UNIDADES DIDACTICAS DE BACHILLERATO A DISTANCIA

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1 UNIDADES DIDACTICAS DE BACHILLERATO A DISTANCIA DIBUJO TÉCNICO I 1º de Bachillerato REALIZADO POR: Ana M. Lamilla Puente I.E.S. ALTAIR Getafe BASADO EN EL LIBRO: DIBUJO TÉCNICO I-EDITORIAL SM J.ÀLVAREZ /J.L.CASADO / Mª. D. GÓMEZ 1

2 UNIDAD 1: INTODUCCIÓN AL DIBUJO TÉCNICO PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD El Dibujo Técnico requiere el uso de unos materiales e instrumentos para poder ejecutarlo luego debemos conocerlos así como sus características y manejo. De su correcta utilización del compás, la escuadra y el cartabón, la regla y los diferentes lápices y estilógrafos, depende la calidad, limpieza y perfección del acabado evaluable en esta asignatura. CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD Indicarte el mínimo material necesario de dibujo: Lápiz, en principio se necesitan dos: uno de dureza HB(semiblando) para repasar las soluciones y para la croquización y otro de dureza 2H o 3H(semiduro) para el trazado con instrumental. El uso de portaminas de diferentes grosores es práctico pero acuérdate de usar las diferentes durezas. Compás, mejor que tenga el husillo que sirve para abrir o cerrar los brazos y nos da mayor precisión en el trazado y el manejo es más fácil. Regla milimetrada, el tamaño más conveniente es de unos 30 o 50 cm. Escuadra y cartabón, mejor no milimetradas y sin escalón, marca recomendada Faber-Castell de unos 21 cm. Papel para dibujo lineal satinado, tamaño DIN-A4 Transportador de ángulos y plantilla de curvas es un material opcional Otros como sacapuntas, mejor metálico y goma blanca para mina blanda y dura para mina dura CRITERIO DE EVALUACIÓN Distingue las propiedades y características de los materiales descritos. Utiliza de forma correcta; especialmente los lápices el compás, la escuadra y el cartabón. Demuestra, mediante ejercicios prácticos, agilidad y destreza en su manejo. 2

3 ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 1. En una construcción grafica cualquiera qué tipo de mina utilizarías, de la serie H o de la serie B? Explica la respuesta. 2. Los formatos de papel A3 y A4, son los más utilizados en este curso, especialmente el último. Cuáles son sus medidas? 3. Clasifica los tipos de soportes que se utilizan en dibujo técnico 3

4 SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 1. En una construcción grafica cualquiera qué tipo de mina utilizarías, de la serie H o de la serie B? Explica la respuesta. Las minas de la serie H son duras, y las de la serie B blandas. El trazado general debe hacerse siempre con mina dura, incluyendo líneas y construcciones auxiliares; sólo el resultado debe repasarse con mina blanda. Las minas duras generan un trazado más fino, proporcionando a los dibujos mayor precisión y limpieza, además dejan menos restos de grafito sobre el papel, por lo que hay menos riesgo de que el dibujo se ensucie. 2. Los formatos de papel A3 y A4, son los más utilizados en este curso, especialmente el último. Cuáles son sus medidas? Las medidas del formato A4 son 210 por 297 mm. Las del formato A3 son 297 por 420 mm. 3. Clasifica los tipos de soportes que se utilizan en dibujo técnico. Opacos: alisados, texturados, satinados, brillantes Semi-opacos: vegetal, poliéster Transparentes: acetato Pautados: milimetrado, isométrico 4

5 UNIDAD 2: TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD En esta unidad se estudian trazados geométricos fundamentales en el plano necesario como base para iniciar el estudio de esta asignatura y poder conocer sus fundamentos teóricos para luego poder aplicarlos en trabajos más complejos. Importancia en la identificación de los diferentes lugares geométricos. De la realización de trazados geométricos de paralelismo y perpendicularidad entre rectas, así como de resolver operaciones con segmentos, ángulos de la circunferencia y potencia. CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD APARTADO 1- PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO Concepto de lugar geométrico: es el conjunto de puntos que gozan de una propiedad común. Mediatriz de un segmento: es el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los extremos definidores del segmento son iguales o se define también, como la recta perpendicular que divide al segmento en otros dos iguales. Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando ángulos rectos (90º) y son paralelas cuando no se cortan en un punto propio, es decir, el punto de intersección se encuentra en el infinito. QUE TENEMOS QUE APRENDER A) Rectas perpendiculares y paralelas con ayuda de escuela y cartabón. B) Rectas perpendiculares y paralelas con ayuda del compás. - Perpendicular a una recta por un punto M perteneciente a ella. - Perpendicular una recta por un punto P exterior a ella. - Perpendicular a una semirrecta por su extremo. - Paralela a una recta r a una instancia dada d. - Paralela a una recta r por un punto dado P exterior. 5

6 AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO Observa que todos los ejercicios están basados en el concepto de mediatriz, así si queremos hacer una perpendicular por un punto P que pertenece a la recta r o es exterior a ella, pinchamos en el punto y con un radio auxiliar cortamos a r, en dos puntos AB. La solución es la mediatriz de AB. La perpendicular a una semirrecta por su extremo es igual si prolongamos r. APARTADO 2 - ÁNGULOS Bisectriz de un ángulo: es el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los lados del ángulo son iguales o también, recta que divide a un ángulo en otros dos iguales. QUE TENEMOS QUE APRENDER - Tipos de ángulos - Construcción de algunos iguales - Suma diferencia de ángulos. - Bisectriz con el vértice fuera del papel. - Trisección de un ángulo recto. - Construcción de algunos usuales con el compás AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO Bisectriz con el vértice fuera del papel tiene otro método (ver unidad de tangencia) APARTADO 3 - SEGMENTOS - Media geométrica o proporcional de dos segmentos dados es un segmento que es igual a la raíz cuadrada del producto. X= a x b, o también X x X = a x b Teorema de la Altura: la altura de un triángulo es media proporcional entre dos segmentos en que divide la hipotenusa. Teorema del Cateto: el cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. (Ver actividades de autoevaluación) - Tercera proporcional de dos segmentos dados, es el cuadrado de uno de ellos dividido por el otro. X= a x a/b - Cuarta proporcional de tres segmentos dados, es el producto de dos de ellos dividido por el otro. X= a x b/c 6

7 QUE TENEMOS QUE APRENDER - Suma y diferencia de dos segmentos - Producto de un segmento por un número. - División en partes iguales o proporcionales. - Operaciones: Raíz cuadrada de un segmento. Producto de dos segmentos División de dos segmentos - Media proporcional, tercera proporcional y cuarta proporcional AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO - Observa que la raíz cuadrada de un segmento se halla igual que media proporcional si tomamos como valor de un segmento la unidad o también podríamos descomponerlo en otros dos, por ejemplo la raíz cuadrada de 12 es igual a media proporcional de dos segmentos de 3 y 4 (3 x 4=12), de 2 y 6, de 1 y Observa que producto y división de dos segmentos se halla igual que cuarta proporcional tomando para el tercer segmento el valor de la unidad. - En la resolución de producto de dos segmentos, división de dos segmentos, tercera y /o cuarta proporcional los segmentos sobre las rectas auxiliares se pueden llevar uno a continuación del otro o podemos partir del vértice del ángulo los dos y por lo tanto la solución también de dará a partir de ese punto. APARTADO 4 CIRCINFERENCIA Una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro llamado centro. Se llama radio a dicha distancia. Otras líneas: diámetro, cuerda, secante, tangente y arco. QUE TENEMOS QUE APRENDER - Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados. - División de la circunferencia en n partes iguales. AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO - Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados esta relacionado con el concepto de mediatriz. - División de la circunferencia en n partes iguales. El método general está basado en el Teorema de Tales y es igual para realizar polígonos regulares. 7

8 APARTADO 5 ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA, ARCO CAPAZ Los ángulos respecto a una circunferencia pueden ocupar distintas posiciones: - ángulo central, vértice centro de la circunferencia y sus lados la cortan - ángulo inscrito, vértice en la circunferencia y sus lados la cortan - ángulo semiinscrito, vértice en la circunferencia y sus lados la cortan - ángulo interior, vértice dentro de la circunferencia, un lado y otro la cortan - ángulo exterior, vértice fuera de la circunferencia y sus lados la cortan - ángulo semiexterior vértice fuera de la circunferencia, un lado y otro la cortan - ángulo circunscrito vértice fuera de la circunferencia y sus lados tangentes Relaciones de ángulos: - El ángulo inscrito α y seminscrito β si abarcan el mismo arco que el central correspondiente su valor es la mitad, es decir, α = β/2 - El valor del ángulo interior α es la semisuma de los centrales correspondientes β1 y β2 es decir, α = β1 - β2 /2 - El valor del ángulo que tienen el vértice en el exterior α es la semidiferencia de los centrales correspondientes β1 y β2 es decir, α = β1 + β2 /2. Se cumple la misma formula, por lo tanto, en los caso de ángulo semiexterior y en el ángulo circunscrito. Arco capaz de un segmento bajo un ángulo dado: es el lugar geométrico de los puntos del plano bajo ese ángulo. QUE TENEMOS QUE APRENDER - Calcular valor ángulos de formas geométricas - Calcular arco capaz y entender la aplicación de este concepto AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO En el arco capaz: - Si el ángulo es menor de 90º sale un arco peraltado - Si el ángulo es mayor de 90º sale un arco rebajado - Si el ángulo es igual a 90º entonces media circunferencia Observa que todo arco capaz que abarca al mismo segmento AB tiene el mismo ángulo α y su valor será la mitad del ángulo central correspondiente pues serán ángulos inscritos en la circunferencia si completamos el arco. 8

9 APARTADO 6 POTENCIA, EJE RADICAL Y CENTRO RADICAL - Potencia de un punto P respecto de una circunferencia: es el producto de las distancias PA y PB, siendo A y B los puntos de corte con la circunferencia de una secante que pasa por P. Es una constante, y se cumple en el caso de la tangente. PA x PB = PT x PT, también PA x PB = PT. - Relación de potencia con media proporcional. Observa que si PA = b, PB = a y PT=x, entonces X= a x b Casos de potencia: 1. Si el punto P es exterior la potencia es positiva 2. Si el punto P es interior la potencia es negativa 3. Si el punto P está en la circunferencia la potencia es nula. - Eje radical de dos circunferencias: es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto ambas. Se demuestra que es perpendicular a la unión de centros. - Cuidado! no coincide con la mediatriz de los centros, solo cuando tienen el mismo radio. (Ver actividades de autoevaluación) - Centro radical de tres circunferencias: es el punto del plano que tienen igual potencia, donde se cortan los ejes radicales. QUE TENEMOS QUE APRENDER - La resolución gráfica de los diferentes ejes radicales según casos de circunferencias: secantes, tangentes, exteriores, interiores y concéntricas. - La resolución gráfica del centro radical cuando tengamos tres circunferencias. (Ver actividades de autoevaluación) 9

10 AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO Si me piden hallar una circunferencia ortogonal a tres dadas tiene por centro el centro radical y por radio las longitudes de tangencia que son todas iguales. CRITERIO DE EVALUACIÓN Conoce las características de los trazados geométricos fundamentales. Realiza construcciones gráficas relacionadas con el concepto de arco capaz. Comprende las características de los trazados geométricos sobre potencia. Identifica cómo y cuándo se aplica concepto de lugar geométrico a casos reales. Ejecuta con exactitud los distintos trazados geométricos. ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 1. Dividir un segmento AB, de 5 cm., en 6 partes iguales 2. Construir el arco capaz de un ángulo de 60º respecto al segmento AB=40mm y otro para un ángulo de135º. 3. Bisectriz de un ángulo con el vértice fuera del papel 4. División de la circunferencia en n partes iguales. 5. Media proporcional de dos segmentos dados. Comprueba que la solución es la misma por los dos métodos. 6. Hallar el centro radical de tres circunferencias dadas. 10

11 ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 1. Trazar la perpendicular a una recta desde un punto exterior a ella, utilizando el compás. 2. Trazar la perpendicular a una semirrecta por su extremo, utilizando el compás. 3. Construye con regla y compás ángulos de 60º, 75º, 15º, 120º, 135º, 45º, 22 5º. 4. Dividir un ángulo de 180º en doce partes iguales 5. Hallar la raíz cuadrada de un segmento AB = 45mm 6. Deducir el valor de un ángulo interior de un decágono estrellado. Razonar adecuadamente la respuesta. 7. Dadas dos circunferencias de centros 0 y 0 y con radios de 40mm y 25mm respectivamente, hallar los puntos del eje radical, desde los cuales se ve el segmento 00 desde un ángulo de 90º. 8. Hallar el centro radical de tres circunferencias exteriores y de diferentes radios. Utiliza los dos métodos que conoces. 11

12 SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 1. Dividir un segmento AB, de 5 cm., en 6 partes iguales 1º Por un extremo que queramos, A, trazamos una línea auxiliar formando el ángulo que deseemos 30º. 2º Llevamos el número de divisiones, n = 6. 3º Unimos la última división con el otro extremo B. 4º Las paralelas a la recta 6B nos dan las divisiones en nuestro segmento 2. Construir el arco capaz de un ángulo de 60º respecto al segmento AB=40mm y otro para un ángulo de135º. 1º Sobre el segmento AC, se dibuja el ángulo que nos piden, 60º o 135º. 2º Mediatriz de AB 3º Perpendicular a la prolongación del ángulo que hemos llevado sobre el extremo A 4º Se cortan en O que es el centro del arco solución 12

13 3. Bisectriz de un ángulo con el vértice fuera del papel 1º Se dibuja una secante auxiliar a ambas rectas 2º Se dibujan las bisectrices de los ángulos que se forman y se cortan a su vez en dos puntos 3º La bisectriz es la recta que pasa por esos puntos 4. División de la circunferencia en n partes iguales. 1º Se divide el diámetro en tantas partes como n. 2º Con radio el diámetro y pinchando en los extremos AL, se trazan dos arcos que se cortan en el punto M. 3º Unimos M con la segunda división del diámetro, punto 2, y corta a la circunferencia en B. 4º Se transporta la distancia AB a través de la circunferencia y comprobamos el nº de divisiones. NOTA: observa que este método sirve para hacer polígonos regulares, en este caso tendríamos un endecágono. 13

14 5. Media proporcional de dos segmentos dados. Comprueba que la solución es la misma por los dos métodos. Teorema de la altura 1º Colocamos los segmentos AB + CD y dibujamos arco capaz de 90º 2º Por el extremo común BC, perpendicular y corta al arco en G 3º X= (BC) G. Observa que es la altura del triángulo rectángulo Teorema del cateto 1º Colocamos los segmentos AB - CD y dibujamos arco capaz de 90º 2º Por el extremo interior D, perpendicular y corta al arco en G 3º X= (AC) G. Observa que es el cateto del triángulo rectángulo 6. Hallar eje radical de dos circunferencias exteriores y de diferente radio. 1º Tangente común a ambas saco T y T 2º Mediatriz de TT saco M 3º Por M perpendicular a la unión de centros O1O2 14

15 7. Hallar el centro radical de tres circunferencias exteriores y de diferentes radios. Será el punto intersección de los ejes radicales de las circunferencias dos a dos. 1º Sacamos e que es la a la unión de centros por el punto de tangencia, F 2º Trazamos una circunferencia auxiliar de centro O, secantes con la O1O2. Los ejes radicales serán las rectas AB y CD, respectivamente y ambos se cortan en el punto E. Sacamos e que es la a la unión de centros O1O2, por el punto E. 3º La solución es el punto intersección de e y e, punto G, en nuestro dibujo. 15

16 UNIDAD 3: IGUALDAD, SEMEJANZA Y ESCALAS. PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD En esta unidad se presentan las relaciones métricas entre elementos geométricos que nos permitirán definir la semejanza, siendo las escalas para la construcción de planos en dibujo técnico, la aplicación más importante de la semejanza. Experimentando el uso y la construcción de escalas volantes. CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD APARTADO 1- IGUALDAD QUE TENEMOS QUE APRENDER Dos figuras son iguales cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados que se corresponden también iguales, es decir se pueden superponer uno encima del otro. Construcción de una figura igual a otra por distintos métodos: - por copia de ángulos - por coordenadas - por radiación - por triangulación - por traslación (ver unidad 5) - por cuadricula (utilizado en dibujo artístico) AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO - Para copiar un polígono regular o inscrito en una circunferencia igual a otro primero dibujaríamos la circunferencia y llevamos luego las medidas. - Elige el método más adecuado para cada caso. APARTADO 2 - SEMEJANZA QUE TENEMOS QUE APRENDER Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos ordenadamente iguales y sus lados proporcionales e inversamente semejantes cuando sus ángulos son iguales tomados en sentido inverso y sus lados proporcionales. 16

17 La proporcionalidad entre lados se llama razón de semejanza, Κ, así tenemos: - Proporcionalidad directa razón de semejanza positiva, ejemplo Κ= 2/3 - Proporcionalidad inversa razón de semejanza negativa, ejemplo Κ= -2/3 AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO La construcción de una figura directamente semejante a otra se puede hacer por coordenadas o tomando un punto arbitrario O, (centro de homotecia, caso particular de semejanza que se estudiará mas adelante). Este punto también puede ser uno cualquiera de nuestra figura. APARTADO 3 - ESCALAS QUE TENEMOS QUE APRENDER - Es la relación numérica entre el tamaño de un objeto real y su representación, ya sea en el plano o en el espacio. ESCALA = DIBUJO / REALIDAD - Tipos de escalas: Escala de reducción, Si ese cociente es menor de uno, ejemplo E= 2/3 Escala de ampliación Si el cociente es mayor de uno, ejemplo E= 5/3 Escala natural el cociente es igual de uno, ejemplo E=1 - Manejo y construcción de las escalas volantes o gráficas, la escala transversal y el triángulo universal de escalas - Ejecutar dibujos técnicos a distinta escala, utilizando la escala gráfica establecida previamente y las escalas normalizadas AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO La mas utilizada es la escala volante con su contra escala CRITERIO DE EVALUACIÓN Construye figuras iguales y figuras directa o inversamente semejante a otra. Resuelve y aplica problemas gráficos relacionados con la semejanza. Trabaja y utiliza adecuadamente con las distintas escalas. Ejecuta dibujos técnicos a distinta escala, utilizando la escala gráfica establecida previamente y las escalas normalizadas. 17

18 ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 1. En un dibujo, hecho a escala E: 3/2, medimos un ángulo de 60º. Cuánto mide en realidad? 2. La distancia en línea recta entre dos ciudades es de 496 Km., pero en el plano mide 248 mm. A qué escala está dibujado el plano? Razona la respuesta. 3. Construye un triángulo semejante al formado por el cartabón. 4. Dibuja la recta que pasa por el punto P y concurre con las rectas r y s 1. Traza la escala volante 7/5 con su contraescala; debe tener 9 unidades (contando la contraescala). La unidad considerada es el milímetro; las unidades de la escala serán de 10 mm. excepto la contraescala. ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 1. Construir dos segmentos a y b cuya suma sea 70mm y cuya razón de semejanza sea a/b=3/4 2. Calcula la magnitud real de un segmento que a escala 1/6, mide en el dibujo 45mm. 3. En un mapa, la distancia entre Madrid y Zaragoza es de 60mm. Si la distancia real entre ambas ciudades es de 300Km. A qué escala está dibujado el mapa? 4. En un dibujo a escala 3/8 se ha tomado una longitud de 120mm. A qué longitud real corresponde? 5. Qué escala elegirías para dibujar en una lámina de formato DIN A-4 (210mm x 290mm), un campo de fútbol cuyas medidas son 100 x 80mm? 6. En una lámina DIN A-4 construir unas reglas con las siguientes escalas; 1:125, 1; Y 1; y su contra escala 7. Construir una escala decimal de transversales 1:500 y medir en el a una distancia 63, 45mm. 18

19 SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 1. En un dibujo, hecho a escala E: 3/2, medimos un ángulo de 60º. Cuánto mide en realidad? Los ángulos no varían con la escala, solo lo hacen las magnitudes lineales. Las figuras semejantes tienen ángulos iguales lados proporcionales. 2. La distancia en línea recta entre dos ciudades es de 496 Km., pero en el plano mide 248 mm. A qué escala está dibujado el plano? Razona la respuesta. La escala es E: 1: , que sale como resultado de aplicar la formula. 3. Construye un triángulo semejante al formado por el cartabón. 1º Arco capaz de 90º 2º Introducimos ángulo de 30º en vértice B y corta al arco en A 3º Unimos A con C (el ángulo A C B forma 60º) 19

20 4. Dibuja la recta que pasa por el punto P y concurre con las rectas r y s 1º Triángulo auxiliar con vértices P, A y B 2º A partir de otro punto auxiliar A dibujamos un triángulo por paralelas, obtenemos B y luego P 3º La recta solución es PP, por ser figuras semejantes y donde se corten las rectas r y s sería centro de homotecia. 5. Traza la escala volante 7/5 con su contraescala; debe tener 9 unidades (contando la contraescala). La unidad considerada es el milímetro; las unidades de la escala serán de 10 mm. excepto la contraescala. 1º Aplicamos el teorema de Tales y dividimos la que mide 7 en 5 partes iguales. 2º Conseguimos más unidades de la escala prolongando las dos rectas. 3º Para trazar la contraescala dividimos la primera unidad en 10 partes iguales. Otro procedimiento, consiste en dividir numerador entre denominador para hallar la medida de la unidad de escala 7/5= 1,4; 10 centímetros de l a escala 7/5 son 14 cm. Y se divide en diez partes iguales. 20

21 UNIDAD 4: POLÍGONOS. PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Esta unidad comprende el estudio de polígonos. Se comienza con la definición, propiedades, clasificación para finalmente saber construirlos. Es de suma importancia saber identificar las características y diferencias entre los diferentes polígonos así como conocer los fundamentos teóricos de dichos trazados para aplicarlos después en la realización de trabajos más complejos. Los polígonos regulares, dentro de la geometría, adquiere un protagonismo, no sólo como entes geométricos, sino como figuras que se pueden encontrar con suma facilidad la vida cotidiana, en diseños industriales, constructivos, el mundo animal, etc. CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD APARTADO 1- TRIÁNGULOS QUE TENEMOS QUE APRENDER - Construcción de triángulos a partir de unos datos y conociendo sus propiedades y clasificación. CLASIFICACIÓN TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS SEGÚN SUS ÁNGULOS EQUILÁTEROS Lados =y ángulos = 60º ISÓSCELES Dos lados y ángulos = y el otro ESCALENOS Lados y ángulos ACUTÁNGULO Ángulos < 90º RECTÁNGULO Un ángulos = 90º OBTUSÁNGULO Un ángulos > 90º AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO - Siempre hacer una figura auxiliar para observar los datos. - Recordar todos los triángulos son semejantes. - Si entre los datos hay un lado y el ángulo opuesto normalmente se resuelve por arco capaz. - Si entre los datos hay una altura el vértice estará en una paralela a ese lado. 21

22 APARTADO 2 - CUADRILATEROS QUE TENEMOS QUE APRENDER - Construcción de cuadriláteros los a partir de unos datos y conociendo sus propiedades y clasificación CLASIFICACIÓN CUADRIÁTEROS CUADRADO Diagonales =, y lados = PARALELOGRAMOS RECTÁNGULO Diagonales =,NO y lados = 2 a 2 Lados 2 a 2 ROMBO Diagonales, y lados = ROMBOIDE Diagonales,NO y lados = 2 a 2 TRAPECIOS T. ISÓSCELES Simétrico, lados NO = 2 lados (bases) y 2 NO T. RECTÁNGULO 2 ángulos = 90º T. OBLICUO Trapecio puro TRAPEZOIDES Trapezoide puro, solo condición de 4 lados AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO - Hacer una figura auxiliar para observar los datos - No todos los cuadriláteros son semejantes - Se pueden descomponer en triángulos y aplicar sus propiedades APARTADO 3 POLÍGONOS REGULARES QUE TENEMOS QUE APRENDER - Definición de polígonos, clasificaciones y propiedades. - Construcción de polígonos regulares a partir de unos datos y conociendo sus propiedades y clasificación - Podemos utilizar distintos métodos según el dato que nos den: - Radio de la circunferencia circunscrita - Apotema desde el centro al punto medio de uno cualquiera de sus lados que coincide con el radio de la circunferencia inscrita en el polígono - Lado o perímetro que es la suma de todos ellos AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO - Si conocemos el radio método general: División de la circunferencia en n partes iguales, pero hay casos más rápidos si conocemos los métodos particulares así el 22

23 hexágono coincide el radio con la medida del lado. (Ver actividades de autoevaluación) - Todos los polígonos regulares son semejantes y este puede ser un método general si me dan conocido el lado o la apotema pues primero divido la circunferencia en n partes iguales con un radio auxiliar y luego aplico semejanza (vista en el tema anterior) APARTADO 4 POLÍGONOS ESTRELLADOS QUE TENEMOS QUE APRENDER - Son cóncavos. Se obtienen de unir convenientemente los vértices de polígonos regulares convexos. - Regla para obtener todos los polígonos regulares estrellados de n lados basta con tomar para valor del paso (forma de unir las divisiones) los números primos con n e inferiores a n medios. AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO Cuidado! Tengo que empezar en un vértice y terminar en él sin levantar el lápiz, así por ejemplo, el hexágono no tiene ningún estrellado pues no se cumple la regla y lo que obtenemos son dos triángulos equiláteros girados 180º. (Ver más casos en actividades de autoevaluación) CRITERIO DE EVALUACIÓN Identifica las características y diferencias entre los diferentes polígonos Realiza las construcciones de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares y estrellados. Conocer los fundamentos teóricos de dichos trazados. Aplicar dichos trazados a la realización de trabajos más complejos. 23

24 ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN Se pide dibujar 1. Un triángulo equilátero conocido la altura 2. Un triángulo isósceles dado el lado desigual y el ángulo opuesto 3. Un rectángulo conocida la diagonal y la suma de los lados 4. Un trapecio ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=30, CD= 26 Y BC=27 5. Pentágono regular conocido el lado 6. Obtener los estrellados posibles del heptágono y del eneágono. Cuántos salen? ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 1. Un triángulo dados los tres lados: a=50, b=48 y c=35 2. Un triángulo isósceles dado el lado desigual y el ángulo opuesto 3. Un triángulo dados dos lados y el ángulo comprendido: a=50, c=30 y B=75º 4. Un rectángulo conocidos el lado mayor y la diagonal 5. Un romboide ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=35 Y A=35º 6. Un romboide sabiendo que su lado mayor mide 70 y su diagonal mayor mide 100. El ángulo que forman las dos diagonales mide 100º 7. Un trapecio sabiendo que sus dos bases miden 70 y 50 respectivamente y sus diagonales 80 y Un cuadrilátero inscriptible ABCD conociendo tres lados y la diagonal AB=30, BC=20, CD=40 y AC=45 9. Un cuadrilátero inscriptible ABCD conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, Indicar cuantas soluciones tiene el problema y de todas ellas dibujar la del perímetro mayor 10. Un octógono regular y todos sus estrellados. Cuántos se pueden trazar y por qué? 11. Un decágono regular conocida la apotema. 24

25 SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN Dibuja: 1. Un triángulo equilátero conocido la altura Se dibuja un triángulo equilátero 123 auxiliar y sobre la altura se lleva la que nos dan NA, se resuelve por paralelas. (Basado en semejanza) 2. Un triángulo conocido AC = 50mm, ángulo opuesto B = 45º y ángulo C= 60º. 1º Sobre el segmento AC, se traza arco capaz de 45º, con centro donde corta la mediatriz y la perpendicular a la prolongación del ángulo que hemos llevado sobre el extremo A 2º Con vértice C introducimos el ángulo de 60º y corta al arco capaz en B, que unimos con A, teniendo así nuestra solución. 3. Un rectángulo conocida la diagonal y la suma de los lados 25

26 1º Dibuja un triángulo auxiliar para observar los datos 2º Se construye un triángulo de base AE, ángulo de 45º (pues es la mitad del ángulo de 90º) y el otro lado la diagonal. 3º Desde el vértice C trazo perpendicular que corta a AE en el punto B. 4º Completo mi rectángulo. Observa: Este método es igual para un triángulo rectángulo si me dan la suma de los catetos y la diagonal 4. Un trapecio ABCD dados los lados y el ángulo comprendido AB=50, AD=30, CD= 26 Y BC=27 1º Dibuja un trapecio auxiliar para observar los datos Observa que al igual que en el ejercicio anterior podemos construir un triángulo ya que DE=BC y AE= AB menos CD 2º Dibújalo aplicando lo expuesto. 5. Pentágono regular conocido el lado 26

27 1º Mediatriz de OM, punto L 2º Pincho en L y con radio LA trazo arco que corta en P Observa: que con está sencilla construcción sacamos: El lado del pentágono = AP El lado del decágono = PO El lado del heptágono = LN siendo N donde corta la mediatriz a la circunferencia. 6. Obtener los estrellados posibles del heptágono y del eneágono. Cuántos salen? 1º El heptágono tiene dos: uno de orden 2 y otro de orden 3. Porque son los únicos números enteros menor de 7/2 y primos con 7. 2º El eneágono también tiene dos: uno de orden 2 y otro de orden 4. Porque son los únicos números enteros menor de 9/2 y primos con 9. 27

28 UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS. PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Tras comenzar con las series lineales, se trata de movimientos sencillos en el plano: translación, giro y simetría donde la figura resultante es igual que de la que partimos. También analizaremos un caso particular de la semejanza: la homotecia y aprenderemos a aplicar dichas transformaciones a otro tipo de problemas. CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD Una transformaciones una operación o conjunto de operaciones geométricas que permite obtener una figura plana F a partir de otra dada F. Se caracteriza por ser transformaciones biunívocas. Pueden ser: A) Según sentido en el plano - directas aquellas que conservan el sentido de puntos u orientación de puntos en el plano: traslación, giro, simetría central - inversas cuando no lo conservan: simetría axial B) Según punto comparativo entre F y F - Isométricas conservan las medidas tanto de ángulos como longitudinales: traslación, giros, simetrías - Isomórficas conservan las formas, los ángulos pero no longitudes: figuras homotéticas, semejantes - Anamórficas no mantienen las formas pero conservan los ángulos: inversión (se ve en 2º de Bachillerato) APARTADO 1- HOMOTECIA Se define homotecia de centro O y razón K, siendo esta distinta de cero, a la transformación que hace corresponder a todo punto A del plano otro A, alineado con O y con A, de tal forma que se verifica: OA =OA x K siendo K= constante 1. Homotético de un punto: se resuelva por el teorema de Tales, así si k = m/n, divido la distancia del centro 0A en n partes y el punto A estará en la paralela por el número m. 28

29 2. La homotética de una recta se demuestra que es otra paralela a ella. 3. La homotética de una figura se resuelve como consecuencia de lo anterior QUE TENEMOS QUE APRENDER Casos de homotecia: -Homotecia directa. Si K > 0, K es positiva y por tanto A y A tienen el mismo sentido (están al mismo lado de O). Además si K < 1, A estará entre 0 y A -Homotecia inversa. Si K < 0, K es negativa y por tanto A y A tienen distinto sentido (A está al otro lado de O), aquí si K < 1, A estará al otro lado pero una distancia menor que OA - Transformada de identidad. Cuando K=1, cualquier punto se transforma en si mismo. - Simetría central. Cuando K= -1 AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO Desde el centro de homotecia, dibujamos rectas por cada uno de los puntos y teniendo en cuenta los casos anteriores lo más fácil es sacar el homotético de un punto y el resto por paralelas como en la figura con K= 1/2 En la circunferencia podemos utilizar dos radios homotéticos directos o inversos o también utilizar las tangentes comunes: - Las tangentes exteriores se cortan en un punto que es centro de homotecia directa. - Las tangentes interiores se cortan en un punto que es el centro de homotecia inverso. APARTADO 2 -TRASLACIÓN QUE TENEMOS QUE APRENDER Es aquella transformación que nos permite pasar de una figura F a otra F aplicando a todos sus puntos un desplazamiento igual, es decir, la misma magnitud, dirección y sentido 29

30 AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO - Por cada punto se traza paralelas a la dirección dada y tomando la magnitud con el compás se lleva sobre cada una de ellas en el sentido pedido uniendo finalmente cada punto como corresponde. ( Ver actividades de autoevaluación) - Recuerda que la figura solución es igual, siendo suficiente con trasladar un punto y luego lados paralelos. En la circunferencia sería el centro y otro punto cualquiera, ten esto en cuenta si nuestro polígono es regular y nos ahorraremos trabajo y mejoraremos la precisión APARTADO 3 - GIRO QUE TENEMOS QUE APRENDER Es aquella transformación que nos permite pasar de una figura F a otra F girando cada punto un ángulo dado en un sentido establecido alrededor de un punto O fijo, llamado centro de giro. AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO Al igual que en los casos anteriores giro punto a punto o giro uno solo uno de ellos y dibujo una figura igual a partir de ese punto. (Ver actividades de autoevaluación) APARTADO 4 - SIMETRÍA QUE TENEMOS QUE APRENDER Hay dos tipos de simetría: - Simetría axial o respecto de una recta r. Es aquella transformación que nos permite pasar de una figura F a otra F de tal forma que a cada punto A de F le corresponde otro A de F situado al otro lado de r a la misma distancia y de tal manera que el segmento AA es perpendicular a r. - Simetría central o respecto de un punto O. Es aquella transformación que nos permite pasar de una figura F a otra F de tal forma que a cada punto A de F le corresponde otro A de F situado al otro lado de O y a la misma distancia. AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO - Basta con aplicar la definición dada. Tener en cuenta que las figuras son iguales y esto puede ahorrarnos trazados, así, si tengo un polígono inscrito en una circunferencia lo más práctico es simétrico del centro de la circunferencia y de otro vértice cualquiera de dicho polígono y luego hacer la figura igual (ver diferentes métodos en la unidad 3) 30

31 - Cuidado! en simetría axial cambia el sentido de los puntos, en este caso para que no te confundas mejor saca el simétrico de dos para observar el movimiento. APARTADO 5- PRODUCTOS DE MOVIMIENTOS QUE TENEMOS QUE APRENDER Tienen lugar cuando se aplican dos o más movimientos o transformaciones sobre la misma figura. - El producto de dos traslaciones dan por resultado otra traslación - El producto de dos giros de centro O y O y ángulos A y B es otro giro que tiene por centro O y ángulo C. Su centro O se determina por la intersección de las mediatrices de los segmentos limitados por las parejas de puntos correspondientes inicial y final. - El producto de un giro y una traslación se resuelve igual que el de dos giros, no olvidar que la traslación es un giro de centro impropio. - El producto de dos simetrías axiales es un giro cuyo centro es el punto intersección de los ejes de simetría AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO Se recomienda comprobar los productos vistos realizando unos ejercicios. (Ver algunos ejemplos en las actividades de autoevaluación) CRITERIO DE EVALUACIÓN Realizar transformaciones en el plano. Resuelve problemas de homotecia Aplicar dichas transformaciones a otro tipo de problemas. 31

32 ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 1. Obtener la figura transformada resultante de efectuar: Una traslación según la magnitud M y la dirección en el sentido indicado, Figura1. Un giro de 60º con respecto al punto O en sentido horario, Figura2. 2. Construye el triángulo homotético respecto del centro O, sabiendo que k= Halla el centro de giro que ha permitido al triángulo 1 pasar a la posición 2 4. Traza los dos ejes de simetría que han sido necesarios para que la figura 1 pase a la posición 2 32

33 ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 1. Construye: Un polígono igual que el dado sabiendo que es simétrico del dado respecto del centro O. Un polígono homotético del dado, siendo el centro O y K= - 5/3 2. Unir los puntos A y B, tocando a la recta r en otro P de manera que la distancia AP + PB sea mínima. B. A. r 3. Hallar la figura transformada de la figura 1 después de efectuar: un giro de +60º y una homotecia de razón 3/5 4. Dado el módulo de la figura 2: 1º efectuar 4 giros sucesivos de 90º cada uno, 2º efectuar 8 giros sucesivos de 45º cada uno, con centro en B, 3º dibujar la simetría axial cuyo eje es la recta que determinan los puntos Ay B. 33

34 SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 1. Obtener la figura transformada resultante de efectuar: Una traslación según la magnitud M y la dirección en el sentido indicado. Figura 1 Un giro de 60º con respecto al punto O en sentido horario. Figura 2 Figura1: por cada vértice trazamos rectas paralelas a la dirección en el sentido indicado. Tomamos la magnitud con el compás y pinchando en A obtenemos A1. Repetimos la operación con cada punto y finalmente los unimos. Figura 2: Unimos A con O y e introducimos el ángulo de 60º en el sentido indicado. Con radio OA trazamos un arco para obtener A1. Repetimos la operación con cada punto y finalmente los unimos. 2. Construye el triángulo homotético respecto del centro O, sabiendo que k= - 1,5 A 1 estará en la recta AO al otro lado de O a la distancia AO + 1/2 de AO. Repito con todos los puntos y los uno para obtener la F1. Observa: la figura transformada mantiene los valores angulares y el paralelismo, sin embargo, varía la orientación al ser la razón de homotecia negativa. 34

35 3. Halla el centro de giro que ha permitido al triángulo 1 pasar a la posición 2 Hallamos en centro de giro uniendo dos pares de puntos homólogos por medio de dos rectas y trazamos la mediatriz en los dos segmentos. Estas se cortan en O, como vemos en la solución, donde hemos trazado los arcos que unen los puntos homólogos. 4. Traza los dos ejes de simetría que han sido necesarios para que la figura 1 pase a la posición 2 La mediatriz trazada en la recta que une dos puntos homólogos, como B y B, es el eje de simetría e que nos permite trazar el triángulo A B C (posición intermedia) con un punto doble B B en el segundo eje de simetría e. Este es la mediatriz de la recta que une C con C u otro par de puntos homólogos. 35

36 UNIDAD 6: TANGENCIAS P RESENTACIÓN DE LA UNIDAD En esta unidad además de conocer las propiedades de las tangencias realizaremos las construcciones básicas de tangencias entre rectas y circunferencias y entre circunferencias, situando los correspondientes puntos de tangencias. Analizaremos ordenando todos los casos de tangencias estudiados para posteriores aplicaciones y lo usaremos para aplicar con corrección los enlaces correspondientes. Es un tema muy importante dentro del dibujo técnico, ya que se trata conceptos fundamentales del mismo como son la precisión y la exactitud. C ONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD A PARTADO 1- PROPIEDADES DE LAS TANGENCIAS Y ENLACES QUE TENEMOS QUE APRENDER Propiedades de las tangencias: - Si una recta es tangente a una circunferencia el punto de tangencia, es el pie de la perpendicular trazada por el centro de la circunferencia a la tangente. - Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia, está en la línea unión de centros. - Todo radio perpendicular a una cuerda, la divide en dos partes iguales, es decir, que la mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia. - El centro de cualquier circunferencia tangente a dos rectas se encuentra en la bisectriz del ángulo que formen. AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO Las tangencias tienen por objetivo unir circunferencias y rectas mediante otras circunferencias y rectas. Las construcciones deben ir acompañadas de un razonamiento para que no se olviden rápidamente. N ota: Debemos marcar siempre el punto de tangencia entre las líneas. 36

37 APARTADO 2 TRAZADO DE RECTAS QUE TENEMOS QUE APRENDER - Rectas tangentes a una circunferencia que pasan por un punto: a) El punto pertenece a la circunferencia b) El punto es exterior a la circunferencia - Rectas tangentes a dos circunferencias de distinto radio a) Tangentes exteriores b) Tangentes interiores AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO - Rectas tangentes a una circunferencia por un punto dado - Si el punto T pertenece a la circunferencia de centro O, se resuelve igual que perpendicular a una semirrecta r= OT por su extremo siendo este el punto. (Ver unidad 2). - Si el punto P es exterior a la circunferencia se une con el centro O y por el punto medio M se dibuja la circunferencia que corta a la dada en los puntos de tangencia T1T2. La solución son las rectas PT1 y PT2. - Rectas tangentes a dos circunferencias de distinto radio r1 Y r2, - Tangentes exteriores, esta basado en el caso tangentes a una circunferencia desde un punto P es exterior a ella, se reduce la circunferencia de radio menor r1 a un punto P y la otra r2 r1 = r3 a una circunferencia de radio r3. Las soluciones serán paralelas hacia a fuera la distancia r2 a las rectas halladas. - Si son tangentes interiores en lugar de restar radios se suman r2 + r1 = r3 y todo igual. Las soluciones serán paralelas hacia el interior la distancia r2 a las rectas halladas. (Ver ejemplos en las actividades de autoevaluación). A PARTADO 3 TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIDO EL RADIO QUE TENEMOS QUE APRENDER - A dibujar casos sencillos aplicando las propiedades de las tangencias. - Circunferencias que pasan por un punto P y son tangentes a una recta r: El punto esta en la recta 37

38 El punto es exterior - Circunferencias que pasan por un punto P y son tangentes a una circunferencia de centro O: El punto esta en la circunferencia El punto es exterior - Circunferencias tangentes a dos rectas r y s que se cortan - Circunferencias tangentes a una recta r y a una circunferencia de centro O. - Circunferencias tangentes a dos circunferencias de centro O y O. AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO Llamemos al radio dado d - Circunferencias que pasan por un punto P y son tangentes a una recta r: - Si P está en la recta los centros solución estarán en la perpendicular por P y a la distancia d. - Si P es exterior los centros solución estarán en una paralela a la recta a una distancia d y en una circunferencia con centro P y radio d. - Circunferencias que pasan por un punto P y son tangentes a una circunferencia de centro O y radio r: - Si el P está en la circunferencia, los centros solución estarán en la recta PO y en la circunferencia con centro P y radio d. - Si el punto P es exterior los centros solución estarán en una circunferencia de centro P y radio d y en otras circunferencias de centro O y radio d - r (circunferencias solución interiores a la dada) y radio d + r (circunferencias solución exteriores a la dada) - Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan - Los centros solución están en la intersección de las rectas paralelas a las dadas a la distancia d. Tiene cuatro soluciones. - Circunferencias tangentes a una recta y a una circunferencia. - Los centros solución están en las recta paralela a la dada a la distancia d y en las circunferencias de centro O y radios radio d - r (circunferencias solución tangentes interiores a la dada) y radio d + r (circunferencias solución tangentes exteriores a la dada). Es el mismo método independientemente de que la recta dada sea exterior, tangente o secante a la circunferencia dada. El ejercicio tendrá más o menos soluciones dependiendo como estén colocados los datos. - Circunferencias tangentes a dos circunferencias de centros O y O y de radio r y s respectivamente - Los centros solución para las circunferencias exteriores estarán en la intersección de circunferencias de centro O y O y radios d+r y d+s. 38

39 - Los centros solución para las circunferencias interiores estarán en la intersección de circunferencias de centro O y O y radios d-r y d-s. - Observa: es el mismo método, independientemente de que las circunferencias dadas sean exteriores, tangentes o secantes. El ejercicio tendrá más o menos soluciones dependiendo como estén colocados los datos. A PARTADO 4 - ENLACES QUE TENEMOS QUE APRENDER - Enlace entre puntos dados, conociendo el radio de uno de los arcos. - Enlazar rectas cualquiera con un radio dado. - Enlazar dos rectas paralelas mediante dos arcos de igual radio, conociendo puntos de tangencia. - Enlazar dos rectas cualesquiera mediante dos arcos, conociendo el radio de uno de ellos y los puntos de tangencia. AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO El enlace entre líneas y arcos de circunferencia se fundamenta en los mismos principios que las tangencias, simplemente la solución va de punto a punto de tangencia. C RITERIO DE EVALUACIÓN Conoce las propiedades de tangencias y aplica correctamente el trazado de tangencias y la determinación de los puntos de tangencias Diseña caracteres gráficos en los que intervengan rectas y circunferencias enlazadas Diseña objetivos sencillos de uso cotidiano en los que intervengan casos de tangencias A CTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 1. Trazar las tangentes exteriores e interiores a dos circunferencias. 2. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el radio r. 39

40 3. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el punto T de tangencia en una de ellas. 4. Trazar las circunferencias tangentes de radio conocido r, a una rectas t y que pase por un punto exterior P. 5. Trazar la circunferencia tangentes a otra en un punto T de ella y que pase por otro P exterior. 6. Circunferencias exteriores de radio dado a otras dos. ACTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 1. Trazar las tangentes a unas circunferencias desde un punto exterior a ella. 2. Trazar tres circunferencias de igual radio, tangente interiores a un triángulo equilátero y tangentes entre si. 3. Trazar cuatro circunferencias de igual radio, tangente interiores a otra circunferencia y tangentes entre si. 4. Trazar cinco circunferencias de igual radio, tangente interiores a otra circunferencia y tangentes entre si. 5. Traza las circunferencias de radio dado, que pasan por un punto y son tangentes a otra circunferencia. 6. Dibuja la pieza mecánica de la figura determinando los centros y puntos de tangencia. 7. Dibuja el gancho de la figura determinando los centros y puntos de tangencia. 40

41 SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 1. Trazar las tangentes exteriores e interiores a dos circunferencias. Tangentes exteriores: las circunferencias dadas, de centros O1 y O2 tienen de radios r1 y r2, respectivamente. Con centro en O2 se traza una circunferencia de radio r2 r1 y desde O1 se trazan las tangentes a ella, rectas m y n. Las rectas tangentes soluciones son paralelas a ellas, los puntos de tangencia F, G, D y E se obtienen trazando por O1 y O2 las perpendiculares a las tangentes auxiliares. Observa que también una vez sacados los puntos de tangencia B y C al unirlos con O2 obtenemos D y E y si trazamos radios paralelos por O1 sacamos F y G obteniendo nuestras tangentes solución sin haber dibujado m y n. T angentes interiores: se resuelve como el anterior, pero trazando con centro en O2 la circunferencia auxiliar de radio r1 + r2. 2. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el radio r. 41

42 1º Se trazan paralelas a las rectas t y s a la distancia dada r por ambos lados, estas se cortan en los puntos O1, O2, O3 y O4, centros de las circunferencias solución. 2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta dada, obtenemos los puntos de tangencia de las circunferencias con dicha recta. 3. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas s y t, conocido el punto T de tangencia en una de ellas. 1º Los centros solución O1y O2, estarán en la perpendicular a T por el punto de tangencia T y en la bisectrices de los ángulos que forman las rectas dadas s y t con vértice V. 2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta s, obtenemos los puntos de tangencia T1 Y T2 de las circunferencias con dicha recta. 4. Trazar las circunferencias tangentes de radio conocido r, a una rectas t y que pase por un punto exterior P. 42

43 1º Los centros solución O1 y O2, estarán en la paralela a t a una distancia r y en la circunferencia de radio r y centro P. 2º Al trazar desde los centros solución radios perpendiculares a la recta t, obtenemos los puntos de tangencia T1 Y T2 de las circunferencias con dicha recta. 5. Trazar la circunferencia tangentes a otra en un punto T de ella y que pase por otro P exterior. El centros solución O estará en la mediatriz de los puntos PT y en la recta OT. 6. Circunferencias exteriores de radio dado a otras dos. 43

44 1º A r1 y r2, radios de las circunferencias dadas, le sumamos s 2º Pinchando con centros O1 y O2, trazamos arcos que se cortan O3 y O4, centros de las circunferencias solución. 3º Al unir por medio de rectas los cuatro centros, obtenemos los puntos de tangencia de las circunferencias solución con las dadas. UNIDAD 7: CURVAS TÉCNICAS PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Las curvas técnicas son la respuesta del dibujo geométrico que da la trayectoria o comportamiento que algunos elementos tienen, en disciplinas tan dispares como la mecánica o el diseño de carreteras. Las teorías surgen precisamente como respuestas y solución a los problemas que se plantean en la práctica. Estudiaremos las propiedades de las curvas técnicas para después dibujarlas, distinguiendo el origen y características de cada una de ellas. C ONCEPTOS IMPORTANTES DE LA UNIDAD APARTADO 1- OVALOS QUE TENEMOS QUE APRENDER 44

45 - Construcción de un óvalo conocido el eje mayor. - Construcción de un óvalo conocido el eje menor. - Construcción de un óvalo conocido los dos ejes. - Construcción de un óvalo inscrito en un rombo dado. AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO Al ser una curva que tiene dos ejes de simetría está formada por cuatro arcos de circunferencia iguales dos a dos. La aplicación práctica más importante en dibujo técnico está en el trazado de perspectivas, pues suelen sustituirse, de forma aproximada, las elipses por óvalos, sobre todo con la construcción de un óvalo inscrito en un rombo dado. (Ver unidad 14, circunferencia en axonométrico). APARTADO 2 - OVOIDES QUE TENEMOS QUE APRENDER - Construcción de un ovoide conocido su eje. - Construcción de un ovoide conocido su diámetro - Construcción de un ovoide conocido su eje y su diámetro AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO Construcción de un ovoide conocido su diámetro se realiza igual que la mitad de la construcción de un óvalo conocido el eje menor. (Ver actividades de autoevaluación de la unidad). APARTADO 3 ESPIRALES Y HÉLICES QUE TENEMOS QUE APRENDER - Construcción de la espiral de Arquímedes conocido el paso. - Construcción de una voluta de varios centros conocido el paso. - Construcción de la evolvente del círculo conocido el radio - Construcción de una hélice cilíndrica conocido el diámetro y el paso - Construcción de una hélice cónica conocido el diámetro y el paso AYUDA AL ESTUDIO DEL APARTADO Estás curvas son menos utilizadas que las anteriores por lo que se recomienda conocerlas pero no dedicarlas tanto tiempo. 45

46 CRITERIO DE EVALUACIÓN Domina los procedimientos de construcción de las curvas estudiadas Reconoce las características y particularidades de cada una de ellas Aplica las construcciones en ejercicios de mayor complejidad ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 1. Construcción de un óvalo de cuatro centros, conociendo los ejes que miden 70 y 55mm. 2. Una conducción de aguas fecales tiene sección recta de forma ovoidal. Conocidas las circunferencias de pie y de cabeza, se pide determinar el ovoide al trazar las dos circunferencias laterales que faltan, al saber que estas tienen que ser tangentes a la cabeza en T y T, respectivamente. (ver figura actividad 6 para enviar al tutor) 3. En un tocadiscos en funcionamiento hay un disco que tarda 6 segundos en dar una vuelta. En el centro del disco se coloca una bolita a la que empujamos de tal forma que recorre1,5 cm. por segundo. Dibujar la trayectoria que describe la bolita en 12 segundos 4. Construcción de una voluta de cuatro centros sabiendo que el paso son 20 mm. A CTIVIDADES PARA ENVIAR AL TUTOR 1. Construcción de un óvalo conociendo su eje mayor AB = 70 mm. 2. Inscribir un óvalo en un rombo conocido el lado 54 mm. y una diagonal 93 mm. 3. Construcción de un ovoide conocido su eje mayor AB = 60 mm. 4. Construcción de la espiral de Arquímedes de paso 60mm. 5. Construcción de una voluta de tres centros sabiendo que el paso son 15 mm. 6. Construcción de un ovoide dadas las circunferencias de cabeza y pie y el punto de tangencia T en una de ellas. 46

47 SOLUCIONARIO DE LAS ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN 1. Construcción de un óvalo de cuatro centros, conociendo los ejes que miden 70 y 55mm 1º Trazo los ejes perpendiculares en el punto medio O y uno AC 2º Pincho en O y con radio OA saco el punto E y pincho en C y con radio CE saco el punto F. 3º La mediatriz de AF corta al eje en los puntos G y H y saco sus simétricos I y J. 4º Los centros solución son G, H. I y J, y marco los puntos de tangencia K, L, N y M. 2. Una conducción de aguas fecales tiene sección recta de forma ovoidal. Conocidas las circunferencias de pie y de cabeza, se pide determinar el ovoide al trazar las 47

48 dos circunferencias laterales que faltan, al saber que estas tienen que ser tangentes a la cabeza en T y T, respectivamente. 1º Se trazan los ejes DA y TT, la semicircunferencia con centro en A es parte de la solución. 2º A partir de los puntos T y T trazo hacia adentro y con radio R los puntos E y F 3º Se trazan las mediatrices de los segmentos EB y FB, que cortan a la prolongación del diámetro TT en los puntos G y H, que son centros de arcos solución. 4º Si unimos G y H con B, obtenemos los puntos de tangencia S y S 3. En un tocadiscos en funcionamiento hay un disco que tarda 6 segundos en dar una vuelta. En el centro del disco se coloca una bolita a la que empujamos de tal forma que recorre1, 5 cm. por segundo. Dibujar la trayectoria que describe la bolita en 12 segundos Se trata de una espiral de Arquímedes en la que sobre el radio se han tomado distancias y sobre la circunferencia tiempos. De tal forma que mientras la bolita en 1 segundo a recorrido 1,5 cm. en el tocadiscos ha girado 60º. 4. Construcción de una voluta de cuatro centros sabiendo que el paso son 20 mm. 48