Números primos y compuestos

Transcripción

1 Caítulo 1 Números rimos y comuestos En este caítulo consideraremos algunas roiedades del conjunto de los números enteros y ositivos: 1, 2, 3,... Es costumbre utilizar la letra N ara designar a dicho conjunto, así como Z es la notación usual en Matemáticas ara reresentar al conjunto de todos los números enteros (ositivos, negativos y cero). La aritmética elemental se ocua del estudio de las oeraciones básicas de los enteros, suma, resta y multilicación y, junto con la Geometría Euclídea, constituye los cimientos y aorta los rimeros modelos sobre los que luego se construyen y conforman otras ramas de la Matemática. En los sucesivo suondremos ciertos conocimientos de la Aritmética elemental ara asar directamente a estudiar la relación de divisibilidad El teorema fundamental de la aritmética Un entero ositivo > 1 es un número rimo si sus únicos divisores ositivos son 1 y. Por ejemlo los números 2, 3, 5, 7, 11, 13 son rimos. Los enteros ositivos mayores que 1 que no son rimos se llaman comuestos. El conceto de número rimo se remonta a la antigüedad. Los griegos oseían dicho conceto, así como una larga lista de teoremas y roiedades relacionadas con él. Los cuatro ejemlos siguientes aarecen en Los Elementos de Euclides: Todo entero ositivo, distinto de 1, es un roducto de rimos. Teorema fundamental de la aritmética: Todo entero ositivo uede descomonerse de manera única en un roducto de rimos. Existen infinitos números rimos. 1

2 2 CAPÍTULO 1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Podemos obtener una lista de los números rimos or medio del método conocido con el nombre de Criba de Eratóstenes. Estas roiedades justifican la imortancia de los números rimos y la curiosidad que han insirado entre los matemáticos de todas las éocas. Proosición Todo entero ositivo mayor que 1 es un roducto de números rimos. Demostración. Por inducción. La hiótesis es cierta en el caso n = 2. Suongámosla cierta ara n m y robemos que m + 1 es un roducto de rimos. Si tenemos tanta suerte que m + 1 es rimo, entonces no hay nada que demostrar; en caso contrario m + 1 se odrá escribir de la forma m + 1 = n 1 n 2 con 1 < n 1 n 2 < m + 1. Por ser n 1 y n 2 menores que m + 1 y mayores que 1, ambos serán roductos de rimos y también lo habrá de ser m + 1. Sean a y b dos números enteros alguno de los cuales es distinto de 0. El máximo común divisor de a y b es el mayor entero ositivo (a, b) que divide a ambos a y b. El caso en que (a, b) = 1 recibe un nombre esecial, se dice que a y b son rimos relativos o rimos entre sí. El mínimo común múltilo [a, b] es el menor entero no negativo que es divisible or a y or b. Si a y b son rimos relativos entonces [a, b] = ab. En general se verifica que ab = (a, b)[a, b]. Proosición (Algoritmo de la división). Dados dos enteros cualesquiera a y b (a > 0), existen dos únicos enteros q y r tales que b = aq + r, 0 r < a. Si a b entonces 0 < r < a. Demostración. Considérese el conjunto {b qa, q Z}. Sea r el menor número no negativo de la sucesión. Obviamente r = b qa ara algún q. Es claro que r < a. En caso contrario 0 b (q + 1)a = r a < r y entonces r no ya sería el mínimo entero ositivo con esa roiedad. La unicidad de r imlica la de q. Algoritmo de Euclides. Suongamos que a > b y a = bc + r, a r < b. Es claro que todo divisor común de a y b lo es también de b y r, y viceversa. En articular (a, b) = (b, r). Esta estrategia uede ser iterada. El último resto distinto de 0 es el máximo común divisor de los números a y b. Proosición Fijados b y c, existen enteros x 0 y y 0 tales que (b, c) = bx 0 +cy 0. Demostración. Consideremos el menor entero ositivo l del conjunto {bx + cy : x, y Z}. Sea l = bx 0 + cy 0. Si l b, existen q y r tales que b = lq + r, 0 < r < l. r = b ql = b q(bx 0 + cy 0 ) = b(1 qx 0 ) + c( qy 0 ).

3 1.1. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA 3 Entonces r ertenece al conjunto, es ositivo y menor que l; y eso contradice la elección del entero l. Luego l b. Por la misma razón l c. Es decir, l (b, c). Por otra arte (b, c) b y (b, c) c. En articular (b, c) (bx 0 + cy 0 ). Por lo tanto hemos robado que l = bx 0 + cy 0 = (b, c). Corolario Si es rimo y ab, entonces a o b. Demostración. Si a entonces (, a) = 1 y, or la roosición anterior, existen x 0, y 0 tales que 1 = x 0 + ay 0. Luego b = bx 0 + bay 0. Obviamente bx 0 y or hiótesis bay 0. De aquí concluimos que b. Estamos ahora en condiciones de robar el teorema fundamental de la aritmética. Proosición (Teorema Fundamental de la Aritmética). Todo entero ositivo uede descomonerse en roducto de números rimos de manera única, salvo or una reordenación de los factores. Demostración. Consideremos el menor entero n 2 ara el que no sea cierto. Entonces existirán dos factorizaciones distintas de n, α 1 1 α k k = q β 1 1 q β h h donde todos los rimos i son distintos de los q j. En caso contrario odríamos dividir or algún rimo común y tendríamos un entero menor que n ara el que no se cumliría el teorema fundamental de la aritmética. Como 1 divide a q β 1 1 q β h h, or el corolario anterior sabemos que 1 divide a q 1, lo cual es imosible orque q 1 es rimo y distinto de 1, o divide a q β q β 2 2 q β h h. Iteramos el argumento sucesivamente hasta llegar a una contradicción. Observación El teorema fundamental de la aritmética uede arecer demasiado obvio. Eso es debido a que el anillo Z no nos deja ver el bosque de los demás anillos. Consideremos or ejemlo el anillo de los enteros Z[ 5] = {a + b 5 : a, b Z}. Los enteros , 1 2 5, 3 y 7 son rimos diferentes en ese anillo y sin embargo ( )(1 2 5) = 3 7. En este anillo no se cumle el teorema fundamental de la aritmética.

4 4 CAPÍTULO 1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS 1.2. Algunos resultados acerca de la distribución de los números rimos Mathematicians have tried in vain to discover some order in the sequence of rime numbers but we have every reason to believe that there are some mysteries which the human mind will never enetrate. L. Euler (1770). La sucesión de los números rimos ha interesado a los matemáticos a lo largo de su historia. De una manera sencilla ueden formularse reguntas acerca de este conjunto de números cuya resuesta es muy difícil. Por ejemlo, Existe una fórmula exlícita ara la función f(n) = n =enésimo número rimo?, Hay alguna función elemental f tal que f(n) sea rimo ara todo n? Es claro que una resuesta ositiva a estas reguntas nos daría información acerca de cómo los números rimos aarecen en la sucesión de los números naturales. El olinomio f(n) = n 2 n + 41 toma valores rimos ara n = 0, 1,..., 40, sin embargo f(41) = Fermat conjeturó que todos los números de la forma F n = 2 2n + 1 son rimos. Los cuatro rimeros F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257 y F 4 = lo son, ero Euler robó que F 5 = es comuesto y, or tanto, que la conjetura de Fermat es falsa. Es más, nadie ha odido encontrar hasta ahora otro rimo de Fermat. Pero tamoco nadie ha odido demostrar que hay infinitos números comuestos de Fermat. En el momento de escribir estas notas (enero de 2015) el número de Fermat más equeño ara el que no se conoce si es rimo o comuesto es F 33, y el número comuesto de Fermat más grande que se conoce es F , que es divisible or Existe ara cada entero ositivo n un número rimo tal que n < 2n?, Es todo número ar mayor que dos la suma de dos rimos?. La rimera de estas reguntas es conocida bajo el nombre de Postulado de Bertrand y fue contestada or Chebychev en La segunda es la Conjetura de Goldbach y su resuesta nos es aún desconocida. Otro roblema interesante es el de los rimos gemelos. Por ejemlo: 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31 etc. Existen infinitas arejas de rimos gemelos? Formulado ya or los griegos, es uno de los roblemas más antiguos de la Matemática que, sin embargo, todavía esera su solución. El resultado básico acerca de la distribución de los números rimos es conocido bajo el nombre de Teorema de los Números Primos. Sea x un número real ositivo y designemos con π(x) el número de rimos

5 1.2. ALGUNOS RESULTADOS ACERCA DE LA DISTRIBUCIÓN DE LOS NÚMEROS PRIMO menores o iguales que x; el teorema del número rimo consiste en la igualdad: π(x) (1.1) lím x x/ log x = 1. Legendre, en 1798, fue el rimer matemático que conjeturó la igualdad anterior. Por esas fechas Gauss estaba también interesado en el mismo roblema y había construido tablas que incluían todos los rimos entre 2 y 3,000,000. Utilizando esta montaña de material exerimental Gauss conjeturó que la densidad de rimos en 1 un entorno del entero n es y, or lo tanto, el número de rimos en el intervalo log n (m, n) debería ser aroximadamente igual a (1.2) n m dx log x. En sus tablas, Gauss encontró que entre 2,600,000 y 2,700,000 existen 6762 rimos, mientras que el valor de la integral anterior entre esos dos valores es 6761, Chebychev, en sus intentos de robar la conjetura de Gauss-Legendre, demostró que existen dos constantes ositivas c y C, tales que 0 < c 1 C < y c x log x π(x) C x ara todo x 2. log x Un avance enorme fue dado or B. Riemann quien redactó un famoso artículo acerca de este roblema en el año La idea brillante de Riemann fue conectar el estudio de la función π(x) con el de la función ζ(s) = 1 n=1 (la función zeta de Riemann), n s definida ara valores comlejos de s. En articular, el comortamiento asintótico de π(x) cuando x tiende a infinito está relacionado con la ubicación de los ceros de la función zeta de Riemann (es decir, los untos donde se anula esta función) Sin embargo el lan de Riemann ara demostrar el teorema de los números rimos no udo llevarse a acabo hasta mucho más tarde, cuando se disuso de la teoría de funciones analíticas, de la cual Riemann fue uno de los fundadores y de la que uede afirmarse que buena arte de sus resultados fueron obtenidos ara alicarlos a roblemas de la teoría de números. Durante la última década del siglo XIX, Hadamard y de la Vallee Poussin, indeendientemente, desarrollaron los métodos de Riemann y al teoría de funciones analíticas ara conseguir la rimera demostración del teorema conjeturado or Gauss y Legendre. Sin embargo, una de las roiedades que Riemann redijo acerca de ζ(s) ermanece todavía sin ser demostrada: la llamada Hiótesis de Riemann que asegura que todos los ceros no reales de la función ζ(s) tienen arte real σ = 1/2. Digamos que, cuanto más recisa es la información acerca de los ceros de ζ(s), tanto más recisa es la estimación que odemos obtener de la diferencia π(x) x dt. 2 log t

6 6 CAPÍTULO 1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS La hiótesis de Riemann, junto con el roblema P = NP y el roblema de Navier-Stokes, constituye la trilogía de roblemas abiertos más famosa de la matemática de rinciios de este siglo Desde Euclides hasta Euler Proosición Existen infinitos números rimos Demostración 1 (Euclides). Suongamos que sólo hay un número finito de rimos 1, 2,..., n. Cualquier rimo q que divida a m = 1 n + 1 tiene que dividir también a 1 n y or lo tanto a la diferencia, que es 1. Demostración 2 (Polya). Esta demostración está basada en el hecho de que los números de Fermat son rimos entre sí. Por lo tanto al menos hay tantos rimos como números de Fermat; es decir infinitos. Si m es ar, entonces xm 1 x+1 = xm 1 x m Para x = 2 2n y m = 2 k tenemos que F n+k 2 F n divisor de F n y F n+k debe ser también un divisor de F n+k 2 y or lo tanto de 2. Como los F n son imares necesariamente el único divisor común osible es el 1. = xm 1 x+1 es un entero, luego F n F n+k 2. Entonces cualquier Demostración 3. Suongamos que existe un número finito de rimos 1,..., k. Todos los enteros ositivos menores que x se tendrían que escribir de la forma α 1 1 α k k ara algunos enteros 0 α i log x/ log i log x/ log 2. Entonces el número de osibles α 1 1 α k k menores que x es a lo más (1 + log x/ log 2) k, que es claramente menor que x si x es suficientemente grande. Teorema (Euler) La suma de los inverso de los rimos es infinita 1 =. Demostración. Euler definió la función ζ(s) = 1 n=1 ara todo número real s > 1, n s y observó la siguiente identidad ( 1 1 s ) 1 = ( ) 1 Para demostrar esto último observemos que 1 1 = s s 2s 3s y que al considerar el roducto cuando recorremos todos los rimos obtenemos n=1 1 n s

7 1.2. ALGUNOS RESULTADOS ACERCA DE LA DISTRIBUCIÓN DE LOS NÚMEROS PRIMO una suma infinita de la forma 1 sobre el 1 y todos los enteros que son roducto n s de otencias de rimos. Es decir, sobre todos los enteros ositivos. Además, como la factorización en rimos es única salvo el orden de los factores, cada n aarece solamente una vez en el sumatorio. Tomando logaritmos en la identidad tenemos log (1 1 ) ( ) 1 = log. s n s Ahora tenemos en cuenta que log(1 x) x 2x 2 ara 0 < x 1/2 ara deducir que ( ) 1 log s n s. 2s n=1 Cuando s 1 el segundo sumatorio del segundo término está acotado ero el rimero no lo está debido a la divergencia de la serie armónica. Luego la suma de los inversos de los rimos tiene que ser también divergente. Esta demostración de Euler es un hito en el desarrollo de la teoría y fue la base sobre la que B. Riemann construyó el lan antes mencionado. Que la serie de los recírocos de los rimos sea divergente nos da más información sobre la sucesión de los números rimos que el mero hecho de la existencia de infinitos de ellos. Es el momento de señalar que Viggo Brun demostró que la suma de los inversos de los rimos gemelos es convergente, (1.3), +2= 1 < +, aunque, como mencionamos antes, es un roblema abierto saber si existen infinitos de ellos. n= El teorema de Chebychev En una memoria ublicada en el año 1859 Chebychev demostró que el orden de magnitud de π(x) era el ronosticado. En su estudio introdujo las funciones Θ(x) y Ψ(x) definidas ara todo número real ositivo or medio de las fórmulas: Θ(x) = x log,

8 8 CAPÍTULO 1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS donde la suma está tomada sobre todos los rimos menores o iguales que x, y Ψ(x) = log m x donde en este caso las suma está extendida sobre todas las otencias de rimos menores o iguales que x. En lo sucesivo la letra designará siemre a un rimo. Si en la fórmula que define a Ψ(x) agruamos los términos ara los cuales m tiene el mismo valor, obtenemos Ψ(x) = Θ(x) + Θ(x 1/2 ) + Θ(x 1/3 ) + La serie que aarece en el segundo miembro de la igualdad anterior contiene sólo un número finito de términos distintos de cero, uesto que Θ(y) = 0 cuando y < 2. Por otro lado, en la suma que define a Θ(x), log aarecerá tantas veces como enteros ositivos m satisfagan m x. Tomando logaritmos, m log x/ log. Entonces (1.4) Ψ(x) = log x log log x donde ara cada número real r > 0, r designa al mayor entero no negativo que es menor o igual que r. El entero r se llama arte entera de r, mientras que el número real {r} = r r se conoce como arte fraccionaria de r. Teorema Los tres cocientes π(x) x/ log x, Ψ(x) x, Θ(x) x tienen los mismos límites de indeterminación cuando x. Demostración. Sean Tenemos que A 1 = lím su x a 1 = lím inf x π(x) x/ log x, A Θ(x) 2 = lím su x π(x) x/ log x, a 2 = lím inf x Θ(x) Ψ(x) x x, A 3 = lím su x Θ(x) x, a 3 = lím inf x log x log = π(x) log x. log Ψ(x) x Ψ(x) x

9 1.2. ALGUNOS RESULTADOS ACERCA DE LA DISTRIBUCIÓN DE LOS NÚMEROS PRIMO Por lo tanto Θ(x) Ψ(x) π(x) ara todo x. Es decir, A x x x/ log x 2 A 3 A 1. Por otro lado, si x > 1 y elegimos un número α, 0 < α < 1, tenemos que Θ(x) log log(x α )(π(x) π(x α )). x α < x Y como π(x α ) x α, obtenemos la relación Θ(x) x α ( π(x) x/ log x log x ). x 1 α Tomando límites sueriores y teniendo en cuenta que log x/x 1 α tiende a cero, deducimos que A 2 αa 1. Pero como esta desigualdad es válida ara cada α, 0 < α < 1, tenemos que A 2 A 1. Por tanto A 1 = A 2 = A 3. La identidad a 1 = a 2 = a 3 se demuestra de manera análoga. Chebychev observó que los factoriales y los números combinatorios escondían mucha información sobre los números rimos. Esto lo odemos areciar en los dos lemas siguientes, que van a ser iezas claves en la demostración del teorema de Chebychev. Lema Para todo entero ositivo n 2 se tiene que < 4 n. n Demostración. Lo haremos or inducción sobre n. Es claro ara n = 2 y suongamos que es cierto ara todo entero menor que n. Si n es ar, claramente n = n 1 < 4n 1 < 4 n. Si n = 2k + 1 es imar, la observación crucial es que el roducto k+1< 2k+1 divide (y como consecuencia es menor) al número combinatorio ( ) 2k + 1 (2k + 1)(2k) (k + 2) = k k ya que cada rimo involucrado en el roducto divide al numerador ero no al denominador. Por otra arte, como el número combinatorio ( ) ( 2k+1 k+1 = 2k+1 ) k aarece dos veces en el desarrollo de (1 + 1) 2k+1, es en articular menor o igual que 4 k, la mitad del

10 10 CAPÍTULO 1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS valor de esta última exresión. Finalmente utilizamos la hiótesis de inducción ara llegar a = < 4 k+1 4 k = 4 2k+1 = 4 n. n k+1 k+1< 2k+1 Lema (Legendre). El exonente del rimo en al factorización de n! es exactamente n k Demostración. Para todo x real llamemos e (x) al exonente de en x! = 1 2 x. Ya que sólo los múltilos de en este roducto colaboran en el exonente e (x), si escribimos el roducto de estos múltilos como (2) ( x ) = x x! odemos ver que e (x) = x ( ) x + e = k ( ) x x x + + e 2 = = 2 k x k. Corolario El exonente de en ( 2n n ) es s = k 1 ( 2n k n 2 k ) log(2n) log. Demostración. Es consecuencia inmediata del lema anterior y de la observación de que [2y] 2[y] es 0 o 1 ara todo y > 0. La desigualdad se deduce del hecho de que si k > log(2n)/ log, todas las artes enteras involucradas valen cero. Teorema (Chebychev). Para todo x 2 se tiene que (1.5) x 5 log x π(x) 4 x log x. Demostración. Se uede comrobar a mano que el Teorema es cierto ara x < 7. Suonemos ues que x 7. Searando los rimos menores que n en el Lema tenemos que ( n) π(n) π( n) n< n 4 n.

11 1.2. ALGUNOS RESULTADOS ACERCA DE LA DISTRIBUCIÓN DE LOS NÚMEROS PRIMO Tomando logaritmos y observando que π( n) n vemos que ( n π(n) (2 log 4) log n + π( n) 2 log 4 + log n ) n n log n 4 n log n. Si x es real tenemos π(x) = π( x ) 4 x log x 4 x log x debido a que la funcin t/ log t es creciente ara t > e. Para la cota inferior observemos rimero que, como ( ) 2n n es el término más grande de los 2n + 1 términos del desarrollo de Newton de (1 + 1) 2n entonces, (1.6) 2 2n 2n + 1 ( 2n n El corolario nos ermite deducir que ( ) 2 2n 2n 2n + 1 log(2n)/ log = (2n) π(2n). n Tomando logaritmos, 2n ). π(2n) (2 log 2)n log(2n + 1). log(2n) Finalmente, ara cualquier número real x 7 se obtiene (2 log 2) x/2 log(2 x/2 + 1) π(x) π(2 x/2 ) log(2 x/2 ) (x 2) log 2 log(x + 1) log x ( ) x 2 log 2 + log(x + 1) = log 2 log x x ( ) x 2 log 2 + log(7 + 1) log 2 log x 7 = 2 log 2 x 7 log x x > 5 log x.

12 12 CAPÍTULO 1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Teorema (Postulado de Bertrand). Para todo n > 1 existe un número rimo tal que n < < 2n. Demostración. Emecemos demostrando que si 2n < n entonces s 3 = 0, donde s era el exonente de en ( ) 2n n. Como 2 > 2n, todas las artes enteras de los términos del sumatorio en el corolario se anulan si k 2. Es decir, s = 2. Pero en el rango que nos ocua = 2 y = 1. 2n n Por lo tanto, si no hubiera ningún rimo tal que n < < 2n, tendríamos ( ) 4 n 2n 2n + 1 = s n 2n/3 = s 2n 2n 2n (2n) (2n) 2n 4 2n/3, n 2n< 2n/3 s 2n< 2n/3 donde en el enúltimo aso hemos utilizado el corolario y en el último, el lema Tomando logaritmos llegamos a la desigualdad log log(2n) log(2n + 1) + n n que es falsa ara n 520. Para los n < 520 observemos que al sucesión de rimos 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 521 tienen la roiedad de que cada uno es mayor que su antecesor ero menor que su doble Resultados recientes sobre los números rimos Los últimos años han sido esecialmente fructíferos en el estudio de los números rimos Primos en rogresión aritmética y cuadrados mágicos Una conjetura clásica acerca de los números rimos afirmaba que la sucesión de los números rimos contenía rogresiones aritméticas arbitrariamente largas. Esto

13 1.3. RESULTADOS RECIENTES SOBRE LOS NÚMEROS PRIMOS 13 fue demostrado finalmente or B. Green y T. Tao en Teorema (B. Green, T. Tao, 1998). Para todo k 3 existen k rimos en rogresión aritmética. De hecho osteriormente desarrollaron técnicas más sofisticadas que les ermitieron hallar el comortamiento asintótico del número de soluciones en números rimos de algunos sistemas de ecuaciones. Utilizando esta maquinaria, Carlos Vinuesa, que fue estudiante de la UAM, halló una fórmula asintótica ara el número de cuadrados mágicos 3 3 formados or números rimos menores o iguales que x. Teorema (Carlos Vinuesa, 2012). Si M(x) es el número de cuadrados mágicos de orden 3 3 formado or números rimos menores o iguales que x, se tiene que donde c es una constante exlícita. x3 M(x) c log 9 x El roblema ternario de Goldbach En su carta a Euler, Goldbach afirmaba haber observado que todo ar mayor que 2 era suma de dos rimos y que todo imar mayor que 5 era suma de tres rimos. La rimera de ellas es conocida como la conjetura de Goldbach o el roblema binario de Goldbach y se cree que los métodos actuales son insuficientes ara resolverla. La segunda de ellas es conocida como el roblema ternario de Goldbach. Vinogradov dio una resuesta bastante satisfactoria demostrando que todo imar mayor que una cierta constante C se uede escribir como suma de tres rimos. Pero hasta hace muy oco esa constante C era tan grande que resultaba imracticable comrobar la conjetura ara todos los imares menores que C, incluso utilizando la otencia de todos los ordenadores del mundo simultaneamente y durante todos los años que dure nuestro laneta. Pero Harald Helfgott, un matemático eruano que ha visitado nuestro Deartamento en varias ocasiones, hizo unas mejoras teóricas que ermitieron reducir dicha constante C hasta C = (anteriormente estaba en ). Hasta esa cantidad sí que era factible comrobarlo y Harald lo hizo en menos de tres meses con ayuda de otentes ordenadores. Teorema (Harald Helfgott, 2013). Todo imar mayor que 5 se uede escribir como suma de tres rimos.

14 14 CAPÍTULO 1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Lagunas entre rimos y los rimos gemelos La conjetura de los rimos gemelos dice que n+1 n = 2 ara infinitos n. Es fácil demostrar que el teorema de los números rimos imlica que lím inf n+1 n n log n 1. Erdős demostró que la desigualdad era estricta y osteriormente la constante 1 fue sustituyéndose or constantes cada vez más equeñas ero ositivas. Esto fue así hasta que Goldston, Pintz y Yildirim demostraron en 2006 que lím inf n+1 n n = log n 0. De hecho demostraron que n+1 n log n ara infinitos n. Esto fue considerado un gran avance en el roblema de los rimos gemelos ero sólo era el reludio de algo mucho má esectacular. Yitang Zhang, un matemático estadounidense rácticamente desconocido introdujo una idea nueva que le ermitió demostrar una versión débil del roblema de los rimos gemelos. Teorema (Y. Zhang, 2013). Para infinitos n se tiene que n+1 n En 2014, Marynard, un joven matemático, introdujo ideas adicionales que le ermitieron bajar la constante hasta 600 y además demostrar que H m = lím inf n ( n+m n ) < ara todo m 1. El esfuerzo de muchos otros matemáticos ha ermitido llegar a la cota H El mínimo común múltilo de los n rimeros valores de un olinomio Es un ejercicio sencillo comrobar que Ψ(n) = log m.c.m(1,..., n). Así que el teorema de los números rimos es equivalente a la fórmula asintótica log m.c.m(1,..., n) n. Batemann demostró, utilizando el teorema del número rimo en rogresiones aritméticas, que si f(x) = a + bx con (a, b) = 1 entonces log m.c.m.(f(1),..., f(n) Cn donde C es una constante que deende sólo de b.

15 1.4. EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 1 15 En 2011, el que escribe estas notas halló un resultado análogo ara olinomios cuadráticos. Cuando f(x) es un olinommio cuadrático reducible, el comoramiento asintótico también es lineal en n y sencillo de estudiar. El caso difícil aarece cuando f(x) es irreducible. Teorema (J. Cilleruelo, 2011). Sea f(x) un olinomio cuadrático irreducible con coeficientes enteros. Setiene que log m.c.m.(f(1),..., f(n)) = n log n + Bn + o(n) donde B es una constante que deende de f. En el caso más sencillo f(x) = x 2 + 1, el valor de la constante del teorema anterior es B = γ 1 log ( 1) 1 2 log 1 = 0, Se conjetura que si f(x) es irreducible de grado r entonces ero sólo se sabe cierto ara r = 2. log m.c.m.(f(1),..., f(n)) (r 1)n log n, 1.4. Ejercicios del caítulo D. Pedro le dijo a D. Sixto: Tengo tres hijas, el roducto de sus edades es 36, y la suma el número de tu ortal. Me falta un dato, dijo D. Sixto. Tienes razón. La mayor toca el iano, aclaró D. Pedro. Qué edades tenían las hijas de D. Pedro? La Real Sociedad Matemática Esañola todos los años invita a sus socios a su congreso anual. Este año el 27, % de los asistentes eran mujeres, el 55, % eran mayores de 30 años y el 37 % llevaron algún libro de matemáticas. Sabiendo que el número de socios no es mayor que , odrías calcular el número de asistentes? Determinar una condición necesaria y suficiente ara que la suma de los n rimeros números naturales divida a su roducto.

16 16 CAPÍTULO 1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Encontrar todas las ternas de enteros ositivos a, b, c tales que (a, b, c) = 10 y [a, b, c] = Probar que (a 2, b 2 ) = (a, b) Probar que si (a, b) = 1 y ab es un cuadrado, entonces a y b también son cuadrados Demostrar que (2 a 1, 2 b 1) = 2 (a,b) 1 ara todo a y b He comrado bolígrafos a 101 esetas y rotuladores a 140 esetas. Si me he gastado en total 2993 esetas, cuántos he comrado de cada? Demostrar que en cualquier conjunto de n + 1 enteros ositivos menores o iguales que 2n siemre hay uno que divide a otro Sea S un conjunto de n enteros no necesariamente distintos. Demostrar que algún subconjunto no vacío de S osee una suma divisible or n Demostrar que todo n rimo con 10 tiene infinitos múltilos cuyos dígitos en base 10 son todos unos Demostrar que si 5 n y 2 n emiezan or la misma cifra en su exresión decimal, entonces dicha cifra es Sea r un entero ositivo. Demostrar que n k=1 k r = nr+1 r Q r(n), donde Q r (n) es un olinomio de grado r con coeficientes racionales Demostrar que n n + 1 ara todo n 1. Demostrar or inducción que n 2 2n. Deducir que π(x) log 2 log 2 x 1, x Demostrar que existen infinitos rimos de la forma 4n + 3 y de la forma 6n Demostrar que F n = n 1 i=0 F i + 2. Deducir que (F m, F n ) = 1 ara n m y de aquí la existencia de infinitos rimos Demostrar que ara todo α > 0 y ara todo ɛ > 0, existen a, b tales que a α < ɛ y a + b es rimo. b Demostrar que si 2 n + 1 es rimo, entonces n es cero o una otencia de Demostrar que si 2 n 1 es rimo, n ha de ser rimo.

17 1.4. EJERCICIOS DEL CAPÍTULO Demostrar que n sólo es rimo ara n = Demostrar que un olinomio P (n) con coeficientes enteros no uede ser rimo ara todo n n 0, sea quien sea n 0. n Sea α = n 1, donde 10 n2 n es el rimo enésimo. Demostrar que α tiene la roiedad de que m = 10 m2 α 10 2m 1 10 (m 1)2 α ara todo m Demostrar que lím su n ( n+1 n ) =, donde n denota el rimo n- ésimo. De otra manera, demostrar que ara todo k, existen k números comuestos consecutivos Sea π 2 (x) =número de rimos gemelos menores o iguales que x. Sabiendo que π 2 (x) < C x ara alguna constante ositiva C, demostrar que la suma de los log 2 x inversos de los rimos gemelos converge Demostrar, utilizando el teorema de Chebychev, que si n > 1, entonces n! no uede ser una k-otencia Probar que n 1 j=1 j En cuántos ceros acaba 371!? no es entero si n > Hallar todos los rimos tales que, + 4, + 6, + 10, + 12, + 16 y + 22 sean rimos Un cuadrado de n n números enteros se dice que es mágico si la suma de los números de cada una de sus filas o columnas, así como de cada una de las dos diagonales rinciales, es el mismo. Encontrar un cuadrado mágico 3 3 formado todo or números rimos Un cuadrado de n n números enteros se dice que es un cuadrado mágico multilicativo si el roducto de los números de cada una de sus filas o columnas, así como de cada una de las dos diagonales rinciales, es el mismo. Encontrar todos los cuadrado mágico multilicativos 3 3 donde el número central es 15 y los nueve enteros ositivos que forman el cuadrado son distintos Demostrar que ara todo x 3 se tiene que 1 log log x 1. x Utilizar el Teorema de Chebychev ara robar que existen dos constantes ositivas c y C tales que cn log n < n < Cn log n, ara todo n, donde n es el rimo enésimo.

18 18 CAPÍTULO 1. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Demostrar que log 2 lím inf x π(x) x/ log x lím su x π(x) x/ log x 2 log Demostrar que n n log n es equivalente al Teorema de los Números Primos Sea la función Li(x) = x Demostrar que Deducir que la exresión dt. Demostrar que Li(x) x/ log x. log t m.c.m.(1, 2,..., n) = e Ψ(n). 1 e Ψ(2N+1) x N (1 x) N dx 0 reresenta un entero ositivo y usar esto ara demostrar que Ψ(2N + 1) N log Sabiendo que ara (a, q) = 1 se tiene que x a (mód q) hallar una estimación asintótica ara log x φ(q), log m.c.m.(a + q, a + 2q,..., a + nq).