que: El dominio de la función arítmica es:.. El recorrido de la función arítmica es:.. Gráfica función arítmica a) Si a la función es creciente para > 0. Nota: El aritmo cuya base es e (número irracional = ) lo llamamos aritmo neperiano o aritmo natural y se escribe como Ejemplos: b) Si 0 < a < 1la función es decreciente para > 0. 1) ( ) y ) ( ) 5 10 Funciones arítmicas Son las que asocian a cada número su aritmo en una cierta base, a, y= a. Su dominio son los reales positivos y el recorrido es IR Es continua Si a>1 es creciente y decreciente si 0<a<1. Corta al eje OX en (1,0) y pasa por (a,1) El eje OY es asíntota vertical. Observa que si la base de la función arítmica es un número mayor que 1 la gráfica es CRECIENTE y si 0<a<1 es un número menor que 1 la gráfica será es DECRECIENTE.

5 PÁGINA: 5 de 8 5 y 5 10 LOGARITMOS DEFINICIÓN: El aritmo se define como: n=, b > 0 y a 1 Se lee de la forma n es el aritmo de b en base a. Ejemplos: con ) ) en particular si tenemos (ya que la base de ln es e) ) 6)Logaritmo de la raíz. Log a = a b Logaritmos decimales Son aquellos aritmos que tienen base 10, el cual al ser escrito suele omitirse, es decir: Log 10 = X 10 = 10 1 =1 100 = 10 2 = = 10 3 = = 10 4 = 4, etc Cuando queremos calcular aritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la fórmula del cambio de base ECUACIONES LOGARÍTMICAS Una ecuación arítmica es aquella en la que la incógnita aparece en una epresión afectada por un aritmo. Así en la ecuación 2 = 1 + ( - 0,9), en la que la incógnita aparece tras el signo de aritmo, es arítmica. Para resolver este tipo de ecuaciones se utiliza la siguiente propiedad: 1) Para resolverlas se deben igualas los aritmos, es decir, que tengan ambas bases iguales. Log a b = a c b= c Un sistema de ecuaciones arítmicas es un sistema formado por ecuaciones arítmicas. Por ejemplo, + y³ = 5 /y = 1 Por otra parte: b) Si la función es decreciente para. a) Si la función es creciente para. 0,1 = 10-1 = -1 0,01 = 10-2 = -2 (Si la base no aparece es 10) PROPIEDADES: ) ( ) ) ( ) Resuelve la ecuación 2 = 1 + ( - 0,9). solución: ² = 10 + ( - 0 9) ² = [10 ( - 0 9)] ² = 10 ( - 0 9) ² = ² = 0 aplicando la fórmula general = = (10 ± )/2 = (10 ± 64)/2 = (10 ± 8)/2 = 5 ± 4 Hay dos soluciones: = 9 y = 1 Ecuaciones eponenciales que se resuelven utilizando aritmos Resolver la ecuación 2 = 57. Solución: Tomando aritmos en ambos miembros, 2 = = 57 = 57/ 2 = 1,7558/0,3010 = 5,8332 Resolución de sistemas de ecuaciones arítmicas + y³ = 5 1) Resolver el sistema: /y = 1 Solución: y³ = 10 5 y³ = 10 5 /y = 10 /y = 10 = 10.y 10 y 4 = 10 5 y 4 = 10 4 y = 10 (El resultado y = -10 no tiene sentido.) Como = 10 y = = 100 APLICACIÓN DE LOS LOGARITMOS A LAS ECUACIONES EXPONENCIALES Una ecuación eponencial puede ser resuelta cuando sus bases son iguales, cuando no son iguales, se pueden usar aritmos para resolver estas ecuaciones. Ej.: 2 = 3 Como las bases no son iguales se aplica aritmo a ambos lados de la igualdad; 2 = 3 Por propiedad de aritmo de una potencia: 2 =. 3

6 PÁGINA: 6 de 8 Ecuaciones con aritmos Resuelve la ecuación: 4 = = = =400 2 =400 =±20 Despejando resulta: Ejemplo Representa y estudia las funciones a) f()=2 3 Dominio=(0,+ ) Recorrido= Asíntota: =0 ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN 1.-Determina el valor de : a) 2 3 b) d) 2 e) g) 3 2 h) j) 2 k) 5 c), 3 f) 0 3 i) )El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por cada 30 minutos. Si suponemos que el cultivo tiene inicialmente 5 millones de bacterias, dentro de cuántas horas tendrá 320 millones de bacterias?. 11)En qué se convierte al cabo de 15 años un capital de $ al 5,5% anual? 2)Desarrolla aplicando las propiedades de los aritmos: a) (2ab) 5 d) a b h) 2a 4 b 3 a 2a b) 4 c) 3 2 f) e) ab 3a 3 b i) c Calcula: 5 j) 3)Calcula el número: a) cuyo aritmo en base 6 es 3. b) cuyo aritmo en base 4 es -3. c) cuyo aritmo en base 10 es 2. d) cuyo aritmo en base 1/2 es -3. e) cuyo aritmo en base 1/5 es 2. 4)Representa y estudia las funciones a) f()=4 2 b) f()= a) f()= = )Resuelve las ecuaciones eponenciales: a) =16 b) =93 c) =8 d) =1 e) =1 6)Aplicando las propiedades de los aritmos resuelve las ecuaciones: a) (32+2) 2 (4-) = 0 b) 2 (-16) = 2 ab 2y g) 2 12) Para qué valores de la función indicada es decreciente?: a) f()= b) f()= )Calcula en cada caso aplicando la definición de aritmo: f) 1/81= c) 381= g) 1/525= d) 3(1/9)= h) 1/2(1/16)= 14)Representa y estudia las funciones a) f()= = Cuál es el área de los rectángulos de la figura? 16. Cuál es el valor de en la ecuación Área = base altura

7 PÁGINA: 7 de 8 c) 2 = -2 d) 2 ( 16) 2 e) ) Solucionar el sistema: + y = 2 - y = 20 8)Construye una tabla de valores de una función eponencial en cada caso y escribela epresión algebraica. a) f(-2)=2/9, y constante de crecimiento 3 b) f(0)=3, y constante de decrecimiento ¼ 9)Calcula en cuánto se convierte un capital de $ colocado al 4,5% anual durante 3 años = 155? A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/3 E) Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) El aritmo de 1 en cualquier base, siempre es 0. B). a a = 2 C) La base de un aritmo no puede ser negativa D) El aritmo de una suma es el producto de los aritmos E) El aritmo de un cociente es la diferencia de los aritmos SOCIALIZACIÓN 1) Puesta en común del trabajo desarrollado. 2) Retroalimentación de posibles dudas. 3) Evaluación escrita del tema visto. 4)Se evalúa la participación activa de todos los estudiantes. 5) Revisión de corrrecciones. 6) Revisión del trabajo desarrollado COMPROMISO 1)Resuelve las siguientes ecuaciones: 1) ) ) 4 3 e ) ) )Resolver la ecuación = /2 3)Reduce a un solo aritmo a) a + b b) y 1 1 c) y 2 2 d) 4)Resolver la ecuación = /2 5)Resolver la ecuación = 1/40 6)Resolver 4³. = )Desarrolla aplicando las propiedades de los aritmos: a) (2ab) = 2 + a + b 3a 3 a 4 b) c) a b 5 a 4 b 8) Resolver el sistema: y = y = 128

8 PÁGINA: 8 de 8 ELABORÓ REVISÓ APROBÓ NOMBRES YAIRA RINCON ALEXANDRA URIBE CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico