PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

Transcripción

1 PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

2 Considera la función f(x)= x 3 + px donde p es un número real. Escribir (en función de p) la ecuación de la recta tangente a la grafica f(x) en el punto de abscisa x = 1. Determinar después p, de manera que la recta tangente anterior pase por el punto (2, 0). Si y = x 3 + px para calcular la tangente a la curva en x 0 = 1 + p m t = y (1) ; y = 3x 2 + p ; m t = p = 3 + p La ecuación de la recta tangente es y - y 0 = m t ( x - x 0 ) y ( 1 + p) = (3 + p) (x - 1) y 1 p = (3 + p) x -3 p ; y = (3+ p) x - 2 Si la recta pasa por (2,0) 0 = (3 + p) = 6 + 2p 2 ; 2p = - 4 ; p = 2

3 Cuántos puntos hay en la función f(x) = x 2 + 6x + 8 que no tengan derivada? Justificar la respuesta. Al resolver la ecuación x x + 8 = 0; x ; x 1 = - 2; x 2 = Los valores x = - 4 y x = - 2 hacen que f(x) = 0, y éstos son los puntos que discutir pues, antes de - 4, entre - 4 y - 2 y después de - 2, la f(x) es continua y su derivada también por ser funciones polinómicas. Los puntos (-4, 0) y (-2, 0) no poseen derivada ya que sus derivadas laterales no coinciden.

4 Además la f(2) no esta definida

5 Estudiar la continuidad

6 c) Representar la gráfica. a) En (-, -1] y = 0 es f. constante => continua en R En (-1, 2) y = ax 3 + bx es f. polinómica a, b => continua en R En (2, ) y = 11x 16 es una recta continua en R b) Para a = 1 y b = - 1 la f(x) es continua en R Las tres funciones f (x) en cada intervalo son continuas ya que dos son funciones constantas y la otra un polinomio de 2º grado. x y x y y = 11x

7 Si no me piden la continuidad de f(x), podemos calcular si es derivable al calcular la f (x) y ver si es continua en R. En (-, -2) f (x) = esta definida en (-, 0) (0, ) ya que en x = 0 no, f (x) esta definida en (-, -2) D f (x) es continua en (-, -2) f(x) es derivable en (-, -2). En (-2, 1) f (x) = - 1 definida en R por ser funcion constante f (x) es continua en R f (x) es continua en (-2, 1) R f(x) es derivable en (-2, 1) En (1, ) f (x) = 2x definida en R por ser funcion polinomica de grado 1 f (x) es continua en R f (x) es continua en (1, ) R f(x) es derivable en (1, )

8 Como la f(x) es a,b R, funciones polinómicas de grado 1 o 0 podemos decir que f(x) es continua en (-,0), (0,1) y (1, ) f (x) continua en (-,0), (0,1) y (1, ) => f (x) es derivable

9 Las 3 funciones f (x) son continuas en sus intervalos por motivos similares

10 Dada la función polinómica de segundo grado f(x) = a x 2 + b x + c, determina los coeficientes a,b y c, si se sabe que la grafica de esa función pasa por los puntos (1, 2) y (2, 6) y que en este último punto, la recta tangente a la curva tiene como ecuación 7x y 8 = 0. f(x) = a x 2 + b x + c Si pasa por (1, 2) 2 = a b 1 + c Si pasa por (2, 6) 6 = a b 2 + c Ademas como la tangente tiene de ecuación 7x y 8 = 0. y = 7x 8, la pendiente de la recta es m = 7 y a partir de la definición de derivada y (2) = m = 7 Si f (x) = 2ax + b 7 = 2a 2 + b b = 4 b = c = 2 c = 4 La función es f(x) = 3x 2 5x + 4 Dada la función f(x)= x³ - 3x + 1 se anula en algún punto de R? En caso afirmativo, determina un intervalo cerrado de amplitud menor de dos décimas que contenga el punto donde se anula. f( ) = 0 ; x³ - 3x + 1 = No existe x entero f(x) es continua en R por ser función polinómica f(x) continua en [a,b] R Elijo [0,1] signo f(0) signo f(1) f(0 25) = (0 25) ³ = 1/64 ¾ + 1 = ( ) / 64 > 0 f (1/8) = (1/8) ³ - 3(1/8) + 1 = 1/512 3/8 + 1 = ( ) / 512 > 0 f(0 4) = (0,4) ³ = < 0 signo f(0 25) signo f (0 4) [0 25, 0 4] 2ª hipótesis Este intervalo define que existe x o / f(x o ) = 0 y la amplitud del intervalo es = 0 15 < 0 2

11 Dada la función y = e 7x, calcular la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a f(x) que sea paralelo a la recta 7x y +2 = 0 Despejar la y en la recta y = 7x + 2 m r = 7 m t =7 por ser r paralela a t y =7e 7x ; y (x o ) = m t 7 e 7xo = 7 e 7xo = 1; e 7xo = e 0 ; 7 x o = 0 x 0 = 0 y o = e 0 = 1 ec tangente : y - 1 = 7(x - 0) y- 1 = 7x; y = 7x + 1 ec normal : y 1 = (x - 0); 7y 7 = - x ; y = x + 1 Si la tangente es paralela al eje OX (y = 0) m t = m r = 0 Ecuación tangente: y ln 4 = 0 (x - 2) y = ln 4 Ecuación normal ; y- ln 4 = (x - 2) 0 = x 2 x = 2

12 a) [5, ); y = ; D: x R El virus se puede propagar como máximo a 100 personas Demuestra que la ecuación x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x - 1= 0 tiene una raíz positiva Si tomo una f(x) = x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x 1 que es continua en R por ser un polinomio de grado 7 y elijo un intervalo cerrado [a,b] en el que los signos sean distintos, por ejemplo [-1,1] f (-1) = (-1) 7 + (-1) 6 + (-1) 5 + (-1) 4 + (-1) 3 + (-1) 2 + (-1) - 1 = = f (1) = = 6 0 Signo f (-1) signo f (1) Por ser f (x) continua en [-1,1] y signo f (-1) signo f (1) se cumplirá el teorema de Bolzano por lo que existe al menos un x 0 (-1,1) / f (x 0 ) = 0, es decir x 0 (-1,1) / x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x 1 = 0 o lo que es lo mismo, que esta ecuación posee al menos una solución o raíz que será positiva si f (0) diera negativa y lo da. f (0) = y f (1) = 6 0 En [0,1] signo f (0) signo f (1)

13 a) 1ª Hipótesis: f(x) continua en [-3, 3]. Para a = 8 y b = 2 f(x) es continua en [-3, 3] b) 2ª Hipótesis: sign f(-3) sign f(3) f(-3) = sen (-3) + 2 > 0 f(3) = 8/3 > 0 sign f(-3) = sign f(3) No verifica Bolzano

14 Para que una función sea continua, la función debe de estar definida en x = 4 Veamos si hay algun valor de a para que si exista el limite de f(x) Para que exista limite L 1 = L 2 8 2a = 4 2a = 4 a = 2

15 Para que una función sea derivable, lo primero que tenemos que comprobar es que esta función sea continua en (0,) que es donde esta definida. La función x Ln x es continua en el intervalo (0,1] en el que esta definida ya que x lo es por ser un polinomio y Ln x también es continua siempre que no incluyamos el 0. La función a (1 e - x ) también es continua en el intervalo (1,) ya que la función exponencial lo es para todo valor de R. El único problema que puede existir es en el valor x = 1, por ello estudiaremos la continuidad de f(x) en x = 1, obligando a que sea continua y buscando el valor de "a" que lo consiga. Veamos ahora si para a = 0, la f(x) es derivable o no. Para que una función sea derivable, es necesario que f (x) sea continua en el intervalo considerado. Como hemos tomado el valor de a = 0 para que fuese continua, Como los limites no son iguales podemos asegurar que la f (x) no es continua, con lo que f (x) no es derivable en x = 1 para ningún valor, ni siquiera para a = 0.

16 Discutir si la ecuación cos x = 2 x posee alguna solución real positiva Creamos una f(x) = cos x 2 + x para comprobar las hipótesis de Bolzano en (0, b) f(x) es continua f(x) es continua en [ ] Enunciar el teorema de Bolzano y utilizarlo para probar que todo número real positivo tiene raíz cuadrada. El teorema de Bolzano dice que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y en los extremos del intervalo toma valores de signos opuestos, es decir sig f(a) sig f(b), estas dos hipótesis nos asegura que la f(x) se anula por lo menos en un punto interior a dicho intervalo o lo que es lo mismo, que f(x) corta al eje OX en algún punto dentro del intervalo. A partir de este teorema, se pide demostrar que cualquier numero real y positivo, posee raíz cuadrada. Para ello estableceremos una relación (función) entre cualquier numero real "a" positivo y su raíz cuadrada. Si x es raíz cuadrada de a ( a > 0) entonces x 2 = a ==> x 2 - a = 0. Mi función será entonces f(x) = x 2 - a. La f(x) es una función continua en toda la recta real por ser una función polinomica de grado dos. A continuación vemos como son los signos de mi función en el intervalo (-,+), ya que nos piden que demostremos para todo R y esto implica la totalidad del eje de abscisas. f(-) = (-) 2 - a = + f(+) = (+) 2 - a = + Según Bolzano, como los signos en los extremos del intervalo son iguales, no me podrá asegurar la existencia de ningún valor de x dentro del intervalo, en el cual la f(x) se anule. Esto me indica que para cualquier numero real "a" positivo, existirá siempre su raíz cuadrada.

17 Escribir la ecuación de la recta tangente a la hipérbola de ecuación x.y = 6 en el punto de abscisa x = 3. Razonarlo. tangente será P(3;2) Sabiendo que la recta tangente es y - y(a) = y'(a) (x - a) donde a = 3 e y(a) = 2, necesitaremos saber cuanto vale la pendiente de la recta tangente a mi curva en a = 3. 3y - 6 = - 2x + 6 ==> 2x + 3y - 12 = 0

18 Al existir los limites laterales pero ser distintos, habrá una discontinuidad de 1ª especie con salto finito único ya que f(0) coincide con uno de los limites laterales. a) Para que sea continua, basta con que este definida. El cociente esta definido en R excepto las x que anulan el denominador, que en este caso es x = - 1 La función será continua en D = x (-,-1) ( -1, ) En x = - 1 la f (x) es discontinua de segunda especie por ser sus limites laterales + b) Aquí el dominio es R excepto las x que hagan x² - 1= 0, es decir, x = + 1

19 (-,-1) f. polinómica de grado 1 f(x) continua en R (-1,1) f. constante f(x) continua en R (1, ) f. polinómica de grado 2 f(x) continua en R En los 3 intervalos la f (x) es continua en R por ser 2 f. continuas y una f. polinómica de grado 1 f(x) es derivable. f (x) no es continua f(x) no es derivable En x = 1 f(x) no es derivable por no ser continua

20 Mientras no se diga la contrario habrá que buscar la continuidad y la derivabilidad en toda la recta real. a) Veamos primero la continuidad. En (-, - 1) y = x 2 + 2x + 2 esta definida en R por ser una función polinómica de grado 2 f(x) esta definida en (-, - 1) R continua en (-, - 1). Continua en x = - 1 En (-1, 1) y = 1 esta definida en R por ser una función continua f(x) esta definida en (- 1, 1) R continua en (- 1, 1). Continua en x = 1 En (1, + ) y = 2x 2 x esta definida en R por ser una función polinómica de grado 2 f(x) esta definida en (1, + ) R continua en (-, - 1). f(x) es continua R. b) Veamos si es derivable y para ello tenemos que hallar f (x). En (-, - 1) y = 2x + 2 esta definida en R por ser una función polinómica de grado 1 f (x) esta definida en (-, - 1) R f (x) continua en (-, - 1) f(x) derivable en (-, - 1) f (x) continua en x = - 1 f(x) derivable en x = - 1

21 En (-1, 1) y = 0 esta definida en R por ser la función continua nula f (x) esta definida en (- 1, 1) R f (x) continua en (- 1, 1). f(x) derivable en (- 1, 1). f (x) no es continua en x = 1 f(x) no es derivable en x = 1 En (1, + ) y = 4x 1 esta definida en R por ser una función polinómica de grado 1 f (x) esta definida en (1, + ) R f (x) es continua en (-, - 1) f(x) es derivable en (1, + ) F(x) es derivable en toda la recta real excepto en el punto de abcisa x = 1

22 La función no tiene límite ya que uno de sus límites laterales no existe.

23 Para que una función sea derivable es necesario que primero sea continua. La función para todo x distinto de 0 y de 3 es continua por ser cociente de dos polinomios que solo se anulan en estos dos valores 0 y 3. Estudiemos la continuidad en x = 3 calculando los limites laterales y f(3). La función es continua en x = 3. Para ver si es derivable deberemos calcular su derivada y ver si es continua en x = 3 esto nos dice que la f (x) si es derivable en x = 3 Estudiemos la continuidad de f (x) en x = 0, f (0) = - 1 La f(x) no es continua en x = 0, por lo que tampoco será derivable para x = 0.

24 (-, 1) y = x 2 es continua en R por ser una función polinómica de grado 2 continua en (-, 1) C R. (1, ) y = x 2 + ax + b a, b R, f(x) es continua en R por ser una función polinómica de grado 2 continua en (1, ) R. (-, 1) f '(x) = 2x es continua en R por ser una función polinómica de grado 1 continua en (-, 1) R f (x) derivable en (-, 1) (1, ) f '(x) = - 2x + a a R, f '(x) es continua en R por ser una función polinómica de grado 1 continua en (1, ) R f'(x) derivable en (1, )

25 Halla los valores de los números a y b para que la f(x) definida por resulte derivable Para que sea derivable ha

26 Halla el punto P en el que se cortan las funciones ;. Hallar la ecuación de las rectas tangentes en P a cada una de las curvas y demostrar que son perpendiculares (Selectividad Prueba ) son perpendiculares ya que m t = m t =

27 Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica y = Ln x, en los puntos a) x = 1; b) x = e ; c) x = e -1

28 (-,0); y = x; D: (-,0) D; f(x) definida y continua en el intervalo (-,0) x y x y ,34 1 0,47 Si obligo a que f(3) = 6 la f(x) será continua, luego para a = 6 mi f(x) será continua x R

29 En los intervalos [-1, 0) y (0, 1] la f(x) esta definida para todos los x excepto en x = 0 en la que se anulan los denominadores es decir definida en (-, 0) U (0, ) si es continua en los dos intervalos. Si queremos que ƒ(x) sea continua en R es necesario que : En (-,3) y = x³ - ax² - 2 es continua a por ser función polinómica En ( 3, ) y = x + 4 es continua a por ser función polinómica Solo para a= ± podemos asegurar que ƒ(x) es continua en R, para los demás valores de a, los limites laterales de ƒ(x) en x = 3 serán distintos y existiran discontinuidades de primera especie

30 No lo contradice, pues la 1º hipótesis no se cumple. No podemos asegurar que exista x 0 en (-2, 3) / f(x 0 ) = 0, aunque los signos de f(-2) y de f(3) sean distintos.

31 La función f(x) = 2senx + 5 toma el valor 6 en el intervalo (0, π/2)? En caso afirmativo, determina el valor x = c / f(c) = 6 f (0) = 2 sen = 5 f (π/2) = 2 sen (π/2) + 5 = 7 La f (x) = senx es funcion creciente con lo que f (x) = 2 senx + 5 también es creciente.

32 Obtener los puntos de la gráfica f(x) = x 4-7x x 2 + 3x + 4 en los que la recta tangente sea paralela a la recta y - 3x - 2 = 0 Para buscar los puntos P(x o,y 0 ), como la recta tangente que pasa por ellos es paralela a la recta y = 3x + 2, las pendientes de la recta tangente y de la recta dada, deben ser iguales. La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez despejada la y, luego m t = 3 La pendiente de la recta tangente será por tanto m t = 3 Por otro lado, siguiendo la interpretación geométrica de la derivada de una función, sabemos que la derivada de la función particularizada para un x o debe ser igual que la pendiente de la recta tangente trazada a la curva por el punto, es decir deberá de valer m t. f (x o ) = m t Calculemos la f (x) = 4x 3-21x x + 3 e igualemos a 3. 4x 3-21x x + 3 = 3 ===> 4x 3-21x x = 0 x (4x 2-21x + 26) = 0 Como vemos, existirán tres puntos de mi curva, de abscisas 0, tangente geométrica es paralela a la recta dada. y 2 en los que la Solo nos falta calcular las ordenadas correspondientes a cada una de las abscisas. y(2) = = 22 P 3 (2,22)

33 Probar, aplicando el teorema de Bolzano, que la ecuación e x + x = 0 tiene alguna solución real. Bolzano asegura que si f(x)es continua [a,b]y los signos f(a) y f(b) son distintos existe al menos un valor x (a,b) / f(x 0 ) = 0 Si cojo la f(x) = e x + x y un intervalo de la recta real (-1,1) tal que Como y = e x es continua en R sera continua en [-1,1] Como y = x es continua en R sera continua en [-1,1] Por lo tanto la y = e x + x sera continua en [ -1,1] Según Bolzano existe al menos un x 0 (-1, 1) / esto quiere decir que la ecuación posee al menos una solución real o un punto de corte de f(x) con el eje de abscisas. Probar que el f(x) = x + senx 1 = 0 es continuo xr y que además existe una raíz real de la ecuación: x + senx = 0 Busco este intervalo ya que en el se verifica la 2ª hipótesis de Bolzano signo f(a) signo f(b). Por Bolzano x o (0, π/2) / f(x o ) ecuación: x + senx 1 = 0 que existe al menos una raíz ó solución real de la

34 Probar que la ecuación: x³ + 2x² - x - 4 = 0 tiene al menos una raíz real en el intervalo (1,2) Si llamamos f(x) = x ³ + 2x² - x 4, lo que nos está pidiendo es que aseguremos que existe al menos un x o (1,2) tal que f(x o ) = 0 es decir que f(x) corte al eje OX en al menos un punto del intervalo. Esto es la tesis del Teorema de Bolzano y para que se verifique, se deben cumplir las dos hipótesis del Teorema. a) Que f(x) sea continua en [1,2]. Por ser f(x) una función continua en R ya que es una f.polinómica de grado 3, se puede asegurar que es continua en [1,2] C R. b) Que signo f(b) signo f(a) signo f(1) signo f(2) Al verificar las hipótesis, Bolzano asegura que f(x o ) = 0 para al menos un x 0 (1,2) x³ + 2x² - x 4 = 0 tiene al menos una raíz real en (1,2). Puede ocurrir que exista el continua en x 0? lim xx 0 f(x) y que la función no sea Si existe lim xx Si además f(x 0 ) = 0 es porque sos límites laterales existen y son iguales. lim xx 0 f(x), la f(x) sería contínua. La función no será continua en x = x 0, bien porque f(x 0 ) no esté definida o bien porque f(x 0 ) exista pero sea lim xx0 f(x)

35 Que se puede afirmar de una función continua en un intervalo cerrado [a,b] que toma valores de signos contrarios en los extremos del intervalo?. Se puede afirmar que existe un numero c tal que a < c < b y donde f(c) = 0. Por otro lado se puede afirmar que la función tiene en [a,b] un máximo, es decir, que existe un c 1 [a,b] tal que f(x) f(c 1 ) para todo x [a,b] y que verifica que f(c 1 ) > 0 Asimismo, que existe un valor mínimo, es decir, que existe un c 2 [a,b] tal que f(c 2 ) f(x) y que verifica que f(c 2 ) < 0. Si llamamos f(c 2 ) = a' y f(c 1 ) = b' puesto que la función toma todos los valores intermedios entre a' y b', se puede afirmar que la función transforma el intervalo [a,b] en el intervalo [a',b'] y de forma que el valor 0 [a',b'] Si damos a f(-1) el valor 3, la f(x) será continua en x = - 1

36 Sea f(x) = e x + 2. Se pide: a) Representar la gráfica ; b) Hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la recta y = x ; c) Hay algún punto en el que la recta tangente sea horizontal?. a) 4,7 y = x y = 2 b) Si la tangente es paralela a y = x m t = m r = 1 El punto de tangencia seria (0,3) y 3 = x => y = x + 3 c) La única tangente horizontal podría ser y = 2 pero al ser la asíntota solo cortará a la curva en x = - ; luego no hay ningún punto.

37 Para dibujar la función modulo, dibujamos y = x 2 x. x y El vértice será el máximo ó mínimo. x x 0 0 y = 2x 1; y = 0; 2x 1 = 0; x = 1/2; ½ - ¼ x y = y > 0 mín (1/2, 1/4, -1/2) = ( ½, - ¼) -1 2 En la figura hacemos positiva toda la parte de la función que salga negativa. La función en (-,0) es continua par ser función polinómica de 2º grado en (0,1) es continua por ser función polinómica de 2ºgrado en (1, ) es continua por ser función polinómica de 2 grado.

38 Dibujamos la gráfica: D = R La tag a la f(x) que pase por (0,0) es la recta y = 0 que corta a f(x) en (0,0) (-1,0) y (1,0)

39 (-, 0) y = cos x 1 es continua por ser función sinusoidal-función constante. (0, 2) y = + a es continua a por ser función polinómica. (2, ) y = es continua b excepto para x = 1 (2, )

40 Para b = 6 podemos asegurar que la f(x) es continua en x = -1 y en x = 1 La función que representa los valores particulares dados será: f(x) = x 2 la cual es continua en el origen.

41 Para que sea continua en [-1, 1], lo debe ser por la izquierda de -1, por la derecha de 1 y en el (-1, 1). El problema es que para x = 0 (-1, 1) la f (0) = 0 1 no está definida, y aunque f(x) exista o no ( en este caso es ), podemos asegurar que f (x) en x = 0 no es continua por no estar definido la f (x), ni en [-1,1], ni en (-1,1) Geométricamente la f(x) = 4 en [-3, 3) es la funcion copnstante de pendiente 0, mientras que la f(x) = 7 x en [3, 7] es una recta de pendiente 1, por eso la f(x) no es derivable, ya que sus pendientes por la derecha y por la izquierda de x = 3 no coinciden.

42 a) En (-, 3) y = 2x + a esta definida en R para todo valor de a, por ser una funcion polinomica de grado 1 f(x) definida en (-, 3) R f(x) es continua en (-, 3). En (3, ) y = x 2 2x esta definida en R para todo valor de a, por ser una funcion polinomica de grado 2 f(x) definida en (3, ) R f(x) es continua en (3, ).

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44 Para que sea continua en x = 1. Para que pase por el origen (0,0), cojamos f(x) = 2x² + ax + b ya que x = = 0 + a 0 + b b = 0 y a = - 3. Veamos si f (x) es continua en x = 1. Para que la tangente sea paralela al eje OX, este tiene = 0 m t = = 0.

45 Hipótesis Se puede asegurar que la función x 3-3 sen x + 4 toma el valor cero en algún punto del intervalo [-2,2]? Razonar la respuesta indicando el resultado teórico utilizado. Para asegurar que algún x 0 [-2,2] haga que la ecuación x 3 3sen x + 4 = 0 se verifique, me ayudo de una ƒ(x) = x 3 3 sen x + 4 que según Bolzano: Si ƒ(x) es continua en x 0 [-2,2] y aquí lo es por ser x 3 ƒ polinómica de grado 3, sen x f sinusoidal y periódica y 4 una función constante en las que las tres son continuas e R y la suma de funciones continuas es siempre continua. Sig ƒ(-2) sig ƒ(2) Con lo que se cumplen las dos hipótesis de Bolzano => Existe al menos un x 0 (-2,2) / ƒ(x 0 ) = 0, es decir, existe algún valor de x que verifique la ecuación x 3 3 sen x + 4 = 0 dentro del intervalo (-2,2)

46 Se puede asignar un valor a f(0) para que la función definida por Con solo hacer que f(0) = 1, hace que la función sea continua.

47 Para que f(x) sea continua en basta [0,5] con observar la continuidad en x = 2 Además f(0) = f(5) ; x y x y / / = 0

48 Para que sea derivable antes debe ser continua en x = 2 y derivable en x = 2, para lo cual la derivada debe de ser continua Además f(0) = f(5)

49 Un cierto día, la fuerza las olas, medida en Nw, en función del tiempo t ( en horas ) es F(t) = t. Si la fuerza es menor que 50 Nw, no se puede practicar surfing porque el mar esta demasiado en calma. Si es superior a los 200 Nw, las normas de seguridad impiden practicarlo. Con estos datos, si t varia desde las 0 a las 24 de ese día en que horario puede practicarse surfing? x 1 8 x t t>8 F(t)= t = 0 t= t t< t < 50 ; 350 < 50t ; t > t < 50 ; 50 t < 450 ; t < 9 Entre los tiempos 7 y 9 horas la F es < 50 y no se practica t > 200; -50t > -200 ; 50 t < 200 ; t < t > 200 ; 50 t > 600 ; t > 12 Entre los tiempos 0 < t < 4 y 12 > t > 24 la F es > 200 y las normas de seguridad impiden practicarlo. Solo se practicara surfing entre las horas 4 y 7 y entre las horas 9 y 12.

50 DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3) - f(-1) = f (x o ) [3- (-1)] donde f (x) = 2x + 4 f (x o ) = 2x o + 4 Como f (3) = = 19 f(-1) = = - 5 Aplicando el teorema 19 (-5) = 4 (2 x o + 4) 24 = 4 (2 x o + 4) ; 6 = 2 x o + 4 ; 2 x o = 2 ; x o = 1 [-1,3] Aplicar el teorema del valor medio a la función f(x) en el intervalo indicado, calculando el valor e que predice el teorema. Interpretarlo geométricamente. a) f(x) = senx en [0, /2] b) f(x) = x 4-3x 2 en [0, 2] c) f(x) = cosx en [-/2, /2] d) f(x) = en [0,4] a) f(x) = sin x es continua en [0, /2] por ser función sinusoidal de un polinomio f (x) = cos x es continua en (0, /2) f(x) es derivable en (0, /2) La tag en x o es paralela a la cuerda.

51 b) f(x) = x 4-3x 2 es continua en [0, 2] por ser función polinómica f (x) = 4x 3-6x es continua en (0,2) f(x) es derivable en (0,2) x = - 1 (0,2) 2x 2-2x - 1 = La m c = = 2 En x o = ; f (x o ) = 2 En x o = ; f (x o ) = 2 Las tangentes en cada x o son paralelas a la curva. c) f(x) = cos x es continua en [-/2, /2] por ser función sinusoidal de un polinomio f (x) = - sin x es continua en (-/2, /2) => f(x) es derivable en (-/2, /2) En x o = 0, la m t = 0 m c = 0 por ser la recta y = 0 la cuerda entre A y B La tangente es paralela a la recta

52 La m c = tg En x o = 1 m t = 1/2 = f (1) La tg en x = 1 es paralela a la cuerda AB Aplicar Rolle, hallando el x 0, a la f(x) = x ⅔ en [-1, 1] Calcula el valor de a, para la recta tangente a la gráfica de función y = f(x) = - ax 2 +5x - 4 en el punto de abscisa 3 corte al eje X en el punto x = 5. y- y o = m t (x - x o ) x o = 3 y o = - 9a = - 9a +11 m t = y (3) = - 6a + 5 y - (- 9a + 11) = (- 6a +5) (x - 3) Para y = 0 ; x = a 11 = (- 6a + 5) (5-3) 9a 11 = - 12 a + 10 ; 21 a = 21; a = 1 y o = 2, m t = - 1 Ecuación tangente: y 2 = - 1 (x - 3)

53 Calcula y expresa lo más simplificadamente posible la derivada de: Calcular la derivada en el punto x = 0 de la función f(x) = x arc tg(x 2 )

54 Calcular simplificando todo lo posible el resultado, la derivada de las funciones : a) f(x) = Ln ; b) g(x) = ( x + ) ( x + )

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70 a), por ser una b)

71 en el intervalo [-2, b]. Calcular de grado 1, continuas x R 1 y 0, continuas x R => f(x) derivable en (-2, b) Ǝ x o (-2, 10) / f (x o ) = 0

72 a) f(x) es continua en [0,2] b) c)

73 Dada la parábola de ecuación y = x 2-2x + 5, se considera la recta r que une los puntos de esa parábola, de abscisas x 1 = 1 y x 2 = 3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela a la recta r. Calculemos las ordenadas de los puntos P y Q de la recta r P(1, ) = (1, 4) Q(3, ) = (3, 8) Calculemos la ecuación de la recta r, donde su vector es PQ = (2, 4) su pendiente es = 2 Por otro lado, la pendiente de la recta tangente a la curva, se calcula hallando la derivada de la curva, particularizada para la abscisa del punto. y' = 2x - 2 ==> m = y'(x o ) = 2x o - 2 Igualando las dos pendientes 2x o - 2 = 2 ==> 2x o = 4 x o = 2 y la y o = 5 El punto de tangencia será T(2, 5) La ecuación de la recta tangente será: y - 5 = 2 (x - 2) ===> y = 2x + 1 Dadas las funciones f(x) = x² + π y g (x) = sen x + cos x, calcula la derivada en x = 0 de las funciones f [g(x)] y g[f(x)]. h (x) = f [g(x)] = ( sen x + cos x)² + π h (x) = 2 (sen x + cos x ) (cos x sen x) = 2 (cos² x - sen² x) h (0) = 2 (1 0) = 2 i (x) = g [f(x)] = sen ( x² + π) + cos (x² + π) i (x) = 2x cos (x² + π) 2x sen (x² + π) i (0) = 0 cos π 0 sen π = 0

74 Demostrar que, cualquiera que sea el número real a, la ecuación x x + a = 0, no tiene nunca dos soluciones reales. Supongamos que la ecuación si tiene dos soluciones reales distintas x 1, x 2 y que x 1 < x 2 La función f(x) = x x + a = 0 es continua y derivable en todo R, por ser una función polinomica. En consecuencia la f(x) es continua en el cerrado [x 1,x 2 ] y derivable en el abierto (x 1,x 2 ). Como además, la f(x 1 ) = f(x 2 ) = 0 por ser soluciones de la ecuación, si aplicamos el teorema de Rolle a mi f(x), debería existir un punto x o (x 1,x 2 ) que verifique: f '(x o ) = 0 y como la f '(x) = 5 x = 0 no tiene soluciones reales, no existirá ningún valor real x o que verifique Rolle. En consecuencia final, la f(x) no puede tener dos soluciones reales, ya que no existe ni máximo ni mínimo la función será siempre creciente o decreciente. Demostrar que la ecuación x 3 + 6x x - 23 = 0 no puede tener más de una raíz real. Consideremos la función f(x) = x 3 + 6x x - 23 en la que el dominio de mi función es toda la recta R. Si calculamos f '(x) = 3x x + 15 podemos calcular que dicha derivada es siempre positiva, para ello podemos ver que la ecuación f '(x) = 0 no se verifica para ningún valor de x ya que la ecuación 3x x + 15 = 0 no tiene soluciones reales. Esto nos indica que f '(x) mantiene siempre el signo constante y además será siempre positiva ya que f '(0) = 15 > 0. Al ser f '(x) > 0 nos dice que la f(x) es siempre creciente para todo valor de R y al pasar de - a + la función se anulara en algún valor de x, pero solo en un punto, con lo que la ecuación inicial tendrá solo una raíz real.

75 Demostrar que la ecuación x 18-5x + 3 = 0 no puede tener mas de dos raíces reales. Si consideramos la función f(x) = x 18-5x + 3, las raíces de dicha ecuación serán los números x para los que se cumple que f(x) = 0. Si calculamos la derivada de f(x) f '(x) = 18x 17-5 ; Hagamos f '(x) = 0 ==> Al ser una raíz de índice impar, la derivada se anulara para un solo valor de x, con lo que según el Teorema de Rolle, existirá un solo máximo o un solo mínimo y por tanto la función f(x) solo podrá cortar al eje de abscisas en dos puntos, con lo que la ecuación no puede tener mas de dos raíces reales. Derivar las siguientes funciones

76 Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) en el punto de abscisa 0, a la gráfica de la función dada por: f(x)=2 x = 2 (x - 0) => y (x - 0) => Determinar el valor de a para que la recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) = x 4 + ax en el punto x =0 sea perpendicular a la recta y +x = 3. m t = y (0) La recta y = - x 3 tiene de pendiente m n = - 1 y = 3x 2 + a m t = (y (0)) = a Al ser perpendiculares m t m n = - 1 a (-1) = - 1 a = 1

77 Determinar un punto sobre la parábola y = x 2 comprendido entre los puntos A(1,1), B(3,9) en el que la tangente a la parábola sea paralela a la recta AB. Si aplicamos Lagrange a los extremos a = 1 y b = 3 en donde la f(b) = 9 y la f(a) = 1 Como f(b) - f(a) = (b - a) f '(x o ) 9-1 = (3-1) f '(x o ) Como la f '(x) = 2x 8 = 4 x o ==> x o = 2 y la y o = 4 El punto será (2, 4) Discutir si la ecuación cos x = 2 x posee alguna solución real positiva. Puedo asegura que hay una sola solución? Creamos una f(x) = cos x 2 + x para comprobar la hipótesis de Bolzano en [0, b]. f(x) es continua xr Signo f(0) = cos = 1-2 = Signo f(/2) = cos /2 2 + /2 0 Signo f() = cos 2 + = en 0, o mejor en /2, => Signo f (/2) Signo f() Existe al menos un x 0 (/2, ) f(x 0 ) = 0 Existe al menos una solución real positiva en (/2, ) Como falla la 3ª hipótesis de Rolle f(/2) f() No puedo asegurar la existencia de máximo o mínimo f(x) es siempre creciente o decreciente y eso implica que en (/2, ) hay un solo valor en el que f(x 0 ) = 0

78 En la ecuación de la recta y = mx + b, explicar como se determinarían los números m y b para que sea tangente a la gráfica de la función y - f(x) en el punto de esta de abscisa p. Por ser m la pendiente de la recta ==> m = f '(p) La ecuación de la recta que pasa por (p, f(p)) y tiene por pendiente f '(p) será: y - f(p) = f '(p) (x - p) y despejando la y queda: y = f '(p) x f '(p) p + f(p) Identificando con la ecuación de la recta podemos sacar que b = - f '(p).p + f(p) En el segmento de parábola comprendido entre los puntos A(1, 1) y B(3, 0), hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda. Aplicando la interpretación geométrica de Lagrange. Si f(x) = ax² + bx + c por pasar por A y B Además f (x 0 ) = m ; Si la recta AB es de la forma y - 0 = m (x - 3)

79 Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = x 1 en el intervalo [0,2]? No es derivable por no ser f (x) continua en x = 1 Para que f(x) sea continua es necesario que los limites laterales coincidan y que f(x) este definida en [- al menos un punto del cerrado. Estudiar si se cumplen las hipótesis de Rolle para la función f (x)= x³ - 9x en [-3,3] y si es cierto, comprobar la existencia de al menos una raíz real de f (x) = 0 en el intervalo considerado. a) f (x) es continua por ser un polinomio de grado 3 b) f (x) = 3x² - 9. Por ser f (x) un polinomio de grado 2, f (x) escontinua f(x) es derivable en (-3,3) Verifica Rolle x o f (x o ) = 0 ; 3x o ² - 9 = 0 ;

80 Explicar en que consiste la regla de la cadena para derivar una función compuesta. Como aplicación, derivar la función f(x) = arc sen 2x (1 - x 2 ) 1/2 La regla de la cadena se utiliza para hallar la derivada de funciones compuestas. Si f(x) = g(h(x)) entonces f '(x) = g'( h(x) ) h'(x) En nuestro caso h(x) = 2x (1 - x 2 ) 1/2 con lo que Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función g(x) = en el punto de abscisa x = 2 =>

81 Halla las ecuaciones de la recta tangente y normal a las siguientes curvas en los puntos que se indican. en (x - 4) => en ; = 45º=

82 Hallar la derivadas de las funciones : a) y = x sin x y = x sin x ; Ln y = Ln x sin x = sin x Ln x ; y / y = cos x Ln x + sin x 1/x ; y = (cos x Lnx + sen x / x ) x senx b) y = (senx) x y =( senx) x ; Lny = Ln (senx) x = x Lnsenx ; y / y = Ln(senx) + x (cos x / sen x) ; y = [ Ln(senx) + x cotgx) ] (sen x ) x c) y = 2 senx y = 2 senx ; y = cos x 2 senx log 2 d) y = sen 3 x y = sen 3 x ; y = 3 sen 2 x (senx) = 3 sen 2 x cos x Hallar la función derivada de y = (1 - cos x ). cotg x Si llamo u(x) = 1 - cos x y v(x) = cotg x y' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)

83 Hallar la derivada primera, segunda, tercera, cuarta... Escribir la expresión simplificada de la derivada de orden 18 de esa función.

84 La ecuación e x = 1 + x tiene evidentemente la raíz x = 0. Probar que no tiene más raíces reales. El que tenga la raíz x = 0 se comprueba ya que e 0 = Ahora bien, si estudiamos la función y = e x - x - 1 podemos calcular sus máximos o mínimos. y' = e x - 1 ==> y' = 0 ==> e x - 1 = 0 ==> e x = 1 ==> Ln e x = Ln 1 ==> x = 0 es posible máximo o mínimo. y'' = e x ==> y''(0) = e 0 > 0 ==> Mínimo en (0,0) Al no existir ningún otro máximo ni mínimo en mi función, esto quiere significar que la función será siempre decreciente hasta llegar al x = 0, y que después del x = 0 será siempre creciente. Por ello puedo asegurar que mi función no volverá a anularse para ningún otro valor de x, o lo que es lo mismo, que la ecuación e x = 1 + x no se verificara para otro valor que no sea el cero ya observado. Al estar el radicando elevado al cuadrado, este sera siempre > 0 y f(x) f(x) sera continua en toda la R. verifica Rolle : No podemos asegurar que exista x 0 (0, 4) / f (x 0 ) = 0

85 f(x) es continua en x = 0 f(x) no es derivable en x = 0 b) No existe contradicción ya que al no ser derivable en x = 0 perteneciente (-1,1) no se verifica Rolle a pesar de que f (-1) = f(1) = ½ pero Rolle no niega que exista un x 0 (-1,1) / f (x 0 ) = 0 sino que no lo puede asegurar, aunque en este caso si que existe x 0 = 0 tal que f (0) = 0

86 Sea una función f (x) tal que f (x) y f (x) son continuas en todo R. Demostrar si f(y además la única raíz real de f (x) es, esto implica que la única raíz real de f(x) = 0 es Para demostrarlo supongamos que existe R / Si supongo que f( ) = 0 f () = 0 esto nos indica que si existe un valor que hace su derivada 0. Esto nos implica que exista una raíz real para f (x), que sería en contra del enunciado que nos dice que la única raíz real de f es El teorema de Rolle dice que si f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b), además de que f(a) = f(b) => x 0 / f (x) = 0. Aquí me dicen que la f(x) tiene como derivada f (x) = sen x²; si ésta f (x) es continua en R lo será en el Como la función sin x² es continua siempre que lo sea x² y ésta es una función polinómica continua en R luego f (x) = sin x² es continua en y por tanto es derivable en. Si f(x) es derivable, antes ha tenido que ser continua en. Rolle me dice que además f(0) = f y como f(0) = 0 f = 0 para que se verifique el teorema. Se considera la parábola y = 2x 2. Determinar un punto de la misma en el que la tangente a la parábola sea paralela a la recta que pasa por los puntos de la parábola A(1,2) y B(2,8) Se aplica la formula de Lagrange f(b) f (a) = (b a) f (x o ); f (x) = 4x

87 a) Determinar m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-4,2]. b) Hallar los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema. PAU Junio 1999 a) Para que se verifique Lagrange, la f(x) debe ser continua y derivable en [-4,2] Obliguemos a que sea continua en [-4,- 2), (- 2,2] y en x = - 2 En los intervalos será continua m,n por ser f. polinómicas.

88 . Calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x=3, y para ello, calcularemos la pendiente de la recta. x + 9y - 6 = 0 Calculemos los puntos de corte de la tangente con los ejes

89 Si el termino independiente de un polinomio en x es igual a 3 y el valor que toma ese polinomio para x = 2 es 3, probar que su derivada se anula para algún valor de x; razonar que ese valor pertenece a un cierto intervalo que se especificara. Llamemos P(x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + 3 P(0) = a n 0 + a n a = 3 Además nos dicen que P(2) = 3, por tanto P(0) = P(2) = 3. Como P(x) es función continua y derivable en toda la recta real podremos aplicar el Teorema de Rolle, con lo que existe un valor x = a en el intervalo (0,2) tal que P'(a) = 0 Si f(x) = 2 + x 3 (x - 2) 2 probar que la ecuación f (x) = 0 posee al menos una raíz en (0, 2) sin calcular su derivada. Para que x o sea raiz es necesario que f (x 0 ) = 0 Se aplica Rolle, por ser f(x) continua en [0,2] y derivable en (0,2) y además f(0) = (0 2) 2 = 2 ; f(2) = (2 2) 2 = 2 f(0) = f(2) al verificarlo x 0 R / f (x 0 ) = 0 Por Lagrange f(2) - f(0) = f (x 0 ) [2 0] 2 2 = f (x 0 ) 2 ; 0 = f (x 0 ) 2; f (x 0 ) = 0 Si la derivada de una función f es positiva para todos los valores de la variable. Puede haber dos números distintos a, b, tales que f(a) = f(b)?. Razonarlo. Si fuera f(a) = f(b) para dos números distintos a y b, puesto que f es derivable, también es continua y podría aplicarse el teorema de Rolle. Habría entonces un numero c entre a y b, tal que f '(c) = 0, lo cual es imposible ya que f '(x) > 0 para todo numero x, según dice el enunciado. Luego no puede haber dos números distintos a, b, tales que f(a) = f(b).

90 Para buscar el punto de corte de la tangente con el eje OX resolveremos el sistema: luego la tangente corta al eje en Q (2x, 0) Para ver que los triángulos formados son isósceles solo será necesario demostrar que: d(op) = d(pq)

91 ESTUDIO LOCAL DE LA FUNCIÓN

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93 Dominio : x

94 Calcular máximo, mínimo, Punto de Inflexión, intervalos crecimiento y decrecimiento e intervalos de curvatura de la y = (x 1) 3 y = 3 (x 1) 2 ; y = 0 3 (x 1) 2 = 0 x 1 = 0 ; x = 1 posible max, min y = 6 (x 1) ; y (1) = 6 (1 1) = 0? Hay que buscar la tercera y = 6 y (1) 0 Hay un PI en x = 1 => PI (1,0) Como el dominio es toda la recta real f(x) es creciente en x = 1, no existe max, min con lo que f(x) es creciente R y (x) > 0 ; 6 (x 1) > 0 ; x 1 > 0 ; x > 1 (1, ramas hacia arriba y (x) < 0 ; 6 (x 1) < 0 ; x 1 < 0 ; x < 1 (-, 1) ramas hacia abajo

95 Calcular puntos notables, e intervalos de monotonía y curvatura de D = R = (0, 1 e 2 1 e 2

96 0 e 3/2 Calcular puntos notables, intervalos de monotonía y curvatura de la función: y = D = R - 0 = = = = 0 ; = 0 ; = 0 ; x = 1 posibles máx., min. = = = = > 0 min. (1,2) = < 0 máx. (-1,-2) = 0 ; = 0 ; 2 = 0 P.I. Monotonía de f(x), -1) x = -2 ; Creciente (-1, 0) x = -0,5 ; Decreciente (0, 1) x = 0,5 ; Decreciente (1, ) x = 2 ; Creciente Creciente, -1) (1, ) ; Decreciente (-1, 0) (0, 1)

97 Curvatura de f(x) > 0 ; > 0,0) x = -1 ; = < 0 -,0) ) x = 1 ; = > 0 + ) Existen los intervalos de monotonía (-,-3),(-3,-1),(-1,1),(1, ) que hay que estudiar:

98 El único valor que divide la recta real es donde no está definida es decir en x = - 1 Para todo x < -1 Para todo x > -1 y < 0 la f(x) tiene ramas hacia abajo y > 0 la f(x) tiene ramas hacia arriba Dada la función y = x, se pide: Dominio y corte con los ejes. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. y = x D: 5-0 ; = 5 ; x = ; No Si No D: (-, ) x = 0 y = 0 = 0 Los puntos de corte son: (0,0), (, 0), (-,0)

99 - - Dada y = x 2. e x.calcular sus asíntotas. Dominio: x R ya que x 2 y e x están siempre definidas, A.V x R tal que y +. No existe A.V

100 Dada y = 3 sen x sen 3x hallar intervalos de monotonia Dominio:x R por ser funciones sinusoidales ----[ x ]--- / 2 ( )( )( )( )( )

101 Dada y = máximos y mínimos. calcular asíntotas, intervalos de monotonía y D = R { x = 2, x = 3} = x (-, - 2) (- 2, 3) (3, ) x x x x x x

102 Creciente : x (-12, 2) (-2, 0) (3, ) Decreciente: x (-, -12) (0, 3) Determinar los intervalos de monotonía y hallar máximos y mínimos de y = 3 x x 3 30 x El dominio es toda la recta real por ser un polinomio de grado 5 Busquemos los valores de y (x) = 0 Dividimos toda la recta real en tres intervalos ( x x )

103 Dada y = 3. intervalos de monotonía, máximos y mínimos Dominio: como y = también lo estará está definida x R, la función exponencial Monotonía: y = 3 (2x - 4) ; y = 0 Sólo x = 2 es posible máximo o mínimo (-, 2) x = 0 y (0) = - 12 < 0 => Decreciente x (-, 2) (2, ) x = 4 y (4) = 3 > 0 => Creciente x (2, ) Mínimo (2, 3 Determinar los intervalos de curvatura y hallar los puntos de inflexión

104 El dominio es todo x R ya que la funcion exponencial esta definida en los valores en los quer lo están su exponente y aquí es un polinomio de grado 2. Para estudiar los intervalos de curvatura, dividimos toda la recta real (Dominio) en sus dos posibles valores de )x( )x( Determinar los intervalos de curvatura y hallar los puntos de inflexión de y = x 2 Ln x Para estudiar la curvatura y (x 0 ) = 0

105 y = 2x Ln x + x 2 1 / x = x + 2x Ln x y = Ln x + 2x 1/x = Ln x y = Ln x = 0 2 Ln x = - 3 Ln x = - 3/2 e Ln x = e - 3/2 x = e - 3/2 Para estudiar los intervalos de curvatura se toma el dominio y se incluye el posible P.I ( )x( 0 e - 3/2 + (0, e - 3/2 ) x = 0,01 y (0,01) = Ln (0,01) < 0 ramas hacia abajo (e - 3/2, ) x = 1 y (1) = Ln 1 > 0 ramas hacia arriba. Como en x = e - 3/2 aparece un cambio de curvatura Hay un P.I en (e - 3/2, - 3/2 e - 3 ) Determinar los intervalos de curvatura y hallar los puntos de inflexión de y = x sin x en el [-π, π] El dominio es toda la recta real ya que y = x es un polinomio e y = sin x es una función sinusoidal, por lo que estará definida en [-π, π] Calculemos la y En los extremos x = π y x = - π hay P.I aunque no los podemos asegurar. Determinar los intervalos de monotonía y hallar máximos y mínimos de y = Ln (x 2 + 3x + 2) La función está definida para los valores de x en los que x 2 + 3x + 2 > 0 Resuelvo x 2 + 3x + 2 = 0 Busquemos los intervalos en los que esta definida

106 ( x x ) (-, -2) x = - 3 y(- 3) = Ln ( ) = Ln 2 Si hay curva. (-2, -1) x = - 1,5 y(- 1,5) = Ln ( 2,25 4,5 + 2) = Ln (- 0,25) No hay curva (-1, + ) x = 0 y(0) = Ln 2 Si hay curva Dominio : x ε (-, -2) (-1, + ) Para buscar los intervalos de monotonía, calculemos la y Estudiamos los mismos intervalos que los de dominio pero con la y Determinar los intervalos de monotonía y hallar máximos y mínimos El denominador no se anula nunca ya que x nunca puede ser nulo ni negativo. El dominio es toda la recta real. y = 0-4x = 0 x = 0 es el posible max o min y el valor de x que separa el intervalo de monotonia en dos Determinar los intervalos de monotonía y hallar máximos y mínimos de y = x - Ln (1 + x)

107 El Dominio de la función sera el que posea el logaritmo 1 + x > 0 x > - 1 es decir Dominio: x (- 1, ) x ( ) Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones, estudiando los intervalos de crecimiento y decrecimiento: a) y = x e x b) y = x e - 2x a) y = x e x D = R Por serlo x y por serlo e x y = e x + x e x = (1 + x) e x ; y = 0 ; (1 + x) e x = 0 y = e x + ( 1+ x ) e x = e x ( x) = e x ( 2 + x) y (-1) = e - 1 (2-1) > 0 Mínimo (-1, - 1/ e ) b) y = x e - 2x D = R Por serlo x y por serlo e - 2x y = e - 2x + x (-2) e -2 x = e - 2x (1-2x) ; y = 0 => y = -2 e - 2x ( 1-2x ) + e - 2x ( -2) = e - 2x ( x - 2) = ( 4x - 4) e - 2x

108 y ( ½) = ( 4 ½ - 4) e -1 < 0 Max en ( 1/2, 1/2 e -1 ) = ( 1/2, 1/2 e ) (-, ½ ) x = 0 y ( 0 ) = e 0 ( 1 0 ) > 0 Creciente (1/2, ) x = 1 y (1) = e - 2 (1-2) < 0 Decreciente Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones, estudiando los intervalos de crecimiento y decrecimiento: a) y = x ln x ; b) = x e -x a) D : x > 0 pues sino el Ln x no estaría definido b) D = R pues e - x está definida para todo x R y = e - x + x (-1) e - x = e - x - x e - x = ( 1 - x) e - x y = - 1 e - x + ( 1- x ) (-1) e - x = - e - x - (1 x) e - x = e - x ( x )

109 y = ( x - 2 ) e - x ; y ( 1 ) = ( 1-2 ) e - 1 < 0 Max ( 1, 1/e ) Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones, estudiando los intervalos de crecimiento y decrecimiento: y = 1+ 2x x 2 y = 2 x 1/3 y = 1 + 2x x 2 D = R por ser función polinómica y = 2 2x ; y = 0 2 2x = 0 ; x = 1 y = -2 ; y (1) < 0 Máximo ( 1,2 ) )-( (-, 1 ) x = 0 y (0) = 2-0 >0 Creciente 1 ( 1, ) x = 2 y (2) = 2-4 < 0 Decreciente

110 Hallar los máximos y mínimos y los intervalos de crecimiento y f ( x) 3e 2 x 4x f 2 x 4x ( x) 3(2x 4) e Como la exponencial no se anula nunca si f (x) = 0 2x - 4 = 0 x = 2 f ( x) 6 e 2 x 4x (6x 12)(2x 4) e 2 x 4x Para x = 2 en el que f (2) = 0 f (2) = 6e -4 = y positiva (>0). Para x = 2 la primera derivada no nula es de orden par (k = 2) con lo que la función no es creciente ni decreciente. Como y (2) > 0 un mínimo en x = 2, mínimo. y 3e 4 es decir para existe un Para x < 2 y e 2 x 4x y< 0 luego decreciente para x < 2. Para x > 2 y y 0 0 luego es creciente para x > 2.

111 Hallar los máximos y mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 1 f ( x) x 3 1 f ( x) la f(x)no está definida para x = - 3. x 3 1 f ( x) si f (x) = 0 x max ni min x 3 2 Pues no hay ningún valor que haga la derivada primera nula. x 3 que es el único punto en donde puede existir variación la f (x) < 0 ; x 3 es estrictamente decreciente. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresado por t -9t 2 + t 3, donde t es el tiempo en horas, transcurrido desde que comenzó el estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los itinerarios en que esta crece o decrece. La ecuación de la virulencia es V = t - 9t 2 + t 3 El máximo o mínimo aparecerá para V =0 V`= 15-18t + 3t 2 V = 0 3t 2-18t + 15 = 0; t 2-6t + 5 = 0 Para ver cuándo es máxima o mínima la virulencia V = 6t - 18;

112 Obtener máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión de la función f(x) = x (Lnx) 2 (Selectividad Junio ) El dominio son los valores de x que hacen que Ln(x). Solo los x > 0 poseen Ln(x), x 0 Ln(x). D = x > 0, D = x (0, ) f (x) = (Ln x) 2 + (x) (2) (Ln x) (1/x) = (Ln x) Ln x f (x) = 0, (Ln x) Ln x = 0, Ln x [x+2]=0 Para Ln x = > e Ln x = e 0, x = 1 Es posible Máximo o Mínimo Para Ln x = > e Ln x = e - 2, x = - 2 También es posible. y = 2 (Lnx) + (2) = [Lnx + 1] y (1) = 2/1 [Ln1 + 1] > 0 MIN (1, 0)

113 Posibles P.I. y =0, [Ln x +1] = > Ln x + 1 =0, Ln x = -1 intervalos de curvatura. e Ln x = e - 1, x = Posible P.I Obtener PI e Intervalos de curvatura de y = x 2 lnx Curvatura: Podría explicar el concepto de máximo relativo de una función y su diferencia con el de máximo absoluto?.

114 Diremos que f(x) posee un máximo relativo en x = a, si existe un entorno de (a, E(a)), tal que para todo valor de x perteneciente a dicho entorno, se verifica que f(x) f(a) Diremos que f(x) posee un máximo absoluto en un intervalo perteneciente al dominio de nuestra función, si para todo valor de x perteneciente al intervalo, se verifica que f(x) f(a). La diferencia está en que el máximo absoluto es el mayor de todos los máximos relativos existentes en el intervalo definido. Razonar porque la gráfica de la función y = 2x + cos x no puede presentar extremos relativos. Entendiendo por extremos relativos, a los máximos y mínimos de la función y sabiendo que la condición necesaria para la existencia de máximos y mínimos de una función, es que su y' valga 0, podemos buscar en nuestra función, si existe o no algún valor de x que satisfaga la condición. y = 2x + cos x ==> y' = 2 - sin x y como la y'(x) = sin x = 0 ==> sin x = 2. Esto es imposible para ningún ángulo, ya que el seno de un ángulo se encuentra siempre acotado entre los valores +1 y -1 y nunca podrá valer 2 Si la función f es creciente y derivable para todo valor de la variable independiente, puede ser f '(x) = 0 en algún punto x?. puede ser f '(x) < 0 en algún punto x?. Sabemos que si la función es creciente, se deberá cumplir que la f '(x) sea > 0. Ahora bien, en el caso de que exista un punto de inflexión con tangente horizontal, la f(x) puede ser creciente a la derecha y a la izquierda de dicho punto, siendo la f '(x) = 0 en dicho punto. En cambio, la f '(x) nunca podrá ser negativa para ningún valor de la variable x, ya que entonces la función seria decreciente. Si la función f tiene derivadas primera y segunda y además f '(a) = 0 y f''(a) = 0, puede presentar f un máximo relativo en el punto a?. En caso afirmativo, mostrar un ejemplo. La función puede presentar un máximo relativo siempre que la f'''(a) = 0 y la

115 f 4 (a) < 0, es decir, siempre que la primera derivada particularizada distinta de cero sea de orden par Por ejemplo f(x) = -x 4 la f '(x) = -4x 3 = 0 ==> x = 0 f ''(x) = -12x 2 ==> f ''(0) = 0 f '''(x) = -24x ==> f '''(0) = 0 f 4 (x) = -24 ==> f 4 (0) < 0 En nuestro caso, la primera derivada particularizada distinta de cero es de orden cuarto, luego en x = 0, existe un máximo relativo. Además, la f (x) pasa de ser positiva antes de llegar a cero (creciente), a ser negativa después de cero (decreciente) ==> existe en x = 0 un máximo relativo. REPRESENTACION GRAFICA. Calcular puntos notables así como intervalos de monotonía y curvatura de: x² - 1= 0 ; x² = 1 ; x = 1 son los valores de x que anulan el denominador D = R- 1 y (x) = 0 ; - 4x = 0 ; x = 0 posible max, min

116 Monotonia: x)(x)(x)(x ,5 0 0,5 1 2 Creciente x (-, -1) (-1, 0) Decreciente x(0, 1) (1, ) Intervalos de curvatura: y (x) = 0 ; 12 x² + 4 = 0 ; ; no existe P.I Separamos solo en los intervalos del dominio x)(x)(x corte eje ox ; y = 0 ; x² + 1= 0 ; x² = - 1 no existe corte eje oy ; x = 0 ; y = - 1 ; P(0, - 1) A.V ; x = 1 ; x = - 1

117 Calcular puntos notables, intervalos de monotonía y curvatura de la función: y =. Calcular asíntotas. Dibujar curva D = R- 0 = = = = 0 ; = 0 ; = 0 ; x = 1 posibles máx., min. = = = = > 0 min. (1,2) = < 0 máx. (-1,-2) = 0 ; = 0 ; 2 = 0 P.I.

118 Monotonia de f(x), -1) x = -2 ; Creciente (-1, 0) x = -0,5 ; Decreciente (0, 1) x = 0,5 ; Decreciente (1, ) x = 2 ; Creciente Creciente, -1) (1, ) ; Decreciente (-1, 0) (0, 1) Curvatura de f(x) > 0 ; > 0,0) x = -1 ; = < 0 ramas hacia abajo,0) ) x = 1 ; = > 0 ramas hacia arriba ) No existen cortes con loa ejes, AV: x = 0 y = x

119 Calcular puntos notables e intervalos de monotonía y curvatura de D = R Monotonía:

120 y' < 0 x ya que y'= - ( 1 / e x ) < 0 x R Decreciente Curvatura: y'' > 0 x ya que y'' = + ( 1 / e x ) > 0 xr ramas hacia arriba Corte eje OY : Dada la función f(x) = a) Hallar sus máximos y mínimos locales y/o globales. b) Determinar el valor del parámetro a > 0 para el cual (Selectividad Prueba ) a) D = R Posibles máximos, mínimos

121 Monotonía. (-,-1): x = - 2 ; Creciente (-1,1): x = 0; Decreciente (1, ) : x = 2 ; Creciente Máx (-1,1) Min (1,-1) b) 0 Como

122 Intervalos de curvatura PI(-3,-3/13) PI(0,0) PI(3,3/13) Será convexa x (-3,0) (3,) Será cóncava x (-,-3) (0,3) Asíntota Vertical: No existe pues el dominio es todo R.

123 Dada la función real de la variable real definida por: Determinar las asíntotas de la función. b) Calcular sus máximos y mínimos y determinar sus intervalos de crecimiento. Grafica (PAU JUNIO 2007)

124 La recta y = x 9 es una asindota oblicua. b) Igualamos a cero la primera derivada y estudiamos su signo: x 2 + 6x 27 = 0 x = - 9 x = 3 posibles máximos y minimos x ) ( x ) ( x (-,-9) f (-10) > 0 Creciente (-9, -3) f (-6) < 0 Decreciente (-3, 3) f (0) < 0 Creciente (3, ) f (5) < 0 Decreciente La función f(x) es creciente en (-,-9) (3,) y, decreciente en (-9, -3) (-3,3). Ademas, f(x) tiene um máximo relativo en (-9,-24) y un mínimo relativo en (3,0) Si calculamos la y y La igualamos a cero, no existen puntos de inflexión

125 2.x Dada la función y = Se pide determinar su dominio, sus x 2

126 máximos y mínimos, si los tiene y cuantos elementos contribuyan a elaborar la gráfica de mi función. Dibujarla. Dominio: x 2 = 0 ; 4.x 2 = - 1 ; x que anule el denominador luego D = R Como y' = 0 0 = - 8x ; 8x 2 = 2 ==> x 2 = ==> Puntos de inflexión: Hacemos la y'' = 0 64x 3-48x = 0 ==> 8x (8x 2-6) = 0 de donde ó bien x = 0 ó bien 8.x 2-6 = 0 ==> 8.x 2 = 6 ==> x 2 = => son los tres posibles puntos de inflexión. PI

127 PI PI Asintota oblicua: y = m.x + n -

128 a) D = R ya que e - x y x están definidas x R. Estudio de asíntotas: No existen Asíntotas verticales porque D = R Asíntotas Horizontales: Asíntotas oblicuas: Asíntota oblicua cuando x Estúdio de Max, mín.: x = 1 posible máx., mín. )( )(

129 (-, 1) x= 0 y (0) > 0 ramas arriba (1, 3) x= 2 y (2) < 0 ramas abajo (3, ) x=4 y (4) > 0 ramas arriba PI (1, 2/e) PI (3, 10/e) Monotonía: (-, ) x = 0 => y (0) = e 0 (-1) < 0 Decreciente siempre Corte eje ox y = 0 ; x = 0, no hay corte con el eje de las x Corte eje oy x = 0; y(0) = 1 (0,1)

130 (Selectividad ) a) La recta tangente será : y - f(a) = f (a) (x - a) b) c) d(a,b) = Para que d sea mínimo, cálculo d Cogemos el valor a = 1 > 0 Si hallo d, la particularizo d (1) > 0 para que la distancia sea mínima.

131 D = (-, -1) (-1, ) ya que x + 1 = 0 x = - 1 anula el denominador A.V; x = -1 A.O; y = mx + n ; y = x - 2 Corte en (0,0) y = 0 x 3 + 3x 2 = 0 ; x 2 ( x + 3) = 0 y = 0 ; 6x = 0 ; x = 0 posible P.I )( )( (-, -1) x = 2 y (-2) =

132 - (-1, 0) x = 0,5 y (0,5) = P.I(0,0) (0, ) x = 1 y (1) = 0 + Estudiar y representar gráficamente y = x 3-3x + 2 Dominio = R

133 Corte con eje OX ==> y = 0 ==> x 3-3x + 2 = x 2 + x - 2 = 0 x = Corte con eje OY ==> x = 0 ==> y = 2 (0,2) Máximos y mínimos: y' = 3x 2-3 ==> y' = 0 ==> 3x 2-3 = 0 ==> 3x 2 = 3 x 2 = 1 ==> x = ± 1 y'' = 6x y''(1) = 6 > 0 Min (1,0) y''(-1) = - 6 < 0 Max (-1,6) Punto de inflexión: y'' = 0 ==> 6x = 0 ==> x = 0 y''' = 6 ==> y'''(0) 0 P.I (0,2) No existe A.Vertical No existe A.Horizontal pues y = No existe A.Oblicua pues m =, habrá dos ramas parabólicas. Estudia la curva y represéntala, para la función f(x) = x 2 + 2/x - Dominio: para todo x ε R menos para x = 0 D= (-, 0) U ( 0, + )

134 - Crecimiento y decrecimiento. Máximos y Mínimos ; y ' = 0 ; 2x 3 = 2 ; x 3 = 1 ; x = 1 Estudio monotonía : Intervalos (-, 0) ( 0, 1 ) y ( 1, + ) - < x < 0 ; x = - 1 ; Decreciente 0 < x < 1 ; x = 0 5 ; Decreciente 1 < x < + ; x = 2 ; Creciente En x = 1 pasa de decreciente a creciente Min( 1, 3) -Concavidad, conversidad, P.I : y'' = 0 2x 3 = - 4 ; x 3 = - 2 ; = - 1,26 Estudio curvatura : Intervalos : ( -, 3-2), ( 3-2, 0 ) y ( 0, + ) x = P.I x = 0 No existe curva Asintotas :

135 Cortes con los ejes : x= 0 ; y = No existe punto de corte y = 0 ; 0 = x ; x 3 = - 2 ; Estudiar la curva representada por la función

136 Dominio: todos los valores de x pertenecientes a R salvo para x = 0 D = R-{0} Crecimiento, Decrecimiento, máximos y mínimos Tomo los intervalos (-, ), (-1 077, 0) y (0, ) x = pasa de creciente a decreciente Max en (-1 077, ) Concavidad, convexidad y PI Posibles cambios de concavidad en (-, 0), En x = y = 0 PI Asíntotas

137 Verticales en x = 0 y = x = 0 Asíntota V. Cortes con los ejes x = 0 ; y = No corta y = 0 ; ( , 0) es corte con eje OY Hallar a) los máximos y mínimos relativos y los puntos de Inflexión de la función. Dibujar la curva. b) determinar una función F(x) tal que su derivada sea f(x) y además F(0) = 4

138 a) Calculamos la primera derivada: f ( 1) 0 Máximo 3 1, ( 1) f Mínimo 1,0 Como D = R los intervalos de curvatura son:

139 1 Si F ( 0) ln1 c c F(x) = 3x lnx 2 1 2

140 Hallar máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión de la función f(x)= sen x + cos x, para 0 < x <. Dibujar la curva en el intervalo (0, ). y= sen x + cos x ; y = cos x sen x ; y = - sen x cos x ; y = - cos x + sen x y = 0 cos x = sen x tg x = 1 x = /4 y ( /4)= - sen /4 cos /4 = - en ( /4, 2 ) = - 2 < 0. Hay un máximo 2 y = 0 - sen x = cos x tg x = -1 x = 3 /4 y (3 /4) = - cos sen 135 = = Hay un punto de inflexión en (3 /4, 0) Para dibujar la curva, calculemos los puntos extremos en x = 0 y en x = Para x = 0 y = sen 0 + cos 0 = 1 (0,1) Para x = y = sen + cos = -1 (,-1)

141 Para cada valor de c >0, a) calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función: ; el eje OX y las rectas x = 0, x = 1. b) Hallar el valor de c para el cual el área obtenida en el apartado a) es mínima. a) Si c > 0, Teniendo en cuenta que la función siempre es positiva (está situada siempre por encima del eje OX), el área en un intervalo será: 1 0 b) El área mínima se obtiene derivando la expresión respecto de c e igualando a cero. La comprobación de que se trata de un área mínima se hace con la segunda derivada.

142 Representar la grafica de la función y = cos x - 1 D = R por ser la función cos x sinusoidal y periódica y la función -1 es constante. corta en : (- 4π, 0), (- 2π, 0), (0, 0), (2π, 0), (4π, 0). ( )( )( )( -2π -3π/2 π/2 π/2 3π/2 2π (- 3π/2,- π/2) x = - π ; y (-π) = - cos(-π) = 1 > 0 (-π/2, π/2) x = 0 ; y (0)= - cos 0 = -1 < 0 (π/2, 3π/2) x = π ; y (π) = - cosπ = 1 > 0 PI (-π/2, -1) PI (π/2, -1)

143 2x + 1 = 0 ; 2x = - 1 ; x = - 1/2 Dom: (se iguala el denominador a 0 para saber los valores que lo anulan) 3x + 2 = 0 ; 3x = -2 ; x = - y = = 2 Posibles mas, min : se halla y y se iguala a 0 y = 0 ; no existe max, min. Posibles P.I : Se halla y y se iguala a 0 Asintota vertical: (coincide con la x del dominio)

144 Representar la grafica de la función: D = R {x = 2} D = x (-, 2) U (2, ) No existen max, min No existe P.I. El único intervalo en donde se puede estudiar monotonia y curvatura es en el Dominio En (-, 2) x = 0 y (0) = y (0) = En (2, ) x = 3 y (3) = y (3) =

145 Representar esquemáticamente la grafica de, determinando para ello los cortes, asíntotas, extremos relativos, puntos de inflexión y con todo ello su grafica..

146

147 Representar (PAU Junio Especifica ) Se buscan los valores que anulan el denominador y se quitan de la recta real. D = (-, 1) U (1, ) Posibles máximos, mínimos: Se halla la derivada, se iguala a cero y se buscan los posibles x de los máximos y mínimos. Se calcula la y y se particulariza para los posibles máximos o mínimos. Posibles PI. Se igual la y = 0 para buscar los posibles valores de x que sean PI. Aquí no hay.

148 Asintotas. y = x + 1 b) 3 2 =

149 Representar Dominio: 1 - x 2 = 0 ; x 2 = 1 ; x = ± 1 ; D = R - ± 1 Puntos corte con eje OX: y = 0 ==> x 3 = 0 ; x = 0 ==> (0,0) Puntos corte con eje OY: x = 0 ==> y = ; (0;0) y = - x

150 P.I en (0,0) Monotonia: x )( x)(x)(x)(x / /2 3 2 Creciente x (-, -1) (-1,1) (1, ) Decreciente x (-, - ) (, )

151 Posibles Maximos y minimos Posibles Puntos de inflexion A.Verticales x = 0 f(x) = A.V: x = 0 A.Horizontales A.Oblicuas Monotonia: Crecimiento y decrecimiento Curvatura: Concavidad y convexidad

152

153 Representar. Calcular previamente sus asíntotas si las tiene, los cortes con los ejes, sus máximos, mínimos y puntos de inflexión si los tiene. Intervalos de monotonía y curvatura. D: / x + 1 > 0 ; x > - 1 ; D: AV; ln(x+1) = ln 0 = => x = es A.V. AH; x+1)= ln = A.H. AO; m= = = = = 0 A.O. Máximos y mínimos Monotonía Curvatura (-1, ); x = 0 y (0) = > 0 Creciente. (-1, ); x = 0 y = < 0 -

154 2 Representar f(x) = x Dom f(x)= Rx 0 1 = 2 x 4 x 1 2 x 4 x 1 y Corte con eje OX x x 1 0 x 1 corte con eje OX y 0 4 x 1 y 1 2 Corte con eje OY x y corte con eje OY 0 x 0 AV x 0 4 x 1 AH lim AH x 2 x 4 x lim x x AO m AO x 3 x x Posibles maximos y minimos Rama parabolica f( x) x x x 4 4 f ( x ) 0 2x 2 0 x 1 x 1 posibles max./min x x x 1 2 x 4x 2x 2 4 2x 2 f ( x) x x x f ( 1) 0 max( 1,2) f ( 1) 0 min(1,2) x x 3 x (2 x 2) x (8 x ) (6x 6) 2x 6 Posibles puntos de inflexion f ( x) 0 2x 6 0 2x 6 puntos de inflexión x=0

155 Representar Dominio: Puntos de corte: o Eje OX. y=0 x=-4 P1 (-4,0) o Eje OY. x=0 P2 (0,2) Asíntotas: o Vertical. A.V. x=2 o Horizontal. A.H. y=-1 o Oblicua y= mx +n Derivada

156 Dominio: Puntos de corte: o Eje OX. y=0 P1 (0,0) o Eje OY. x=0 P1 (0,0) Asíntotas: o Vertical. A.V. o Horizontal. A.H. y=0 o Oblicua y= mx +n Derivadas Máximos y mínimos. - f (1) - f (-1) Puntos de inflexión

157 PI en ( PI en (0,0) - PI en (

158 Representar Dominio: ( Puntos de corte: Eje OX. y=0 o Eje OY. x=0 P1 (0,0) Asíntotas: o Vertical. A.V. 0,7 o Horizontal. o Oblicua y= mx +n A.H. y = x - 7/2, tomando la m como, aparece otra asíntota oblicua de la forma y= - x + 7/2 Derivadas Máximos y mínimos. Puntos de inflexión 4

159

160 Lo primero es acotar el área, si es posible, representar el área pedida y a continuación calcular los limites de integración. La función f(x) está definida por expresiones elementales, por lo que su representación es sencilla. El área pedida se calcula como la suma de dos áreas. La primera comprendida entre la función y =, y las rectas y = 1, x = 1. El límite de integración inferior se calcula como intersección de y= con y = 1. : = 1 ; x = 0; x = 2 (no válida por ser mayor que 1). La segunda, comprendida entre y = intersección de y = con y = 1., y = 1, x = 1. El límite superior se calcula como : Conocidos los límites de integración se calcula el área. Área = Cálculo de las primitivas:

161 Calculadas las primitivas, se calcula el área. Sea f(x) = Ln x. a) Representar la grafica. b) Hallar f (x) indicando su dominio El dominio son todos los valores de x / x > 0 es decir que salvo el x = 0 siempre existe f(x) D : R {x = 0} f(x) = f (x) = La f(x) corta en Ln (-x) = 0 e Ln (- x) = e 0 - x = 1 x = - 1 (-1, 0) La f(x) corta en Ln (x) = 0 e Ln ( x) = e 0 x = 1 x = 1 (1, 0) La f (x) = 1 / x siempre para todo x perteneciente al Dominio ya que x = 0 es el valor que anula el denominador

162 a) f(x) en (-, 3 / 2 ) y en ( 3 / 2, ) es continua x Є R por ser funciones polinómicas de grado 2 => f(x) continua en cada intervalo. f (x) en (-, 3 / 2 ) y en ( 3 / 2, ) es continua x R por ser funciones polinómicas de grado 1 => f (x) continua en cada intervalo => f(x) es derivable en cada intervalo b) Máximos y mínimos.

163 c) Gráfica. En (-, 3 / 2 ) x y En ( 3 / 2, ) x y 3 / 2 7 / 16 (Del límite) 3 / 2 7 / 16 (Del límite) 0 1 Máx 2 7 / 12 Máx -2 0 Corte eje OX 3 0 Corte eje OX 7 / / /2 2 3

164 a) El dominio es [ -2π, 2π] (Selectividad Septiembre )

165

166 Se considera la f(x) = 2 ) (1 x x e e : a) Calcular los extremos locales de f(x). b) Determinar el valor del parámetro a tal que a dx x f ) ( a) D= R ya que 1+ x e = 0; e x = - 1 lne x = ln(-1) x no existe que anule el denominador ) '( x x x x x x e e e e e e x f = x x x x e e e e = x x x e e e Posibles máximos y mínimos f (x)= x x e e ; 0 2 ln ;ln 2 2 x x x e e e e x x x x POSIBLE. No hace falta hallar f x, basta con estudiar la monotonía de x f '(1) 1; ; 0, ) '( 1; ;, e e e f x e e e e e f x En f (x,0) es creciente En x=0 existe un MAXIMO en el punto 4 1, 0 En ) (, 0 x f es decreciente b) e e e e e dx e e dx e e a a o x a a a x x x x x Como a a x x e dx e e a a e e 1 ; a a e ln e ;ln ln a

167 Se considera la función Se pide: a) Calcular a y b para que f sea continua y derivable a todo R. b) Para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, calcular el área de la región acotada limitada por la gráfica de f, el eje horizontal y las rectas x = 1, x = 3. Para que una función sea continua en un punto, el valor de la función en el punto debe ser igual al valor del límite de la función en él, lo cual equivale a que sean iguales los límites laterales en el punto. Continua en x = -2: Continua en x = 2: En definitiva se llega a una sola relación. La segunda relación se obtiene con la condición de derivabilidad. Una forma sencilla de demostrar la derivabilidad de la función en un punto frontera (punto donde cambia la expresión de función), es demostrar que en dicho punto las derivadas laterales coinciden. La derivada de la función se obtiene derivando las distintas expresiones que la definen y expresando los intervalos en forma abierta. Derivable en x = -2 Derivable en x = 2

168 Con la condición de derivabilidad se obtiene el valor de a. Con el valor de a y la condición de derivabilidad, se obtiene el valor de b. Para que la función sea continua y derivable en todo R su expresión debe ser: Nota:

169 Sea g(x) una función continua y derivable siguiente información: I) g (x) >0 II) III) IV), de lo que se conoce la Se pide: a) Analizar la posible existencia o no de asíntotas verticales, horizontales u oblicuas. b) Dibujar de manera esquemática la grafica de la función g(x). a) A.V. ya que la función es continua : el dominio es toda la recta real. b) Si - Si Pasa por (-1, 0), máx. (0, 2), min ( 2, 1)

170 OPTIMIZACION DE FUNCIONES Calcular la altura del cono de superficie lateral mínima circunscrito a una esfera de radio 4cm. S = пrg Si los triángulos DCO y DAB que son semejantes, pues OC AB y poseen un ángulo de 90º AB CO DA R g ; g = R DO r x r x 4 4 En DBA g 2 = R 2 + x 2 ; R 2 = g 2 x 2 ; R 2 = R 2 R 2 R 2 = 2 x x 16 ; R 2 2 x = x x x 8 Como S = пrg = пr R x x 4 пr x x x ; R 2 = 2 x ; ; R x = 2 x 8x S = п x x x 4x ; S = 4п x 8 4 x 8 S = 4п 2 2x 4 x 8 x 4x x 8 2 2x = 4п 2 4x 16x 32 x x x S = 4п x 2 16x 32 x 8 2 ; Para que S = 0 x 2-16x + 32 = 0 x = El x = < 4 no es válido pues sería menor que el radio de la esfera, luego la altura del cono será

171 Calcular la longitud que deben tener los lados de un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio 5 m para que el área del rectángulo sea máxima. Si designamos por x e y las anchura y altura del rectángulo => Función a optimizar área : x y = f( x, y ) = x y Función condición x 2 + y 2 = d 2 x 2 + y 2 = 4r 2 = 100 Si sustituímos este valor en f( x, y ) obtenemos la función en una sola variable : S = 0 50 x - 4x 3 = 0 x (50 4 x 2 ) = 0 La solución x = 0 y la longitud carecen de sentido porque se refiere a una La única válida es : y la ordenada correspondiente es : El valor del área máxima será, calculada mediante S( x ) = x y = = 12,5 cm 2

172 Con un hilo de 60 cm, formar un rectángulo que, al girar alrededor de uno de sus lados, engendre un cilindro de área lateral máxima. Determinar el punto de la curva en el que la tangente a la curva forma con el eje OX el mayor ángulo posible. El máximo de y será calcular la y e igualar a cero y = 0 => Para ver si es máximo el + o se halla y ;

173 Determinar las dimensiones de una vasija en forma de cilindro circular recto de 2m 3 de volumen, de forma que sea mínima la cantidad de material usado para su construcción. x Necesito que S T sea mínima y La S T es mínima para

174 Determinar las dimensiones que hacen mínima la superficie total de un ortoedro si su volumen es 72 cm 3 y la razón de dos de sus dimensiones es ½. S T = 2 (xz + yz + xy) y z V = x y z = 72 x S T = S T = Para que S T = 0 => ; y = 6 Veamos que S T es mínima y no máxima. S = S (3)= > 0 Luego S T es mínimo para x = 3, y = 6, z = 4.

175 La parte escrita ocupa 400cm 2 en la página de un libro, los márgenes superior son de 2cm y los laterales de 3cm. Cuáles deben ser las dimensiones de la página para obtener la mayor economía del papel? 400 x y = 400 y = x x S = x 6 y 4 x x 24 S = x x 2400 S = 4 Para que S = 0 ; 2400 = 4x 2 ; x 2 = 600 ; x = 10 6 x 2 S = ; S x Mínimo 3 Las dimensiones pedidas son, por tanto, cm. y cm. 3

176 Sea una cartulina cuadrada de 60cm de lado, se desea construir una caja de base cuadrada, sin tapa, recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando. Comprobar que para que la caja sea de máxima capacidad, los cuadrados deben tener 10cm de lado. Se forma una caja de base cuadrada y lado 60-2x y altura x cm. V = S base h = (60-2x) 2 x = x x 2 V = x + 12 x 2 ; V = 0 (máximo o mínimo) 12x x = 0 ; x 2-40x = 0 Si x fuera 30cm, me quedaría sin cartulina por lo que x = 10cm V = 0 V = 24x ; V (10) = < 0 máxima capacidad.

177 Se considera un triángulo isósceles de base 10cm y altura 6cm. Se inscribe en él un rectángulo de base 2x sobre la base del triángulo. Calcular la base del rectángulo inscrito para que su área sea máxima. Quiero que sea máxima S = 2 x y Hay 2 triángulos ABC Y A B C semejantes: AB / A B = AC / B C La base del rectángulo es 2x, es decir, 5cm, y la altura es de 3cm para que el área inscrita sea máxima. Comprobación:

178 Se desea construir una caja sin tapa con base cuadrada, empleando 108 cm 2 de cartón. Hallar las dimensiones de la caja de volumen máximo Sean las dimensiones : x, lado del cuadrado base, y altura z Función a optimizar V = x 2 z Función de condición La superficie total es S = x x z = 108 cm 2 V = ¼ (108 3x 2 ) Como V = x 2 = 0 3x 2 = 108 x 2 = 36 x = 6 El valor x = - 6 no es valido Comprobación del carácter del extremo : V ( x ) = ¼ 3(- 6x) = - 3/2 x ; V ( 6 ) = -9 < 0 máximo para x = 6 La caja tiene de dimensiones 6 2 cm 2 3 cm : base cuadrada de lado 6 cm, altura 3 cm V = 108 cm 3

179 Se desea construir un depósito de latón, con forma de cilindro, de área total igual a 54. Determinar el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máximo. Llamamos x al radio del círculo (base) e y a la altura. El dato es el área total (condición) y la incógnita que deseamos máximo es el volumen.

180 Se desea construir un embudo cónico de generatriz 20 cm. Determinar la altura del embudo de forma que su volumen sea máximo. y Necesito poner V en función de x. x 20 r = V= V = Para que V = 0 => El no vale pues alturas negativas V = < 0 => El volumen es máximo para

181 Se divide un alambre de 100m de longitude en dos segmentos de longitudes x y 100-x. Con el de lonfitud x se forma un triangulo equilátero y con el otro segmento se forma un cuadrado. Siendo f(x) la suma de las áreas del triangulo y del cuadrado: a) Determina el dominio de la función f(x), es decir, los valores que puede tomar x. b) Con el estudio de la derivada f(x). obtén cuando f(x) es creciente y decreciente. C) Indica razonadamente para que valor de x se obtiene la suma de las áreas del triangulo y del cuadrado es mínima. x 100-x

182 Una página ha de contener 96 cm 2 de zona impresa. Los márgenes superior e inferior han de tener 3 cm de anchura y los laterales 2 cm. Halla las dimensiones de la página para que el papel requerido sea mínimo La gráfica será de la forma : b+ 6 a + 4 Si llamamos a a la anchura y b a la altura de la zona escrita, la función f, superficie total del papel, a optimizar será : a,b)=(a+4)*(b+6); f(a, b ) = ( a + 4 ) (b + 6 ) f( a, b ) = a b + 6 a + 4 b + 24 La condición es que la zona escrita ha de tener 96 cm 2 : 96; a b = 96 b = 96 / a f( a, b ) = a (96 / a) + 6 a + 4 (96 / a) + 24 = a / a + 24 f( a, b ) = a / a f ( a, b ) = / a / a 2 = 0 6 a 2 = 384 a 2 = 64 a = 8 y b = 12 La solución a = - 8 carece de sentido porque se refiere a una longitud La zona escrita ha de tener 8 cm x 12 cm El papel tendrá unas dimensiones de ( ) cm x ( ) cm = 12 x 18 = 216 cm 2

183 Un barco B está anclado a 9 km del puerto más cercano P de una costa que forma línea recta, y a 15 km del punto P hay un campamento C. un mensajero debe ir desde el barco al campamento. Teniendo en cuenta que puede remar a una velocidad de 4 km/h; halla el punto Q de la costa, entre P y C, en el que debe desembarcar, para llegar al campamento lo antes posible. B V BQ = 4 km/h V QC = 5 km/h 9 P x 15 x C La distancia PQ debe ser ser de 12 km para que el tiempo sea mínimo.

184 Un bote de conserva de tomate ha de tener una capacidad de 1 litro. Se pide la proporción entre su altura y el diámetro de su base para que la superficie de latón sea mínima Función a optimizar S T = 2 r r h = 2 r ( r + h ) Función de condicion El volumen ha de ser de 1 litro = 1 dm3 V = r 2 h => r 2 h = 1 => h = 1 / r 2 Sustituyendo este valor de h en la superficie a optimizar, obtenemos : S T = 2 r r / r 2 = 2 r / r es la función a optimizar, en función de r Derivamos S T = 4 r - 2 / r 2 = (4 r 3 2) / r 2 3 S T = 0 (4 r 3 2) = 0 r 3 = 1 / 2 r = 1 / 2 Queda tan sólo por comprobar que la superficie es mínima, calculando la S T S T = / r 3 S T (r) = / (1/2) = 12 > 0 luego si es minimo En el caso estudiado r = 0,542 dm y la h = 1,084 dm La altura del un bote cilíndrico circular ha de ser igual que el diámetro de la base para que la superficie total sea mínima para un volumen fijo cualquiera.

185 Un pastor desea cerrar un recinto rectangular usando 100 m de cerca. Cuál es la mayor área que puede encerrar? y x El perímetro es de 100 m y el área será S = x y que es lo que queremos que sea máximo. La condición es que p = x + y + x + y = 2x + 2y = 100 ; x + y = 50 ; y = 50 x y sustituyo en S S = x (50 x) = 50x - 2 x ; derivo S. S = 50 2x S = 0 ; 50 2x = 0 ; 2x = 50 ; x = 25 ; y = y = 25 estas son las dimensiones del area máxima, ya que S = -2 ; S (25) = -2 < 0 max. El valor de Smax. = = m Un pastor desea cerrar un recinto circular usando 100m de cerca nueva. Aprovecha para uno de los lados una valla ya existente (muy larga). Cuál es la mayor área que puede encerrar? y x Los 100 m se usan para cerrar los tres lados libres del rectángulo. La condición será x + 2y = 100 El S = x y es lo que queremos que sea máxima. Despejo x = 100 2y de la condición y sustituyo en S S = (100 2y) y = 100 y 2 y 2 S = 100 4y ; S = 0 ; 100 4y = 0 ; 4y = 100 ; y = 25 y como S = - 4 ; S (25) = - 4 < 0 máxima área para y = 25 x = = x = 50 El área máxima será S = = 1250 m 2

186 PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

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190 Integración por partes. Mediante la integración por partes, hallar una primitiva de la función y = Ln (1 + x) Calcular una primitiva de una función, es hallar su integral indefinida. Por ello utilizaremos el método de integración por partes u dv = u v - v du haciendo el siguiente cambio Aplica el método de integración por partes a la determinación de una primitiva de la función f(x) = x Ln x Utilizar la integración por partes para hallar una primitiva de la función x.sen x

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196 Cambio de variable. (No entra en Selectividad) Hallar las primitivas de la función cos 2 x (utilizar la relación 1 + cos A = 2. cos 2 A/2)

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198 INTEGRACION FRACCIONES SIMPLES. x 3-1 x 2 + 2x - x 3-2x 2 x - 2-2x x 2 + 4x 4x 1

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200 PROBLEMAS DE INTEGRALES DEFINIDAS (PRIMITIVAS) Calcular la primitiva de la función f(x) = 1 + tg 2 x + tg x que pase por el punto (,0)

201 Para obtener la G(x) integraremos de nuevo la G'(x) Para calcular C y D tenemos en cuenta las dos condiciones G(0) = 1 y G(1) = 0

202 Las constantes C, D y E se determinan a partir de las condiciones.

203 Para ver si el extremo (1,0) es máximo o mínimo, calculamos la f (x)

204 PROBLEMAS DE AREAS Área limitada por el eje de abscisas y la curva y = x 3-2x 2. Dibújala.

205 Calcular el área del recinto limitado por abcisas. Dibuja la gráfica. y el eje de ; y = 2x - 4; y = 0 => 2x 4 = 0; x = 2 posible máx. o mín. y = 2 ; y (2) > 0 Mín. (2, -4)

206 Calcular el área encerrada entre las graficas de las funciones y = x 2 + 2x - 1 e y = 2x + 3, representando esquemáticamente dichas graficas. Para dibujar y = x 2 + 2x - 1 Para dibujar y = 2x + 3 x y x y x 2 + 2x 1 = 2x + 3 x 2 4 = 0 x = 2 2-2

207 Calcular el área limitada por la grafica f(x) = Ln x, el eje OX y la recta tangente a dicha grafica en el punto de abscisa x = e Para calcular la recta tangente, esta será de la forma y y o = m (x x o ) y o = Ln e = 1 pasa por (e,1) m = y (x o ) Para calcular los limites de integración a y b se hallan los puntos de corte entre las dos funciones Sabiendo que la tangente corta al eje OX en (0, 0) y en (e, 1) y que la y = Ln x lo corta en n x = 0 x = e 0 x = 1 (1, 0) Dibujamos la curva y su tangente Sabiendo que Ln x dx = x Ln x x por integración por partes y aplicando la regla de e e Barrow nos queda que: ; 0 1

208 PAU Junio 1998 = 0 2π -π 0

209 Considérese la región acotada que determinan las curvas y = e x e y = e 2x y la recta x = a; a) Hallar el área de dicha región para a = 1 b) Hallar un valor de a > 0 para que el área de la región sea 2. a) Si a = 1 ==> la recta será x = 1 y este será el límite superior. e x = e 2x ==> 1 = e x ==> Ln 1 = Ln e x ==> 0 = x 1 0 a 0

210 Hallar el area comprendida entre las curvas. e Corte gráfica: ; ; 1-1 Hallar el área finita limitada por la curva de ecuación y = x 2-4x y el eje y = 0 La recta y = 0 corresponde al eje de abscisas OX Si calculamos : Estos dos valores de x, son los límites de integración

211 Hallar el área limitada por la grafica de la función y = cos x y el eje OX en el intervalo [0,2] Primero se calculan los posibles puntos de corte con el eje OX con lo que los intervalos [0, /2), (/2, 3/2), (3/2, 2) serán los limites de integración en la que se divide el área π/2 0 Hallar el área limitada por la grafica de la función y = sen 2x y el eje OX en el intervalo [0,2] Primero se calculan los posibles puntos de corte con el eje OX Los intervalos [0, /2), (/2, ), (, 3/2), (3/2, 2] serán los limites de integración en los que se divide el área = 2 [ ( - cos - ( - cos 0) ] = 2 ( 1 + 1) = 4 u 2 /2 0 =

212 Hallar el área limitada por la grafica de la función eje OX en el intervalo [-1, 1]. Dibujar la grafica. y el 1-1 Domínio R. No existen asíntotas verticales. No existen AH ni AO ya que el límite cuando x -> de f(x) y de m son 0 Corta al eje OY Para x = 0 (0, 1) Máximos y mínimos: Posibles Puntos de inflexión:

213 Por ultimo y(-1) = ½ e y(1) = ½

214 Hallar el valor de a para que el area limitada por las graficas Hallamos los cortes entre las dos funciones. a 0

215 La función y = x 3 - ax 2 + 4x + b corta al eje de abcisas en x = 3 y tiene un P.I en x = 2/3. Hallar a y b. Calcular el área que forma la curva entre x = 2/3 y x = 3. Dibujar la grafica Si corta al eje y = 0 en x = 3 es que pasa por (3,0) Si tiene un P.I en x = 2/3 es que y (2/3) = 0 y = 3x 2-2ax + 4; Si pasa por (3,0); y = 6x - 2a 0 = 3 3 a b Si hay P.I en x = 2/3 0= 6 2a 4 2a = 0; 2a = 4; a = 2 0 = 27 9a b; b = b = - 21 La curva tiene de ecuación y = x 3-2x 2 + 4x /3

216 Representar f(x) = x 2 1. Calcular el área entre x = 1 y x = 1.

217 a) Sabiendo que el área comprendida entre la curva y = x y la recta y = bx, es 1, a) Hallar b. b) Para b = 1, calcular el área que forma la curva con la recta. 1/b 2 0 b)

218 Se considera el recinto limitado por las curvas y = x 2, x = 1, x = 2, y = 5x. Hallar el área de dicho recinto, dibujándolo previamente Para dibujar la parábola y = x 2 Para dibujar la recta y = 5x x y x y