Unidad didáctica 4. Trigonometría plana

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1 Interpretión Gráfi Unidd didáti 4. Trigonometrí pln 4.1 Medids de ros y ángulos omo en un mism irunfereni ros igules orresponden ángulos igules, se quiere enontrr un medid de ros que sirv pr ángulos y ros l vez. En ls luldors ientífis se enuentrn dos sistems de medids indidos por Deg y Rd. demás se enuentr un tel on los símolos º ; tenemos sí tres tipos de medid que vmos estudir Sistem deiml Deg L irunfereni se divide en 360 prtes igules y d prte es un unidd de medid llmd grdo. Los sumúltiplos del grdo siguen el sistem deiml, de tl mner que se tienen déims, entésims de grdo Sistem sexgesiml º Tmién en este sistem l unidd de medid, llmd grdo, se otiene dividiendo l irunfereni en 360 prtes igules. Sin emrgo, los sumúltiplos siguen el sistem sexgesiml, es deir, un grdo se sudivide en 60 minutos y un minuto se divide en 60 segundos. En l luldor l tel º on los signos de grdos, minutos y segundos, respetivmente, sirve pr psr del sistem deiml, en el que se trj hitulmente, l sistem sexgesiml Sistem nturl Rd Se llm rdián l mplitud de un ángulo entrl uyos ldos intereptn en l irunfereni un ro uy longitud es igul l rdio de l irunfereni mism. En este sistem: Un ángulo ompleto mide π rd ó 360º Un ángulo llno mide π rd ó 180º Un ángulo reto mide π/ rd ó 90º Reliones entre grdos y rdines omo un ángulo llno mide 180º o π rd, por medio de un regl de tres se puede lulr l relión entre ls dos medids: es deir: 180º rd xº y rd xº y rd180º y rd ; xº según esto, 1 rd equivle 57, º o 57º 17 44, º rd 4. Rzones trigonométris de un ángulo gudo L figur djunt represent un triángulo retángulo. Los elementos que vmos onsiderr en el son: El ángulo: L hipotenus:, El teto opuesto l ángulo :, El teto ontiguo l ángulo :, Trigonometrí pln 4-1

2 Representión gráfi Hipotenus teto opuesto teto ontiguo on estos elementos se vn definir seis rzones trigonométris pr el ángulo. Uns son direts (seno, oseno, tngente) y otrs inverss (osente, sente, otngente) teto opuesto sen hipotenus teto ontiguo os hipotenus tn teto opuesto teto ontiguo s se hipotenus teto opuesto hipotenus teto ontiguo teto ontiguo ot teto opuesto 4.3 Empleo de l luldor en el álulo de rzones trigonométris En generl, el vlor de ls rzones trigonométris se puede otener on ls luldors ientífis. Se presentn dos prolems: Ddo el ángulo, lulr el vlor de l rzón. Es el prolem direto y pr resolverlo se emplen sen, os, tn. Ddo el vlor de un rzón trigonométri, hllr el ángulo orrespondiente. Este prolem inverso se llm úsqued de los ros y se suele indir por rsen, ros, rtn. En ls luldors preen símolos: sen -1, os -1, tn -1 que generlmente tún on SHIFT. undo el ángulo está ddo en rdines hy que poner previmente l luldor en rdines, lo mismo ourre si el ángulo está expresdo en grdos. 4.4 Resoluión de triángulos retángulos Ls rzones trigonométris relionn ls medids de los ángulos on los ldos del triángulo retángulo de tl mner que, l onoer dos elementos del mismo (entre los que dee her un ldo por lo menos), se pueden hllr los demás. ontinuión estudimos el teorem de Pitágors, los utro sos que se pueden presentr y dos sos prtiulres más Teorem de Pitágors En un triángulo retángulo se umple que l hipotenus es igul l ríz udrd de l sum del udrdo de los tetos, de este modo tenemos ls siguientes reliones: h 1 1 h Trigonometrí pln 4-

3 4.4. onoidos l hipotenus y un teto = 5 m y = 13 m Interpretión Gráfi plindo el teorem de Pitágors se determin el otro teto : = = 144; = 1 m Se emple l luldor pr hllr uno de los ángulos: sen = (5/13); = sen -1 (5/13) =,619º El otro ángulo se lul l onoer l sum de los ángulos de un triángulo 180º: = ,619 = 67,381º onoidos dos tetos = 10 m y = 1 m plindo el teorem de Pitágors se determin el l hipotenus : = = 44; = 15,6 m Se emple l luldor pr hllr uno de los ángulos: tn = (1/10); = tn -1 (1/10) = 50,194º El otro ángulo se lul l onoer l sum de los ángulos de un triángulo 180º: = ,194 = 39,806º onoidos l hipotenus y un ángulo gudo = 18 m y = 5º El otro ángulo se lul l onoer l sum de los ángulos de un triángulo 180º: = = 65º Medinte l definiión del seno se lul : sen 5 = /18; = 18 sen 5 = 7,61 Medinte l definiión del oseno se lul : os 5 = /18; = 18 os 5 = 16, onoidos un teto y un ángulo gudo = 0 m y = 30º El otro ángulo se lul l onoer l sum de los ángulos de un triángulo 180º: = = 60º Medinte l definiión de tngente se lul : tn 30 = /0; = 0 tn 30 = 11,54 Medinte l definiión del oseno se lul : os 30 = 0/; = 0 / os 30 = 3, Resoluión de triángulos isóseles Un triángulo isóseles es quel que tiene dos ldos igules. Su resoluión se redue trzr l ltur que lo divide en dos triángulos retángulos igules y el prolem se redue l proeder del prtdo pliión los polígonos regulres Qued reduido l so nterior, trzndo los rdios y l potem del polígono regulr, que lo divide en triángulos retángulos igules. Deemos onoer siempre de qué polígono se trt, pues sí sremos l medid del ángulo entrl. 8 m ' 4 m Trigonometrí pln 4-3

4 Representión gráfi O 360 número de ldos rdio ' 4.5 Teorems del seno y del oseno Hst hor hemos estudidos los triángulos retángulos, prtir de hor estudiremos los triángulos en generl Teorem de los senos El teorem del seno die que existe proporionlidd entre los ldos de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos. sen sen 4.5. Teorem del oseno El teorem del oseno die que en todo triángulo, el udrdo de un ldo es igul l sum de los udrdos de los otros dos menos el dole del produto de estos dos ldos por el oseno del ángulo que formn. sen os os os 4.6 Resoluión de triángulos Se nos presentn utro sos que desrrollremos, unque en l práti, es mejor ser relionr ls inógnits on los dtos que ser resolver los utro sos. Trigonometrí pln 4-4

5 Interpretión Gráfi onoidos un ldo y los dos ángulos dyentes = 4 m; = 55,5º y = 68,7º El otro ángulo se lul l onoer l sum de los ángulos de un triángulo 180º: = ,5-68,7 = 56,05º plindo el teorem de los senos lulmos sen 4 sen55,5 3,77m sen sen sen sen56,05 plindo, de nuevo, el teorem de los senos lulmos sen 4 sen68,7 6,96m sen sen sen sen56,05 Pr lulr el áre tenemos en uent sen = h/ y plimos l fórmul del áre h sen 43,77 sen56,05 Áre Áre Áre 65,78m 4.6. onoidos dos ldos y un ángulo opuesto uno de ellos = 67, m; = 74 m; = 56,º. plindo el teorem de los senos lulmos sen sen sen 74 sen56, 1 sen sen 0,915 sen 0,915 66,1º 67, El otro ángulo se lul l onoer l sum de los ángulos de un triángulo 180º: = ,-66,1 = 57,59º plindo, de nuevo, el teorem de los senos lulmos sen sen sen 67, sen57,59 68,7m sen sen56, onoidos dos ldos y el ángulo omprendido entre ellos = 1 m; = 14 m; = 56º. plindo el teorem del oseno lulmos os os56 15,11 1,33 plindo el teorem de los senos lulmos sen 1 sen56 1 sen sen 0,807 sen 0,807 53,80º sen sen 1,33 plindo el teorem de los senos lulmos sen sen sen 14 sen53,8 1 sen sen 0,941 sen 0,941 70,30º onoidos los tres ldos = 1 m; = 14 m; = 16 m. plindo el teorem del oseno lulmos Trigonometrí pln 4-5

6 Representión gráfi os os os 0, os 0,5 75,5º plindo el teorem de los senos lulmos sen 1 sen75,5 1 sen sen 0,76 sen 0,76 46,56º sen sen 16 plindo el teorem de los senos lulmos sen sen sen 14 sen46,56 1 sen sen 0,847 sen 0,847 57,90º Ejeriios 1. Esrie en rdines ls medids de los siguientes ángulos: 45º, 10º, 315º, 40º.. Expres en grdos sexgesimles los siguientes ángulos: 3 rd,,5 rd, 0,5 rd, 1 rd. 3. Expres en grdos deimles y en rdines d uno de los ángulos entrles de los siguientes polígonos regulres: triángulo, udrdo, hexágono, otógono. 4. lul el ldo del triángulo equilátero uy ltur vle 1 m. 5. Hllr ls rzones trigonométris de los ángulos y de un triángulo retángulo, uyo ángulo reto es, en los sos siguientes:. = 3 m, = 4 m. = 5 m, = 7 m. = 15 m, = 13 m 6. Resuelve los triángulos retángulos on ángulo reto en y uyos dtos son:. = 5 m, = 4 m.. = 0 m, = 16 m.. = 3,15 m, = 30º d. = 4,5 m, = 60º 7. Un poste de 6 m de ltur proyet un somr de 8 m. Si se unen el extremo superior del poste y el extremo de l somr, lul los elementos del triángulo formdo. 8. uánto miden el rdio y l potem de un pentágono regulr de 0 m de ldo? uánto vle su áre? 9. Resuelve los siguientes triángulos en los que se onoen estos dtos:. = 5, = 36,5º, = 58,75º. = 90, = 10, = 61,3º. = 114, = 105, = 54,3º d. = 1, = 0, = lul los ángulos de un romo uys digonles miden 13 y 9 m. 11. lul l ltur de un torre situd en un terreno horizontl, siendo que on un prto de 1,0 m de ltur olodo 0 m de ell, se h medido el ángulo que form on l horizontl l visul dirigid l punto más elevdo, y se h otenido que mide 48,5º. Trigonometrí pln 4-6

7 Interpretión Gráfi 1. Hll l ltur de un poste, siendo que desde ierto punto del suelo se ve jo un ángulo de 14º, y si nos ermos 0 m l pie del poste los vemos jo un ángulo de 18º Relión de ejeriios de álulo de trigonometrí 1. Esrie en rdines ls medids de los siguientes ángulos: 30º, 180º, 5º, 330º.. Expres en grdos sexgesimles los siguientes ángulos: rd, 1,5 rd, 0,5 rd, 6 rd. 3. Expres en grdos deimles y en rdines d uno de los ángulos entrles de los siguientes polígonos regulres: pentágono, heptágono, deágono. 4. lul el ldo del triángulo equilátero uy ltur vle 0 m. 5. Hllr ls rzones trigonométris de los ángulos y de un triángulo retángulo, uyo ángulo reto es, en los sos siguientes:. = 8 m, = 15 m. = 30 m, = 4 m. = 13 m, = 5 m 6. Resuelve los triángulos retángulos on ángulo reto en y uyos dtos son:. = 7,5 m, = 3,41 m.. = 33,4 m, = 0,8 m.. = 5 m, = 45º d. = 0 m, = 60º 7. Un esler de 5 m de longitud tiene su extremo superior poydo sore un tpi de,5 m de ltur. Qué ángulos form l esler on l tpi y el suelo? 8. Un poste de 15 m de ltur sostiene vertilmente tdo su extremo un le de 5 m que se fij l suelo. Qué ángulos formn los les on el poste? 9. Resuelve los siguientes triángulos en los que se onoen estos dtos:. = 1, = 3º, = 14º. = 45, = 50, = 40,53º. = 0,94, = 15,57º = 13,48º d. = 3, = 4, = Hll los ángulos de un trpeio isóseles uys ses miden 83 y 51 m y uy ltur mide 61 m. 11. Desde ierto lugr del suelo se ve el punto más lto de un torre, formndo l visul un ángulo de 30º on l horizontl. Si nos ermos 75 m hi el pie de l torre, ese ángulo se he de 60º, lul l ltur de l torre. Trigonometrí pln 4-7

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