Sector Circular Longitud de Arco. Sector Circular. Und. 1 Introducción a la Trigonometría

Transcripción

1 Llamamos desaollo de una supeficie lateal al conjunto de puntos de la supeficie imaginaia que envuelve a un sólido y que es extendida sobe un plano. En pincipio toda supeficie lateal puede epesentase sobe una supeficie plana. En el caso de un cono su desaollo está fomado po un secto cicula cuyo adio es la geneatiz de la supeficie cónica y cuyo aco es la cicunfeencia de la base. Obsévese que tanto la supeficie lateal como la base del cono son figuas elacionadas po un mismo concepto: el secto cicula. Secto icula Secto icula Es la egión plana de un cículo definida po dos adios y el aco compendido ente estos. En el ejemplo de la figua, el secto cicula AOB, está definido po los adios OA y OB, y po el aco AB compendido ente éstos. Obsévese que, según la definición dada, estos dos adios poducen una patición en el cículo y cualquiea de las dos pates en que éste ha quedado dividido puede se consideado como secto cicula. Asimismo los adios definen el ángulo cental AOB como en (a) o en (b), cuya medida puede vaia desde «O» hasta ad Longitud de Aco 1..A. efinición.- Se llama longitud de aco a la medida lineal de la extensión subtendida sobe una cicunfeencia po un ángulo cental. Sea la medida del ángulo cental expesada en adianes y tazada en una cicunfeencia de adio, entonces la longitud s del aco subtendido po éste viene dado po: s.

2 Esta es la condición de no deslizamiento ente dos discos en contacto. En la páctica se ecue a un pa de discos dentados. 1..B. iscos unidos po un eje común En este caso los ángulos que gian cada uno de los discos son iguales B. Popiedades 1a. os ángulos centales difeentes ubicados en una misma cicunfeencia subtienden acos de longitudes popocionales a las medidas (en adianes) de dichos ángulos. 1 s 1 s da. Paa dos acos subtendidos po un mismo ángulo cental, en dos cicunfeencias concénticas, se veifica que las longitudes de aco, en cada cicunfeencia, son popocionales a los adios de los cículos coespondientes. 1 s1 Obsevaciones: a) Si 0, el aco del secto cicula es un punto, luego: L 0 b) Si el aco es toda la cicunfeencia, luego: L e estas obsevaciones se concluye que: 0 Ejemplo 1.- alculemos la longitud del aco que subtiende un ángulo cental cuya medida es de 0,5 ad si la cicunfeencia tiene po adio 6 m. Si L, entonces: L (0,5)(6 m) L m Obsévese que al sustitui po su medida, ésta se ha anotado sin unidades. Ejemplo.- eteminemos la medida del ángulo cental, en una cicunfeencia de adio : a) Paa un cuadante de longitud: L ad b) Paa media cicunfeencia de longitud: L ad c) Paa una cicunfeencia de longitud: L ad 1... Aplicaciones de la Longitud de Aco 1..A. os enganajes en contacto Paa los bodes de cada enganaje se cumple que las longitudes de aco que cada uno ecoe son iguales. L s El movimiento giatoio del eje hace que los discos soldados a él gien del mismo modo oea de tansmisión En este caso las longitudes de aco que baen las poleas son iguales. L Esta es la condición de no deslizamiento ente la coea y las poleas. La coea debe esta lo suficientemente tensa Rodadua «El númeo de vueltas n v que da una ueda sobe un piso se calcula dividiendo la distancia ecoida d po el cento ente su peímeto ()». n v d Ejemplo 1.- os poleas de 15 cm y 6 cm de adio, espectivamente, están en contacto po sus bodes. uántas vueltas ha dado la pequeña cuando la gande ha efectuado 60? Paa conoce la elación ente las vueltas () y los adios (R) de las poleas aplicamos la popiedad de los acos iguales: L R 1 1 R 15cm 60 v 6 cm 150 v Ejemplo.- Un cilindo ecto ueda hasta completa una vuelta. Qué distancia ecoió su cento, con elación al piso, si su adio mide 1 m? Haciendo un esquema, y despejando «d» de la elación dada paa el númeo de vueltas en una odadua, tendemos: n v d/ d n v d (1 m) (1) d m Tigonometía 5

3 1... Áea del Secto icula El áea de un secto cicula está deteminado po la medida del adio del cículo al que petenece y del ángulo cental que lo subtiende. S ( m ) Paa establece la elación ente el áea «S» del secto cicula y el ángulo cental utilizaemos el siguiente cuado de valoes, extaído de un expeimento eal. Se muesta la medida del áea de un secto de adio m, paa distintas medidas del ángulo cental. Si se obseva con atención se loga descubi la siguiente popoción: S 6 8 0,5 1,0 1,5,0 Se puede econoce que ente el ángulo cental y el áea del secto cicula existe una coespondencia diecta, es deci: S constante S dp (dp significa diectamente popocional) Esto pemite establece que a mayo ángulo mayo es el valo de S. Recodando la fómula del áea de un cículo, podemos aplica la siguiente egla de tes simple: áea S ángulo cental S S Recodando que la longitud de aco está dada po: L, la expesión obtenida se puede pesenta de vaias fomas equivalentes: SETOR IRULAR TRAPEIO IRULAR 01.- Identifica los sectoes ciculaes AOB de la siguiente lista de figuas y dibújalos en el casilleo vacío: 0.- En cada caso, calcula y anota el valo de «L». a c En el siguiente secto cicula, calcula 05.- En el siguiente secto cicula, calcula «x» 06.- Visualiza los gáficos, analiza y detemina la medida de «x» en cada caso: b a. x En los siguientes casos, calcula a b. x... Ejemplo.- alculemos el áea del secto cicula de ángulo cental 6º y adio 10 m. onvetimos 6º a adianes, así: 6º ad ad 180º 5 5 b c. x... 6 Tigonometía 7

4 07.- etemina el númeo de vueltas que da la polea «1» si la polea da 1 vueltas. Además se sabe que: R 1 R. b. d... ; n V... Pob. 01 n etemina el númeo de vueltas que da la polea cuando la polea «1» gia 5. Además se sabe que: R 1 00 cm; R 10 cm. c. d... ; n V... d. d... ; n V... En el gáfico: + L 16 m Si además se sabe que: + 10º; calcula la longitud del adio. En el secto cicula se cumple: L R e los datos del poblema: x + 9 x (x + 1) x + 9 x + x x 9 x Finalmente, la longitud del aco AB mide: n Indica, vistos desde aiba, en qué sentido gia la polea en cada caso: a Un secto cicula de áea S (en cm ) es subtendido po un ángulo tigonomético positivo (en adianes) de adio (en cm) y que subtiende un aco de longitud L (en cm). Se pide completa el cuado: S L 1.- etemina la medida del áea limitada po el tapecio cicula, en cada caso: Expesamos la suma de ángulos en adianes: + 10º 180º +... (1) Aplicando la ecuación que define la longitud de aco, se tiene: L L R... () 1 Pob. 0 L x L 1 La medida de un ángulo inscito de una cicunfeencia es 90/ (x + 1)º y contiene un aco cuya longitud es (x + 1)m. alcula «x» si el adio de la cicunfeencia es / m. Gaficando el enunciado del poblema: b.... a. Reemplazando el dato y la ecuación (1) en (), se obtiene: R 16 R 8 m 10.- En los siguientes casos se muesta un disco de adio cm, que ueda sin desliza sobe una supeficie áspea desde «A» hasta «B». Se pide detemina la longitud «d» que ecoe el cento del disco y el númeo de vueltas «n V» que ealiza el disco en toda la tayectoia. Utiliza: /7 a. d... ; n V... b. c. Pob. 0 En la figua mostada, calcula la longitud del aco AB. onvitiendo a adianes el ángulo cental del secto cicula sombeado, se cumpliá que: x + 1 L 180 (x + 1) (x + 1) (x + 1) 6x + x + x 1 x 1/ 8 Tigonometía 9

5 Pob. 0 el gáfico mostado calcula: a b a b Nos ayudamos de Si calculamos en cada secto se tiene: BO: x 9 AO: 1 x Igualando: 9 1 x x Pob. 06 x 6 A pati del secto cicula, calcula: + Reemplazando () en (1): Pob. 08 El ángulo cental se ha cuaduplicado alcula, a pati de la posición mostada en la figua, la longitud que ecoe el extemo A de la cueda AB hasta que envuelva todo el cuadado BE. 11 cm cm x 7 x x 180(11 cm ) x 90 cm Pob. 10 En cada secto se cumple: a) b b b) a a Aplicando en el gáfico: L, tendemos: Gaficando el ecoido, se tiene: alcula el peímeto del tapecio cicula sombeado. Finalmente: a b a b a b a b 7 a b a b 7 1 onde: L (a + a) L a a (a + a) a a ( + ) Nos ayudamos de y calculamos las longitudes de los acos y BE. Pob. 05 Finalmente: + 1 En el secto cicula mostado, calcula «x». Nos ayudamos de como se muesta en la figua. Pob. 07 ómo debe vaia la medida del ángulo de un secto cicula cuando el adio disminuya a la mitad y la longitud de aco se duplique?. Secto oiginal Nuevo secto En la figua mostada, obsevamos que: L TOTAL + L + L + L L TOTAL (8) + (6) + () + () Pob. 09 L TOTAL 10 m Un péndulo oscila, descibiendo un ángulo de 7 y un aco de 11cm. alcula la longitud del péndulo (/7) Peímeto (p): p En el secto cicula AOF se cumple que: 7 Reemplazando en (): 7... () Se cumple: Se cumple: L... (1) L... () Gaficando el enunciado del poblema, así: L p 7 p Tigonometía 1

6 Pob. 11 Reemplazando (1) en (), así: Pob. 15 ado el gáfico, detemina + L. e la figua mostada: L + L + L A continuación calculamos cada longitud indicada, así: 60 R 180,116 cm x 9 cm cm x 9 x 9 cm el sistema mostado, detemina cuántas vueltas gia la ueda cuando la ueda «A» de 1 vueltas. 0 5 L 5R R x,5 cm on la ayuda de la gáfica podemos deduci: 5 L 8 R R 180 Luego: L L 5 R + + R 6 7R Pob. 1 alcula la longitud de aco ecoido po «A», si la longitud de aco ecoido po es 1. R A 1; R B ; R a) En elación a las poleas A y B, obsevamos que po esta unidas mediante una faja: L (A) L (B) (A) R (A) (B) R (B) 1 v R (A) n (B) R (B) Pob. 1 La meno polea gia un ángulo de / ad. uál seá el adio «x» de la polea que ecoe una longitud de aco de,116 cm? 1(5) n (B) () Luego: n (B) 0 vueltas b) Finalmente el númeo de vueltas dada po es igual al que da B po tene el mismo eje. Finalmente: (0) y L 180 (10) y L + L + + L a) e las poleas en contacto se veifica: a) e acuedo al sistema de enganajes, B y tiene un mismo eje, luego: L R () (B) () () Po dato del poblema: L R (B) (B)... (1) Pob. 16 n () 0 vueltas alcula el númeo de vueltas que da la ueda de adio al ecoe intenamente el diámeto de la semicicunfeencia, si se sabe que: R ( ). Pob. 1 alcula la longitud de la caetea cuva AB. L polea () L polea (1) () () (1) (1) () () (1) Luego: () 9... (1) b) e las poleas unidas po el eje, se veifica: L (x) () (x) ()... () (x) L () 1 Reemplazando este dato y los valoes de los adios coespondientes en (1), así: Luego: 1 L(B) L (B) 16 L (B) 1 b) A continuación, como los enganajes (A) y (B) poseen una coea de tansmisión, se veifica: L (A) L (B) L (A) 16 Se puede apecia que la ueda inicia y temina su ecoido de manea tangente a la semicicunfeencia. Así la distancia ecoida po su cento no coincide con la longitud del diámeto de aquella. Luego, elaboamos la siguiente figua: Tigonometía

7 el dato: R 17 (R ) 17 Aplicamos el teoema de Pitágoas en el tiángulo sombeado: (R ) + x 17 + x x 16 x Aplicando: n v d n v x e. e R e x Pob. 18 x R e R e x alcula el númeo de vueltas que da una ueda de adio 1 m al ecoe el peímeto de un tiángulo, si el peímeto de éste es de m. (Usa: /7). a) álculo de las vueltas n (1) que da la ueda al ecoe los lados del tiángulo: peím del n (1) n (1) (1) 7 7 Oto Método Encontemos el n (T) a pati de: n (T) d ( a b c) n (T) n (T) n (T) Pob. 19 n (T) lados e + 1 n (T) ( a b c) + 1 En el gáfico, la ueda de adio se desplaza del punto «A» hasta. 1 n (1) 1 b) esde «B» hasta. n () d c)esde hasta. n (1) 1 (0 ) n () () 7 9 n v n v b) álculo de las vueltas n () que da la ueda en cada uno de los vétices del tiángulo: Pob. 17 os uedas de adios difeentes uedan ecoiendo una misma distancia. alcula el adio de una tecea ueda, tal que al ecoe una distancia igual al doble de la ecoida po las anteioes, de un númeo de vueltas igual a la media geomética de los númeos de vueltas que dieon las otas dos uedas. La suma de éstos gios nos da las vueltas adicionales que buscamos: n () ( ) + ( ) + ( ) n () ( + + ) n () 1 vuelta alcula el númeo de vueltas que ha dado en total desde «A» hasta, si: OB 9, BO 1 0 y O 1 n () d n () (1 ) () n () (9) 18 En este tipo de poblema es conveniente, utiliza un cuado paa elaciona adios, distancias y númeo de vueltas de cada ueda. Veamos: alculando po pates, así: a) esde «A» hasta «B». Finalmente: n (T) n (1) + n () + n () n (T) n (T) 6 Pob. 0 alcula el áea de la egión sombeada: Finalmente, el númeo total de vueltas que da la ueda al ecoe el peímeto del tiángulo, seá: A continuación eemplazamos los valoes de a y b en la última elación, obteniendo: n (T) n (1) + n () n (T) 8 Aplicando: n (1) d 1 n (1) ( 9) () Tigonometía 5

8 Si llamamos al ángulo cental, podemos establece que: L L En los dos sectoes ciculaes calculamos : x x A continuación, ecodemos que: Pob. 1 S l S () 9 S,5 u En la figua mostada se tienen los sectoes AOB y O. Si: /9 y B m, detemina el áea (en m ) de la egión sombeada. Peo: S 9 9 R S ( R )... (II) 9 Aplicando el teoema de Pitágoas en el tiángulo OB, tendemos: R R 9... (III) Reemplazamos (III) en (II): Pob. S 9 9 S m Si las áea S 1 y S son iguales, evalua en adianes. ( ) a S 1... () S 1 S Y según condiciones del poblema, igualando ambas áeas, obtenemos: Pob. ( ) a a / En la figua mostada, calcula el áea de la egión sombeada. Pob. En la figua mostada, detemina el valo de «L», si el tapecio cicula AB tiene 0 m de áea. e la figua, obsevamos que: mo 1 ad Luego el áea del tapecio cicula (S T ): Nos ayudamos del gáfico: a) Tabajando en el secto cicula O: Tazamos la diagonal del cuadado: S T S (O) S (BOA) ( x )( x ) x x 0 0 x + 8x + 16 x El áea S se calcula así: 8x x Tenemos que: S S (O) S (AOB)... (1) Luego, sabemos que: S Aplicamos en (1): R S S ( R ) ( a) S S a S S (O) S (BOE) a b) Tabajando en el secto cicula AOE.... (1) S 1 S S Entonces el áea total seá: S ( ) S Finalmente, la longitud de L seá: L x + + L 7 Oto método: Sabiendo que: L1 L S T h Sustituyendo datos: x x 0 x Tigonometía 7

9 x 6 x e donde: L x + L + 7 Pob. 5 alcula el áea del tapecio cicula sombeado. Luego: Pob. 7 ( ) 0 m e la figua mostada, calcula el áea de la egión sombeada. O es el cento de cicunfeencia. Paa calcula «M» necesitamos calcula cada una de las áeas de los sectoes ciculaes S 1 y S, paa lo cual elaboamos el siguiente gáfico: Luego, como las áeas del secto inicial y final son iguales, tendemos: e donde: El adio del secto cicula aumentó en 0 cm. Pob. 0 alcula el áea del tapecio cicula AB. a) S 1 5θ( ) S 1 5θ S 1 10 e los datos del poblema deducimos que el ángulo cental mide 1 ad: Usando la fómula del áea de un tapecio cicula tendemos: 5 1 S T Pob. 6 S T 10,5 cm El áea de un secto cicula es de m, su peímeto es de 8 m, detemina el adio del cículo. Áea del secto cicula: S m Peímeto 8 m el gáfico: Peímeto R + L e donde deducimos que: L 8... (1) Usando la elación: S L R L 8... () Reemplazando (1) en () obtenemos: (8 ) Elaboamos la figua adjunta paa detemina el áea «S» solicitada: 60 () S S S S S S Pob. 8 S 9 cm En el esquema mostado, calcule el valo de: S1 S M S S 1 b) S θ Luego: M Pob. 9 M S 10θ ( ) 10θ 16 θ 8 θ θ M En cuántos centímetos debeá vaia el adio de un secto cicula con ángulo cental de 6 y adio de 0 cm, paa que al disminui el ángulo a su cuata pate, el áea se conseve? Gaficando el secto inicial y el secto final, obtenemos: INIIAL 6 5 ad FINAL 6º 0 ad Resulta impotante detemina las medidas de los acos B y A que a su vez son las bases del tapecio cicula: 60º L B L A El áea del tapecio cicula AB se calcula así: S T L A L B S T S T BA 8 Tigonometía 9

10 A) 10 m A) B) 15 m B) / 01.- os ángulos en el cento de un cículo son suplementaios y las longitudes de los acos que subtienden suman 1. alcula la longitud del adio. A) 10 B) 1 ) 1 ) 6 E) 0.- el gáfico mostado, calcula. A) 1 B) 0,5 ) 1,5 ),5 E) 0.- En la figua mostada, calcula el diámeto de la cicunfeencia. A) 80 m B) 0 m ) 160 m ) 90 m E) 70 m 0.- El peímeto de un secto cicula es el tiple del adio, calcula (en ad) la medida del ángulo cental. A) 1 B) ) 1,5 ),5 E) 1, Se tiene un secto cicula de 6 cm de adio y 1 cm de longitud de aco. Si el adio aumenta en cm, calcula cuánto mediá (en cm) la nueva longitud del aco, si el ángulo cental no vaía. A) 16 B) 1 ) 1 ) 10 E) ado un secto cicula, de ángulo cental ad; si tiplicamos el adio y aumentamos el ángulo cental en / ad, se obtiene un nuevo secto cuya longitud de aco es el cuáduple de la longitud del secto inicial. Obtene (en ad) el ángulo inicial. A) / B) / ) / ) E) / 07.- Si la longitud de la cicunfeencia es, calcula la longitud del aco AB. A) 6 B) 9 ) 1 ) 15 E) 08.- En una cicunfeencia de adio (x + 5) m, paa un ángulo cental de 7 le coesponde un aco de longitud (x + 1) m. alcula el adio de dicha cicunfeencia. A) 5 m B) 9 m ) 10 m ) 15 m E) 1 m 09.- A pati de la figua, calcula (x y). A) a/ B) a/ ) a ) a/ E) a 10.- el gáfico, detemina: E + (O: cento del secto cicula AOB) A) 1 B) ) 6 ) 9 E) Un péndulo se mueve como indica la figua, calcula la longitud del péndulo si su extemo ecoe 9 m, paa i de A a. ) 0 m ) 5 m E) 0 m 1.- El tamo de una caetea está fomado po dos acos de cicunfeencia, el pimeo tiene un adio de 18 km y un ángulo cental de 0º, el segundo tiene un adio de 6 km y un ángulo cental de 50º, calcula (en km) la longitud total de este tamo. onsidea: /7. A) 1 B) 1 ) ) E) 1.- En la figua mostada, detemina la longitud de la faja que odea las tes poleas, en función de R. A) R (+ ) B) R (+ ) ) R ( + ) ) R (+ 1) E) R (+ ) 1.- Evalua el peímeto de la egión sombeada en el gáfico mostado, si el lado del cuadado AB mide (+ ) -1 unidades. A) 1/ B) / ) / ) 1/ E) / 15.- os enganajes de adios y cm, están en contacto en un punto. Si el mayo gia un ángulo de, qué ángulo (en ad) giaá el meno? A) 5 B) 5 6 ) 5 8 ) 5 E) En el siguiente ten de enganajes, el disco de adio gia 60, qué ángulo (en ad) gia el enganaje de adio 1? ) / ) / E) / En el gáfico mostado se tiene un sistema de enganajes y poleas. La polea «A» de adio gia un ángulo de 0º qué ángulo gia la polea, si el adio de la polea «B» es de longitud 6? A) 10 B) 0 ) 0 ) 60 E) alcula la altua del punto «P» luego que la ueda ha dado / de vuelta. A) B) 5 ) 6 ) 7 E) Se tiene dos poleas A y B unidas po una coea de tansmisión. Si los adios de las poleas miden 18 y 1 cm, qué velocidad angula (en ev/min) tendá la meno, si la mayo se mueve a azón de 180 pm? A) 70 B) 60 ) 80 ) 50 E) En el esquema mostado se tiene que al hace gia la faja las uedas A y gian longitudes que suman 8. etemina cuántas vueltas daá la ueda mayo. A) 1 B) 1,5 ) ),5 E) 50 Tigonometía 51

11 1.- Los adios de las uedas de una bicicleta son ente sí como es a 5. alcula el númeo de vueltas que da la ueda mayo cuando la ueda meno bae un ángulo de 180 ad. A) 60 B) 6 ) 6 ) 66 E) 68.- os uedas de adio R y (R > ) ecoe la misma distancia, dando difeente númeo de vueltas. alcula el adio de una tecea ueda tal que al ecoe el doble de la distancia anteio, de un númeo de vueltas igual a la suma de las vueltas que dieon las otas uedas. R A) R B) R ) R R E) R R ) R R.- alcula el númeo de vueltas que da la ueda de adio al ecoe el cicuito desde A hasta B. A) /R B) /R ) R/ ) R/ E) R/.- El áea de un secto cicula es 8 m, su peímeto es 8 m. alcula la medida de su ángulo cental en adianes. A) / B) 1 ) / ) E) 8/ 5.- El áea de un secto cicula de 18 m de adio, es equivalente a un cuadado cuyo lado es igual a la longitud del aco del secto. alcula (en m ) el áea del secto. A) 16 B) 5 ) 6 ) 9 E) etemine el áea del secto AOB en la figua mostada: A) u B) u ) 6 u ) 8 u E) 10 u 7.- En la figua O y O 1 son centos. Evalua (en cm ) el áea del secto cicula AOB, si R 1 cm. A) 1 B) ) 6 ) 8 E) alcula (en ad) la medida de en la figua, si las áeas de los sectoes son iguales: A) / B) / ) / ) /5 E) /9 9.- alcula la elación ente el áea de la egión sombeada y la no sombeada. A) 5 / B) 5 / ) 5 / ) ( 5 + 1)/ E) ( 5 1)/ 01 B 09 A 17 5 E 0 A B A 7 0 A 1 E A 1 B 1 E E B E 5 Tigonometía