III.4 UNIDAD 4: TRIGONOMETRÍA

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1 III.4 UNIDAD 4: TRIGONOMETRÍA L Tigonometí es un pte de l mtemáti que estudi ls eliones ente los ldos ángulos de un tiángulo etángulo. Ests son de muh utilidd p esolve polems en divess ms de est ieni o de ots, omo l físi, l quími, l stonomí, et. L tigonometí (etimológimente mediión de ángulos ) fue inventd po los stónomos giegos p lul los elementos de un tiángulo (sus ángulos ldos). III.4.1 Sistems de Mediión de Ángulos P l mediión de ángulos se tienen en uent divesos sistems. Pimemente, es neesio eliz un evisión del onepto de ángulo. O Definiión 1 Ángulo es un pte del plno limitd po dos semiets (ldos del ángulo), que tienen un oigen en omún, denomindo vétie (O). L O L 1 Definiión Dds dos semiets L 1 L, on oigen omún, ángulo es l poión del plno gened po el ido (gio) de L 1 hst oinidi on L. Así pueden dse dos posiiliddes: undo se gi en sentido ontio l de ls gujs del eloj (ntihoio) se onside ángulo positivo undo se gi fvo de ls gujs del eloj (hoio) se onside ángulo negtivo. En ptiul, Si el oigen de ls semiets oinide on el ento de un íulo (de dio ), ls semiets deteminn un ángulo entl del íulo. O L medid, o mediión de un ángulo onsiste en soi todo ángulo del plno un númeo que teiz su etu (l pte del plno ompendid en el inteio del ángulo). P medi un ángulo se pueden utiliz uniddes de distintos sistems de mediión. 88

2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM III El Sistem Segesiml Este sistem tiene omo unidd de medid l Gdo Segesiml. Símolo: ( ). Cuántos gdos segesimles mide: ) un ángulo llno? ) un ángulo eto? ) un ángulo de gio? Definiión Un gdo segesiml es l medid del ángulo on vétie en el ento de un íulo (ángulo entl), de mplitud igul l 360 vs pte del mismo. Si se divide un gdo en 60 ptes se otiene un minuto ( ) si se divide un minuto en 60 ptes se otiene un segundo ( ). Más llá, se utilizn divisiones deimles del segundo (0,1 ; 0,01 ; et.). III.4.1. El Sistem Ciul En este sistem l unidd de medid es el dián se indi d. Si se onside un iunfeeni de dio ento O, se gene un ángulo entl po l otión de l semiet OX, se otiene soe l iunfeeni un o AB de longitud L. Al efetu l zón ente l longitud (L) del o detemindo el dio de longitud, se otiene un vlo dimensionl L/ que es l medid del ángulo en dines. Definiión Un dián es l medid del ángulo on vétie en el ento de un íulo de dio, uos ldos deteminn soe l iunfeeni un o AB de longitud igul l dio. longitud del o longitud del dio = d III Equivleni ente el Sistem Segesiml el Ciul Se puede estlee un equivleni ente estos sistems, onsidendo el oiente (en dines) ente l longitud de un semiiunfeeni de peímeto: π dio el dio. Este seto iul oesponde un ángulo llno que mide 180 º (segesimles), po lo que se otiene l elión: π dines = 180 º En genel, si es un ángulo en el sistem segesiml es un ángulo en dines, se tienen ls siguientes epesiones: Un mill mítim se define omo l longitud del o º o 180 = sutendido en l supefiie de l Tie po un ángulo que mide π 1 minuto. El diámeto de l Tie es poimdmente 7.97 mills (teestes). Detemin l ntidd de mills (teestes) π o que h en un mill mítim. = º

3 Intent lo siguiente 1. Clul en dines los siguientes ángulos ptiules: 0, 45, 90, Cuántos gdos mide un ángulo de 1 dián? 3. Cuántos dines mide un ángulo de 1 gdo? 4. Si se tom π omo 3,14 qué vlo en dines se otiene? III Sistem Ctesino Otogonl Anteiomente, se h epesentdo l onjunto de los númeos eles en un et. Si se onsiden dos ets (de númeos eles) que se intesen pependiulmente en un punto O, ests onstituen los ejes del sistem tesino otogonl, el ul sive omo efeeni p estlee ls oodends de puntos del plno. Los ejes oodendos (genelmente denomindos eje o eje de siss eje o eje de odends) dividen l plno en uto setoes llmdos udntes. Cd punto del plno qued soido un p odendo (; ) de númeos eles, deteminndo: el pime udnte: R + R +. el segundo udnte: R R + el tee udnte: R R el uto udnte: R + R udnte 1 udnte 0 3 udnte 4 udnte Entones, omo un ángulo es invinte espeto de su posiión en el plno on el únio motivo de filit definiiones, popieddes álulos, es onveniente efeilo un sistem de oodends tesins otogonles. Un ángulo se enuent en posiión noml si su vétie se ui en el oigen de oodends O su ldo iniil oinide on el semieje positivo de ls siss. + 0 De est fom l pime udnte le oesponden ángulos desde 0º hst 90º (tomdos en sentido ntihoio), el segundo udnte desde 90º hst 180º, el tee udnte desde 180º hst 70º el uto udnte desde 70º hst 360º. Al segui gindo en ese sentido se otienen ángulos moes 360º; po ejemplo un ángulo de 115º seán 3 gios 1/8 está en el pime udnte, un ángulo de 10º tendá sentido hoio está en el tee udnte. Son Veddes o Flss ests poposiiones? 1. un ángulo de 300º está en el uto udnte. un ángulo de 10º está en el pime udnte 3. un ángulo de 1500º está en el uto udnte 90

4 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM III.4. Reliones Tigonométis de un Ángulo C β ) Se un tiángulo etángulo ABC (on el ángulo eto en A). Ls medids de sus ldos son,. Sus ángulos inteioes son, β el ángulo eto γ. El ldo se denomin teto opuesto l ángulo. El ldo se denomin teto dente l ángulo. γ El ldo se denomin hipotenus del tiángulo. A B Se pueden enont ls zones ente los tetos l hipotenus espeto un detemindo ángulo, (po ejemplo ). Los vloes que se otienen son númeos eles que dependeán del vlo del ángulo. Ests zones se onoen omo eliones tigonométis son seis: el seno del ángulo : es el oiente ente el teto opuesto l hipotenus. sen = el oseno del ángulo : es el oiente ente el teto dente l hipotenus. os = l tngente del ángulo : es el oiente ente el teto opuesto el teto dente. tg = l otngente del ángulo : es el oiente ente el teto dente el teto opuesto. tg = l sente del ángulo : es el oiente ente l hipotenus el teto dente. l osente del ángulo : es el oiente ente l hipotenus el teto opuesto. se = ose = Ls tes pimes se denominn eliones tigonométis diets. Ls tes últims son ls eliones tigonométis eípos de ls nteioes. O se, en símolos se puede esii: os e = ; se = ; tg = sen os tg Vloes de seno oseno p lgunos ángulos más utilizdos, del pime udnte. 0º 30º 45º 60º 90º seno 0 1/ / 3 / 1 oseno 1 3 / / 1/ 0 91

5 C 3 Si se tienen tes tiángulos etángulos semejntes (omo en l figu), etángulos en A B = 30º, on BA 1 = 3 m, BA = 5 m BA 3 = 8 m espetivmente. Qué se puede dei de los oientes CA/BC en los tes sos? C 1 C B A 1 A A 3 Los oientes CA/BC oesponden teto opuesto l ángulo B dividido l hipotenus de diho ángulo, on lo que se estí lulndo el seno del ángulo B. Como se ve, los oientes son igules, o se: C 30º 1 A1 C A C3A sen B = sen = = = 3 = 0,5. BC1 BC BC3 De igul fom, se otienen zones igules, si se luln ls demás zones tigonométis menionds nteiomente. Si se tienen dos tiángulos etángulos C (omo en l figu), etángulos en A, on B 1 = 30º B = 45. Qué se puede dei de los oientes CA/CB en los dos sos? C 1 En el pime so, se h luldo sen 30 = 1/, en el segundo so sen 45 =. B A Conlusiones Los vloes de ls zones tigonométis dependen del vlo del ángulo onsidedo. P un mismo ángulo, ls zones tigonométis se mntienen, independientemente de l longitud de los ldos del tiángulo. ) Se un ángulo de posiión noml P(, ) un punto soe el ldo teminl del ángulo. Se fom un tiángulo etángulo que tiene: omo teto opuesto, omo teto dente, omo hipotenus. P Po el teoem de Pitágos: Po lo tnto: sen =, = + os = 9

6 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM tiene: Si se efetú el oiente de ests dos epesiones, qued: sen = = os El segundo miemo oesponde l definiión de tngente del ángulo, po lo que se tg = sen os Intent lo siguiente 1) Complet l tl nteio on l tngente de los ángulos ddos, utilizndo p ello l últim elión otenid. ) Utiliz l luldo ientífi p lul seno, oseno tngente de los siguientes ángulos: 0º ; 3º ; 45º ; 16º 35 ; 60º ; 60º 54 ; 300º. 3) Utiliz l luldo ientífi p lul seno, oseno tngente de los siguientes ángulos: d; 5,5 d; 1, d; π d; 3/ π d; 5/6 π d. 4) Otene (on luldo) ls eliones tigonométis eípos, p los ángulos del ítem. III.4..1 Signo de ls Reliones Tigonométis En los álulos elizdos en el ítem del ejeiio nteio, lgunos de los vloes otenidos tienen signo positivo otos son negtivos. Esto se dee l posiión del punto P en el plno: según en qué udnte se uique el punto P sus oodends ián tomndo signo positivo o negtivo según oespond; po lo tnto, plindo ls definiiones de ls difeentes eliones tigonométis, su signo dependeá del signo del oiente efetudo éste, su vez, de los signos de de (on R + ). Intent lo siguiente Complet l tl on los signos que oespondn: 1 e udnte do udnte 3 e udnte 4 to udnte sen os tg otg se ose

7 III.4.. Relión Fundmentl de l Tigonometí Se un ángulo ulquie en posiión noml se P(, ) un punto soe el ldo teminl del ángulo. Po definiión: sen =, os = [1] Relión fundmentl Po el Teoem de Pitágos + = Dividiendo po : + = Reemplzndo po [1]: (sen ) + (os ) = 1 sen + os = 1 III.4..3 Reliones Tigonométis Invess Si se onoe el vlo de l elión tigonométi es posile onoe el vlo del ángulo oespondiente?. O se, si se se que sen = 0,5 entones se puede se uánto vle? L espuest es fimtiv: se utilizn ls eliones invess. Cd elión tigonométi tiene su inves. En el ejemplo: = sen 0,5. Si se he l pegunt uál es el ángulo uo seno es 0,5?. L espuest es 30. Entones: sen 0,5 = 30. En genel: Si sen = = sen Si os = = os Si tg = = tg En l luldo o en lgunos tetos se utiliz el símolo: = sen 1. Ejemplo: Si sen = / = sen / = π/4. Intent lo siguiente Hll: 1) os ( 0,8) ) tg 3) sen 4 III.4..4 Coodends Poles (Apliión de ls eliones tigonométis) Si se onoe un punto P(; ) en oodends tesins es posile detemin su posiión medinte ots oodends, denominds oodends poles. P ello se dee onoe l distni desde el oigen l punto P() el ángulo θ (en posiión noml). Ls oodends poles son: (dio veto) θ (gumento), se esie P (; θ). P θ 0 94

8 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM Cálulo de θ: tg θ = θ = tg Cálulo de : = + Tmién, onoiendo el punto P(, θ) se pueden otene ls oodends tesins, hiendo: Cálulo de e : sen θ = = sen θ os θ = = os θ Intent lo siguiente ) Hll ls oodends poles de los puntos P(3, 4) Q(5; 0) ) Hll ls oodends tesins de los puntos T(3; (7/6)π) S(; 90 ). III.4..5 Cíulo tigonométio Si se onside un íulo de dio R = 1, on ento en el oigen O del sistem de oodends tesins un ángulo entl ompendido ente ls semiets OX OX ; se P un punto del plno de oodends (, ) que es l inteseión de O on l iunfeeni, demás R = OP = 1, qued detemindo un tiángulo etángulo (omo el de l figu del ítem III.4..) soe el que se pueden pli ls eliones tigonométis. Entones: sen = ose = 1/ P os = se = 1/ tg = / otg = / O Intent lo siguiente En el íulo tigonométio de l figu se h mdo un ángulo, demuest que: ) sen = PM ) os = OM ) tg = P M = 1 P P` M M` III.4..6 Funiones tigonométis (iules) Se puede osev que p d ángulo se otiene un vlo oespondiente del seno, del oseno o de l tngente. Es dei, que se puede estlee un funión ente los vloes de un ángulo su oespondiente vlo de l elión tigonométi. Es po eso que se otiene un funión (denomind funión tigonométi) ente un vlo de vile independiente (ángulo en gdos o en dines) un vlo dependiente (un númeo el) que es l imgen de 95

9 tvés de un elión tigonométi. Po ejemplo, = sen ó = os son funiones tigonométis. Tmién lo son ls demás eliones estudids. Si se llevn los vloes de de soe los ejes tesinos es posile otene un gáfio de l funión tigonométi. III.4..7 Relión ente los vloes de ls Funiones Tigonométis de un Mismo Ángulo Ente ls funiones tigonométis de un mismo ángulo eiste un seie de eliones, lguns de ls ules veemos ontinuión. ) sen + os sen os = 1 ) tg = ) tg = os sen d) se = e) os e = f) tg = os sen tg 1 g) tg + 1 = = se os Intent lo siguiente Aplindo ls eliones nteioes, lul tods ls funiones de, siendo que: ) sen = 0.70; º udnte ) tg = ; 4º udnte III.4..8 Identiddes Tigonométis Son igulddes ente eliones tigonométis que se umplen p ulquie vlo de los ángulos que intevienen en l identidd. Aquells que ontengn sentes, osentes otngentes se pueden deiv fáilmente ddo que ests funiones son ls eípos del oseno, seno tngente, espetivmente. Ejemplo: Demost l siguiente identidd: tg sen = sen. tg sen os sen = sen sen os Esiiendo en téminos de sen os : sen sen os os = sen sen os Enontndo denomindo omún estndo: sen ( 1 os ) os = sen sen os sen sen = sen sen os os 1 = 1 Con lo que qued demostdo. 96

10 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM Intent lo siguiente Demost l siguiente identidd: tg os = os tg. III.4.3 Resoluión de tiángulos III Resoluión de Tiángulos Retángulos Los tiángulos etángulos tienen muhs pliiones, en pte poque son muhs ls situiones en el mundo el que los ompenden. Antes de esolve lgunos polems, deemos eod que: ) Los ángulos inteioes los ldos de un tiángulo eien el nome de elementos fundmentles del mismo, ) Un tiángulo qued detemindo en sus dimensiones si sólo si se onoen tes de sus elementos fundmentles, siendo po lo menos, uno de ellos un ldo. Si el tiángulo es etángulo, omo onoemos uno de sus elementos fundmentles (el ángulo eto), stán dos elementos fundmentles más, que pueden se: 1. l hipotenus un ángulo gudo,. un teto un ángulo gudo, 3. los dos tetos, 4. l hipotenus un teto. Son éstos, los uto sos que se estudin en l esoluión de tiángulos etángulos. Reodemos tmién: ) que los ángulos gudos de un tiángulo etángulo son omplementios ( + β = 90º), ) el Teoem de Pitágos ( + = ), ) que el áe de un tiángulo etángulo es S = ( ) / B β A C Po ot pte, deemos tene pesente que p lul un inógnit de un polem, mients se posile, deemos lull utilizndo los dtos del polem. Al poede sí, evitemos que un eo en el álulo de un inógnit, utilizd p lul ot, se tsmit est ot. Ejemplo: Clul l longitud del siguiente tiángulo. Soluión. El ldo onoido es l hipotenus. El teto que usmos es el dente l ángulo onoido. Po lo tnto, utilizemos el oseno, os A = os 19º = dente = esolvemos p : hipotenus 70m 70m = 70. 0, ,19 m. A 19º C 70 m B 97

11 Cundo esolvemos un tiángulo, enontmos ls medids de sus ldos sus ángulos hst entones desonoids. En osiones evimos esto diiendo que enontmos los ángulos o enontmos los ldos. Intent lo siguiente Resolve los siguientes tiángulos etángulos. Hll el áe. ) = 34,63 m. β = 60º 45 0 ) = 110,43 m. β = 3º 5 17 ) = 30 m. = 40 m. d) = 150 m. = 10 m. B β γ A C III.4.3. Resoluión de Tiángulos Oliuángulos Se estudin uto sos, onoidos omo lásios, uos dtos son: ) dos ldos el ángulo ompendido, ) un ldo dos ángulos, ) tes ldos, d) dos ldos el ángulo opuesto uno de ellos. P l esoluión de tiángulos oliuángulos, tenemos que tene pesente: 1. el teoem del seno. el teoem del oseno Teoem del seno En todo tiángulo, ls medids de los ldos son popoionles los senos de los ldos opuestos. B sen A = = o sen B senc sen = = senβ sen γ γ β Teoem del oseno A C En todo tiángulo, el uddo de l medid de d ldo es igul l sum de los uddos de ls medids de los otos dos, menos el dole poduto ente ls misms el oseno del ángulo ompendido. = + os = + os β γ β = + os γ C B 98 A

12 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM Ejemplo: Resolve el tiángulo oliuángulo lul su áe onoiendo ls medids de un ldo ( = 30 m.) de los dos ángulos dentes l mismo (β = 68º10 γ = 15º 0 ) Soluión. Cálulo de A: A = 180º (B + C) A = 180º (68º º 0 ) A = 180º 83º 30 A = 96º 30 A 68º 10 15º 0 B = 30 C Cálulo de : sen A = = sen B sen B sen A = 30 sen 68º10' sen 96º 30' = 30 0,987 0,99357 = 8,03 m. Cálulo de : sen A = = senc senc sen A = 30 sen 15º 0' sen 96º 30' = 30 0,6443 0,99357 = 7,98 m. Cálulo del áe: S = 1 sen C S = ,03. 0,6443 = 111,17 m Intent lo siguiente Resolve los siguientes tiángulos oliuángulos, siendo que: ) A = 13 m.; C = 148 m. β = 51º 6 1 ) C = 156,35 m.; = 36º 5 1 β = 69º 3 13 ) A = 176 m.; B = 41 m. C = 13 m. d) A = 300 m.; B = 00 m. β = 30º III Apliiones de l Resoluión de Tiángulos A menudo, p esolve un polem omenzmos po detemin un tiángulo que después esolvemos p enont un soluión. Dieties p esolve un polem de tiángulos 1. Diuj un oquis de l situión del polem.. Bus tiángulos epesentlos en el diujo. 3. Señl ldos ángulos, tnto onoidos omo desonoidos. 4. Epes el ldo o el ángulo usdo en téminos de zones tigonométis onoids. Después, esolve. 99

13 Ejemplo 1: Clul l ltu h de un pino tl que si nos olomos un distni de 100 m. del pie del pino (A), l medid del ángulo fomdo ente l visul diigid l op del pino el suelo es de 38º. h Soluión. tg 38º = 100 h = 100 tg 38º h = 100 0,7819 h = 78,19 m. 38º C 100 A B h Ejemplo : Clul l ltu h de un toe uo pie (H) es inesile, siendo que si dos osevdoes se uin en ls posiiones A B, un distni ente sí de 100 m., ven l toe jo un ángulo de 37º 45 5º 10, espetivmente. (A, B H están linedos) Soluión. En el tiángulo ATH: sen A = h AT h = AT sen A [1] En el tiángulo BTA, po el teoem del seno, 5º 10 37º 45 B 100 m. A H T AT AB AB sen B = AT = sen B sen T sent [] De [1] [] esult h = AB sen A sen B sent Además, po popiedd de los ángulos eteioes de un tiángulo, es: 37º 45 = 5º 10 + T T = 1º 35 h = 100 sen 37º 45' sen 5º10' sen 1º 35' = 100 0,61 0,455 0,1786 h = 119,50 m. 100