TEMA 7. OTRAS APLICACIONES DE GeoGebra

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1 TEMA 7. OTRAS APLICACIONES DE GeoGebra INTRODUCCIÓN El siguiente tema está dedicado a resolver actividades de estadística y de álgebra con ayuda de este programa que como ya hemos indicado en varias ocasiones no está limitado a la realización de construcciones de geometría dinámica. LISTAS Y SECUENCIAS Una lista será un conjunto de datos que debemos representar entre llaves, separando por comas sus elementos. L 1 ={-2, 3, 6, 3, 9, 1, 9, -7} L 2 ={(0, 3), (-4,1), (1, 3), (2, 0)} Para generar elementos de una lista que cumplan una determinada condición disponemos del comando Secuencia. Este comando admite la sintaxis siguiente Secuencia[f(t), t, t 1, t 2 ] para crear una lista de elementos utilizando la expresión f(t) para valores de t comprendidos entre t 1 y t 2. Además, se podrá incluir un argumento más para indicar el incremento de valores que tomará la variable t. Para trabajar con estructuras de datos del tipo listas disponemos de algunos comandos que relacionamos a continuación: Longitud de una lista: Longitud[L], siendo L una estructura de datos del tipo lista. Además, podremos contar el número de elementos de una lista que cumplen una determinada condiciónutilizando el comando CuentaSi[condición, L]. Máximo de una lista: Máximo[L]. Mínimo de una lista: Mínimo[L]. Primer elemento de una lista: Primero[L]. Si escribimos Primero[L, n] devuelve una sublista con los n primeros elementos de la lista L. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 110

2 Último elemento de una lista: Último[L]. Al igual que en el comando anterior, Último[L,n] devuelve una sublista con los n últimos elementos de la lista L Elemento que ocupa la posición n en la lista L: Elemento[L, n]. Extraer elementos de una lista: Extrae[L, m, n] devuelve la sublista formada por lo elementos comprendidos entre las posiciones m y n de la lista L. Extraer elementos de una lista que cumplan una condición: ConservaSi[condición, L] devuelve la sublista formada por lo elementos de la lista L que cumplen la condición indicada. Además, tenemos otros comandos para realizar operaciones en una lista o para efectuar operaciones con estos datos. Algunos de estos comandos son: Ordenar una lista: Ordena[L]. Invertir el orden de los elementos de una lista: Reversa[L]. Añadir elementos a una lista: Anexa[L, elemento] o Anexa[elemento, L] para añadir el elemento indicado al final o al principio de la lista L. Intercalar un elemento en una lista: el comando Intercala[ elemento, L, n] o Intercala[L1, L, n] se utilizará para intercalar el elemento indicado en la posición n en la lista L o para intercalar la lista L1 en la lista L a partir de la posición n. Intersección y unión de listas: Intersección[L1, L2] y Une[L1, L2] devuelven la lista intersección y unión, respectivamente, de las listas L1 y L2. Y aún hay más comando con los que realizar operaciones en una lista, como son: Suma de los elementos de una lista: Suma[L]. También admite la sintaxis Suma[L, n] para obtener la suma de los n primeros elementos de la lista L. Este comando admite distintos formatos y posibilidades como puede ser sumas series numéricas cuando se combina con el comando Secuencia. Por ejemplo Suma[Secuencia[k2, k, 1, 10]] devuelve el valor de la suma de los cuadrados de los diez primeros números naturales. Producto de los elementos de una lista: Producto[L]. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 111

3 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo: se obtiene con los comandos MCD y MCM, respectivamente. NÚMEROS ALEATORIOS Para generar un número aleatorio disponemos de la función AleatorioEntre, cuya sintaxis es: AleatorioEntre[x 1, x 2 ] para generar un número aleatorio perteneneciente al intervalo [x 1, x 2 ]. El número de decimales con los que expresará los números aleatorios devueltos queda fijado por el menor número de decimales de x 1 y de x 2. Utilizando: AleatoriaNormal[µ, σ] AleatorioBinomial[n, p] AleatorioPoisson[µ] se podrán generar números aleatorios siguiendo una distribución normal, binomial o de Poisson, respectivamente. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Para realizar el estudio y representación de un conjunto de datos es necesario utilizar una estructura del tipo listas expuestas en el apartado anterior. Una vez introducidos los datos podemos obtener las medidas de centralización y de dispersión a través de los comandos siguientes: Media aritmética de los elementos de una lista: Media[L]. Mediana de los elementos de una lista: Mediana[L]. Moda de los elementos de una lista: Moda[L]. Varianza de los elementos de una lista: Varianza[L]. Desviación típica de los elementos de una lista: DE[L]. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 112

4 Cuartiles: el comando Q1 determina el valor del primer cuartel y Q3 dará el valor del tercer cuartel de una lista. Covariaza entre los elementos de dos listas: Covarianza[L1, L2] o Covarianza[L] para una lista L formada por un conjunto de puntos. En la imagen siguiente aparecen los cálculos de las medidas anteriores para una lista L. Los valores anteriores representan: media = a, mediana = b, varianza = c, desviación típica = d, Q1 = e, Q3 = f y lista1 corresponde a las modas. Cuando la lista de datos está formada por un conjunto de puntos disponemos de las funciones MediaX y MediaY para obtener la media aritmética de los valores correspondientes a las abscisas y de las ordenadas, respectivamente. Para representar un conjunto de datos disponemos de varios comandos como son Barras, Histograma y DiagramaCaja. El comando admite distintos argumentos, entre ellos los siguientes: Barras[valores, frecuencias] Barras[valores, frecuencias, ancho de barra] Barras[valores, ancho de barra] Para el conjunto de datos L para el que hemos calculado las medidas de centralización y de dispersión podemos escribir Barras[L, 1] para obtener la representación que aparece en la imagen siguiente: Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 113

5 El valor que aparece sobre la gráfica corresponde al número de datos representados. Para el comando Histograma disponemos de las opciones siguientes: Histograma[lista extremos intervalos, lista alturas] Histograma[lista extremos intervalos, lista datos] Y para obtener el diagrama de caja o de bigotes tendremos que utilizar la sintaxis siguiente: DiagramaCaja[radio, escala, lista datos] Para los datos anteriores, obtendremos la imagen siguiente: El valor que aparece sobre la gráfica corresponde al valor de la mediana. Otras representaciones se podrán obtener a través de las distintas opciones que el programa ofrece para obtener y dibujar diferentes regresiones como puede ser la regresión lineal que devuelve el comando AjusteLineal[L] en la que L es una lista formada por un conjunto de puntos. Ejemplo 1 La siguiente tabla representa los datos de una observación entre dos variables X e Y. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 114

6 X 2,5 3 1,5 3,2 4,1 4 Y 3 1,5 2 1,7 2,5 1,2 Representar el conjunto de puntos anteriores, obtener el valor de la covarianza y la recta de regresión de Y sobre X. Comenzamos definiendo los puntos correspondientes a cada una de las parejas de valores (X, Y) representados en la tabla anterior. Es evidente que cada punto aparecerá representado al ser definido. A continuación, definimos la lista P formada por los puntos anteriores. Utilizando el comando covarianza obtendremos el valor de este parámetro entre las variables X e Y. Observamos que el valor de la covarianza es Para obtener y representar la recta de regresión de Y sobre X escribiremos AjusteLineal[P]. Obtendremos la expresión de la ecuación y su representación, tal y como aparece en la imagen siguiente: Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 115

7 Hay otras opciones para obtener curvas de regresión como son AjusteExp (exponencial), AjusteLog (logarítmico) o AjustePolinómico, entre otros. Por ejemplo, para obtener el ajuste mediante un polinomio de grado 4 del conjuto de puntos anterior, escribiremos: AjustePolinómico[P, 4] La gráfica obtenida aparece en la imagen siguiente: Aunque GeoGebra dispone de más comandos para trabajar la estadística, consideramos que los expuestos anteriormente sirven como muestra de que este programa no está limitado a la geometría dinámica. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 116

8 ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Dados los puntos A(2, 2), B(-2, 0), C(2, 4) y D(6, 0), comprobar que no es un paralelogramo, pero que sí lo es el formado por los puntos medios de cada lado del cuadrilátero ABCD. 2. Generar una lista de 100 números naturales comprendidos entre 1 y 6. Representa los datos obtenidos para comprobar las frecuencias de cada valor. 3. Generar una lista correspondiente a la función y = x 3 1 para valores de la variable comprendidos entre 1 y 2, con un incremento de Generar dos listas con veinte números enteros comprendidos entre 1 y 20. Hallar la unión y la intersección de las dos listas. 5. Generar una lista de seis números aleatorios comprendidos entre 1 y 25. Comprobar si pertenecen a la lista los múltiplos de cinco. 6. Generar un vector de dimensión 20 cuyos elementos corresponden a la sucesión a n = 3n 2 n. 7. Considera los datos {2, 4, 6, 8, 10}. Calcula la media, varianza y desviación típica. Suma 20 a cada uno de los datos anteriores y determina el efecto que produce en los parámetros anteriores. Multiplica los datos iniciales por 20 para comprobar, en este caso, el efecto que produce sobre las medidas calculadas anteriormente. 8. La siguiente tabla representa el estudio de dos variables estudiadas en siete individuos. Hallar la recta que permita estimar la variable X conociendo la variable Y. Determinar el valor de x para un individuo cuyo valor de y es 19. X Y La siguiente tabla expresa los gastos en electricidad y los ingresos anuales de seis familias, en un mes. Calcula la covarianza. Representa la nube de puntos y la recta de regresión de los gastos en electricidad sobre los ingresos de cada familia. Estima el gasto en electricidad de una familia cuyos ingresos son de 1400 euros. Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 117

9 Ingresos Gastos Agustín Carrillo de Albornoz Torres - 118