Diagramas de Bode de magnitud y fase

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1 Diagama de Bode de magnitud y fae Diagama de Bode de magnitud y fae de una contante Dada la función cicuital F(j~) = K, podemo expeala en la foma: j K e F( j~ ) = ) j K e K K > < La magnitud en decibelio e F db (~) = log K. El diagama de Bode de magnitud conite de una ecta hoizontal que puede eta po encima del eje de fecuencia, obe el eje de fecuencia o po debajo del mimo, dependiendo de K. Si K < 1, la ecta etá po debajo. Si K > 1, la ecta etá po encima. En cuanto a la fae, el diagama de Bode coepondiente e una ecta hoizontal que e igual a ceo i K > y e igual a i K <. Diagama de Bode de magnitud y fae de un deivado Un cicuito deivado peenta una función de tanfeencia de la foma F( ) =. En adelante e haá el iguiente cambio de vaiable S =, con lo cual obtenemo el deivado nomalizado F(S) = S; i hacemo la utitución S = jx, obtenemo: F( jx) = jx = jxe j. La magnitud en decibelio de la función etá dada po F db ( X) = log X. El diagama de Bode de magnitud e una ecta que paa po la fecuencia caacteítica y tiene una pendiente de decibelio po década. La figua 1 iluta el diagama de Bode de magnitud paa un deivado. En cuanto a la fae, el diagama de Bode eá la ecta hoizontal H ( ~ ) = ~.1 ~ ~ 1 ~ 1 ~ Figua 1

2 Diagama de Bode de magnitud y fae de un cicuito integado Un cicuito integado e caacteiza po la función de tanfeencia F( ) =, F( S) = 1. S Puede motae que la magnitud de la función en decibelio etá dada po: F db ( ~ ) =- log` ~ j. Claamente e obeva que el diagama coepondiente e una ecta que paa po y tiene una pendiente de - decibelio po década. E petinente anota que el integado e el inveo multiplicativo del deivado y, en conecuencia, el diagama de Bode del integado e el inveo aditivo del diagama de Bode del deivado. En cuanto a la fae, el diagama de Bode coepondiente e la ecta hoizontal H ( ~ ) =-. La figua mueta el diagama de Bode de magnitud paa el integado ~.1 ~ ~ 1 ~ 1 ~ Figua Diagama de Bode de magnitud de una función lineal Una función cicuital lineal peenta la foma F( ) = 1 + & F( S) = 1 + S. Al efectua la utitución S = X, e obtiene F = (jx) = 1 + jx. La magnitud en decibelio etá dada po FdB ( X) = 1 log 61 + Paa epeenta el diagama de Bode coepondiente e neceaio dibuja do aíntota y el punto de la gáfica coepondiente a la fecuencia caacteítica, el cual denominaemo como la coección. La aíntota del diagama de Bode de magnitud on la ecta que e obtienen paa fecuencia po debajo y po encima de la fecuencia caacteítica, aí: 1. Paa fecuencia menoe que (Ω < 1) =.. Paa fecuencia mayoe que (Ω > 1) = log (Ω). 3. Paa la fecuencia (Ω = 1) =3.

3 La figua 3 iluta el diagama de Bode aintótico de magnitud paa la función lineal. La fae de la función lineal etá dada po H ( X) = a tan ( X). Paa dibuja el diagama de Bode de fae e neceaio taza te aíntota, la cuale e deducen al analiza la expeión matemática, aí: i. En el intevalo < ~ <.1, la fae e pácticamente ceo y en conecuencia obtenemo la aíntota H ( X) =. ii. En el intevalo.1 < ~ < 1, la fae e pácticamente lineal en ecala logaítmica, aí: H ( X) = + log ( X). 4 4 Se puede nota que H (.1 ) = y H (1 ) =. iii.en el intevalo ~ > 1, la fae e pácticamente de noventa gado, eto e, la aíntota e la ecta hoizontal H ( X) =. La figua 4 iluta el diagama aintótico de fae de la función ~.1 ~ ~ 1 ~ 1 ~ Figua 3 H(~) /4.1 ~.1 ~ ~ 1 ~ 1 ~ Figua 4

4 Diagama de Bode de magnitud y fae paa el inveo multiplicativo de una función lineal En ete cao la función de tanfeencia e de la foma F(S) = (1+S) -1. El etudiante puede veifica que: 1. Paa fecuencia menoe que (~ < ) =.. Paa fecuencia mayoe que (~ < ) = - log (X). 3. Paa la fecuencia (~ = ) = -3. Obeve que la figua 5 coepondiente e el inveo aditivo del diagama de Bode de magnitud de la función lineal. La figua 6 mueta el coepondiente diagama de Bode aintótico de fae ~.1 ~ ~ 1 ~ 1 ~ Figua 5 H(~) -/4 -/.1 ~.1 ~ ~ 1 ~ 1 ~ Figua 6 Diagama de Bode de magnitud y fae paa una función cuadática Una función cuadática peenta la foma: F(S) = 1+zS + S. La cantidad z e el coeficiente de amotiguamiento y e eponable de la coección del diagama de Bode. Al efectua la utitución S = jω, e encuenta que la función cicuital e puede expea como: F(j~) = 1 - Ω + j(zω).

5 Conecuentemente, la magnitud y la fae etan dada po: fdb ( X) = 1 log6( ) + ( zx z H( X) = X a tan; E. Al igual que en el cao lineal, el diagama de Bode de magnitud peenta do aíntota y una coección a la fecuencia caacteítica, aí: 1. Paa fecuencia menoe que (~ < ) =.. Paa fecuencia mayoe que (~ > ) = 4 log (Ω). 3. Paa la fecuencia (~ = ) = log (z). La coección etaá po encima del eje de fecuencia i e veifica que z > 1. La coección etaá po debajo del eje de fecuencia i e veifica que z < 1. La figua 7 iluta el diagama de Bode aintótico de magnitud coepondiente a la función cuadática. Paa hace la gáfica coegida a la fecuencia, e conveniente ua un paquete gaficado. La figua 8 iluta el diagama de Bode paa do valoe del coeficiente de amotiguamiento, uando el paquete Mathcad. La línea punteada coeponde a z = 1 y la línea ólida coeponde a z =.1. En cuanto al diagama de Bode de fae, e pocede de manea imila a la función lineal. Si hacemo el cambio de vaiable ~ X =, tenemo: zx H ( X) = a tan c m. Pimeo calculamo la te aíntota del diagama, aí: 1. En el intevalo < ~ <.1, la aíntota e H(X) =.. En el intevalo ~ > 1, la aíntota e H(X) =. 3. En el intevalo.1 < ~ < 1, la aíntota e H ( X) = + log( X). En la figua 9 e iluta el diagama aintótico de fae paa la función cuadática ~.1 ~ ~ 1 ~ 1 ~ Figua 7

6 Figua 8 H(~) /.1 ~.1 ~ ~ 1 ~ 1 ~ Supongamo que el coeficiente de amotiguamiento e mayo que la unidad; en tal cao, la función etá dada po: F( ) = 1 + z + ` j. Figua 9 Si hacemo el cambio de vaiable S =, e tiene F(S) = 1 + zs + S ~. Si z $ 1, la función e puede expea como el p poducto de do funcione lineale, aí: F( ) = (1 + S as)(1 + ), donde a + S = z. a a La fae de la función eá la uma de la fae individuale, aí: X H ( X) = a tan( ax) + a tanc m. a Se hizo la utitución S = jx. El valo de a etá dado po a = z + z - 1 ; en conecuencia, paa z $ 1 la expeión matemática paa la fae e: H ( X) = a tan^z + z - 1hX + a tan^z - z - 1hX. Evidentemente la fae e una función continua paa todo lo valoe de la vaiable. Teniendo en cuenta la identidad tigonomética tan( a) + tan( b) tan^a + bh =, e puede ecibi: 1 - tan( a) tan( b)

7 ax + X ( ) tan a zx H X = a > H = a tan; E. Se puede conclui que la expeión de aiba e continua en X = 1, al meno paa z $ 1. Veemo que i z < 1, la función debeá e continua. Supongamo ahoa que el coeficiente de amotiguamiento e meno que la unidad z < 1. En ete cao podemo expea la función cicuital en la foma: F() = 1 + zs + S = 1 + zs + z S + (1 - z )S = (1 + zs) + (1 - z )S. En foma factoizada, queda (1 + zs + j 1 - z S)(1 + zs - j 1 - z S). Haciendo el cambio de vaiable S = jx, eulta: F( jx) = (1 1 - z X + jzx)( z X + jzx). La fae coepondiente etá dada po: zx zx H ( X) = a tanc a tan. m + c m z X z X A pati de la expeión anteio e llega al mimo eultado que e obtuvo paa z > 1. Paa evitano un doble tabajo en la gáfica de la fae, uaemo la iguiente expeión que e válida paa cualquie valo de z: Z zx ] a tanc m X # 1 H ( X) = [ zx ] + a tanc m X 1 \ La figua 1 mueta el diagama coegido de fae paa do valoe del coeficiente de amotiguamiento, uando el mimo paquete. La línea punteada coeponde a z = 1 y la línea ólida coeponde a z = Figua 1

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